人教版6年级数学下册【高清教材】.pdf

六年级下册下册六年级数学六年级 下册数学数学SHUXUEYIWU JIAOYU JIAOKESHU义务教育教科书五四学制义务教育教科书（五四学制）定价：9.35 元绿 色 印 刷 产 品 数学六年级下封面 绿标.indd 12013.8.7 10:29:29 AM北 京义务教育教科书（五四学制）数学 六年级 下册人民教育出版社 课程教材研究所中学数学课程教材研究开发中心编著出 版 （北京市海淀区中关村南大街 17 号院 1 号楼 邮编：100081）网 址 http:/重 印 出版社发 行 新华书店印 刷 印刷厂版 次 2012 年 10 月第 1 版 印 次 年 月第 次印刷开 本 787 毫米 1092 毫米 1/16印 张 9.5字 数 156 千字印 数 册书 号 ISBN978-7-107-25085-9定 价 元版权所有未经许可不得采用任何方式擅自复制或使用本产品任何部分违者必究如发现内容质量问题，请登录中小学教材意见反馈平台：如发现印、装质量问题，影响阅读，请与 联系调换。电话：主 编：林 群副主编：田载今 薛 彬 李海东本册主编：李海东主要编写人员：章建跃 薛 彬 俞求是 张唯一 刘金英 吴晓燕 李果民 何志平 袁 爽 陈 艳责任编辑：刘长明美术编辑：王俊宏封面设计：吕 王俊宏版式设计：王俊宏插 图：王俊宏 文鲁工作室（封面）本册导引亲爱的同学，新学期又开始了你将要学习的这本书是我们根据义务教育数学课程标准（年版）编写的教科书，这是你在六九年级要学习的八册数学教科书中的第二册你每天都收看天气预报吗？你知道怎样表示低于的气温吗？这就需要用到一种新的数 负数负数也是数学大家庭中重要的成员在“有理数”中，我们所了解的数将扩充到更大的范围，你可以进行像“”这样的以前不能做的运算，你还会发现许多问题的解决变得方便而简单用字母表示数，能更一般地表示数量关系数和字母一起运算会使问题的解决更简单“整式的加减”将带你走进代数世界，通过学习列式表示数量关系，研究整式及其加减运算，你会发现，从算术发展到代数是数学的一大进步“几何图形初步”将带你进一步欣赏丰富多彩的图形世界你将学会从实物中抽象出几何图形，了解立体图形和平面图形之间的关系，并学习线段和角等一些基本的几何图形，掌握它们的一些性质，发现它们广泛的应用“数据的收集、整理与描述”将带你走进统计的世界，在这里，你将学会收集和整理数据的常用方法，还将接触到几种常见的统计图表，学会如何用图表直观地描述数据，并初步体验合理地进行推断和预测数学伴着我们成长，数学伴着我们进步，数学伴着我们成功让我们一起随着这本书，畅游神奇、美妙的数学世界吧！目录第七章有理数 正数和负数 有理数 有理数的加减法 实验与探究填幻方 阅读与思考中国人最先使用负数 有理数的乘除法 观察与猜想翻牌游戏中的数学道理 有理数的乘方 数学活动 小结 复习题 第八章整式的加减 整式 阅读与思考数字与字母的对话 整式的加减 信息技术应用电子表格与数据计算 数学活动 小结 复习题 第九章几何图形初步 几何图形 阅读与思考几何学的起源 直线、射线、线段 阅读与思考长度的测量 角 课题学习设计制作长方体形状的包装纸盒 数学活动 小结 复习题 第十章数据的收集、整理与描述 统计调查 实验与探究瓶子中有多少粒豆子 直方图 信息技术应用利用计算机画统计图 课题学习从数据谈节水 数学活动 小结 复习题 部分中英文词汇索引 第七章有理数在生活、生产和科研中，经常遇到数的表示和运算等问题例如：（）北京冬季里某一天的气温为“”的含义是什么？这一天北京的温差是多少？（）某年，我国花生产量比上一年增长 ，油菜籽产量比上一年增长 “增长 ”表示什么意思？（）夏新同学通过捡、卖废品，既保护了环境，又积攒了零花钱下表是他某个月的部分收支情况（单位：元）收支情况表年 月日期 收入（）或支出（）结余注释日 卖废品日 买圆珠笔、铅笔芯 日 买科普书，同学代付这里，“结余 ”是什么意思？怎么得到的？上面的例子涉及“（）？”等新问题本章我们将认识一种新的数 负数，把数的范围扩充到有理数，并在这个范围内研究数的表示、大小比较和运算等有了这些知识，上述问题就能顺利解决了?正数和负数数的产生和发展离不开生活和生产的需要由记数、排序，产生数，由表示“没有”“空位”，产生数由分物、测量，产生分数，图 你能说说，等的实际意义吗？本章引言中，表示温度、产量增长率、收支情况时，既要用到数，等，还要用到数，等，它们的实际意义分别是：零下摄氏度，减少，支出 元，亏空 元23中国古代用算筹（表示数的工具）进行计算，红色算筹表示正数，黑色算筹表示负数这里出现了一种新数：，像，这样大于的数叫做正数（）像，这样在正数前加上符号“”（负）的数叫做负数（）有时，为了明确表达意义，在正数前面也加上“”（正）号例如，就是，一个数前面的“”“”号叫做它的符号既不是正数，也不是负数?