2023学年高考数学一轮复习第9章解析几何第6节双曲线课时跟踪检测文新人教A版.doc

第六节　双曲线 A级·基础过关|固根基| 1.若双曲线C1：－＝1与C2：－＝1(a>0，b>0)的渐近线相同，且双曲线C2的焦距为4，则b＝(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 解析：选B　由题意得，＝2⇒b＝2a，双曲线C2的焦距2c＝4⇒c＝＝2⇒b＝4，故选B. 2．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，若|PF1|－|PF2|＝4b，且双曲线的焦距为2，则该双曲线的方程为(　　) A.－y2＝1 B.－＝1 C．x2－＝1 D.－＝1 解析：选A　由题意可得 解得则该双曲线方程为－y2＝1. 3．(2023年年全国卷Ⅲ)已知F是双曲线C：－＝1的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点．若|OP|＝|OF|，则△OPF的面积为(　　) A. B. C. D. 解析：选B　因为c2＝a2＋b2＝9，所以|OP|＝|OF|＝3.设点P的坐标为(x，y)，则x2＋y2＝9，把x2＝9－y2代入双曲线方程得|y|＝，所以S△OPF＝|OF|·|y|＝.故选B. 4．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)，过其左焦点F作x轴的垂线，交双曲线于A，B两点，若双曲线的右顶点在以AB为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是(　　) A．(2，＋∞) B．(1，2) C. D. 解析：选A　由双曲线的性质可得|AF|＝，即以AB为直径的圆的半径为，而右顶点与左焦点的距离为a＋c，由题意可知>a＋c，整理得c2－2a2－ac>0，两边同除以a2，则e2－e－2>0，解得e>2或e<－1，又双曲线的离心率大于1，所以e>2. 5．(2023年届梅州质检)已知F1，F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P是双曲线上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角为，则双曲线的渐近线方程为(　　) A．y＝±2x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x 解析：选D　不妨设P为双曲线右支上一点，则|PF1|>|PF2|，由双曲线的定义得|PF1|－|PF2|＝2a，又|PF1|＋|PF2|＝6a，所以|PF1|＝4a，|PF2|＝2a.又因为所以∠PF1F2为最小内角，故∠PF1F2＝. 在△PF1F2中，由余弦定理，可得＝，即(a－c)2＝0，所以c＝a，则b＝a，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x，故选D. 6．(2023年届南昌市高三摸底)已知圆C：x2＋y2－10y＋21＝0与双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线相切，则该双曲线的离心率是(　　) A. B. C. D. 解析：选C　圆C的标准方程为x2＋(y－5)2＝4，则圆C的圆心为C(0，5)，半径r＝2.双曲线－＝1的一条渐近线的方程为y＝x，即bx－ay＝0.由题意得＝＝2，所以该双曲线的离心率e＝＝，故选C. 7．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线为2x＋y＝0，一个焦点为(，0)，则a＝________；b＝________. 解析：由2x＋y＝0，得y＝－2x，所以＝2. 又因为c＝，a2＋b2＝c2，解得a＝1，b＝2. 答案：1　2 8．已知双曲线的焦距为6，其上一点P到两焦点的距离之差为－4，则双曲线的标准方程为________． 解析：若双曲线的焦点在x轴上，设其标准方程为－＝1.由题意得即又c2＝a2＋b2，故b2＝5.所以双曲线的标准方程为－＝1.若双曲线的焦点在y轴上，设其标准方程为－＝1.同理可得所以b＝5.所以双曲线的标准方程为－＝1.综上所述，双曲线的标准方程为－＝1或－＝1. 答案：－＝1或－＝1 9．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点P(4，－)． (1)求双曲线的方程； (2)(一解多解)若点M(3，m)在双曲线上，求证：·＝0. 解：(1)∵e＝， ∴可设双曲线的方程为x2－y2＝λ(λ≠0)． ∵双曲线过点(4，－)，∴16－10＝λ，即λ＝6. ∴双曲线的方程为x2－y2＝6. (2)证明：证法一：由(1)可知，a＝b＝， ∴c＝2，∴F1(－2，0)，F2(2，0)， ∴kMF1＝，kMF2＝， k MF1·k MF2＝＝－. ∵点M(3，m)在双曲线上，∴9－m2＝6，即m2＝3， 故k MF1·k MF2＝－1，∴MF1⊥MF2，∴·＝0. 