沪科版7年级数学上册【高清教材】.pdf

书 书 书?新时代数学编写组编著上海科学技术出版社主编吴之季苏淳副 主 编杜先能徐子华本册主编胡涛策划编辑苏德敏责任编辑王韩欢李刚美术编辑陈蕾义务教育教科书数学七年级上册新时代数学编写组编著上海世纪出版（集团）有限公司上 海 科 学 技 术 出 版 社出版（上海市钦州南路号邮政编码）新华书店发行合肥义兴印务有限责任公司印刷开本 印张字数 年月第版 年月第次印刷 定价：元如发现印装质量问题或对内容有意见建议，请与本社联系电话：，邮箱：审批编号：皖费核（年秋季）第号举报电话：目录目录致同学第章有理数 正数和负数 数轴、相反数和绝对值 有理数的大小 有理数的加减 有理数的乘除阅读与思考翻币问题 有理数的乘方 近似数数学史话负数小结 评价复习题第章整式加减 代数式数学活动探索数的规律 整式加减阅读与思考归纳推理数学史话数学符号小结 评价 目录复习题第章一次方程与方程组 一元一次方程及其解法 一元一次方程的应用 二元一次方程组及其解法 二元一次方程组的应用 三元一次方程组及其解法数学活动联产品的成本计算 综合与实践 一次方程组与 技术数学史话“方程”的由来小结 评价复习题第章直线与角 几何图形数学活动制作正多面体 线段、射线、直线 线段的长短比较 角 角的比较与补（余）角阅读与欣赏生物中的最佳角 目录 用尺规作线段与角数学活动画图数学史话“几何”的由来小结 评价复习题第章数据的收集与整理 数据的收集阅读与欣赏水库相关数据收集的重要性 数据的整理数学活动英文字母统计 用统计图描述数据 从图表中的数据获取信息信息技术应用用软件绘制统计图 综合与实践 水资源浪费现象的调查小结 评价复习题附录 常用的单位及其符号附录 部分中英文词汇索引后记亲爱的同学：数学是人类文化的重要组成部分，数学素养是现代社会每一个公民应该具备的基本素养在新的学习阶段，数学将继续陪伴你发展、成长本套教科书是根据义务教育数学课程标准（年版）编写的教科书共分六册，七年级至九年级每学期一册全书把“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”三部分内容，按知识内在联系整合呈现“综合与实践”部分是以问题为载体、以学生自主参与为主的学习活动，每学期至少安排一次，使之与前三部分内容密切配合，以利于同学综合运用已学的知识与方法解决问题通过学习，你将能获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验教科书在陈述整体内容时，设置了“观察”“操作”“思考”“交流”与“探究”等栏目，为你主动参与学习活动提供条件，在老师的组织、引导与帮助下，在“做数学”中学习数学、理解数学、应用数学教科书重视在保证基本要求的前提下，体现一定的弹性书中“阅读与思考”“阅读与欣赏”“数学史话”“信息技术应用”“数学活动”，每章复习题中的组、组习题，以及少数标有“”的内容，是提供给你根据需要和条件选学的，这将有利于不同的同学在数学上得到不同的发展“聪明在于学习，天才在于积累”努力吧，亲爱的同学！书 书 书有 理 数正数和负数数轴、相反数和绝对值有理数的大小有理数的加减有理数的乘除有理数的乘方近似数队名进球失球净胜球意大利 中国 古巴南非?？?？?？?书 书 书 第章有 理 数正数和负数天气预报图（图）地形局部图（图）图 图 在年上海国际泳联世界锦标赛上，中国女子水球队取得历史最好成绩，获得银牌，下表为中国队所在小组的小组赛净胜球统计表队名进球失球净胜球意大利 中国 古巴南非 某镇办家企业今年第一季度的产值与去年同期相比的增长情况表 正数和负数企业名称面粉厂砖瓦厂油厂针织厂增长率（）上述观察中涉及的图、表中出现了具有相反意义的量，如天气预报中的温度有零上和零下的，地形图中的海拔高度有高于海平面和低于海平面的等等这些问题，在小学就曾遇到过为了表示某一问题中具有相反意义的两种量，我们把其中一种意义的量，如零上温度、高于海平面高度等规定为正的，用原来熟悉的数如，来表示它们，这样的数叫做正数（）；而把与它相反意义的量，如零下温度、低于海平面高度等规定为负的，用在正数前面添上负号“”的数，如，来表示它们，这样的数叫做负数（）正数的前面也可添上正号“”，如，通常情况下，正数前的正号可省略不写数既不是正数，也不是负数日常生活中，还有许多具有相反意义的量如水库的水位有上升与下降，企业财务状况有盈利与亏损，计算足球赛净胜球数时，有进球数多于与少于失球数两种情况等等，也常要用正、负数来表示 上述观察中第、第题表中的数，各表示什么意思？