2014秋青岛版数学九年级上册.pdf

义 务 教 育 教 科 书数 学九年级 上册QINGDAOCHUBANSHE亲爱的同学：你们好！祝贺你进入九年级，开始了义务教育阶段最后一学年的学习生活，攀登上一个新的起点。过去你已经熟悉了全等形。但生活中还有形状相同大小未必相等的图形，怎样判定两个三角形的形状相同呢？形状相同的三角形有什么性质？怎样把一个图形放大或缩小？你将在“图形的相似”中得到解答。你到过或听说过“东方比萨斜塔”苏州虎丘塔吗？这座塔四百多年前就开始倾斜，现在它的中心线偏离铅直方向多少度了？它与地面的倾斜角是多少？你会在“解直角三角形”中学到解决这类实际问题的本领。在七年级，你对圆已经有了初步认识，本书将带你进一步探索圆的性质，掌握圆与角、圆与直线、圆与三角形、圆与正多边形等更为广阔的知识。通过这一章的学习，你的数学视野将会进一步扩大，你的推理能力将会进一步得到提高。在学习了一元一次方程和分式方程的基础上，你将认识新的朋友一元二次方程，学会它的解法，并用它解决一些实际问题，你会再次感受方程是刻画现实世界的重要的数学模型。数学是人们生活、工作和学习必不可少的工具，也是一种文化和思维的方式。数学不仅给我们知识，而且给人以智慧、修养和力量。过去，数学一直是你的亲密伙伴，今后，数学将继续伴你茁壮成长。现在，就让我们走进九年级数学的新天地，继续领略数学的美妙，探索数学的奥秘吧！1目 录248222632363841454953626668768191101104109117目 录第 1 章 图形的相似 1.1 相似多边形 1.2 怎样判定三角形相似 1.3 相似三角形的性质 1.4 图形的位似 回顾与总结第 2 章 解直角三角形 2.1 锐角三角比 2.2 30，45，60 角的三角比 2.3 用计算器求锐角三角比 2.4 解直角三角形 2.5 解直角三角形的应用 回顾与总结第 3 章 对圆的进一步认识 3.1 圆的对称性 3.2 确定圆的条件 3.3 圆周角 3.4 直线与圆的位置关系 3.5 三角形的内切圆 3.6 弧长及扇形面积的计算 3.7 正多边形与圆 回顾与总结122124130135139142146149155158第 4 章 一元二次方程 4.1 一元二次方程 4.2 用配方法解一元二次方程 4.3 用公式法解一元二次方程 4.4 用因式分解法解一元二次方程 4.5 一元二次方程根的判别式 *4.6 一元二次方程根与系数的关系 4.7 一元二次方程的应用 回顾与总结综合与实践 黄金分割与五角星2目 录第1章 图形的相似23第1章 图形的相似41.1 相似多边形小莹在电脑上任意画出一个四边形 ABCD（图 1-2），并将它按原大复制下来，得到四边形 ABCD（图 1-2）.然后将四边形 ABCD 各角的大小保持不变，将它的各边同时放大 54 倍，得到四边形 ABCD（图 1-2）.再将四边形 ABCD 各角的大小保持不变，将它的各边同时缩小 23，得到四边形 ABCD（图1-2），把这四个四边形打印在同一张纸上（图 1-2）.五星红旗是中华人民共和国的国旗.国旗上的左上角有五颗五角星（图 1-1）.这五颗五角星的形状相同吗？大小相等吗？在现实生活中，你还见过形状相同但大小未必相等的图形吗？形状相同的平面图形叫做相似形（similar fi gures）.全等形与相似形有什么关系？交流与发现观察与思考两个相似形未必是全等形.两个全等形也是相似形.图 1-15（1）观察得到的四个四边形，你发现它们的形状和大小有什么特征？它们是相似形吗？1.1 相似多边形（2）观察图 1-2 和，在四边形 ABCD 与四边形 ABCD 中，A 与A，B 与B，C 与C，D 与D 之间分别具有怎样的数量关系？相应的各边的比 ABAB，BCBC，CDCD，DADA 之间有怎样的关系？（3）观察图 1-2 和，四边形 ABCD 与四边形 ABCD 相应的各角及相应的各边分别具有怎样的数量关系？图 和图 呢？由上面的探究过程，我们发现：把四边形 ABCD 复制、放大或缩小后，所得到的四边形与原来的四边形相似，它们的各个角对应相等，各边对应成比例.反过来，如果一个四边形与四边形 ABCD 的各角对应相等，并且各边对应成比例，那么这个四边形与四边形 ABCD 形状相同，也就是说，这个四边形与四边形 ABCD 相似.由此，可以给出相似多边形的定义：两个边数相同的多边形，如果一个多边形的各个角与另一个多边形的各个角对应相等，各边对应成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形（similar polygons）.