例（）一个月内，小明体重增加，小华体重减少，小强体重无变化，写出他们这个月的体重增长值；（）某年，下列国家的商品进出口总额比上年的变化情况是：美国减少，德国增长，法国减少，英国减少，意大利增长，中国增长“负”与“正”相对增长，就是减少；增长 ，是什么意思？什么情况下增长率是？写出这些国家这一年商品进出口总额的增长率解：（）这个月小明体重增长，小华体重增长，小强体重增长（）六个国家这一年商品进出口总额的增长率是：美国，德国，法国，英国，意大利，中国 如果一个问题中出现相反意义的量，我们可以用正数和负数分别表示它们 年我国全年平均降水量比上年增加 ，年比上年减少 ，年比上年增加 用正数和负数表示这三年我国全年平均降水量比上年的增长量 如果把一个物体向右移动记作移动，那么这个物体又移动了是什么意思？如何描述这时物体的位置？?是正数与负数的分界 是一个确定的温度，海拔表示海平面的平均高度 的意义已不仅是表示“没有”把以外的数分为正数和负数，它们表示具有相反意义的量随着对正数、负数意义认识的加深，正数和负数在实践中得到了广泛应用在地形图上表示某地的高度时，需要以海平面为基准（规定海平面的海拔为），通常用正数表示高于海平面的某地的海拔，用负数表示低于海平面的某地的海拔例如，珠穆朗玛峰的海拔为 ，吐鲁番盆地的海拔为 记账时，通常用正数表示收入款额，用负数表示支出款额图 20021204?2?300.00?20030103?1?800.00?￥图 上面图中的正数和负数的含义是什么？你能再举一些用正数、负数表示数量的实际例子吗？读下列各数，并指出其中哪些是正数，哪些是负数，如果 表示向东走，那么 表示 如果水位升高时水位变化记作，那么水位下降时水位变化记作，水位不升不降时水位变化记作 月球表面的白天平均温度零上 ，记作，夜间平均温度零下 ，记作?习题 下面各数哪些是正数，哪些是负数？，某蓄水池的标准水位记为，如果用正数表示水面高于标准水位的高度，那么（）和 各表示什么？（）水面低于标准水位 和高于标准水位 各怎样表示？“不是正数的数一定是负数，不是负数的数一定是正数”的说法对吗？为什么？如果把一个物体向后移动记作移动，那么这个物体又移动是什么意思？这时物体离它两次移动前的位置多远？测量一幢楼的高度，七次测得的数据分别是：，这七次测量的平均值是多少？以平均值为标准，用正数表示超出部分，用负数表示不足部分，它们对应的数分别是什么？科学实验表明，原子中的原子核与电子所带电荷是两种相反的电荷物理学规定，原子核所带电荷为正电荷氢原子中的原子核与电子各带个电荷，把它们所带电荷用正数和负数表示出来 某地一天中午 时的气温是，过气温下降了，又过气温又下降了，第二天时的气温是多少？某年，一些国家的服务出口额比上年的增长率如下：美国德国英国中国日本意大利 这一年，上述六国中哪些国家的服务出口额增长了？哪些国家的服务出口额减少了？哪国增长率最高？哪国增长率最低？?有理数 有理数回想一下，我们认识了哪些数？所有正整数组成正整数集合，所有负整数组成负整数集合我们学过的数有：正整数，如，；零，；负整数，如，；正分数，如，；因为这里的小数可以化为分数，所以我们也把它们看成分数负分数，如，正整数、负整数统称为整数；正分数、负分数统称为分数整数和分数统称为有理数（）从小学开始，我们首先认识了正整数，后来又增加了和正分数，在认识了负整数和负分数后，对数的认识就扩充到了有理数范围正数集合负数集合 所有正数组成正数集合，所有负数组成负数集合把下面的有理数填入它属于的集合的圈内：，?指出下列各数中的正数、负数、整数、分数：，数轴问题在一条东西向的马路上，有一个汽车站牌，汽车站牌东和 处分别有一棵柳树和一棵杨树，汽车站牌西和 处分别有一棵槐树和一根电线杆，试画图表示这一情境如图 ，画一条直线表示马路，从左到右表示从西到东的方向，在直线上任取一个点犗表示汽车站牌的位置，规定个单位长度（线段犗犃的长）代表长于是，在点犗右边，与点犗距离个和 个单位长度的点犅和点犆，分别表示柳树和杨树的位置；点犗左边，与点犗距离个和 个单位长度的点犇和点犈，分别表示槐树和电线杆的位置4.8?3?3?7.5?E?D?O?A?B?C?图 怎样用数简明地表示这些树、电线杆与汽车站牌的相对位置关系（方向、距离）？上面的问题中，“东”与“西”、“左”与“右”都具有相反意义如图，在一条直线上取一个点犗为基准点，用表示它，再用负数表示点犗左边的点，用正数表示点犗右边的点这样，我们就用负数、正数表示出了这条直线上的点4.8?3?0?1?3?7.5?E?D?O?A?B?C?