青岛版8年级数学上册【高清教材】.pdf

八年级 上册义 务 教 育 教 科 书 数 学QINGDAOCHUBANSHE书 名 义务教育教科书 数学（八年级上册）主任编编 展 涛出版发行 青岛出版社社 址 青岛市海尔路182号（266061）本社网址 http:/责任编辑 刘海波 戴振宇美术编辑 路渊源制 版 济南汇海科技有限公司印 刷 昌邑市新华印刷有限公司出版日期 2013年6月第2版 2021年6月第17次印刷开 本 16开（787mm1092mm）印 张 12.25字 数 190千字书 号 ISBN978-7-5436-3324-7定 价 11.33元编校质量、盗版监督服务电话 4006532017（0532）68068670青岛版图书售出后如发现质量问题，请寄回青岛出版社印刷物资处调换。电话：（0532）68068629亲爱的同学：祝贺你进入新的学年，登上一个新的起点。这本新的数学教科书将继续伴你成长，与你一起走进新的数学天地，探索数学世界中新的奥秘。你的数学视野会进一步扩大，你将迎接一些新的挑战，进一步体验、感受、品味数学的美妙，享受学习数学的乐趣。在生活中，你见过各式各样的图形，你知道什么是全等形吗？全等是进一步研究图形及其性质的基础。你将经历观察、实验、归纳、猜想、探索过程，掌握三角形全等的性质和条件，并开始接触尺规作图。轴对称图形与成轴对称的现象随处可见，给我们带来美的享受。你知道轴对称图形的性质吗？你会用尺规作线段的垂直平分线与角的平分线吗？本册将帮你解答这些问题。在已学过的平面图形的基础上，你将开始学习推理和证明。从几个基本事实出发，证明有关角、平行线、三角形等一些简单几何图形的性质和判定方法，进一步学会合乎逻辑的思考，理解证明的必要性，做到言之有理，落笔有据。你知道怎样描述一组数据的集中趋势吗？你能用平均数、中位数和众数对实际问题作出解释吗？一组数据的离散程度怎样描述？在本册中你将会用方差对数据的波动大小进行判断，帮助你在掌握这些知识的同时，初步形成统计的观念。你知道分式吗？在学习了整式的基础上，本册将带你结识新的朋友分式。通过与分数类比，你将学习分式的基本性质和分式的加、减、乘、除运算等，并会利用分式方程解决一些实际问题。数学世界是五彩缤纷的百花园，它的大门对每一位同学都是敞开的。一分耕耘，一分收获，只要你肯付出辛勤的劳动，勤于观察，勤于动手，勤于思考，勤于交流，你将会得到丰厚的回报。现在就让我们走进八年级数学的新天地，继续探索数学的奥秘吧！目 录12481825283034404551556368707578828594102109目 录第 1 章 全等三角形 1.1 全等三角形 1.2 怎样判定三角形全等 1.3 尺规作图 回顾与总结第 2 章 图形的轴对称 2.1 图形的轴对称 2.2 轴对称的基本性质 2.3 轴对称图形 2.4 线段的垂直平分线 2.5 角平分线的性质 2.6 等腰三角形 回顾与总结第 3 章 分 式 3.1 分式的基本性质 3.2 分式的约分 3.3 分式的乘法与除法 3.4 分式的通分 3.5 分式的加法与减法 3.6 比和比例 3.7 可化为一元一次方程的分式方程 回顾与总结112114120124130134142144148152154157161166170175189第 4 章 数据分析 4.1 加权平均数 4.2 中位数 4.3 众 数 4.4 数据的离散程度 4.5 方 差 4.6 用计算器计算平均数和方差 回顾与总结综合与实践 由 1 拃长引发的探索第 5 章 几何证明初步 5.1 定义与命题 5.2 为什么要证明 5.3 什么是几何证明 5.4 平行线的性质定理和判定定理 5.5 三角形内角和定理 5.6 几何证明举例 回顾与总结目 录2第1章 全等三角形23第1章 全等三角形4（1）分别观察下面的三组图片，你有什么发现？如果将每组中的两张图片用适当的方式叠合在一起，它们能够完全重合吗？1.1 全等三角形图 1-1（2）观察图 1-2，你发现图中左、右两个图形的形状和大小分别有怎样的关系？如果我们用纸将这两个图形复制后剪下来，把其中的一个放到另一个上，使它们适当地叠合在一起，那么可以发现这两个图形也能够完全重合.也就是说，这两个图形的形状相同，大小相等.（3）在现实生活中，你能举出能够完全重合的两个平面图形的例子吗？与同学交流.能够完全重合的两个平面图形，叫做全等形（congruent figures）.全等形的形状相同，大小相等.图 1-2（1）用硬纸片任意剪一个三角形，记为ABC.