例（）与去年相比，某乡今年的水稻种植面积扩大了（公顷），小麦的种植面积减少了，油菜的种植面积不变，写出这三种农作物今年种植面积的增加量；在计数时，数可以表示没有，如个还常用来表示某种量的基准，例如不能理解成没有温度，它是实际温度为冰点时的计量结果，用来作为计量温度的基准比任何正数小，比任何负数大，它是正数与负数的分界 第章有 理 数（）某市“”中心年国庆期间受理消费申诉件数：日用百货类比上年同期增长了，家用电子电器类比上年下降了写出这两类消费商品申诉件数的增长率解（）与去年相比，该乡今年的水稻种植面积增加了，小麦种植面积增加了，油菜的种植面积增加了（）与上年同期相比，消费商品申诉件数：日用百货类增长了，家用电子电器类增长了 你能再举出一些用正负数表示数量的实例吗？第（）题填空：（）如果向东走，记作，那么向西走，记作；（）如图是温度计的一部分，其中温度计甲的示数为 摄氏度，记作；温度计乙的示数为 摄氏度，记作；（）如果将盈利万元，记作万元，那么万元就表示 万元指出下列问题中的“基准”，再用正、负数表示问题中的量：（）某一天正午前 与正午后；（）某水文站测得的水位每天下降，一天前、一天后的水位分别该如何表示？引入负数后，数的范围扩大了，整数包括正整数、和负整数，分数包括正分数和负分数 使用负数后，在表示具有相反意义的两个词语之中，只用一个词语就可以把事情说清如减少 就可说成增加 正数和负数整数（）和分数（）统称有理数（），即有理数整数正整数负整数分数正分数负分数例把下列各数分别填入相应的框里：，解，正数，负数 例中，数能放入正数框或负数框里吗？你认为有理数还可以怎样分类？习题填空：（）粮库中把运进大米 记作，那么运出大米 可表示为；（）把保险锁按逆时针方向转圈记作 圈，那么 圈表示按转圈；（）质量检测中，把一只乒乓球超出标准质量 记作 ，那么 表示乒乓球的质量标准质量 第章有 理 数下表是某日公布的部分债券行情表，试说明各债券当天的涨跌情况名称国债国债国债安徽债上海债上涨元光盘的质量标准中规定：厚度为（）的光盘是合格品说说 和 所表示的意思（第 题）（第 题）湖边一段堤岸高出湖面，附近有一建筑物，其顶端高出湖面，湖底有一沉船在湖面下 处现以湖边堤岸为“基准”，那么建筑物顶端的高度及沉船的深度各应如何表示？全国年、年两年废水及废水中化学需氧量（）排放量统计如下表，以年作为基准，请填出年相对年的增加量项目年度废水排放量亿吨排放量万吨合计工业生活合计工业生活 增加量下列各数中，哪些是正整数、负整数、正分数、负分数？其中是否存在这样的数，它既不是正数，也不是负数？，把下列各数分别填入相应的括号内：，整数：分数：正数：负数：数轴、相反数和绝对值数轴、相反数和绝对值 让机器人在一条东西向的直路上做走步取物试验根据指令：它由点处出发，向西走 到达点处，拿取物品，然后，返回点处将物品放入篮中，再向东走 到达点处取物在如图所示的直线上画出点，两处的位置图 把向东走记作“”，向西走记作“”，在上面的直线上标出与点，相对应的数下面，我们用直线上的点来表示数画一条直线，在这条直线上任取一点作为原点（），用这点表示数；规定这条直线的一个方向为正方向（，当直线水平放置时，一般取从左到右的方向为正方向，并用箭头表示），相反的方向就是负方向；适当地选取某一长度作为单位长度（）这种规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（），如图 第章有 理 数图 例说出图所示的数轴上，各点表示的数图 解点在原点表示，点在原点左边与原点距离个单位长度，故表示同理，点表示 点在原点右边与原点距离个单位长度，故表示例在数轴上，画出表示下列各数的点：，解用数轴上位于原点右边与原点距离个单位长度的点表示，用数轴上位于原点左边与原点距离个单位长度的点表示同理，可画出表示，的点，如图图 一般地，任意一个有理数，都可以用数轴上的一个点来表示 数轴、相反数和绝对值（第 题）（第 题）点，在数轴上的位置如图：点表示，点表示，点表示，点表示 在数轴上画出表示，的点与，与，与各有什么相同点和不同点？它们在数轴上的位置有什么关系？