证法二：由(1)可知，a＝b＝，∴c＝2， ∴F1(－2，0)，F2(2，0)， ＝(－2－3，－m)，＝(2－3，－m)， ∴·＝(3＋2)×(3－2)＋m2＝－3＋m2. ∵点M(3，m)在双曲线上，∴9－m2＝6，即m2－3＝0， ∴·＝0. 10．设A，B分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为4，焦点到渐近线的距离为 . (1)求双曲线的方程； (2)已知直线y＝x－2与双曲线的右支交于M，N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使＋＝t，求t的值及点D的坐标． 解：(1)由题意知a＝2， 不妨取一条渐近线为y＝x，即bx－ay＝0， 由焦点到渐近线的距离为，得＝. 又∵c2＝a2＋b2，∴b2＝3， ∴双曲线的方程为－＝1. (2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)，其中x0≥2. 则x1＋x2＝tx0，y1＋y2＝ty0. 将直线方程y＝x－2代入双曲线方程－＝1得，x2－16x＋84＝0， 则x1＋x2＝16，y1＋y2＝(x1＋x2)－4＝12. ∴解得 ∴t＝4，点D的坐标为(4，3). B级·素养提升|练能力| 11.(一题多解)已知双曲线C：－y2＝1，O为坐标原点，F为双曲线C的右焦点，过F的直线与双曲线C的两条渐近线的交点分别为M，N.若△OMN为直角三角形，则|MN|＝(　　) A. B．3 C．2 D．4 解析： 选B　解法一：由已知得，双曲线的两条渐近线方程为y＝± x. 设两渐近线的夹角为2α， 则有tan α＝＝，所以α＝30°， 所以∠MON＝2α＝60°. 又△OMN为直角三角形，由于双曲线具有对称性，不妨设MN⊥ON，如图所示． 在Rt△ONF中，|OF|＝2，则|ON|＝， 则在Rt△OMN中， |MN|＝|ON|tan 2α＝·tan 60°＝3.故选B. 解法二：因为双曲线－y2＝1的渐近线方程为y＝±x，所以∠MON＝60°.不妨设过点F的直线与直线y＝x交于点M，由△OMN为直角三角形，不妨设∠OMN＝90°，则∠MFO＝60°，又直线MN过点F(2，0)，所以直线MN的方程为y＝－(x－2)， 由得所以M，所以|OM|＝ ＝，所以|MN|＝|OM|＝3，故选B. 12．(2023年届唐山模拟)已知双曲线－＝1，过点M(m，0)作垂直于双曲线实轴的直线与双曲线交于A，B两点．若△AOB是锐角三角形(O为坐标原点)，则实数m的取值范围是________． 解析：由题意得A，B，所以＝，＝.因为△AOB是锐角三角形，所以∠AOB是锐角，即与的夹角为锐角，所以·>0，即m2－＋4>0，解得－2<m<2.由过点M(m，0)作垂直于双曲线实轴的直线与双曲线交于A，B两点可知m<－或m>.故实数m的取值范围是(－2，－)∪(，2)．　 答案：(－2，－)∪(，2) 13．(2023年届郑州模拟)已知F1，F2分别是双曲线x2－＝1(b>0)的左、右焦点，A是双曲线上在第一象限内的点，若|AF2|＝2且∠F1AF2＝45°，延长AF2交双曲线的右支于点B，则△F1AB的面积等于________． 解析：由题意知a＝1，由双曲线定义知|AF1|－|AF2|＝2a＝2，|BF1|－|BF2|＝2a＝2，所以|AF1|＝2＋|AF2|＝4，|BF1|＝2＋|BF2|.又因为|AB|＝|AF2|＋|BF2|＝2＋|BF2|，所以|BA|＝|BF1|，所以△BAF1为等腰三角形．因为∠F1AF2＝45°，所以∠ABF1＝90°，所以△BAF1为等腰直角三角形，所以|BA|＝|BF1|＝|AF1|＝×4＝2，所以S△F1AB＝|BA|·|BF1|＝×2×2＝4. 答案：4 14．已知椭圆C1的方程为＋y2＝1，双曲线C2的左、右焦点分别是椭圆C1的左、右顶点，而双曲线C2的左、右顶点分别是椭圆C1的左、右焦点． (1)求双曲线C2的方程； (2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且·>2(其中O为原点)，求k的取值范围． 解：(1)设双曲线C2的方程为－＝1(a>0，b>0)， 则a2＝3，c2＝4，再由a2＋b2＝c2，得b2＝1. 故双曲线C2的方程为－y2＝1. (2)将y＝kx＋代入－y2＝1， 得(1－3k2)x2－6kx－9＝0. 由直线l与双曲线C2交于不同的两点，得 ∴k2≠且k2<1.① 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝，x1x2＝－. ∴x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋)(kx2＋) ＝(k2＋1)x1x2＋k(x1＋x2)＋2＝. 又∵·>2，得x1x2＋y1y2>2， ∴＞2，即＞0，解得＜k2＜3.② 由①②得＜k2＜1， 故k的取值范围为∪. - 7 -