如图 1-2，四边形 ABCD 与四边形 ABCD 相似，记作四边形 ABCD 四边形 ABCD.符号“”读作“相似于”.与三角形全等的表示方法一形状相同是对相似形的一种描述，能利用两个相似多边形的各角之间及各边之间的数量关系表述它们形状相同的特征吗？图 1-2ABCDABCDABCDABCD第1章 图形的相似6样，在记两个多边形相似时，要把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.相似多边形对应边的比叫做相似比（similarity ratio）.例如，在图 1-2 中，四边形 ABCD 与四边形 ABCD 的相似比为 54，或说成 5:4.四边形 ABCD 与四边形 ABCD 的相似比为 23.当两个多边形全等时，其相似比为 1；反之，如果两个相似多边形的相似比为 1，那么这两个多边形全等.例 1 如图 1-3，已知四边形 AEFD 四边形 EBCF.（1）写出它们相等的角及对应边的比例式；（2）若 AD=3，EF=4，求 BC 的长.解（1）在四边形 AEFD 和四边形 EBCF 中，四边形AEFD 四边形EBCF，A=BEF，AEF=B，DFE=C，D=EFC.并且 AEEB=EFBC=DFFC=ADEF.（2）AD=3，EF=4.代入 EFBC=ADEF 得 4BC=34.解得 BC=163.史海漫游漫谈相似形我们知道，形状相同的平面图形叫做相似形，形状相同且大小相等的图形叫做全等形.因此，全等形是相似形的特殊情况.两个全等多边形是相似比为 1 的相似多边形.挑战自我由两个多边形的各个角分别相等，能断定它们相似吗？由两个多边形的边对应成比例，能断定它们相似吗？如果不能，请分别举出反例；如果能，说明你的理由.图 1-371.1 相似多边形人类对相似形的研究和应用，有着悠久的历史.古希腊数学家泰勒斯（Thalcs，约公元前 625 公元前 547）是希腊几何学的先驱，早于欧几里得约 300 年，他已开始了对全等三角形和相似三角形的研究.在他提出的为数不多的几何命题中，就有“两角及其夹边分别相等的两个三角形全等”，并根据相似三角形的原理，利用金字塔的塔高与垂直于地面的木杆的杆高之比等于它们的影长之比，测量出了埃及金字塔的高度.欧几里得的原本中，在系统地建立了与全等形有关的知识体系后，专门有两卷（第卷和第卷）研究了比例论和相似图形.1679年，德国数学家莱布尼兹（Leibniz，16461716）在研究图形的相似问题时，产生了一个奇妙的想法，他把拉丁字母 S 横过来，把相似符号写成“”，用“”表示全等.后人在此基础上，创造了全等符号“”，其中上面的“”表示两个图形相似，下面的“=”表示两个图形的大小相等，这充分反映了两个全等形形状相同、大小相等的本质.正因为相似符号“”和全等符号“”具有直观、简便等优点，所以这两个符号被数学界沿用至今.莱布尼兹1.如果五边形 ABCDE 五边形 ABCDE，且五边形 ABCDE 与 ABCDE 的相似比为 k1，五边形 ABCDE 与 ABCDE 的相似比为 k2，那么 k1 与 k2 满足怎样的数量关系？2.如图，已知 DEA BCA，（1）BCDE 吗？为什么？1.三角形与四边形能相似吗？等边三角形与直角三角形能相似吗？为什么？2.如图，ABC DFE，点 A 与点 D，点 B 与点 F 是对应顶点.请写出它们的对应角、对应边以及对应边之间的比例式.A（第 2 题）BCEFDEF练 习习题1.1复习与巩固第1章 图形的相似8拓展与延伸4.如图，BEABAD，写出图中所有相等的角和成比例线段的比例式.（第 4 题）ABDE探索与创新5.已知ABC DEF，如果 BC=3，CA=4，AB=6，DEF 的最短边长为 2.求：（1）DEF 各边的长；（2）ABC 与DEF 的相似比.1.2 怎样判定三角形相似实验与探究（1）如图 1-4，直线 l1，l2 被平行直线 l3，l4 所截，交点分别为 A，B，C，D.过线段 AB 的中点 E，作直线 l5l4，交 l2 于点 F.F 是线段 DC 的中点吗？如果是，证明你的结论.图 1-4（第 2 题）AEDBC（2）如果 BC=3.6，ED=2.4，AE=5，求 AC 的长.3.如图，四边形 ABCD 四边形 PRS，BC=8，R=10，PS=6，B=64.