图?你能说说图中其他数的实际意义吗？用上述方法，我们就可以把这些树、电线杆与汽车站牌的相对位置关系表示出来了例如，表示位于汽车站牌西侧 处的电线杆，等等-10-520151050图 图 中的温度计可以看作表示正数、和负数的直线它和图 有什么共同点，有什么不同点？是正数和负数的分界点；原点是数轴的“基准点”在数学中，可以用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴（），它满足以下要求：（）在直线上任取一个点表示数，这个点叫做原点（）；（）通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向；（）选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示，；从原点向左，用类似方法依次表示，（图 ）430136.5521245623图 分数或小数也可以用数轴上的点表示，例如从原点向右 个单位长度的点表示小数，从原点向左个单位长度的点表示分数（图 ）?一般地，设犪是一个正数，则数轴上表示数犪的点在原点的边，与原点的距离是个单位长度；表示数犪的点在原点的边，与原点的距离是个单位长度用数轴上的点表示数对数学的发展起了重要作用，以它作基础，可以借助图直观地表示很多与数相关的问题3013212EBACD（第题）如图，写出数轴上点犃，犅，犆，犇，犈表示的数 画出数轴并表示下列有理数：，数轴上，如果表示数犪的点在原点的左边，那么犪是一个数；如果表示数犫的点在原点的右边，那么犫是一个数 相反数在数轴上，与原点的距离是的点有几个？这些点各表示哪个数？设犪是一个正数数轴上与原点的距离等于犪的点有几个？这些点表示的数有什么关系？可以发现，数轴上与原点距离是的点有两个，它们表示的数是和?一般地，设犪是一个正数，数轴上与原点的距离是犪的点有两个，它们分别在原点左右，表示犪和犪（图 ），我们说这两点关于原点对称05225aa图 像和，和这样，只有符号不同的两个数叫做互为相反数（）这就是说，的相反数是，的相反数是；的相反数是，的相反数是一般地，犪和犪互为相反数特别地，的相反数是这里，犪表示任意一个数，可以是正数、负数，也可以是例如：当犪时，犪，的相反数是；同时，的相反数是设犪表示一个数，犪一定是负数吗？你能借助数轴说明（）吗？容易看出，在正数前面添上“”号，就得到这个正数的相反数在任意一个数前面添上“”号，新的数就表示原数的相反数例如，（），（），判断下列说法是否正确：（）是相反数；（）是相反数；（）是的相反数；（）与互为相反数 写出下列各数的相反数：，如果犪犪，那么表示犪的点在数轴上的什么位置？化简下列各数：（），（），（），（）?绝对值两辆汽车从同一处犗出发，分别向东、西方向行驶，到达犃，犅两处（图）它们的行驶路线相同吗？它们的行驶路程相等吗？010101010ABO图 这里的数犪可以是正数、负数和一般地，数轴上表示数犪的点与原点的距离叫做数犪的绝对值（），记作?犪?例如，图 中犃，犅两点分别表示 和，它们与原点的距离都是 个单位长度，所以 和 的绝对值都是，即?，?显然?由绝对值的定义可知：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是 即（）如果犪，那么犪犪；（）如果犪，那么犪；（）如果犪，那么犪犪 写出下列各数的绝对值：，判断下列说法是否正确：（）符号相反的数互为相反数；（）一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上越靠右；（）一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远；（）当犪时，犪总是大于 判断下列各式是否正确：（）；（）；（）?我们已知两个正数（或）之间怎样比较大小，例如，任意两个有理数（例如和，和，和）怎样比较大小呢？周日29周六34周五43*周四25周三16周二17周一08图 图 给出了未来一周中每天的最高气温和最低气温，其中最低气温是多少？最高气温呢？你能将这七天中每天的最低气温按从低到高的顺序排列吗？这七天中每天的最低气温按从低到高排列为，按照这个顺序排列的温度，在温度计上所对应的点是从下到上的按照这个顺序把这些数表示在数轴上，表示它们的各点的顺序是从左到右的（图 ）3?0?2?1?4?1?2?图 数学中规定：在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数由这个规定可知，对于正数、和负数这三类数，它们之间有什么大小关系？