由上可知，与，与，与都只有符号不同我们称只有符号不同的两个数互为相反数（），这就是说，其中一个数是另一个数的相反数，如与互为相反数，即的相反数是，的相反数是特别规定：的相反数是数的相反数是 这里表示任意一个数，它可以是正数、负数或者两个互为相反数的数在数轴上所表示的点在原点的两旁，与原点的距离相等 第章有 理 数例写出下列各数的相反数：，解 的相反数是，的相反数是，的相反数是，的相反数是，的相反数是，的相反数是，的相反数是容易看出，在任意一个数前面添上“”号，所得的数就是原数的相反数，如（），（），分别写出下列各数的相反数：，填空：（）是的相反数，的相反数是；（）（）是的相反数，（）是 的相反数；（）（），（）下列叙述中不正确的是（）（）一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数（）在数轴上与原点距离相等但不重合的两个点，所表示的数一定互为相反数（）符号不同的两个数互为相反数（）两个数互为相反数，这两个数有可能相等在数轴上，表示与 的点到原点的距离各 数轴、相反数和绝对值是多少？表示与的点到原点的距离各是多少？在数轴上，表示数的点到原点的距离，叫做数的绝对值（），记作例如 和它们位于原点两侧，但到原点距离都等于，即它们的绝对值都是，记作，如图图 表示数的点即原点，故由绝对值的定义可知：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是例求下列各数的绝对值：，解，在数轴上表示出下列各点，并分别指出它们的绝对值：，绝对值相等、符号相反的两个数互为相反数 第章有 理 数填空：，计算：（）；（）；（）；（）下列等式中不成立的是（）（）（）（）（）求，的绝对值习题求下列各数的相反数：，写出一个正数、两个负数，指出它们的相反数，并把它们在数轴上表示出来在数轴上分别表示出绝对值是，的数在数轴上点表示的数是，与点距离个单位长度的点表示的数是什么？下列每题的各对数中，哪些是相等的，哪些互为相反数？（）（）与（）；（）（）与；（）（）与（）；（）（）与（）求下列各数的绝对值：，数轴、相反数和绝对值（）绝对值是的数有几个，各是多少？（）绝对值是的数有几个？（）是否存在绝对值是的数，为什么？一座桥梁的设计长度为，建成后，测量了次，测得的数据是（单位：）：，如果以设计长度为基准，试用正负数表示各次测得的数值与设计长度的差（填表）哪次测得的结果最接近设计长度？你说的最接近是根据什么说的？测量序号第次第次第次第次第次差填空：（）当是正数时，；（）当是负数时，；（）当是时，第章有 理 数有理数的大小 下表是个旅游区某天的天气预报：把表示这一天各旅游区最低温度的数在图所示的数轴上表示出来：图 把这几个旅游区的最低温度由低到高进行排列：这些数的大小顺序与数轴上表示它们的点的位置有什么关系？数轴上不同的两个点表示的数，右边点表示的数总比左边点表示的数大于是：正数大于，大于负数，正数大于负数 在数轴上分别表示出下列各对数，并比较它们的大小：有理数的大小（）与；（）与；（）与；（）与求出上题中各对数的绝对值，并比较它们的大小从上面的思考中，你发现了什么规律？两个负数比较大小，绝对值大的反而小例比较下列每组数的大小：（）与；（）与解（）因为，所以 （）因为，即，所以 填空（填“”或“”）：（）；（）；（）；（）把下列各数表示在数轴上，并用“”把它们连接起来：，比较下列各组数的大小：（）与；（）与；（）与；（）与；（）与；（）与 第章有 理 数习题把下列各数在数轴上表示出来，并用“”连接起来：，下面是某年一月份我国几个城市的平均气温：北京，上海，广州，长春，合肥，昆明把它们按从低到高的次序排列，并指出这年一月份哪个城市的平均气温最高，哪个城市的平均气温最低结合数轴，回答下列问题：（）有没有最大的正整数？有没有最小的正整数？如果有，是什么？（）有没有最小的负整数？有没有最大的负整数？如果有，是什么？（）在数轴上表示：，；（）将（）中各数用“”连接起来；（）将（）中各数的相反数用“”连接起来；（）将（）中各数的绝对值用“”连接起来比较下列各组数的大小：（）与；（）与；（）与；（）与；（）与；（）与；（）与；（）与用“”或“”填空：（）；（）（）；（）；（）()；（）；（）的相反数 的相反数；（）的相反数的相反数；（）的相反数 的相反数观察数轴，写出绝对值小于的所有整数 有理数的加减有理数的加减 有理数的加法我们已经学过，两个加数都是正数，或一个加数是正数而另一个加数是的加法如（）（），当两个加数中有负数时，加法应如何进行呢？一间冷藏室连续两次改变温度：（）第一次上升，接着再上升；（）第一次下降，接着再下降；（）第一次下降，接着再上升；（）第一次下降，接着再上升问：连续两次变化使温度共上升了多少摄氏度？