求：（1）的度数；（2）AD 的长；（3）求四边形 ABCD 与四边形 PRS 的相似比.CRSD（第 3 题）ABP91.2 怎样判定三角形相似（1）的结论还可以说成：直线 l1，l2 被三条平行直线 l3，l4，l5 所截，如果在 l1 上截得的两条线段的比等于 11，那么在 l2 上截得的两条线段的比也等于 11，也就是说这时截得的四条线段成比例.过 D 作 DGl1，交 l5 于点 G，过 F 作 FHl1，交 l4 于点 H，由已知 AE=EB，可推出 DG=FH.再设法证明DGF FHC（AAS），便能推出 DF=FC.图 1-5要证明 DF=FC，如果能把它们放在两个全等三角形中就好办了.上面的结论能进一步推广吗？（2）在图 1-4 中，如果再取 AE 的中点 P，过点 P 作直线 l6l3 交 l2 于点（图 1-5），此时对应线段 AP，PB，D，C 成比例吗？为什么？如果取 EB 的中点 P1，过点 P1 作直线 l7l3，交 l2 于点1（图 1-5）.你发现 l1，l2 被平行线 l3，l7，l4 截得的对应线段 AP1，P1B，D1，1C 成比例吗（图 1-5）？在图 1-5 中，由 E 是 AB 的中点，P 是 AE 的中点，可得第1章 图形的相似10 AE=EB=12AB，AP=PE=12AE=14AB，PB=PE+EB=14AB+12AB=34AB.APPB=AB1434AB=13.另一方面，由 l6l3l5l4，利用（1）的结论，可知 DF=FC，D =F，于是 D=F=14DC，C=F+FC=34DC.DC=13.APPB=DC.在图 1-5 中，类似地可以得到 AP1P1B=D11C，即 AP1，P1B，D1，1C 是成比例线段.（3）在图 1-5 中，再继续取 AP 的中点 P2，或 PE 的中点 P3，或 PB 的中点 P4，或 AP4 的中点 P5，分别过这些点作 l3 的平行线，重复（2）中的推理过程，还可得到 APiPiB=DiiC（i=1，2，3，）.（4）一般地，如果任意两条直线 l1，l2 被一组平行直线 l3，l4，l5 所截，交点分别是点 A，B，C；D，E，F（图 1-6）.都有 ABBC=DEEF.（5）在图 1-6 中，利用比例的基本性质，你能得到 BCAB=EFDE，ABAC=DEDF 吗？你还可以得到哪些比例式？在本书中，把下面的命题作为第 9 个基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.图 1-6111.2 怎样判定三角形相似（6）特别地，在ABC 中，DEBC.线段 AD，AB，AE，AC 成比例吗？线段 AD，AB，DE，BC 呢？过点 A 作直线 lBC（图 1-7），则 lDE，于是 ADAB=AEAC（基本事实 9）.过 D 作 DFAC，交 BC 于点 F（图 1-8），则 ADAB=CFCB（基本事实 9）.DEBC，DFAC，四边形 DFCE 是平行四边形.DE=CF.ADAB=DEBC.从而 ADAB=AEAC=DEBC.于是，就得到基本事实 9 的一个推论：推论 平行于三角形的一边，并且与其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.练 习1.如图，已知直线 l1l2l3，AB=3 cm，BC=5 cm，DE=2.4 cm，求 DF 的长.2.如图，已知直线 l1l2l3，直线 l4，l5 分别与 l1，l2，l3 相交，直线 l4 与 l5 相交于点 A，如图 .分别写出图中对应线段的比例式.（第 1 题）DAAAAl4l4l4l4l5l5l5l5l1l1l1l1l2l2l2l2l3l3l3l3EBBBBFCCCCDDDEEEFG（第 2 题）图 1-7图 1-8lAADBBDECCEF第1章 图形的相似12（2）我们知道，两个三角形有 6 对元素，只要其中的 3 对元素符合下面的一种情况，就可以判定这两个三角形全等：两角及其夹边分别相等；两角及其中一组等角的对边分别相等；两边及其夹角分别相等；三边分别相等.在 和 两种情况中，都包含三个条件：两角相等及其中某一边分别相等，由于相似三角形对应边的长可以不相等，如果把其中一边相等的条件去掉，仅保留两角分别相等的条件，能判定这两个三角形相似吗？（3）任意画ABC，然后再作一个ABC，使A=A，B=B（图 1-9）.观察这两个三角形，它们的形状相同吗？怎样判定它们相似呢？利用定义判定两个三角形相似太不方便了.