两个负数之间如何比较大小？前面最低气温由低到高的排列与你的结论一致吗？?一般地，（）正数大于，大于负数，正数大于负数；（）两个负数，绝对值大的反而小例如，例比较下列各对数的大小：（）（）和（）；（）和；（）（）和解：（）先化简，（），（）因为正数大于负数，所以，即（）（）（）这是两个负数比较大小，先求它们的绝对值 ，因为 ，即 ，所以（）先化简，（），因为，所以（）异号两数比较大小，要考虑它们的正负；同号两数比较大小，要考虑它们的绝对值比较下列各对数的大小：（）和；（）和；（）和 ；（）和?习题 把下面的有理数填在相应的大括号里（将各数用逗号分开）：，正数：负数：在数轴上表示下列各数：，在数轴上，点犃表示，从点犃出发，沿数轴移动个单位长度到达点犅，则点犅表示的数是多少？写出下列各数的相反数，并将这些数连同它们的相反数在数轴上表示出来：，写出下列各数的绝对值：，上面的数中哪个数的绝对值最大？哪个数的绝对值最小？将下列各数按从小到大的顺序排列，并用“”号连接：，下面是我国几个城市某年一月份的平均气温，把它们按从高到低的顺序排列北京武汉广州哈尔滨南京 如图，检测个排球，其中质量超过标准的克数记为正数，不足的克数记为负数从轻重的角度看，哪个球最接近标准？5?3.5?0.7?2.5?0.6?（第题）?某年我国人均水资源比上年的增幅是 后续三年各年比上年的增幅分别是，这些增幅中哪个最小？增幅是负数说明什么？在数轴上，表示哪个数的点与表示和的点的距离相等？（）与之间还有负数吗？与之间呢？如有，请举例（）与之间有负整数吗？与之间有哪些整数？（）有比大的负整数吗？（）写出个小于 并且大于 的数 如果狓，那么狓一定是吗？如果狓，那么狓等于几？如果狓狓，那么狓等于几？?有理数的加减法 有理数的加法在小学，我们学过正数及的加法运算引入负数后，怎样进行加法运算呢？实际问题中，有时也会遇到与负数有关的加法运算例如，在本章引言中，把收入记作正数，支出记作负数，在求“结余”时，需要计算（），（）等小学学过的加法是正数与正数相加、正数与相加引入负数后，加法有哪几种情况？引入负数后，除已有的正数与正数相加、正数与相加外，还有负数与负数相加、负数与正数相加、负数与相加等下面借助具体情境和数轴来讨论有理数的加法看下面的问题一个物体作左右方向的运动，我们规定向左为负，向右为正向右运动记作，向左运动记作如果物体先向右运动，再向右运动，那么两次运动的最后结果是什么？可以用怎样的算式表示？两次运动后物体从起点向右运动了写成算式就是将物体的运动起点放在原点，则这个算式可用数轴表示为图 8350O图?如果物体先向左运动，再向左运动，那么两次运动的最后结果是什么？可以用怎样的算式表示？两次运动后物体从起点向左运动了写成算式就是（）（）这个运算也可以用数轴表示，其中假设原点犗为运动起点（图 ）835O0图 从算式可以看出：符号相同的两个数相加，结果的符号不变，绝对值相加（）如果物体先向左运动，再向右运动，那么两次运动的最后结果怎样？如何用算式表示？（）如果物体先向右运动，再向左运动，那么两次运动的最后结果怎样？如何用算式表示？你能用数轴表示算式吗？（）结果是物体从起点向右运动了写成算式就是（）（）结果是物体从起点向左运动了写成算式就是（）从算式可以看出：符号相反的两个数相加，结果的符号与绝对值较大的加数的符号相同，并用较大的绝对值减去较小的绝对值如果物体先向右运动，再向左运动，那么两次运动的最后结果如何？?结果是仍在起点处写成算式就是（）算式表明，互为相反数的两个数相加，结果为如果物体第向右（或左）运动，第原地不动，那么后物体从起点向右（或左）运动了写成算式就是（或（）从算式可以得出什么结论？从算式可知，有理数加法运算中，既要考虑符号，又要考虑绝对值你能从这些算式中归纳出有理数加法的运算法则吗？有理数加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加 绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值互为相反数的两个数相加得 一个数同相加，仍得这个数先定符号，再算绝对值例计算：（）（）（）；（）（）解：（）（）（）（）；（）（）（）用算式表示下面的结果：（）温度由上升；（）收入元，又支出元 口算：（）（）（）；（）（）；（）（）；（）（）；（）（）；（）（）；（）（）；（）（）?计算：（）（）；（）（）（）；（）（）；（）（）请你用生活实例解释（），（）（）的意义我们以前学过加法交换律、结合律，在有理数的加法中它们还适用吗？计算（），（）两次所得的和相同吗？