把温度上升记作正，温度下降记作负，在数轴上表示连续两次温度的变化结果，写出算式，完成下表：次序变化结果两次变化在数轴上的表示算式（）上升了（）（）用箭头在数轴上表示两个数相加时，要将第二个箭头的起始端紧挨着第一个箭头的终端 第章有 理 数（续表）次序变化结果两次变化在数轴上的表示算式（）上升了（）（）（）（）类比上述问题，计算：（）（）（）观察 式，说说两个有理数相加，和的符号、和的绝对值怎样确定有理数有如下的加法法则（）：同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加异号两数相加，绝对值相等时和为；绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值一个数与相加，仍得这个数例计算：（）（）（）；（）（）（）；（）()；（）（）（）解（）（）（）（）异号两数相加，一要确定和的符号，二要确定绝对值的差 有理数的加减（）（）（）（）（）()()（）（）（）（）例计算：（）（）（）；（）（）解（）（）（）（）（）填表（想法则、写结果）：加数加数和的符号和的绝对值和计算（仿照例表示出应用法则的过程）：（）（）（）；（）()()；（）()()；（）()()计算：（）（）；（）（）；（）（）；（）()()；（）（）（）；（）（）；（）()()；（）互为相反数的两数和总是 第章有 理 数某潜水员在水中作业时，先潜入水下 ，然后又上升了 ，这时潜水员处在什么位置？水星是最接近太阳的行星，据最新数据可知，它的表面温度最低为，表面温度最高比最低高出，那么水星表面温度最高是多少摄氏度？有理数的减法下表记录了某地某年月日至月日每天气温情况：月日 最高温度 最低温度 怎样求出该地月日最高温度与最低温度的差呢？这里的问题，就是做减法：（）？由于加减法互为逆运算，上式可变为？（）因为（），所以上式中的？，即（）又 可见（）（）比较上式两边：图 观察图，比高，比高，因此比高 有理数的加减有何变化？（）（有何关系？）说说你对有理数减法法则的猜想有理数有如下的减法法则（）：减去一个数，等于加上这个数的相反数请你算出上表中月日至月日每天最高温度与最低温度的差例计算：（）（）（）；（）；（）（）；（）（）（）解（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）例某次法律知识竞赛中规定：抢答题答对一题得分，答错一题扣分问答对一题与答错一题得分相差多少分？解（）（分），即答对一题与答错一题相差分填空：（）（）（）（）（）（）；（）（）（）（）（）（）第章有 理 数计算（写出运用法则的计算过程）：（）（）（）；（）；（）（）（）；（）（）计算：（）；（）（）；（）（）；（）；（）（）（）；（）（）；（）()()；（）（）()；（）()()；（）()巴黎、东京与北京的时差如下表（“”号表示同一时刻比北京时间早的时数）：城市巴黎东京与北京的时差（）求巴黎与东京的时差；（）巴黎时间牶时，东京时间是多少？加、减混合运算问题某地冬天某日的气温变化情况如下：早晨牶的气温为，到中午牶 上升了，到牶又上升了，且为当天的最高气温，到牶 降低了，到牶又降低了问牶的气温是多少？用正、负数表示气温的上升与下降，那么问题就转化为求：（）（）（）（）（）在小学学习时，我们知道加法有两条运算律，即加法交换律（）：有理数的加减加法结合律（）：（）（）引入负数后，这两条运算律也同样适用，即这里的，可以表示任何有理数在计算两个以上有理数的加法运算时，可以自左向右依次计算，也可根据加法运算律简化运算现在来解上面的问题：（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（加法交换律）（）（）（）（）（）（加法结合律）即该地当天牶的气温是式中仅含有加法运算，通常可省去加号及各个括号，写成 这个式子可读作“负、正、正、负、负的和”或者读作“负加加减减”用计算器计算式的过程如下：按键顺序显示例如图，一批大米，标准质量为每袋 质检部门抽取袋样品进行检测，把超过标准质量的千克数用正数表示，不足的用负数表示，结果如下表：袋号与标准质量的差 图 计算器的品种很多，它们的计算程序和方法不尽相同，使用前要注意看清各自的说明书本教科书只选择其中一种加 以 介 绍（图），供参考，以后不再作这样的说明 第章有 理 数 这袋大米总计质量是多少千克？