能否适当减少其中的某些条件，建立简便一些的判定方法呢？图 1-9BCAABC如果将ABC 放到 ABC 上面，使 A 与 A 重合.AB 落到 AB 上，由A=A，那么 AC 落到 AC 上.因为B=B，所以 BCBC，于是ABC 与ABC 的三边对应成比例，且C=C，所以 ABC ABC.实验与探究（1）相似三角形是最简单、最常见的相似多边形.你能根据相似多边形的定义说出两个怎样的三角形是相似三角形吗？怎样判定两个三角形是相似三角形呢？131.2 怎样判定三角形相似（4）小莹利用实验的方法探索发现了命题“两角分别相等的三角形是相似三角形”.你能在她的思路的基础上，完成这一命题的证明吗？*证明1 在 AB 边（当 AB AB 时，在其延长线）上截取 AD=AB，过点 D 作 DEBC，交 AC 于点 E（图 1-10）.则ADE=B，AED=C.在ADE 和ABC 中，AD=AB，A=A，又B=B，ADE=B.ADE ABC（ASA）.AED=C，C=C.由基本事实 9 的推论可知：ADAB=AEAC=DEBC.AE=AC，DE=BC.ABAB=ACAC=BCBC.根据相似三角形的意义，ABC ABC.于是，便得到 相似三角形的判定定理 1 两角分别相等的两个三角形相似.例 1 如图 1-11，已知点 B，D 分别是A的两边 AC，AE 上的点，连接BE，CD，相交于点 O，如果1=2，图中有哪几对相似三角形？说明理由.解 DOE BOC，ABE ADC.理由是：因为1=2，DOE=BOC，由判定定理 1，所以DOE BOC.同理，由E=C，A=A，所以ABE ADC.图 1-10BCADEABCAECDBO12图 1-111 相似三角形的判定定理 1 及后面的判定定理 2，3 的证明为选学内容，不作考试要求.第1章 图形的相似14练 习1.在ABC 和ABC 中，A=68，B=40，A=68，C=72，ABC 和ABC 是否相似？为什么？2.如图，CD 是 RtABC 的斜边 AB 上的高.（1）ABC 与ACD 相似吗？为什么？（2）图中还有哪几对相似三角形？说明理由.（1）我们知道，两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.如果把其中两边相等的条件改为：“两个三角形的两边成比例”，保留“夹角相等”的条件，这两个三角形相似吗？（2）如图 1-13，已知ABC，作A=A，然后将ABC 中A 的两边按一定的比例同时缩小（或放大）得到ABC，这时A 与A 的两边的关系满足 ABAB=ACAC.观察所得到的ABC，它与ABC 相似吗？怎样才能证明你的结论呢？挑战自我如图（图 1-12）.B，C 分别是A 两边上的任意一点.过点 B 作 BDAC，垂足为点 D.过点 C 作 CEAB，垂足为点 E.BD，CE 相交于点 F.图中共有哪几对相似三角形？说明理由.图 1-12观察与思考（第 2 题）ABCD由已知A=A，能仿照判定定理 1 的证明思路，在ABC 上截得一个与ABC 全等且与ABC 相似的三角形吗？图 1-13BCAABC151.2 怎样判定三角形相似*证明 如图 1-14，在 AB（或它的延长线）上截取 AD=AB，过点 D 作 DEBC，交 AC 于点 E.于是 B=ADE 且 ADAB=AEAC（基本事实 9 的推论）.ABAB=ACAC，AD=AB，比较 两式左边和右边，AEAC=ACAC.AE=AC.A=A，ADE ABC（SAS）.ADE=B，B=B .ABC ABC（相似三角形的判定定理 1）.于是，便得到相似三角形的判定定理 2 两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似.例 2 如图 1-15，AD=3，AE=4，BE=5，CD=9.ADE 与ABC 相似吗？说明理由.解 ADE ABC.理由是：由 ADAB=34+5=13，AEAC=43+9=13，可以得到 ADAB=AEAC.EAD=CAB，ADE ABC（相似三角形的判定定理 2）.图 1-15ADEBC挑战自我如图 1-16，ABCD，CDEF，EFGH 是三个相连的正方形，连接 AC，AF，AG.你能证明FAC=AGC 吗？试一试.图 1-16ADEHBCFG图 1-14ABCBCADE第1章 图形的相似16练 习1.选择题：如图，ACD 与ABC 相似的条件是（）.（A）ACCD=ABBC （B）CDAD=ABAC （C）AC2=ADAB （D）CD2=ADDB2.