换几个加数再试一试从上述计算中，你能得出什么结论？有理数的加法中，两个数相加，交换加数的位置，和不变加法交换律：犪犫犫犪计算（）（），（）（）两次所得的和相同吗？换几个加数再试一试从上述计算中，你能得出什么结论？有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变加法结合律：（犪犫）犮犪（犫犮）例中是怎样使计算简化的？根据是什么？例计算（）（）解：（）（）（）（）（）?利用加法交换律、结合律，可以使运算简化认识运算律对于理解运算有很重要的意义例 袋小麦称后记录如图 所示（单位：）袋小麦一共多少千克？如果每袋小麦以 为标准，袋小麦总计超过多少千克或不足多少千克？91?91?89?91.2?91.5?91.3?88.7?88.8?91.8?91.1?图 解法：先计算 袋小麦一共多少千克：再计算总计超过多少千克：解法：每袋小麦超过 的千克数记作正数，不足的千克数记作负数 袋小麦对应的数分别为，（）（）（）比较两种解法解法中使用了哪些运算律？（）（）（）（）答：袋小麦一共 ，总计超过 计算：（）（）（）；（）（）（）（）计算：（）（）（）；（）（）（）?填幻方有人建议向火星发射如图的图案它叫做幻方，其中个格中的点数分别是，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和都是 如果火星上有智能生物，那么他们可以从这种“数学语言”了解到地球上也有智能生物（人）图图你能将，这个数分别填入图的幻方的个空格中，使得处于同一横行、同一竖列、同一斜对角线上的个数相加都得吗？你是将填入中央的格中吗？与同学交流一下，你们填这个幻方的方法相同吗？有理数的减法如图 ，你能看出比高多少摄氏度吗？实际问题中有时还要涉及有理数的减法例如，本章引言中，北京某天的气温是，这天的温差（最高气温减最低气温，单位：）就是（）这里遇到正数与负数的减法减法是加法的逆运算，计算（），就是要求出一个数狓，使得狓与相加得因为与相加得，所以狓应该是，即3306图 （）另一方面，我们知道（），由，有（）（）?换几个数再试一试从式能看出减相当于加哪个数吗？把换成，用上面的方法考虑（），（）（），（）（）这些数减的结果与它们加的结果相同吗？计算，（）；，（）从中又有什么新发现？可以发现，有理数的减法可以转化为加法来进行有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数有理数减法法则也可以表示成犪犫犪（犫）例计算：（）（）（）；（）；（）（）；（）（）解：（）（）（）（）；（）（）；（）（）；（）（）（）（）在小学，只有当犪大于或等于犫时，我们才会做犪犫（例如，）现在，当犪小于犫时，你会做犪犫（例如，（）吗？一般地，较小的数减去较大的数，所得的差的符号是什么？?计算：（）；（）（）（）；（）（）（）；（）（）；（）（）；（）（）计算：（）比低的温度；（）比低的温度下面我们研究怎样进行有理数的加减混合运算例计算（）（）（）（）分析：这个算式中有加法，也有减法可以根据有理数减法法则，把它改写为（）（）（）（），使问题转化为几个有理数的加法这里使用了哪些运算律？解：（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）引入相反数后，加减混合运算可以统一为加法运算犪犫犮犪犫（犮）算式（）（）（）（）是，这四个数的和，为书写简单，可以省略算式中的括号和加号，把它写为 这个算式可以读作“负、正、正、负的和”，或读作“负 加?加减”例的运算过程也可以简单地写为（）（）（）（）在数轴上，点犃，犅分别表示数犪，犫利用有理数减法，分别计算下列情况下点犃，犅之间的距离：犪，犫；犪，犫；犪，犫；犪，犫你能发现点犃，犅之间的距离与数犪，犫之间的关系吗？计算：（）；（）；（）（）（）（）（）；（）（）（）习题 计算：（）（）（）；（）（）（）；（）（）（）；（）（）（）；（）（）（）；（）（）；（）（）；（）（）（）计算：（）（）（）；（）（）（）（）；?（）（）（）（）；（）（）（）（）计算：（）（）；（）（）（）；（）（）；（）；（）；（）（）；（）；（）（）；（）（）（）；（）（）（）计算：（）（）（）；（）（）（）；（）；（）（）；（）（）；（）（）；（）（）（）；（）（）（）（）计算：（）；（）；（）（）（）；（）（）（）；（）（）（）（）（）；（）（）（）415m8 848.86（第题）如图，陆上最高处是珠穆朗玛峰的峰顶，最低处位于亚洲西部名为死海的湖，两处高度相差多少？?一天早晨的气温是，中午上升了，半夜又下降了，半夜的气温是多少摄氏度？