图 解 （）（）（）（）（）（）（）（）（）（）答：这袋大米的总计质量是 例计算：（）（）（）（）（）；（）()()解（）（）（）（）（）（）（）（）（）（减法法则）（）（）（加法交换律、结合律）（）()()()()()（减法法则）()()（加法交换律、结合律）有理数的加减从例、例解的过程可以看出，灵活运用运算律能使计算简便填空：（）（）（）（）（）（）（）；（）（）（）（）（）（）（）计算：（）（）（）（）；（）（）（）；（）()()；（）；（）；（）某同学将零花钱存起来，存折中原有元，第一次取出元，第二次又取出元，第三次存入元，第四次取出元，这时存折上的余额（不计利息）是多少元？某中学女子篮球队员的平均身高是（）下表给出了该队名队员的身高情况试完成下表（超过平均身高的高度用正数表示，不足的用负数表示）：队员号队员身高 与平均身高的差（）谁最高？谁最矮？（）最高的队员比最矮的队员高多少？第章有 理 数习题计算：（）（）（）；（）（）（）；（）（）（）；（）（）（）；（）（）（）；（）（）；（）()()；（）()计算：（）（）（）；（）（）（）；（）（）；（）（）；（）；（）（）；（）()()；（）（）（）；（）；（）（）（）计算：（）（）（）（）；（）（）（）（）（）；（）（）（）（）；（）；（）；（）分别计算下列每题中的两个算式，比较结果，有什么体会？（）（）（）（），；（）（）（），；（）()()，求下列各式中的：（）；（）有理数的加减下面说法是否正确？如果不正确，请举例说明（）两个数的和一定比两个数中任何一个都大；（）两个数的差一定比两个数中任何一个都小；（）两个数的和是正数，这两个数一定是正数；（）两个数的差是正数，被减数一定大于减数写出一个符合下列条件的算式：（）两个数的和大于这两个数的差；（）两个数的和小于这两个数的差；（）两个数的和等于这两个数的差如果 ，且 ，求 的值一天上午，一辆警车从车站出发在一条笔直的公路上来回巡逻，行驶的路程情况如下（向车站右侧方向行驶为正，单位：）：，（）这辆警车在完成上述来回巡逻后在车站的哪一侧，距车站多少千米？（）如果这辆警车每行驶 的耗油量为，这天上午共消耗汽油多少升？请完成下表：已知计算比较大小 与与 从上面的表中，观察两个数的大小与它们差的符号之间有何联系，你发现了什么规律？第章有 理 数有理数的乘除 有理数的乘法我们已经学过两个正有理数相乘，以及一个正有理数与相乘如（）（），（）如果两个有理数相乘，其中有负数时，应该怎么办呢？问题?在实验室中，用冷却的方法可将某种生物标本的温度稳定地下降，每 下降假设现在生物标本的温度是，问 后它的温度是多少？如果把温度下降记作“”，那么，由示意图可得，后生物标本的温度是用算式表示，有（）（）（）（）类似地，（）（）（）（）（）根据上面的计算，你对一个负数乘一个正数有什么发现？一个负数乘呢？图 如用分配律展开（）或（）的左边，你有什么发现？有理数的乘除一般地，异号两数相乘（正数乘负数或负数乘正数），只要把它们的绝对值相乘，符号取“”负数与相乘得下面通过问题讨论两个负数相乘的情况问题?在问题的情况下，问 前、前该种生物标本的温度各是多少？这里，以“现在”为基准，把以后时间记作“”，以前时间记作“”，那么 前记作，观察示意图可得，前生物标本的温度是，用算式表示，有（）（）前（记作）生物标本的温度是 前温度的倍，可以写成（）（）类似地，（）（）根据上面的计算，你对两个负数相乘有什么发现？一般地，两个负数相乘，只要把它们的绝对值相乘，符号取“”总结起来，我们可以得到下面的有理数乘法法则（）：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘任何数与相乘仍得图 如用分配律展开 （）（）或（）（）的左边，你有什么发现？第章有 理 数 例计算：（）（）（）；（）()；（）()()；（）（）解（）（）（）（）（）()()（）()()()（）（）（）再用计算器计算，如（），（）题：按键顺序显示 与小学所学的一样，如果两个有理数的乘积为，我们称这两个有理数互为倒数（）如是的倒数，是的倒数，也就是说，与互为倒数 有理数的乘除填表（想法则、写结果）：因数因数积的符号积的绝对值积计算：（）（）（）；（）()；（）()()；（）()()；（）（）（）；（）()（）；（）（）；（）（）回答：（）一个数与相乘，得什么数？（）一个数与相乘，得什么数？问题?计算：（）（）（）；（）()（）（）（）；（）（）（）（）（）多个有理数相乘，有一个因数为时，积是多少？因数都不为时，积的符号怎样确定？几个数相乘，有一个因数为，积为几个不为的数相乘，积的符号由负因数的个数决定当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正 第章有 理 数（口答）确定下列积的符号：（）（）（）；（）（）（）（）；（）（）（）（）；（）（）（）（）（）计算：（）（）（）（）；（）（）（）计算：（）（）（）；（）（）（）（）有理数的除法两个有理数相除，如何进行？