在ABC 和ABC 中.B=B，AD，AD 分别是ABC，ABC 的角平分线，且 ABBD=ABBD.ABC 与ABC 相似吗？说明你的理由.（1）我们知道，三边分别相等的两个三角形全等.如果把条件“三边相等”改为“三条边成比例”，这两个三角形相似吗？（2）如图1-17，把ABC 的三边按一定的比例缩小（或放大）后得到ABC，这时两个三角形三边之间的关系满足 ABAB=ACAC=BCBC.观察所得到的ABC，它与ABC 相似吗？怎样才能证明你的结论呢？（第 1 题）观察与思考 图 1-18ADBBCAEC 图 1-17ABBCAC与证明相似三角形的判定定理 1，2 类似，如果能在ABC 中用平行于 BC 边的直线截得一个ADE，使它与ABC 全等，并与ABC 相似，问题就可以解决.*证明 如图1-18，在 AB（或它的延长线）上截取 AD=AB.过点 D 作 DEBC，交 AC 于点 E.于是ADAB=AEAC=DEBC（基本事实 9 推论）.17 ABAB=ACAC=BCBC，AD=AB.ADAB=ABAB.比较 可得，AEAC=ACAC，DEBC=BCBC.AE=AC，DE=BC.ADE ABC（SSS）.A=A.ABC ABC（相似三角形的判定定理 2）.于是，便得到相似三角形判定定理 3 三边成比例的两个三角形相似.例 3 如图 1-19，已知 ABAD=BCDE=ACAE.不另外添加字母，写出图中相等的角，并说明理由.1.2 怎样判定三角形相似利用相似三角形可以证明角的相等.要找出图中相等的角，先要根据已知条件 ABAD=BCDE=ACAE，找出 AB，BC，AC 和AD，DE，AE 分别所在的三角形，再判定这两个三角形相似就可以找出相等的角了.解 在ABC 与ADE 中，ABAD=BCDE=ACAE，ABC ADE（相似三角形的判定定理 3）.BAC=DAE，ABC=ADE，C=E.由BAC=DAE 还可推出BAD=CAE.图 1-19ABCED第1章 图形的相似18练 习1.在如图所示的正方形网格中，各画有一个格点三角形.找出其中的相似三角形.例 4 如图 1-20，为了测量一座水塔的高度，在阳光下，小亮走进水塔的影子里，使自己的影子刚好被水塔的影子遮住.已知小亮的身高 BC=1.6 m，此时，他的影子的长 AC=1 m，他距水塔的底部 E 处 11.5 m，水塔的顶部为点 D.根据以上数据，你能算出水塔的高度 DE 是多少吗？解 如图 1-20，BAC=DAE，BCA=DEA=90，ABC ADE（相似三角形的判定定理 1）.DEBC=AEAC.AC=1 m，CE=11.5 m，BC=1.6 m，AE=AC+CE=1+11.5=12.5（m），DE1.6=12.51.DE=20（m）.挑战自我（1）两个等边三角形一定相似吗？（2）在什么条件下两个等腰三角形相似？在什么条件下两个直角三角形相似？2.已知三角形三边的长分别为 4，5，6，画出与它相似的另一个三角形，使它的一条边 长为 2.你能画出几种符合要求的三角形？与同学交流.（第 1 题）图 1-20ACEBD19即水塔的高度为 20 m.按照例 4 的方法，你会测量教室附近一根电线杆的高度吗？与同学一起试一试.挑战自我1.2 怎样判定三角形相似小亮在测量一根电线杆的高度时，恰逢阴天，物体没有影子，于是他设计了测量电线杆高度的另一种方案：先在地面的适当位置平放一面小镜子，然后他看着镜子中电线杆的像，沿着电线杆的底部与镜子所在的直线一步步向后退，一直退到在镜子中刚好能看到电线杆的顶端为止（图1-21）.这时，分别量出他到镜子以及镜子到电线杆底部的距离和他的眼睛到地面的距离，就可算出电线杆的高.你认为小亮的这个方案是否可行？它的原理是什么？如果认为可行，请用这种方法测出你们学校某幢建筑物的高度.图 1-21史海漫游陈子测日太阳给人类和自然界的生存与延续提供了宝贵的能源.太阳离地球究竟有多远？自古以来，人们就在寻找这一问题的答案.在我国，约公元前 1 世纪成书的周髀算经中有陈子测日的记载 1.陈子是公元前 6-7 世纪人，与测量金字塔高度的古希腊人泰勒斯是同一时期的人.他采用的方法如下：如图 1-22，S 表示太阳，C 是太阳正下方的点，在夏至时，分别图 1-22DG ECBASHFhhlI1 见周髀算经卷上之二，陈子曰：“日中立杆测影，髀长 8 尺，夏至之日，晷 1 尺 6 寸，髀者，股也.正晷者，勾也.正南千里，勾 1 尺 5 寸，正北千里，勾 1 尺 7 寸.”