食品店一周中各天的盈亏情况如下（盈余为正）：元，元，元，元，元，元，元一周总的盈亏情况如何？有筐白菜，以每筐 为准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称后的记录如下：，这筐白菜一共多少千克？某地一周内每天的最高气温与最低气温记录如下表，哪天的温差最大？哪天的温差最小？星期一二三四五六日最高气温 最低气温 填空：（）；（）；（）（）；（）；（）（）；（）（）计算下列各式的值：（）（），（）（）（），（）（）（）（），（）（）（）（）（）猜想下列各式的值：（），（），（），（）你能进一步猜出负数乘正数的法则吗？股票交易是市场经济中的一种金融活动，它可以促进投资和资金流通 一种股票第一天的最高价比开盘价高 元，最低价比开盘价低 元；第二天的最高价比开盘价高 元，最低价比开盘价低 元；第三天的最高价等于开盘价，最低价比开盘价低 元计算每天最高价与最低价的差，以及这些差的平均值?中国人最先使用负数中国人很早就开始使用负数著名的中国古代数学著作九章算术的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数及其加减法运算法则，并给出名为“正负术”的算法魏晋时期的数学家刘徽在其著作九章算术注中用不同颜色的算筹（小棍形状的记数工具）分别表示正数和负数（红色为正，黑色为负）5423542331“正负术”是正负数加减法则其中有一段话是“同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之”你知道它的意思吗？其实它就是减法法则，以现代算式为例，可以将这段话解释如下：“同名相除”，即同号两数相减时，括号前为被减数的符号，括号内为被减数的绝对值减去减数的绝对值例如（）（）（），（）（）（）“异名相益”，即异号两数相减时，括号前为被减数的符号，括号内为被减数的绝对值加减数的绝对值例如（）（）（），（）（）（）“正无入负之，负无入正之”，即减正得负，减负得正例如（），（）史料证明：追溯到两千多年前，中国人已经开始使用负数，并应用到生产和生活中例如，在古代商业活动中，以收入为正，支出为负；以盈余为正，亏欠为负在古代农业活动中，以增产为正，减产为负中国人使用负数在世界上是首创?有理数的乘除法 有理数的乘法我们已经熟悉正数及的乘法运算与加法类似，引入负数后，将出现（），（），（）（）这样的乘法该怎样进行这一类的运算呢？观察下面的乘法算式，你能发现什么规律吗？，可以发现，上述算式有如下规律：随着后一乘数逐次递减，积逐次递减要使这个规律在引入负数后仍然成立，那么应有：（），（），（）观察下面的算式，你又能发现什么规律？，可以发现，上述算式有如下规律：随着前一乘数逐次递减，积逐次递减?要使上述规律在引入负数后仍然成立，那么你认为下面的空格应填写什么数？（），（），（）从符号和绝对值两个角度观察上述所有算式，可以归纳如下：正数乘正数，积为正数；正数乘负数，积是负数；负数乘正数，积也是负数积的绝对值等于各乘数绝对值的积利用上面归纳的结论计算下面的算式，你发现有什么规律？（），（），（），（）可以发现，上述算式有如下规律：随着后一乘数逐次递减，积逐次增加按照上述规律，下面的空格可以各填什么数？从中可以归纳出什么结论？（）（），（）（），（）（）可归纳出如下结论：负数乘负数，积为正数，乘积的绝对值等于各乘数绝对值的积一般地，我们有有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘任何数与相乘，都得例如，（）（），同号两数相乘?（）（）（），得正?，把绝对值相乘?所以（）（）?又如，（），我?（）（），我?，我?所以（）也就是：有理数相乘，可以先确定积的符号，再确定积的绝对值例计算：（）（）；（）（）；（）（）（）要得到一个数的相反数，只要将它乘解：（）（）；（）（）；（）（）（）例（）中，（）（），我们说和互为倒数一般地，在有理数中仍然有：乘积是的两个数互为倒数例用正负数表示气温的变化量，上升为正，下降为负登山队攀登一座山峰，每登高气温的变化量为，攀登后，气温有什么变化？解：（）答：气温下降 计算：（）（）；（）（）；（）（）（）；（）（）；（）（）；（）（）商店降价销售某种商品，每件降元，售出 件后，与按原价销售同样数量的商品相比，销售额有什么变化？写出下列各数的倒数：，?多个有理数相乘，可以把它们按顺序依次相乘观察下列各式，它们的积是正的还是负的？（），（）（），（）（）（），（）（）（）（）几个不是的数相乘，积的符号与负因数的个数之间有什么关系？