然后用它做模板，沿着它的边观察与思考实验与探究邮票剪纸印章上面每组图片中的两张图形都能够完全重合.51.1 全等三角形ABCABC图 1-3由画图过程可知，这两个三角形能够完全重合，所以它们是全等形.能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形（congruent triangles）.（2）当图 1-3 中的两个全等三角形完全重合时，你能说出它们的哪些顶点、哪些边、哪些角分别重合吗？当两个全等三角形完全重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点（corresponding points），互相重合的边叫做对应边（corresponding sides），互相重合的角叫做对应角（corresponding angles）.在图 1-3 中，点 A 与点 A，点 B 与点 B，点 C 与点 C 分别是对应顶点；边 AB 与 AB，AC 与 AC，BC 与 BC 分别是对应边；A 与A，B 与B，C 与C 分别是对应角.BCAEFD图 1-4对应角的顶点是对应顶点，以对应顶点为端点的边是对应边，对应边所对的角是对应角.ABC 与ABC 是全等三角形，记作ABC ABC，符号“”读作“全等于”.在书写两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，这样可以比较容易地找出全等三角形的对应边和对应角.例1 如图 1-4，已知ABC DEF，试写出这两个三角形的对应边和对应角.缘在纸上画出一个三角形 ，记为ABC（图 1-3），ABC 与ABC 是全等形吗？第1章 全等三角形6例2 如图 1-5，已知ABC DEF，写出这两个三角形中相等的边和相等的角.解 由ABC DEF 可知，这两个三角形的对应边分别相等，所以 AB=DE，AC=DF，BC=EF；它们的对应角分别相等，所以A=D，B=E，ACB=DFE.1.如图，已知ABC DEF，写出这两个三角形中的对应边和对应角.全等三角形的对应边相等，对应角相等.图 1-5BCAFDE解 在图 1-4 中，由ABC DEF 可知，点 A 与点 D，点 B 与点 E，点 C 与点 F 分别是对应顶点，从而边 AB 与 DE，AC 与 DF，BC 与 EF 分别是对应边；A 与D，B 与E，C 与F 分别是对应角.（3）观察图 1-3，ABC ABC，这两个全等三角形的对应边之间有什么大小关系？对应角呢？为什么？如图 1-6，已知ABC DCB，且 AB=7 cm，BD=5 cm，A=60，你能说出线段 DC，AC 的长和D 的大小吗？挑战自我练 习图 1-6BCDA（第 2 题）BCDAEFOABCD（第 1 题）73.填空：（1）如图，已知ABC ADE，AB=11 cm，CA=5 cm，那么 AD=_ cm，EA=_ cm.（2）如图，已知ABC CDA，BAC=85，ABC=30，那么DCA=，CDA=，BCA=，DAC=.1.1 全等三角形2.如图，AB 和 CD 相交于点 O，AOC BOD，写出这两个三角形中相等的边和相等的角.1.如图，已知ABF DCE，试写出这两个三角形中的对应边和对应角.2.如图，已知ABE ACD，试写出这两个三角形中相等的边和相等的角.复习与巩固CDEFBA（图 1 题）BCDAE（第 2 题）习题1.14.如图，已知ADF BED，BED CFE.写出图中相等的线段和相等的角.5.如图，已知ABE ACD.（1）如果BE=6，DE=2，求 BC 的长；拓展与延伸ABCDE（第 3（1）题）ABCD（第 3（2）题）BCDAEF（第 4 题）第1章 全等三角形8探索与创新6.用硬纸板任意剪一个三角形，用它做模板，在白纸上画出两个不重合的三角形，使它们分别满足：（1）有一条公共边；（2）有一个公共顶点；（3）有一个公共角.它们都全等吗？（1）只根据两个三角形有一对元素相等，能保证两个三角形全等吗？1.2 怎样判定三角形全等如果两个三角形能够重合，那么就可以判定这两个三角形全等.然而，判断两个三角形能否重合，我们只会通过叠合的方法去验证，运用时毕竟不太方便.是否有更简便、更适用的判定两个三角形全等的方法呢？一个三角形由六个元素组成，即三条边和三个角.当两个三角形全等时，它们的三条边分别对应相等，三个角也分别对应相等.