第1章 图形的相似20在 D，E 两处立杆（即“髀”）AD 和 FE，BD 和 GE 分别是杆 AD，FE 在中午时的影子.记杆高为 h，杆距 DE 为 l，两杆日影差为 d（d=BD-GE）.这里 h，l，d 均可测出，由 h，l，d 可计算出日高 SC.周髀算经相当于给出了日高公式：日高 SC=hld+h.这一测量公式当初是怎样推出的，后人颇多探讨，并无定论.但我们可以用相似三角形对应边成比例的原理加以解释.在图 1-22 中，作AISG.由SHF ADI，SFA AIB，得 SFAI=SHAD=HFDI，SFAI=AFBI.所以 SHAD=AFBI，因此 SH=ADAFBI.AD=HC=h，AF=DE=l，ID=GE，BI=BD-ID=BD-GE=d，SC=ADAFBI+HC=hld+h.练 习1.如图，小亮要测量河流两岸 A，B 两点间的距离.他先从 B 处出发，沿与 AB 成 90 角的方向向前走 50 m 到 C 处，立一竹竿，然后继续按这个方向朝前走 10 m 到 D 处转 90，沿 DE 方向再到 E 处，使 A（目标），C（竹竿）与 E 在同一条直线上，量得 DE=17 m，利用以上数据，他是怎样求出 A，B 两点间距离的呢？2.在第 1 题中，除了小亮设计的方案外，你还能利用相似三角形的知识，设计出另外的方案吗？习题1.2复习与巩固1.如图，已知 DEBC，DFAC.指出与ADE 相似的三角形，并说明理由.2.已知ABC A1B1C1 （1）如果A1B1C1 A2B2C2，那么ABC 与A2B2C2 相似吗？为什么？ABCDEF（第 1 题）（第 1 题）21（2）如果A1B1C1 A2B2C2，那么ABC 与A2B2C2 相似吗？为什么？3.如图，已知 EFCDAB，EAFB.（1）写出所有与ECG 相似的三角形；（2）填空：ECEA=EG（）=（）AB，BDBF=BG（）=（）EF.4.如图，AE 与 BD 相交于点 C，DME=A=B，且 DM 交 AC 于点 F，ME 交 BC 于点 G.写出图中三对相似三角形，并选任一对说明其相似的理由.EFCDG（第 3 题）AB拓展与延伸10.如图，在ABC 中，已知 D 是边 AB 上的一点，连接 CD，那么还需要增加一个什么条件，才能使ACD ABC？（第 10 题）BCDA1.2 怎样判定三角形相似5.如图，在ABC 中，D，E 分别是边 AB，AC 上的点，且 AD=23 AB，AE=23 AC.DEBC 吗？为什么？6.在ABC 与DEF 中，已知B=E，且 ABEF=DEBC.这两个三角形相似吗？为什么？7.如图，在ABC 中，已知 AE=2，BE=3，DB=AE，BC =7.5.（1）ABC DBE 吗？为什么？（2）如果 DE=2.5，那么 AC 的长是多少？8.在ABC 与ABC 中，已知 AB=c，BC=a，CA=b，BC=a，CA=b，并且 aa=bb.当AB为多少时（用 a，a，c 或 b，b，c 表示），ABC 与ABC 相似？9.大刚的身高为 1.7 m，测得他站立在阳光下的影子长为 0.85 m，他把一只手臂竖直向上举起，测得影子长为 1.1 m，大刚举起手臂超过头顶多少米？（第 7 题）AEBCDABCDE（第 5 题）（第 4 题）CBEDAGMF第1章 图形的相似2211.如图，在ABC 中，点 D 在边 BC 上，BAC=ADC，AC=8，BC=16，求 CD 的长.探索与创新1.3 相似三角形的性质我们知道，全等三角形的对应线段（对应边上的高、对应边上的中线、对应角的平分线）相等、面积相等，那么，相似三角形对应线段具有什么性质呢？相似三角形的面积具有什么性质呢？交流与发现如图 1-23，已知ABC ABC，相似比为 k.AD 与 AD 分别是对应边 BC 与 BC 上的高.（1）除ABC ABC 以外，图中还有几对相似三角形？为什么？（2）AD 与 AD 的比与相似比 k 有什么关系？图 1-23CADBCBAD（第 11 题）ABCD12.P 是 RtABC 的斜边 AB 上异于 A，B 的一点，过点 P 作直线截ABC，使截得的三角形与ABC 相似，满足这样条件的直线有几条？画出图形，并说明理由.因为ABC ABC，所以B=B，又因为ADB=ADB=90，所以ABD ABD.同样地，ACD ACD.ADAD=ABAB=k.231.3 相似三角形的性质（3）在ABC 与ABC 中，分别作出A 与A 的平分线以及 BC 与 BC 上的中线，探索对应的角平分线的比、对应边上中线的比分别与相似比 k 之间的关系，说明你的理由，与同学交流.