几个不是的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数例计算：（）（）（）（）；（）（）（）多个不是的数相乘，先做哪一步，再做哪一步？解：（）（）（）（）；（）（）（）你能看出下式的结果吗？如果能，请说明理由（）（）几个数相乘，如果其中有因数为，那么积等于?口算：（）（）（）；（）（）（）（）；（）（）（）（）（）；（）（）（）（）（）计算：（）（）（）（）；（）（）（）；（）（）（）（）（）像前面那样规定有理数乘法法则后，就可以使交换律、结合律与分配律在有理数乘法中仍然成立例如，（），犪犫也可以写为犪犫或犪 犫当用字母表示乘数时，“”号可以写为“”或省略（），即（）（）一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等乘法交换律：犪 犫犫 犪又如，（）（）（）（），（）（），即（）（）（）（）一般地，有理数乘法中，三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等乘法结合律：（犪 犫）犮犪（犫 犮）?再如，（）（），（），即（）（）一般地，有理数乘法中，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同运算律在运算中有重要作用，它是解决许多数学问题的基础这两个数相乘，再把积相加分配律：犪（犫犮）犪 犫犪 犮例用两种方法计算（）解法：（）（）解法：（）比较上面两种解法，它们在运算顺序上有什么区别？解法用了什么运算律？哪种解法运算量小？计算：（）（）（）（）；（）（）；（）（）（）；（）（）（）（）（）?有理数的除法怎样计算（）呢？根据除法是乘法的逆运算，就是要求一个数，使它与相乘得因为（）（），所以（）换其他数的除法进行类似讨论，是否仍有除以犪（犪）可以转化为乘犪？另一方面，我们有（）于是有（）（）式表明，一个数除以可以转化为乘来进行，即一个数除以，等于乘的倒数与小学学过的除法一样，对于有理数除法，我们有如下法则：除以一个不等于的数，等于乘这个数的倒数这个法则也可以表示成犪犫犪犫（犫）这是有理数除法法则的另一种说法从有理数除法法则，容易得出：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除除以任何一个不等于的数，都得例计算：（）（）；（）（）（）解：（）（）（）；（）（）（）（）（）?计算：（）（）；（）（）（）；（）（）；（）（）；（）（）；（）（）（）分数可以理解为分子除以分母例化简下列分数：（）；（）解：（）（）；（）（）（）因为有理数的除法可以化为乘法，所以可以利用乘法的运算性质简化运算乘除混合运算往往先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果例计算：（）（）（）；（）（）解：（）（）（）（）；（）（）?化简：（）；（）；（）计算：（）（）；（）（）（）（）；（）（）（）（）有理数的加减乘除混合运算，如无括号指出先做什么运算，则与小学所学的混合运算一样，按照“先乘除，后加减”的顺序进行例计算：（）（）；（）（）（）（）解：（）（）（）；（）（）（）（）（）计算：（）（）（）；（）（）（）；（）（）（）（）；（）（）（）（）例某公司去年月平均每月亏损 万元，月平均每月盈利万元，月平均每月盈利 万元，月平均每月亏损 万元这个公司去年总的盈亏情况如何？?解：记盈利额为正数，亏损额为负数公司去年全年盈亏额（单位：万元）为（）（）答：这个公司去年全年盈利 万元计算器是一种方便实用的计算工具，用计算器进行比较复杂的数的计算，比笔算要快捷得多例如，可以用计算器计算例中的（）（）如果计算器带符号键（），只需按键（）（），就可以得到答案 不同品牌的计算器的操作方法可能有所不同，具体参见计算器的使用说明用计算器计算：（）（）（）；（）（）（）；（）（）（）（）；（）（）（）（）习题 计算：（）（）（）；（）（）；（）（）；（）；（）（）；（）（）计算：（）（）；（）（）（）；（）；（）（）（）?写出下列各数的倒数：（）；（）；（）；（）；（）；（）计算：（）；（）（）；（）（）；（）（）（）；（）（）；（）填空：（）；（）；（）；（）；（）；（）；（）；（）化简下列分数：（）；（）；（）；（）计算：（）（）；（）（）（）；（）（）（）；（）（）（）；（）（）（）（）；（）（）；（）（）（）（）；（）（）（）计算：（）（）（）；（）（）（）（）（）；（）（）（）（）（）；（）?