反过来，如果两个三角形的三条边和三个角分别相等，那么把这两个三角形叠合后，它们能够重合，因此这两个三角形全等.这就是说，可以根据两个三角形中六对元素之间的相等关系，判定这两个三角形全等.问题是，最少几对元素相等，就可判定这两个三角形全等？实验与探究图 1-7ABCBCAABCBCDAE（第 5 题）（2）如果BAC=75，BAD=30，求DAE的度数.91.2 怎样判定三角形全等如图 1-7 ，在ABC 与ABC 中，BC=BC，将ABC 放到ABC 上，使 BC 与 BC 重合，由于不能保证点 A 与点 A 重合，因此不能保证ABC 与ABC 全等.如图 1-7 ，在ABC 与ABC 中，B=B，将ABC 放到ABC 上，使B 与B 重合，由于不能保证点 A 与点 A 重合，因此不能保证ABC 与ABC 全等.（2）只根据两个三角形有两对元素分别相等能保证两个三角形全等吗？如图 1-8 ，在ABC 与ABC 中，AB=AB，BC=BC，将ABC 放到ABC 上，使 AB 与 AB 重合，由于不能保证 BC 与 BC 重合，因此不能保证ABC 与ABC 全等.ABCABCABC图 1-8如图 1-8 ，在ABC 与ABC 中，BC=BC，B=B，将ABC 放到ABC 上，使 BC 与 BC 重合，B 与B 重合，由于不能保证 BA=B A，故不能保证点 A 与点 A 重合，因此不能保证ABC 与ABC 全等.如图 1-8 ，在ABC 与ABC 中，B=B，C=C，将ABC 放到ABC 上，使B 与B 重合，由于不能保证 BC=BC，故不能保证点 C 与点 C 重合，因此不能保证ABC 与ABC 全等.在两个三角形中，如果已知它们有两对元素分别相等，能否再添加一个适当的条件，从而保证这两个三角形全等吗？BCA第1章 全等三角形10（3）观察图1-8，在ABC 与ABC 中，AB=AB，BC=BC，如果再添加一个条件B=B（图 1-9），ABC 与ABC 全等吗？把ABC 放到ABC 上，使点 B 与点 B 重合，BC 落在 BC 上，点 A 与点 A 在 BC 的同侧，因为 BC=BC，所以点 C 与点 C 重合.因为 B=B，所以射线 BA 与 BA 重合.又因为 BA=BA，所以点 A 与点 A 重合.于是ABC 与ABC 重合，从而ABC 与ABC 全等.（4）由此你能得出什么结论？判定方法1 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.这个判定方法通常简写成“边角边”或“SAS”.例1 如图 1-10，已知 AB=AD，BAC=DAC，ABC 与ADC 全等吗？说明你的理由.解 ABC 与ADC 全等.理由是：在ABC 与ADC 中，因为 AB=AD，AC 是ABC 与ADC 的公共边，AC=AC，BAC 与DAC 分别是 AB 与 AC，DA 与 AC 的夹角，并且BAC=DAC，由 SAS，所以ABC ADC.例2 如图 1-11，为了测量池塘边上不能直接到达的两点 A，B 之间的距离，小亮设计了这样一个方案：先在平地上取一个能够直接到达点 A 与点 B 的点 C，然后在射线 AC 上取一点 D，使 CD=CA，在射线 BC 上取一点 E，使 CE=CB.测量 DE 的长，那么 DE 的长就等于 A，B 两点之间的距离.他的方案对吗？为什么？解 他的方案是对的.理由是：因为 CA=CD，CB=CE，ACB=DCE，由 SAS，所以ACB DCE.因此，DE 与 AB 相等.图 1-9AABBCCS 是英文 side（边）的第一个字母的大写，A 是英文 angle（角）的第一个字母的大写.小资料DACB图 1-10ABEDC图 1-11111.2 怎样判定三角形全等1.如图，已知 AB=DC，ABC=DCB，ABC 与DCB 全等吗？说明你的理由.2.如图，已知 AB=AD，AC=AE，ABE 与ADC 全等吗？说明你的理由.ABDCE（第 2 题）BCAD（第 1 题）练 习（1）再来观察图 1-8，在ABC 与ABC 中，BC=BC，B=B，如果再添加一个条件C=C（图 1-12），ABC 与ABC 全等吗？（2）把ABC 放在ABC 上，使点 B 与 B 重合，边 BC 落在 BC 上，点 A 与点 A 在 BC 的同侧.因为点 B 与点 B 重合，BC 落在 BC 上，由于 BC=BC，所以点 C 与点 C 重合.又因为B=B，所以射线 BA 与 BA 重合.添加条件C=C 后，射线 CA 与射线 CA 重合.