（4）ABC 与ABC 的面积的比 SABCSABC 与相似比 k 有怎样的关系？SABCSABC=12 BCAD12 BCAD=BCBCADAD=kk=k2 .（5）归纳（2）（3）（4）的结论，能得到相似三角形的什么性质？相似三角形对应线段的比等于相似比；面积的比等于相似比的平方.例1 如图 1-24，在ABC 中，DEBC，ADDB=31，ABC 的面积为 48.求ADE 的面积.解 在ADE 和ABC 中，A=A，由 DEBC，可知ADE=B，根据判定定理 1，ADE ABC.于是 SADESABC=（ADAB）2.由 ADDB=31，得 AD=3DB，从而 AB=AD+DB=4DB，所以 ADAB=3DB4DB=34.因为 SABC=48，所以 SADE48=（34）2.解得 SADE=91648=27.例2 如图 1-25，有一块锐角三角形余料ABC，它的边 BC=12 cm，高 AD=8 cm.现要用它裁出一个正方形工件，使正方形的一边在 BC 上，其余的两个顶点分别在 AB，AC 上，求裁出的正方形的边长.图 1-24图 1-25ADMPNEBC第1章 图形的相似24练 习1.两个相似三角形对应角平分线的比是 14，它们对应高的比是，面积的比是 .解 在ABC 中，设裁出的正方形为 P MN.PNBC，APN=B.A=A，APN ABC.PNBC=AEAD（相似三角形的性质定理）.设 PN=x，则 AE=8-x.BC=12，AD=8，x12=8-x8.解得 x=245.裁出的正方形的边长为 245 cm.挑战自我（1）在例 2 中，如果并排放置的由 2 个全等的小正方形组成的矩形内接于 ABC（图 1-26），那么小正方形的边长为多少？并排放置 3 个全等的小正方形呢？（2）如图 1-27，如果在ABC 中并排放 n 个这样的小正方形，你猜测小正方形的边长为多少？说明你的理由.图 1-26ABCF DMPNG E图 1-27BCMPNAn个25习题1.3复习与巩固1.已知两个相似三角形两条对应边上的中线的长分别是 3 cm 和 5 cm，那么它们的相似比是多少？对应高的比呢？2.如图 1-23，在ABC 与ABC 中，已知B=B，ABAB=BCBC=54.AD，AD 分别是这两个三角形的高.如果 AD=1.5，那么 AD 的长是多少？3.如图，CD 是 RtABC 的斜边 AB 上的高，ADCD=12，求 SACDSCBD.（第 3 题）CADB拓展与延伸探索与创新4.如图，D，E 分别是ABC 的边 AB，AC 上的点，DEBC，且 ADDB=2.求ADE 与四边形 DBCE 的面积比.6.如图，在ABC 中，DEBC，BE 和 CD 相交于点 F，且 SEFC=3SEFD.求 SADESABC 的值.ABCDEF（第 6 题）1.3 相似三角形的性质5.如图，有一块锐角三角形的余料 ABC，它的边 BC=150 mm，AB=100 mm，要把它加工成菱形零件，使菱形的一边在 BC 上，其余的两个顶点分别在 AB，AC 上，加工成的菱形零件的高 ED=51 mm，求ABC 的高 AD.2.两个相似三角形对应边的比是 23，它们面积的和为 78 cm2，求较大的三角形的面积.（第 5 题）BCDEGMFA（第 4 题）BCDEA第1章 图形的相似261.4 图形的位似实验与探究如图 1-28，任意画一个ABC.（1）在ABC 外任取一点 O，分别连接 AO，BO，CO；（2）分别取线段 AO，BO，CO 的中点A，B，C，连接 AB，BC，C A.ABC 与ABC 的对应边之间有怎样的数量关系和位置关系？（3）ABC 与ABC 相似吗？为什么？（4）在图 1-28 中，如果点 A 是 OA 上的任意一点，过 A 作 ABAB 交 OB 于点 B，作 ACAC 交 OC 于点 C，连接 BC，ABC 与ABC 相似吗？为什么？（5）ABC 与ABC，ABC 的每对对应点所在的直线有怎样的位置关系？像这样，对应边互相平行（或共线）且每对对应点所在的直线都经过同一点的两个相似多边形叫做位似图形（homothetic figures），这个点叫做位似中心（homothetic center）.在图 1-28 中，ABC 与ABC，ABC 都是位似图形，点 O 是位似中心.