用计算器计算（结果保留两位小数）：（）（）（）；（）（）；（）（）（）；（）（）（）用正数或负数填空：（）小商店平均每天可盈利 元，一个月（按 天计算）的利润是元；（）小商店每天亏损 元，一周的利润是元；（）小商店一周的利润是 元，平均每天的利润是元；（）小商店一周共亏损 元，平均每天的利润是元 一架直升机从高度为 的位置开始，先以 的速度上升，后以 的速度下降 ，这时直升机所在高度是多少？用“”“”或“”号填空：（）如果犪，犫，那么犪犫，犪犫；（）如果犪，犫，那么犪犫，犪犫；（）如果犪，犫，那么犪犫，犪犫；（）如果犪，犫，那么犪犫，那么犪犫 计算，（），（）联系这类具体的数的乘法，你认为一个非有理数一定小于它的倍吗？为什么？利用分配律可以得到（）如果用犪表示任意一个数，那么利用分配律可以得到犪犪等于什么？计算（），（），（）（）联系这类具体的数的除法，你认为下列式子是否成立（犪，犫是有理数，犫）？从它们可以总结什么规律？（）犪犫犪犫犪犫；（）犪犫犪犫?翻牌游戏中的数学道理桌上有张正面向上的扑克牌，每次翻动其中任意张（包括已翻过的牌），使它们从一面向上变为另一面向上，这样一直做下去，观察能否使所有的牌都反面向上？你不妨动手试一试，看看会不会出现所有牌都反面向上事实上，不论你翻多少次，都不能使张牌都反面向上从这个结果，你能想到其中的数学道理吗？如果在每张牌的正面都写，反面都写，考虑所有牌朝上一面的数的积开始张牌都正面向上，上面的数的积是每次翻动张，就是说有张牌同时改变符号，这能改变朝上一面的数的积是这一结果吗？张牌都反面向上时，上面的数的积是什么数？这种现象为什么不能出现？你能解释为什么不会使张牌都反面向上了吗？如果桌上有任意奇数张牌，猜想结果会是怎样？?有理数的乘方 乘方前面学了有理数的乘法，下面研究各个乘数都相同时的乘法运算我们知道，边长为的正方形的面积是（）；棱长为的正方体的体积是（），都是相同因数的乘法为了简便，我们将它们分别记作，读作“的平方”（或“的二次方”），读作“的立方”（或“的三次方”）同样：（）与一样吗？为什么？（）（）（）（）记作（），读作“的四次方”；（）（）（）（）（）记作（），读作“的五次方”指数底数幂一般地，狀个相同的因数犪相乘，即犪犪烐烏烑犪狀个，记作犪狀，读作“犪的狀次方”求狀个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂（）在犪狀中，犪叫做底数（），狀叫做指数（），当犪狀看作犪的狀次方的结果时，也可读作“犪的狀次幂”例如，在中，底数是，指数是，读作“的次方”，或“的次幂”一个数可以看作这个数本身的一次方例如，就是指数通常省略不写因为犪狀就是狀个犪相乘，所以可以利用有理数的乘法运算来进行有理数的乘方运算?例计算：（）（）；（）（）；（）（）解：（）（）（）（）（）；（）（）（）（）（）（）；（）（）（）（）（）从例，你发现负数的幂的正负有什么规律？当指数是数时，负数的幂是数；当指数是数时，负数的幂是数根据有理数的乘法法则可以得出：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数显然，正数的任何次幂都是正数，的任何正整数次幂都是例用计算器计算（）和（）解：用带符号键（）的计算器（）显示：（）（）显示：（）所以（），（）（）（）中，底数、指数各是什么？（）（）中 叫做什么数？叫做什么数？（）是正数还是负数？计算：（）（）；（）（）；（）；（）（）；?（）；（）（）；（）（）；（）（）用计算器计算：（）（）；（）；（）；（）（）做有理数的混合运算时，应注意以下运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；同级运算，从左到右进行；如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行例计算：（）（）（）；（）（）（）（）（）（）解：（）原式（）（）；（）原式（）（）（）（）（）例观察下面三行数：，；，；，（）第行数按什么规律排列？（）第行数与第行数分别有什么关系？（）取每行数的第 个数，计算这三个数的和分析：观察，发现各数均为的倍数联系数的乘方，从符号和绝对值两方面考虑，可发现排列的规律解：（）第行数是，（），（），（），（）对比两行中位置对应的数，可以发现：?第行数是第行相应的数加，即，（），（），（），；对比两行中位置对应的数，可以发现：第行数是第行相应的数的 倍，即，（），（），（），（）每行数中的第 个数的和是（）（）（）（）计算：（）（）（）；（）（）（）；（）（）；（）（）（）（）科学记数法现实中，我们会遇到一些比较大的数例如，太阳