因为 CA（CA）与 BA（BA）有且只有一个交点，所以点 A 与点 A 重合，即ABC 与ABC 重合.（3）由此你能得出什么结论？判定方法2 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.这个判定方法通常简写成“角边角”或“ASA”.例3 如图 1-13，已知ACB=DFE，B=E，BC=EF，那么ABC 与DEF 全等吗？为什么？实验与探究图 1-12BCAABC第1章 全等三角形12解 ABC 与DEF 全等.理由是：在ABC 与DEF 中，因为ACB=DFE，B=E，BC，EF 分别是B 与ACB，E 与DFE 的夹边，且 BC=EF，由 ASA，所以ABC DEF.因为B=B，A=A，C=180-（A+B），C=180-（A+B），所以C=C.ABFCED图 1-13交流与发现（1）继续观察图 1-8 ，在ABC 与ABC 中，BC=BC，B=B，如果添加条件A=A（图 1-14），这时边 BC 与A 什么关系？边BC 与A 呢？（2）C 与C 相等吗？为什么？（3）你能判定ABC 与ABC 全等吗？为什么？与同学交流.（4）由此你能得出什么结论？判定方法3 两角分别相等且其中一组等角的对边也相等的两个三角形全等.这个判定方法通常简写成“角角边”或“AAS”.因为B=B，BC=BC，C=C，根据ASA，所以ABC ABC.图 1-14AABBCC13挑战自我例4 如图 1-15，在ABD 与CDB 中，已知A=C，再添加一个什么条件，就可以判定ABD 与CDB 全等？解 由已知A=C，再添加1=2（或3=4），就可以判定ABD 与CDB 全等.理由是：在ABD 与CDB 中，因为A=C，1=2（或3=4），BD 分别是A 与C 的对边，又是ABD 与CDB 的公共边，BD =DB，由 AAS，所以ABD CDB.图 1-15AB1DC2341.在图 1-8 中，B=B，C=C，你能适当添加一个条件，使ABC ABC 吗？你有几种不同的添加方式？说明理由.2.如图，已知1=2，3=4，ABC 与ABD 全等吗？为什么？（第 2 题）ABCD1342如果两个三角形的三条边分别相等，这两个三角形全等吗？练 习1.2 怎样判定三角形全等小亮在学习了全等三角形的判定方法 2 和判定方法 3 后，他发现在这两个判定方法的条件中，相等的边可以是“两等角的夹边”，也可以是“一组等角的对边”，于是，他认为可以把这两个判定方法概括成“满足两角及一边分别相等的两个三角形全等”.你同意他的意见吗？如果不同意，请举例说明.（1）用三根木条制作一个三角形的架子（图 1-16），再用四根木条钉一个四边形的架子（图 1-17）.分别拉动这两个架子的边框，你有什么发现？三角形的架子由于它的三条边的长度固定，三个角的大小也随之固定，因此它的形状、大小没有发生变化.但四边形的架子虽然它的四条边的长度固定了，实验与探究第1章 全等三角形14三边分别相等的两个三角形全等.判定方法4 三边分别相等的两个三角形全等.这个判定方法通常简写成“边边边”或“SSS”.三角形的三条边的长度确定后，它的形状和大小就被确定了.三角形的这种特性叫做三角形的稳定性.而四边形的四条边的长度确定后，它的形状大小不能确定.四边形的这种特性，叫做四边形的不稳定性.三角形的稳定性和四边形的不稳定性在生活及生产实际中都很有用处.如在盖房子时，为了使木门框在砌墙的过程中不容易变形，先在门框上斜着钉上木条（图 1-18）.自行车的车架（图 1-19）、斜拉式大桥的架构（章头图）等都采用三角形结构，也是这个道理.而电动推拉门（图1-20）的原理则应用了四边形的不稳定性.（2）如果再取与图 1-16 中的三根木条分别相等的木条，再制作一个三角形的架子，这两个三角形架子的形状、大小相同吗？如果把其中一个三角形架子叠放在另一个三角形架子上，它们能重合吗？（3）通过这个实验，你能得出什么结论？但它的四个角的大小并没能随之固定.因而拉动边框时，它的形状、大小可以改变（图 1-17）.图 1-18图 1-19图 1-20 电动推拉门图 1-16图 1-17151.2 怎样判定三角形全等例5 如图 1-21，已知 AD=CB，AB=CD.那么A=C 吗？为什么？解 A=C.理由是：因为AD=CB，AB=CD，BD=DB，由 SSS，所以ABD CDB.因此，A 与C 相等.图 1-21DBAC例6 如图 1-22，已知AB=ED，BC=DF，AE=CF.