哈尔滨市第九中学2023学年高考冲刺数学模拟试题（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知双曲线的右焦点为F，过右顶点A且与x轴垂直的直线交双曲线的一条渐近线于M点，MF的中点恰好在双曲线C上，则C的离心率为（ ） A． B． C． D． 2．定义运算，则函数的图象是（ ）． A． B． C． D． 3．已知命题,；命题若，则，下列命题为真命题的是（　　） A． B． C． D． 4．复数的虚部为（ ） A． B． C．2 D． 5．设M是边BC上任意一点，N为AM的中点，若，则的值为( ) A．1 B． C． D． 6．函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，并且函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，则实数的值为（ ） A． B． C．2 D． 7．若(1＋2ai)i＝1－bi，其中a，b∈R，则|a＋bi|＝(　　)． A． B． C． D．5 8．下列函数中，图象关于轴对称的为（ ） A． B．， C． D． 9．已知等差数列的前n项和为，且，，若（，且），则i的取值集合是（ ） A． B． C． D． 10．已知双曲线的一条渐近线经过圆的圆心，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D．2 11．若，满足约束条件，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 12．定义域为R的偶函数满足任意，有，且当时，.若函数至少有三个零点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．函数的极大值为________. 14．已知的终边过点，若，则__________． 15．给出以下式子： ①tan25°+tan35°tan25°tan35°； ②2(sin35°cos25°+cos35°cos65°)； ③ 其中，结果为的式子的序号是_____. 16．已知函数的图象在处的切线斜率为，则______． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）若，证明. 18．（12分）已知，函数． （1）若，求的单调递增区间； （2）若，求的值． 19．（12分）已知函数，其中． （Ⅰ）当时，求函数的单调区间； （Ⅱ）设，求证：； （Ⅲ）若对于恒成立，求的最大值． 20．（12分）设函数， （1）当，，求不等式的解集； （2）已知，，的最小值为1，求证：. 21．（12分）在中,角、、所对的边分别为、、，角、、的度数成等差数列，. （1）若，求的值； （2）求的最大值. 22．（10分）小丽在同一城市开的2家店铺各有2名员工.节假日期间的某一天，每名员工休假的概率都是，且是否休假互不影响，若一家店铺的员工全部休假，而另一家无人休假，则调剂1人到该店维持营业，否则该店就停业. （1）求发生调剂现象的概率； （2）设营业店铺数为X，求X的分布列和数学期望. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、A 【答案解析】 设，则MF的中点坐标为，代入双曲线的方程可得的关系，再转化成关于的齐次方程，求出的值，即可得答案. 【题目详解】 双曲线的右顶点为，右焦点为， M所在直线为，不妨设， ∴MF的中点坐标为.代入方程可得， ∴，∴，∴（负值舍去）. 故选：A. 【答案点睛】 本题考查双曲线的离心率，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意构造的齐次方程. 2、A 【答案解析】 由已知新运算的意义就是取得中的最小值， 因此函数， 只有选项中的图象符合要求，故选A. 3、B 【答案解析】 解：命题p：∀x＞0，ln（x+1）＞0，则命题p为真命题，则￢p为假命题； 取a=﹣1，b=﹣2，a＞b，但a2＜b2，则命题q是假命题，则￢q是真命题． ∴p∧q是假命题，p∧￢q是真命题，￢p∧q是假命题，￢p∧￢q是假命题． 故选B． 4、D 【答案解析】 根据复数的除法运算，化简出，即可得出虚部. 【题目详解】 解：=， 故虚部为-2. 故选：D. 【答案点睛】 本题考查复数的除法运算和复数的概念. 5、B 【答案解析】 设，通过，再利用向量的加减运算可得，结合条件即可得解. 【题目详解】 设， 则有. 又， 所以，有. 故选B. 【答案点睛】 本题考查了向量共线及向量运算知识，利用向量共线及向量运算知识，用基底向量向量来表示所求向量，利用平面向量表示法唯一来解决问题. 6、C 【答案解析】 由函数的图象向右平移个单位得到，函数在区间上单调递增，在区间 上单调递减，可得时，取得最大值，即，，，当时，解得，故选C. 点睛：本题主要考查了三角函数图象的平移变换和性质的灵活运用，属于基础题；据平移变换“左加右减，上加下减”的规律求解出，根据函数在区间上单调递增，在区间上单调递减可得时，取得最大值，求解可得实数的值. 7、C 【答案解析】 试题分析：由已知，－2a＋i＝1－bi，根据复数相等的充要条件，有a＝－，b＝－1 所以|a＋bi|＝，选C 考点：复数的代数运算，复数相等的充要条件，复数的模 8、D 【答案解析】 图象关于轴对称的函数为偶函数,用偶函数的定义及性质对选项进行判断可解. 