对于有理数，除法也是乘法的逆运算根据这个关系请计算（填空）：乘法除法（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）通过上面计算，你能体会到有理数除法应如何计算吗？有理数的除法法则（）：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除另外，（），（）除以一个不为的数仍得 不能做除数 有理数的乘除填表（想法则、写结果）：被除数除数商的符号商的绝对值商（）小学里做分数运算时，怎样将除法转化为乘法？（）有理数的除法也可以转化为乘法吗？把你的看法与同学交流 和小学里做运算一样，有理数除法也可转化为乘法：除以一个不为的数，等于乘以这个数的倒数例计算：（）（）()；（）()解（）（）()（）()（）()()第章有 理 数写出下列各数的倒数：，判断正误：（）没有倒数（）（）正数的倒数是正数，负数的倒数是负数（）计算：（）()()；（）()（）；（）()；（）（）（）；（）()；（）（）()；（）（）（）；（）（）；（）（）()；（）()乘、除混合运算例计算：（）()（）（）；（）（）（）()解（）()（）（）()()（）（）（）（）()有理数的乘除 （）()()例计算：（）()()；（）()（）解（）()()()()（）()（）()（）()从这里可以看到：有理数乘、除的混合运算，可统一化为乘法运算含加、减、乘、除的算式，如没有括号，应先做乘除运算，后做加减运算；如有括号，应先做括号里的运算 第章有 理 数在小学学习时，我们知道乘法有三条运算律，即乘法交换律：乘法结合律：（）（）分配律（）：（）引入负数后，这三条运算律也同样适用，即这里的，可以表示任何有理数运用这些运算律，有时可以简化计算例计算：（）()（）；（）（）（）（）解（）()（）（）（）（）（分配律）（）（）（）（）（）（乘法符号法则）（）（）（乘法交换律、结合律）计算：（）()（）；（）()()有理数的乘除（第 题）计算：（）()；（）()()()探空气球的气象观测统计资料表明，高度每增加，气温降低大约现在地面气温是，那么 高空处的气温约是多少摄氏度？习题计算：（）（）（）；（）（）；（）（）()；（）()()计算：（）（）（）（）；（）()()计算：（）（）（）；（）（）；（）()()；（）（）()（）计算：（）()()；（）()()；（）（）（）；（）（）（）；（）（）；（）（）计算：（）（）；（）（）（）；（）（）()；（）（）（）第章有 理 数计算：（）()；（）()()；（）()()；（）（）在下面括号内填上适当的数：（）（）（）；（）（）（）；（）（）（）；（）（）（）翻 币 问 题金质纪念币的正面、反面如图所示如果桌上有枚金质纪念币，正面全部向上现在让你做一个游戏：每次将其中枚同时翻转，问：能否经过若干次翻转，使枚纪念币的反面全部向上？先动手做一做，看有没有可能如果不可能，又如何说明其中的道理？这个实际问题怎样转化为数学问题呢？在每枚金币的正面上写个，反面上写个 每翻转一次就相当于把原来向上一面上的数字乘研究枚金币向上一面上的个数的积，把这个积记作当枚金币都是正面向上时，有（）（）（）如果每次同时翻转枚，多试几次，看能不能使枚金币反面都向上，即得到（）（）（）为什么得不到？请与同伴们交流，看谁能说清其中道理如果金币有枚，每次翻转枚，能不能使正面全部向上变为反面全部向上？图 有理数的乘方有理数的乘方 如图（），边长为的正方形，它的面积是 ，可记作如图（），棱长为的正方体，它的体积是 ，可记作一般地，个相同的因数相乘，记作，即这种求个相同因数的积的运算叫做乘方乘方的结果叫做幂（）在乘方运算中，叫做底数（），叫做的幂的指数，简称指数（）既表示个相乘，又表示个相乘的结果因此可读作的次方，或的次幂（图）例如，在幂中，底数是，指数是，读作的次方（或的平方）或的次幂 读作的次方（或的立方）或的次幂一个数的一次方，就是这个数本身，例如就是，指数通常省略不写例计算：（）（）；（）（）解（）（）（）（）（）（）（）用计算器直接按下列顺序计算：图 图 第章有 理 数按键顺序显示 乘方运算实际上就是乘法运算，根据有理数的乘法法则，可得乘方运算的法则：非有理数的乘方，将其绝对值乘方，而结果的符号是：正数的任何次乘方都取正号；负数的奇次乘方取负号，负数的偶次乘方取正号在进行有理数的加、减、乘、除以及乘方混合运算时，一般应按下列顺序进行：先乘方，再乘除，后加减；如果有括号，先进行括号里的运算例计算：（）（）（）（）；（）()()()()解（）（）（）（）（）()()()()()()()()()()有理数的乘方图 拉面师傅制作拉面时，按对折、拉伸的步骤，重复多次，如图（）先用乘法计算拉次得到的面条数，再改用计算器计算，这两种方法哪种算得快？