（1）AC 与 EF 相等吗？（2）指出ABC 与EDF 中互相平行的边，并说明理由.解（1）因为 AE=CF，所以 AE+EC=CF+EC，从而 AC=EF.（2）ABED，BCDF.理由是：因为 AB=ED，BC=DF，AC=EF，由 SSS，所以ABC EDF.于是A=DEF，ACB=EFD，所以 ABED，BCDF.通过实验和探究，我们知道，判定两个三角形全等，除了用定义以外，还有四个判定方法.你发现这四个判定方法有什么共同特点？与同学交流.在两个三角形中，已知两个三角形的六对元素中的下列三对元素分别相等，即 SAS，ASA，AAS，SSS，就可判定它们全等.但并不意味着两个三角形中的任意三对元素分别相等，就能保证这两个三角形全等.例如图 1-23，在ABC 与ABC 中，AC=AC，AB=AB，B=B，但AA，ABC 与ABC 不可能完全重合.显然它们不全等.另外，本章第 13 页“挑战自我”中提出的问题，也是不能保证两个三角形全等的例子.三个角分别相等的两个三角形全等吗？画出图形，试一试.图 1-22AFBCED图 1-23ABCBCA判定两个三角形全等的条件，也是确定一个三角形的条件.这就是说，如果一个三角形两边及其夹角，两角及其夹边，两角及其中一角的对边或三边确定后，那么这个三角形的形状和大小也就完全确定了.第1章 全等三角形161.（1）底边及一腰分别相等的两个等腰三角形全等吗？为什么？（2）两腰分别相等的两个等腰三角形全等吗？为什么？（3）一边相等的两个等边三角形全等吗？为什么？2.如图，已知 AB=CB，AD=CD.A 与C 相等吗？为什么？3.举出应用三角形稳定性和四边形不稳定性的实例.1.如图，AC=DF，ACDF，BE=CF.（1）BC 与 EF 相等吗？为什么？（2）ABC 与DEF 是否全等？为什么？2.如图，已知点 E、F 在 BC 上，AF=AE，1=2，BA=CA.AFB 与AEC 是否全等？为什么？3.如图，已知B=C，AB=AC.ABE 与ACD 是否全等？为什么？4.如图，已知点 B，F，C，E 在同一条直线上，BC=EF，ABDE，ACDF，ABC 与DEF 是否全等？为什么？5.如图，已知 D 是ABC 的边 AB 上一点，DF 交 AC 于点 E，DE=FE，FCAB.ADE 与CFE 是否全等？为什么？（第 1 题）ADBFECA12BCEF（第 2 题）（第 3 题）ADEBCABFECD（第 4 题）（第 5 题）AFBDEC复习与巩固练 习习题1.2（第 2 题）BACD6.在ABC 与ABC 中，具备下列条件中的哪三个条件就能保证ABC ABC？AB=AB；BC=BC；AC=AC；A=A；B=B；C=C.171.2 怎样判定三角形全等7.如图，AB=AC，AD 为ABC 的 BC 边上的中线，ABD 与ACD 全等吗？为什么？ABDC（第 7 题）10.如图，ABC BAD.（1）指出这两个三角形中相等的边和相等的角；（2）OAC 与OBD 全等吗？为什么？拓展与延伸（第 8 题）ABEC12DF（第 9 题）ABCDEABCDO（第 10 题）11.如图，已知 ABAC，AB=AC，DE 过点 A，且CDDE，BEDE，垂足分别为点 D，E.（1）DCA 与EAB 相等吗？说明理由；（2）ADC 与BEA 全等吗？说明理由.12.如图，在四边形 ABCD 中，CDAB，（1）如果 AB=CD（图），能判定ABC 与CDA 全等吗？为什么？（2）如果 AD=BC，但 ABCD（图），能判定ABC 与CDA 全等吗？为什么？（3）如果 O 是 AC 的中点，EF 过点 O 分别交 AB，CD 于点 E，F.不论是否有AB=CD，COF 与AOE 全等吗？为什么？探索与创新8.如图，1=2，BC=EF.需要添加一个怎样的条件，才能使ABC DEF？9.如图，已知 DAAB，EAAC，且 DA=BA，EA=CA，ADE 与ABC 全等吗？为什么？DCBAE（第 11 题）（第 12 题）ABDCFEOABDCFEO第1章 全等三角形18交流与发现1.3 尺规作图（1）在七年级上册我们学习过“用直尺和圆规作一条线段，使它等于已知线段”.如图 1-24，已知线段 a，回忆一下，你是怎样用不带刻度的直尺和圆规作出线段 AB=a 的？做一做.（2）你能说明上面作图的道理吗？与同学交流.用直尺作射线 AC，以点 A 为圆心，线段 a 为半径画弧，可以作出弧与射线 AC 的交点 B，因为这条弧上的所有点到点 A 的距离都等于 a 的长，所以AB=a.