北师大高中数学选修3-4 对称与群(1).pdf

经全国中小学教材审定委员会2006年初审通过普通高中课程标准实验教科书莖学)C选修3-4)对称与群SHURUE北京年彩大婆出版社目录引言第一章平面图形的对称性(2)令1口百图形的对称性(2)以题1一1小(8)$2变换与平面图形的对称生(10)习题1一215)阅读材料答臣变换16)3变换的合成“18)习题1一324)4恒等变换，可逆变换(26)习颗1一4.5.28)复题一沙)第二章平面图形的对称群(30)1显面图形的对称群30)习颗213)阅读材料138)阅读材料2434)令2有向正多边形的对你群35)习颗2一2(37)3正多达形的对称拼38)习题2一344444444t444+441t4t4444444+,11）复习题二第三章置挽4)1置换与置换群无44)习题3一149)1餐2多百体的对你性群50)习胞3一2(54)3多项式的对称性55)习题3一34(58)阅读材料伽罗瓦理论4404+t4440t。40+441+4+4+144+0t4+4+14+4+40+0t4444+,t4040+4(59)4群的定义6)习题15)复习题三6到)复习小结建议55)附录1部分数学专业词汇中英文对照表44+4+4466)附录2信急检索网址导引67)2引言引言在这个丰富多彩的世男里，存在着各种美丽的对称图形：品莹的雪花、明亮的窗户、皎洁的圆月，精致的五角星等。从建筑物的外形到日常生汪用品，从动植物的外貌到生物有矶体的构造，从化合物的组成到分了晶体的津布，无不蕴涵着对称.毫不夸张地说，白然界的对称可以从亚原子微粒的结构到整个宁宙结构的每一尺度上找到.更让人馆奇的是，物理学家发剪宇山间普道子在的许多于恒定律本质上都是一种称，这使得人类用以理解世界、探索宇宙的思推深刻了几许.可以说，对称这和现象既普端又重要很自然地，我们会问：能否月数学工具来研究它呢？德国著名数学家外尔H.Weyl,1885一1955)给了我们肯定的回答：“对称是一个广阔的主题，在艺术和自然两个方胥都意义重大，数学则是它的根本.”这个“根本”的数学杪念就是“并”，木专题线们将从平面的对称性出发，利用“群”这个有力工具来研究、体会数学是怎样夹划画生活中的普遍现象一对称现象的在本专题的学习过程中，需要注意的是：我们头脑中以往的对称桃念能还处，一种静止的状态，还属丁审美的、朴东的观念；而当升尔(H.y,1835我们用“栏”这个数学工具来研究对称时，需要让我们的思维运动起1，德国方名数半家若有黎曼山闻的思想.具来，让图形运动起来，这样我们才能直正山“对称”数量化、数学化，从型群学重累著作而抓住“对称”的本质特征选修3一4对称与群第一章平面图形的对称性本章我们将学习四种基本的对称变挨：反射变挨、旋转变换、平移变换以及潜动反射变换，这些变换刻画了所有平面图形的对称性：我们还将认识到这些变换的统导征，即它们都是等距变换；最后我们将讨论变换的运算以及运算过涅中所满足的一股规律.1平面图形的对称性在初中，我们学过轴对称图形和中心对称图形，图1-1给出了一些这样的例子，安函人(3)(5)火工丸等(6110)图111.1轴对称图形与反射变换果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁钓部分能够互相重合，那么这个形叫作轴对称图形，这条直线叫作对称轴，例如，等服三角形是一个轴对称图形，底边上的高线（高所在直线）是对称2第一章平面图形的对称性知，我们也说，等腰三角形关于底边上的高线是对称的抽象概括轴对你图形可以看作是通过一个镜面反射得到的.下面我们给出“反射变换”的定义，用它来盐述袖对称图形在平血上，若直线1垂直平分线段PP,就称，点P和点P关十直线是对称的，或者说，点P关于直线1的对称点是点P,平面的反射变换：将平面的每个点变成该点关于一条定直线的-对称点，对立百的这种操作就确定了平面上点与点之间的一个对应关系，称为立白关十定宜线的反射变换（见图【-2）.0-1-2在图1-3中，点A和点B分别是点A和点B关于y轴的对称点，点C与点C分别是位于线段AB,AB上的关于y轴的对称点显然，线段KABI=|AB1,/ACB=/ACB.图1-2y图1-3平面的反射变换把直线变成吉线，把平行直线李成平行直线，把线段变成等长的线段，把角变成等角总之，立面的反射变换保诗图形的形状和大小不变在平面上，如果存在关于一条直线的反射变换，使一个图形经过该反射变换后能与白己重合，就称这个图形是轴对称图形，这条直线足它的对称轴，还称这个反射变换是该图形的个“反射对称性变换”，也说该图形有一个“反射对称”1.2中心对称图形与旋转变换在平而内，一个图形绕定点旋转180，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫作中心对称图形，这个点叫作它的对称中心，例如，立行四边形是一个中心对称图形，对凭绽的父点是其对称