（）如果拉面师傅每次拉伸面条的长度为 ，那么拉次后，得到的面条总长是多少米？举出用乘方计算的实例填空：（）在中，底数是，指数是；（）在()中，底数是，指数是 计算（先确定符号，再算结果）：（）（）；（）（）；（）（）；（）（）（）计算：（）（）（）；（）（）()在日常生活中，常会接触到一些比较大的数，如长江三峡水库容量达 ；光在空气中传播的速度大 第章有 理 数约是 （图）这些较大的数，像上面的写法，写起来既麻烦又容易出错，于是人们想出如下的简洁方法来表示它们一种方法是用更大的数量级来表示：如将 表示为亿另一种方法是，由于的正整数次幂有如下特点：，因而，也可用的幂来表示上述大数，例如：，一般地，一个绝对值大于的数都可记成 的形式，其中 ，等于原数的整数位数减图 哪种写法好这种记数方法，在科学技术方面是常用的，习惯上把它叫做科学记数法（）例资料表明，被称为“地球之肺”的森林正以每年约 万公顷的速度从地球上消失，每年森林的消失量用科学记数法表示应是多少公顷？解 万 因此，每年森林的消失量用科学记数法表示应是 图 有理数的乘方用科学记数法表示下列各数：，下列用科学记数法表示的数原来各是什么数？，我国水稻育种专家于年培育出杂交水稻，到年时，全国累计种植杂交水稻面积达 ，累计生产稻谷达 亿千克用科学记数法表示上述有关稻谷的数据目前我国水土流失问题仍很严重每年全国土壤流失总量高达亿吨，其中长江流域年土壤流失量为亿吨，黄河流域仅黄土高原区域每年就流失亿吨用科学记数法表示上述数据习题计算：（）（）（）；（）（）（）（）；（）（）（）；（）（）（）（）（）；（）（）（）；（）（）（）；（）()当 时，判断下列各式是否成立：（）（）；（）（）；（）；（）天有 ，一年如果以天计，共有多少秒？第章有 理 数用科学记数法表示下列各数：（）；（）；（）；（）下列用科学记数法表示的数，原来各是什么数？（）；（）用科学记数法表示下列各数：（）地球的半径约为 ；（）青藏铁路从青海西宁到西藏拉萨的铁路全长约 ；（）长江每年流入大海的淡水约是 亿立方米；（）地球上已发现的生物约 种；（）太平洋西部的马里亚纳海沟在海平面下约 处；（）我国总人口（未包括台湾、香港、澳门）年底约达 人填空：（）一种电子计算机每秒可做 次计算，也就是说它每秒可做万次计算；（）一期国债发行了 元，也就是发行了亿元；（）我国香港特别行政区的陆地面积约为 ，也就是约为 近 似 数近 似 数数一数今天班上的同学数查一查你的数学课本的页数量一量数学课本的宽度称一称你的书包的质量在上面的操作中得到的数据，哪些是精确的？哪些是近似的？在上述“操作”中，操作和的数据由计数得来，是准确数操作和的数据由测量得来，由于受测量工具、测量方法、测量者等因素的影响，测量的结果一般只是一个与实际数值很接近的数，我们称此数为近似数（）如图，测量数学课本的宽度，图（）是用只有图 图 第章有 理 数厘米刻度的尺去测量，得宽度约 ，图（）是用有毫米刻度的尺去测量，得宽度约 这里得到的 ，都是数学课本宽度的近似值近似值与它的准确值的差，叫做误差（），即误差近似值准确值误差可能是正数，也可能是负数误差的绝对值越小，近似值就越接近准确值，也就是近似程度越高近似数与准确数的接近程度，通常用精确度表示前面测得数学课本宽度值 ，都是近似数 是精确到个位（或者说精确到）的近似数（测量时，尺上只读到厘米刻度数，小于 的刻度数略去），是精确到十分位（或者说精确到 ）的近似数（在尺上，读到毫米刻度数）近似数一般由四舍五入法取得，四舍五入到某一位，就说这个近似数精确到那一位除了测量会得到近似数外，在计数、计算等许多情况下，有时很难取得准确数，有时不必使用准确数，这时，就可以使用近似数例如，在涉及有关圆的周长或面积计算时，遇到，常取 又如黄山的最高峰 莲花峰海拔 在向游客介绍时，说是约 ，或约 ，都是可以的例十一期间，某商场准备对商品作打折 即()促销一种原价为元的微波炉，打折后，如果要求精确到元，定价是多少？如果要求精确到元，定价又是多少？