因此线段 AB 即为所求作的线段.a图 1-24（3）再用刻度尺画一条线段使它等于已知线段 a，比较你先后得到的两条线段，你认为用哪种方式绘制的图形是精确的，哪种方式是近似的？研究几何图形，就离不开画图.人们发现利用刻度尺、量角器等工具所绘制的图形都只能是近似的.为了精确作图，古代数学家提出了在画几何图形时，只允许用直尺（没有刻度）和圆规这两种工具的限制.这一类问题，叫做尺规作图（construction with ruler and compasses）.在尺规作图时，用直尺可以作经过任意一点的直线；也可以以任意一点为端点作射线；用直尺连接两个点可以作一条线段；可以作经过这两点的直线；可以以其中一点为端点作经过另一点的射线；也可以用直尺把线段向两个方向任意延长.以任一点为圆心，以任意长为半径，用圆规可以作一个圆或一段弧.直尺和圆规交替使用，可以解决许多几何作图问题.上面（1）中的“用直尺和圆规作一条线段，使它等于已知线段”，就是一个范例.（4）如图 1-25，已知AOB，你能用直尺和圆规作一个角AOB，使AOB=AOB 吗？OAB图 1-25191.3 尺规作图要作AOB=AOB，就要设法利用直尺和圆规将AOB 放到一个三角形中，使它成为三角形的一个内角，然后再利用直尺和圆规作出一个与它所在的三角形全等的三角形，该三角形中AOB 的对应角，就是所求作的角.已知：AOB（图 1-25）.求作：AOB，使AOB=AOB.作法 任取一点 O，作射线 OA；以点 O 为圆心，以任意长为半径作弧，交 OA 于点 C，交 OB 于点 D（图 1-26）；以点 O 为圆心，以 OC 为半径作弧，交射线 OA 于点 C（图 1-26）；以点 C 为圆心，以 CD 为半径作弧，与前弧交于点 D（图 1-26）；过点 D 作射线 OB.AOB 就是所求作的角（图 1-26）.（5）你能说出AOB=AOB 的理由吗？与同学交流.图 1-26OABDCOABDCOACOADC最基本、最常用的尺规作图，称为基本作图.“作一条线段等于已知线段”和“作一个角等于已知角”都是基本作图.1在图 1-26 与中，分别连接 CD 与 CD.由 SSS可知，COD COD，所以AOB=AOB.1 本教科书中的基本作图共有 5 种，另外三种基本作图将在本册第 2 章中给出.第1章 全等三角形20OACD（第 1 题）（第 2 题）1.如图，在AOD 的内部作射线 OB，使AOB=COD 1.2.如图，已知 和，求作，使=+.1 本书练习、习题中所有作图题，只保留作图痕迹，不要求写出作法.尺规作图早在公元前 5 世纪左右，古希腊的数学家们就提出了尺规作图问题，即几何作图只允许使用任意开度的圆规和无刻度的、任意长的直尺.古希腊数学家、哲学家、教育学家柏拉图（Plato，公元前 427 年前 347 年）也主张几何作图的工具应只限于尺规，他认为用其他工具作图很难达到训练抽象思维的目的.由于这种限制，产生了著名的几何作图三大问题：三等分角问题、倍立方体问题、化圆为方问题.两千多年来，一代又一代的数学家们曾为解决这三大问题绞尽脑汁，伤透脑筋，但都不得其解.直至19世纪才有人证明了这三个问题都是尺规作图的不可能问题，即不可能有限次地使用尺规画出符合要求的图形.但是历史上对这些问题的探究，也推动了数学的进步和发展，开创了许多新的数学理论.柏拉图史海漫游练 习（1）如图 1-27，ABC 中有六个元素，只要已知其中的哪几个元素就可作出这个三角形呢？与同学交流.实验与探究ABcbaC图 1-27211.3 尺规作图利用基本作图 1，可以先作出一条线段，例如 BC=a，这样便确定了所求作的三角形的两个顶点 B，C，如何确定第三个顶点 A 呢？第三个顶点到点 B 的距离是 c，到点 C 的距离是 b，所以它既在以点 B 为圆心，以 c 为半径的圆上，又在以 C 为圆心，以 b 为半径的圆上，两圆的交点便是第三个顶点 A.已知：线段 a，b，c（图 1-28）.求作：ABC，使 BC=a，AB=c，AC=b.作法 如图 1-29.作线段 BC=a；分别以 B，C 为圆心，以 c，b 为半径在 BC 的同侧作弧，记两弧的交点为 A；连接 AB，AC.ABC 就是所求作的三角形.（3）图 1-29 是以 B，C 为圆心，c，b 为半径作弧在 BC 所在直线的上方相交的情况，是否可能在 BC 所在直线的下方相交？如果可能，所得到的三角形与ABC 全等吗？