（6）在图 1-28 中，利用位似，由ABC 得到与它相似的ABC，你发现 ABC 的边长缩小了几分之一？反过来，由ABC 也可以利用位似得到与它相似的ABC，这时ABC 的边长扩大了多少倍？一般地，位似可以看作是图形的一种位置和大小的变化，位似不改变图形的形状，利用位似可以将一个图形放大或缩小.（7）如图 1-29 ，四边形 ABCD 与四边形 ABCD 都是位似图形，你发现它们的位似中心的位置有什么不同？图 1-28271.4 图形的位似在图 1-29 中，位似中心 O 在两个图形的外部；在图 1-29 中，位似中心 O 在两个图形的内部；在图 1-29 中，位似中心 A 在两个图形的公共顶点 A（A）处.你还能画出四边形 ABCD 与 ABCD 位似时，位似中心的其他可能位置吗？与同学交流.例1 如图 1-30，已知ABC 与点 O.以点 O 为位似中心，画出ABC，使它与ABC 是位似图形，并且相似比为 32.画法 1（1）作射线 OA，OB，OC；（2）在射线 OA，OB，OC 上分别取点 A，B，C，使 OA=32OA，OB=32OB，OC=32OC；（3）连接AB，BC，CA（图 1-31）.ABC 就是所要画的图形.图 1-30ABABOCCABCOCAB 图 1-31 图 1-29AAA（A）BBCCCDDDOBCDAABBBCCDDO画法 2（1）作射线 AO，BO，CO；（2）在射线 AO，BO，CO 上分别取点 A，B，C，使 OA=32OA，OB=32OB，OC=32OC；第1章 图形的相似28练 习1.画一个正五角星形，利用位似将它：（1）放大 3 倍；（2）缩小到原来的 12.2.下图中的两个三角形是位似图形吗？如果是，画出它的位似中心.（第 2 题）（第 3 题）3.如图，AB 与 CD 相交于点 E，ACDB.ACE 与BDE 是位似图形吗？为什么？（1）如图 1-32，在直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点坐标分别为（0，0），（6，0），（6，4），（0，4）.如果将点 O，A，B，C 的横、纵坐标都缩小一半，得到点 O，A，B，C，顺次连接点 O，A，B，C，得到了一个怎样的图形？（2）四边形 OABC 与矩形 OABC 是位似图形吗？如果是，位似中心是哪个点？它们的相似比是多少？图 1-32图 1-33实验与探究（3）连接 AB，BC，CA（图 1-31）.ABC 就是所要画的图形.你能说出上面两种画法的道理吗？如图 1-33，点 O 与点 O 重合，点 A，B，C 的坐标分别为（3，0），（3，2），（0，2）.顺次连接点 O，A，B，C，因为xOy 是直角，由 A，B 的横坐291.4 图形的位似标相等，可知 BAx 轴，从而OAB 是直角.类似地，OCB 也是直角，从而四边形 OABC 是矩形.因为 OAOA=ABAB=CBCB=OCOC=12，且对应角都是直角.所以矩形 OABC 与矩形 OABC 相似，相似比为 12.连接 OB，由 O，B 两点的坐标可知，经过点 O，B 的直线为 y=23x.由于点 B 的坐标（3，2）适合上式，故点 B 在直线 OB 上.又由点 A 与 A 在 x 轴上，点 C 与 C 在 y 轴上，因此矩形 OABC 与矩形 OABC 的对应顶点所在的直线都经过同一点 O，且对应边 ABAB，BCBC，OA 与 OA，OC 与OC 分别在 x 轴、y 轴上，所以矩形 OABC 与矩形 OABC 是位似图形，点 O 是它们的位似中心.（3）如图 1-34，已知OAB 的顶点 O 是坐标原点，顶点 A，B 的坐标分别为（-1，2），（-3，0）.把OAB 各个顶点的横、纵坐标都扩大到原来的 3 倍，得到点 O，A，B.连接 OA，OB，AB，OAB 与OAB 是位似图形吗？如果是，位似中心是哪个点？（4）由（1）（2）（3）你能得出什么结论？如果多边形有一个顶点在坐标原点，有一条边在 x 轴上，那么将这个多边形的顶点坐标分别扩大（或缩小）相同的倍数，所得到的图形与原图形是位似图形，坐标原点是它们的位似中心.上面得到的结论还能推广吗？如果能，说出你推广后的结论，与同学交流.例2 如图 1-35，四边形 OABC 的顶点坐标分别为（0，0），（2，0），（4，4），（-2，2）.（1）如果四边形 OABC 与四边形 OABC 位似，位似中心是原点，它的面积等于四边形 OABC 面积的 94 倍，分别写出点 A，B，C 的坐标.（2）画出四边