解这种微波炉打折后的价格为 （元）图 近 似 数要求精确到元的定价为元；精确到元的定价为 元例据年上海世博会官方统计，年月日到月日期间，共有 万人次入园参观，求每天的平均入园人次（精确到万人次）解从月日到月日共有天，所以每天的平均入园人次为 （万人次）例下列由四舍五入法得到的近似数，各精确到哪一位？（）；（）；（）万；（）解（），精确到十分位（），精确到十万分位（或精确到 ）（）万，精确到百位（），精确到千位下列各题中的数据，哪些是准确的？哪些是近似的？（）小芳班上有人；（）我国有个民族；（）我国人工造林的保存面积居世界首位，目前已达 万公顷；（）举世瞩目的西气东输工程全长 用四舍五入法，按括号中的要求对下列各数取近似值：（）（精确到千分位）；（）（精确到十分位）；（）（精确到）；（）（精确到千位）第章有 理 数习题下列各数都是由四舍五入法得到的近似数，它们分别精确到哪一位？（）小强的身高为 ；（）年底我国高速公路里程约为 ；（）我国的陆地面积为 ；（）京九铁路线北起北京，南达香港九龙，全长为 用四舍五入法，对下列各数按括号中的要求取近似值：（）（精确到）；（）（精确到千分位）下列由四舍五入法得到的近似数，各精确到哪一位？（）；（）；（）亿；（）（第 题）如图，应用激光技术测得地球和月球之间的距离为 ，请按下列要求分别取这个数的近似数：（）精确到千位；（）精确到千万位；（）精确到亿位张军和李明今年都是岁，那么他们一样大吗？怎样比较他们的大小下列每题中表示同一个数的两个近似值，它们表示的意思是否相同？说明理由（）万，万；（），负 数负数，在我国最早出现在九章算术一书中九章算术是我国古代数学里最重要的一部著作，在该书“方程”一章中引进了负数，并提出了“正负术”，即正负数加减运算法则 近 似 数公元世纪魏晋时数学家刘徽，于公元年撰写了九章算术注，在这部著作中刘徽对负数的出现作了很自然的解释：“两算得失相反，要令正、负以名之”这句话实质上给出了正、负数的定义刘徽还对当时用算筹（小竹棒，当时的计算工具）作计算时如何表示作出规定：“正算赤，负算黑，否则以邪正为异”就是规定正数用红色算筹，负数用黑色算筹如果只有同色算筹的话，则遇到正数将筹放正，负数将筹放邪（同斜）宋代以后出现笔算也相应地用红色和黑色数字以区别正数、负数后来由于黑色成了主要书写色，才演变成用黑色数字表示收入，红色数字表示支出今天人们还常用“财政赤字”来表示财政的亏空关于正负数的加减运算法则，九章算术中已有着明确规定正负数乘除法则，元代朱世杰于算学启蒙（年）中作出了规定：“同名相乘为正，异名相乘为负”、“同名相除所得为正，异名相除所得为负”因此最迟于世纪末，我国对有理数四则运算法则已全面作了总结在国外，世纪的印度数学家也开始使用负数在欧洲对负数的认识却进展缓慢，直到世纪在韦达的著作中还回避使用负数图 刘徽九章算术注书影图 刘徽 第章有 理 数一、内容整理二、主要知识回顾整数与分数统称有理数有理数又常按以下方式分类：有理数正有理数负有理数有理数是有序的，可以比较大小在数轴上，右边的点所表示的数比左边的点所表示的数大 小结评价有理数运算（）运算法则运算两数同号两数异号符号绝 对 值符号绝 对 值两数中一个为加法乘法 减法可化为加法：减去一个数，等于加上 除法可化为乘法：除以一个不为的数，等于乘以 乘方即为乘法：是相同因数的乘法（）运算律设，是任意有理数，用式子表示下面运算律：运算加法乘法交换律结合律分配律（）运算顺序先乘方，再乘除，后加减；如果有括号，先进行括号里的运算三、自评与互评引进负数解决了什么问题？谈谈你的看法举例说明有理数的运算（加、减、乘、除）与小学学习的同样运算的不同之处如果你是老师，你准备以什么具体问题向学生解释算式 把你的想法和同学们交流从特殊到一般是数学发现中常用的方法，在本章的学习中也多次用到这种方法，请举例说明数轴是研究数学问题的重要工具，结合本章学习谈谈数轴是如何帮助你理解所学知识的 第章有 理 数判断正误：（）有理数分为正数和负数（）（）一定表示负数（）（）（）（）（）（）报纸上常出现进出口贸易“顺差”和“逆差”，查一查资料，说一说它们的含义将下列各数表示在数轴上，并从小到大用“”号把它们连接起来：，比较下列各组数的大小：（）（）与；（）（）与；（）与；（）与（）在数轴上到原点距离等于个单位长度的点表示什么数？（）求满足等式的值计算：（）（）；（）（）（）；（）（）；（）（）（）；（）（）（）；（）（）；（）()()；（）（）；（）（）；（）（）（）；（）()()；（）（）判断正误：（）两个数的积是正数，这两个数都是正数（）（）负数的任何次方都是负