为什么？知道ABC 的六个元素中的某三个元素，根据确定三角形的条件，以下四种情况可作出ABC：已知三边；已知两边及其夹角；已知两角及其夹边；已知两角和其中一角的对边.（2）利用你学过的基本作图，已知三边分别为 a，b，c（图 1-28），如何作三角形？与同学交流.ABC图 1-29abc图 1-28第1章 全等三角形22（4）利用你学过的基本作图，已知两边及其夹角，例如已知 a，c 和（图 1-30），如何作ABC，使B=，AB=c，BC=a 呢？与同学交流.已知三条线段 a，b，c，作ABC，使 AB=c，BC=a，AC=b 时，对 a，b，c 三条线段的大小有没有限制？如果有，a，b，c 的大小应当满足什么条件？利用尺规作图：1.如图，已知线段 a，求作边长等于 a 的等边三角形.2.如图，已知线段 a，求作ABC，使A=，AB=AC=a.aa（第 2 题）（第 1 题）先作 B=，这样便确定了所求作的三角形的顶点 B.以 B 为线段的一个端点，在B 的两边上分别截取线段 AB=c，BC=a，便得到三角形另外两个顶点 A，C，于是ABC 便可作出.练 习挑战自我已知：线段 a，c，（图 1-30）.求作：ABC，使 BC=a，B=，AB=c.作法 如图 1-31.作B=；在 B 的一边上截取 BC=a，在另一边上截取BA=c；连接 AC .ABC 就是所求作的三角形.（5）在上面的作图步骤中，分别用到了哪些基本作图？BAC图 1-31ac图 1-30231.3 尺规作图图 1-32图 1-33BADEC实验与探究（1）利用基本作图，已知两角及它们的夹边，例如已知，和线段 a（图 1-32），如何作ABC，使B=，C=，BC=a 呢？与同学交流.利用基本作图 1，先作线段 BC=a，便确定了三角形的两个顶点 B，C.然后分别以 B，C 为角的顶点，BC（或CB）为一边，在 BC 同侧分别作角，使它们分别等于，两角的另一边的交点就是三角形的第三个顶点 A.作法 如图 1-33.作线段 BC=a；在 BC 的同侧作CBD=，BCE=，记 BD 与 CE 的交点为 A.ABC 就是所求作的三角形.（2）利用基本作图，如果已知两角及其中一角的对边，例如已知，和线段 c，如何作ABC，使B=，C=，AB=c？与同学交流.a已知：，线段 a（图 1-32）.求作：ABC，使 BC=a，B=，C=.假 设 A B C 已 经 作 出（图1-34），其中B=，C=，AB=c，根据三角形内角和的性质，那么A=180-（+）.而且 c 是A 和B 的夹边.ABCc图 1-34第1章 全等三角形24由已知，利用尺规可以作出A=180-（+），于是问题就转化成已知两角及其夹边作三角形的问题了.（3）请你用尺规完成（2）中的作图.挑战自我练 习ba（第 1 题）已知两边及其中一边的对角，例如已知，线段 b 和 c（图 1-35）.能作ABC，使B=，AB=c，AC=b 吗？如果能作，可以作出几个满足上述条件的不同的三角形？1.如图，已知，线段 a，b，求作：ABC，使A=，B=，AB=a+b.2.完成第 23 页（2）的作图：如图，已知，和线段 c，求作：ABC，使B=，C=.AB=c.（第 2 题）c利用尺规，完成下列作图：1.如图，已知 是一个锐角，求作：，使=2.复习与巩固习题1.3图 1-35cb25（第 1 题）（第 2 题）3.如图，已知线段 a，b，求作：ABC，使 AB=AC=a，BC=b.4.如图，已知，线段 a.（1）求作：ABC，使 BC=a，B=C=；（2）求作：ABC，使 AB=AC=a，B=.（第 3 题）ab（第 4 题）a5.如图，已知直线 AB 和直线 AB 外的一点 P.你能利用尺规过点 P 作直线 CD，使 CDAB 吗？试一试.6.（1）如图，已知直线 l 及 l 外一点 A.求作等腰三角形ABC，使底边 BC 在直线 l 上.你能作出几个满足条件的三角形？（2）如图，已知直线 l 上的一点 B 及 l 外一点 A，求作等腰三角形 ABC，使它的腰为 AB，顶点 C 在 l 上.你能作出几个满足条件的三角形？（第 5 题）ABP拓展与延伸探索与创新2.如图，已知 和，求作：，使=-.（第 6（1）题）lAlAB（第 6（2）题）回顾与总结1.本章学习的主要内容是什么？总结一下，与同学交流.2.什么叫全等形？两个图形的全等，与它们的位置有关吗？3.什么是全等三角形？什么是全等三角形的对应顶点、对应边、对应角？举例说明.回顾与总结第1章 全等三角形26复习与巩固1.填空：（1）如图，已知ABC ADE.则图中与 AB 相等的线段是；如果BAE=135，BAD=40，那么BAC=.（2）在ABC 和ABC 中，已知A=A，AB=AB，要使ABC ABC，应添加的条件是 .（第 1（1）题）ABDEC2.如图，AEBE，AFCF，B=C，AE=AF.（1）BE 与 CF 相等吗？为什么？（2）1 与2 相等吗？为什么？（3）ACN 与ABM 全等吗？为什么？3.填空：如图，已知 AB=AD，BC=DC.图中共有 对全等三角形，它们分别是 .4.如图，M 为ABC 的边 BC 的中点，CDAM，BEAM，AECM12BFN（第 2 题）综合练习AECMDB（第 4 题）（第 3 题）AEDCB4.判定两个三角形全等，除按照定义外，可以从三角形的六个元素中，根据其中的某三对元素分别相等加以判定.有 4 个判定方法，分别是：判定方法 1：；判定方法 2：；判定方法 3：；判定方法 4：.5.在什么情况下，由两个三角形的三对元素分别相等不能判定这两个三角形全等？6.什么是尺规作图？你学过了哪两种基本作图？如何利用基本作图根据已知三边、两边及其夹角或两角及其夹边作三角形？27回顾与总结ACB（第 10 题）DE6.如图，由ABD ACE，能判定OBE OCD 吗？为什么？7.如图，在ABC 与ADE 中，已知 AB=AD，1=2.再添加一个什么条件，可使ABC ADE？说明理由.8.如图，已知 ABFC，点 E 是 DF 的中点.AB=15，CF=8，求 BD 的长.（第 7 题）（第 8 题）A12EDCBADECBF9.（1）如图，在ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，点 E 在 AD 的延长线上，且 AD =DE.ACD 与EBD 全等吗？为什么？（2）已知线段 b，c，m（图），求作：ABC，使 AC=b，AB=c，BC 边上的中 线 AD=m.10.如图，已知ABC，作 DE=BC.再以 DE 为边，作出所有与ABC 全等的三角形，这样的三角形可以作几个？EBCD（第 9 题）Abcm垂足分别为点 D 和点 E.BE 和 CD 相等吗？为什么？5.如图，已知线段 a，b，.求作：ABC，使 BC=a，AB=b，B=2.拓展与延伸探索与创新（第 5 题）ab（第 6 题）CDOABE第2章 图形的轴对称2829第2章 图形的轴对称302.1 图形的轴对称（1）如图 2-1，在纸上画出ABC 与一条直线 l，你能以直线 l 为折痕，通过折叠，得到一个与ABC 全等的三角形吗？试一试.把ABC 沿直线 l 折叠.然后在ABC 的顶点 A，B，C 处用大头针各扎出一个小孔.将纸展开，这时相应地得到了三个小孔.把与点 A，B，C 对应的小孔分别记作 A，B，C.连接 AB，BC，CA，便得到ABC（图 2-1）.（2）你发现ABC 与ABC 全等吗？为什么？lACBAACBCBl图 2-1（3）如图 2-2，在纸上作出一条直线 l，在 l 的一侧画出五角星图案.你能以直线 l 为折痕，用折叠的方法，得到一个与它全等的五角星吗？过去我们已经认识了轴对称现象.你能举出生活中轴对称现象的例子吗？l图 2-2实验与探究因为折叠后，点 A，B，C 分别与点 A，B，C 重合，从而 ABC 与ABC 重合，因此 ABC ABC.312.1 图形的轴对称把一个图形沿某条直线折叠后，得到另一个与它全等的图形，图形的这种变化叫做轴对称（axis symmetry）.这条直线叫做对称轴（axis of symmetry）.（4）观察图 2-3 中的两个图案，把其中一个图案以直线 l 为对称轴，经过轴对称后，能与另一个图案重合吗？图 2-3、图 2-3 呢？图 2-3成轴对称的两个图形是全等形，但是全等形不一定是轴对称图形.一个图形以某条直线为对称轴，经过轴对称后，能够与另一个图形重合，就说这两个图形关于这条直线成轴对称，重合的点叫做对应点.特别地，如果两个点关于一条直线成轴对称，其中一个点叫做另一个点关于这条直线的对称点（symmetric points）.在图 2-3 中的两个图案，都分别关于图中的直线 l 成轴对称.在图 2-1 中，ABC 与ABC 关于直线 l 成轴对称，直线 l 是对称轴，点 A，B，C 的对应点分别是 A，B，C；点 A，B，C 的对应点分别是 A，B，C.（5）成轴对称的两