【题目详解】 图象关于轴对称的函数为偶函数； A中，，，故为奇函数； B中，的定义域为， 不关于原点对称，故为非奇非偶函数； C中，由正弦函数性质可知，为奇函数； D中，且，，故为偶函数. 故选：D. 【答案点睛】 本题考查判断函数奇偶性. 判断函数奇偶性的两种方法: (1)定义法：对于函数的定义域内任意一个都有，则函数是奇函数；都有，则函数是偶函数 (2)图象法：函数是奇(偶)函数函数图象关于原点(轴)对称． 9、C 【答案解析】 首先求出等差数列的首先和公差，然后写出数列即可观察到满足的i的取值集合. 【题目详解】 设公差为d，由题知， ， 解得，， 所以数列为， 故. 故选：C. 【答案点睛】 本题主要考查了等差数列的基本量的求解，属于基础题. 10、B 【答案解析】 求出圆心，代入渐近线方程，找到的关系，即可求解. 【题目详解】 解：， 一条渐近线 ， 故选：B 【答案点睛】 利用的关系求双曲线的离心率，是基础题. 11、B 【答案解析】 根据约束条件作出可行域，找到使直线的截距取最值得点，相应坐标代入即可求得取值范围. 【题目详解】 画出可行域，如图所示： 由图可知，当直线经过点时，取得最小值－5；经过点时，取得最大值5，故. 故选：B 【答案点睛】 本题考查根据线性规划求范围，属于基础题. 12、B 【答案解析】 由题意可得的周期为，当时，，令，则的图像和的图像至少有个交点，画出图像，数形结合，根据，求得的取值范围. 【题目详解】 是定义域为R的偶函数，满足任意， ，令， 又， 为周期为的偶函数， 当时，， 当， 当， 作出图像，如下图所示： 函数至少有三个零点， 则的图像和的图像至少有个交点， ，若， 的图像和的图像只有1个交点，不合题意， 所以，的图像和的图像至少有个交点， 则有，即， . 故选:B. 【答案点睛】 本题考查函数周期性及其应用，解题过程中用到了数形结合方法，这也是高考常考的热点问题，属于中档题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 对函数求导，根据函数单调性，即可容易求得函数的极大值. 【题目详解】 依题意，得. 所以当时，；当时，. 所以当时，函数有极大值. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查利用导数研究函数的性质，考查运算求解能力以及化归转化思想，属基础题. 14、 【答案解析】 】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得的值． 【题目详解】 ∵的终边过点，若， ． 即答案为-2. 【答案点睛】 本题主要考查任意角的三角函数的定义和诱导公式，属基础题. 15、①②③ 【答案解析】 由已知分别结合和差角的正切及正弦余弦公式进行化简即可求解. 【题目详解】 ①∵tan60°＝tan（25°+35°）， tan25°+tan35°tan25°tan35°； tan25°tan35°， ， ②2（sin35°cos25°+cos35°cos65°）＝2（sin35°cos25°+cos35°sin25°）， ＝2sin60°； ③tan（45°+15°）＝tan60°； 故答案为：①②③ 【答案点睛】 本题主要考查了两角和与差的三角公式在三角化简求值中的应用，属于中档试题. 16、 【答案解析】 先对函数f（x）求导，再根据图象在（0，f（0））处切线的斜率为﹣4，得f′（0）＝﹣4，由此可求a的值. 【题目详解】 由函数得，∵函数f（x）的图象在（0，f（0））处切线的斜率为﹣4，，. 故答案为4 【答案点睛】 本题考查了根据曲线上在某点切线方程的斜率求参数的问题，属于基础题． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）单调递减区间为，，无单调递增区间（2）证明见解析 【答案解析】 （1）求导，根据导数的正负判断单调性， （2）整理，化简为，令，求的单调性，以及，即证. 【题目详解】 解：（1）函数定义域为， 则，令，，则， 当，，单调递减；当，，单调递增； 故，， ，， 故函数的单调递减区间为，，无单调递增区间. （2）证明，即为， 因为， 即证， 令，则， 令，则， 当时，，所以在上单调递减， 则，， 则在上恒成立， 所以在上单调递减， 所以要证原不等式成立，只需证当时，， 令，，，可知对于恒成立， 即，即， 故，即证， 故原不等式得证. 【答案点睛】 本题考查利用导数研究函数的单调性，利用导数证明不等式，函数的最值问题，属于中档题． 18、（1）；（2）. 【答案解析】 （1）利用三角恒等变换思想化简函数的解析式为，然后解不等式，可得出函数的单调递增区间； （2）由得出，并求出的值，利用两角差的正弦公式可求出的值. 【题目详解】 （1）当时， ， 由，得， 因此，函数的单调递增区间为； （2），， ，，，， ． 【答案点睛】 本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键，属中等题． 19、（Ⅰ）函数的单调增区间为，单调减区间为；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）. 【答案解析】 （Ⅰ）利用二次求导可得，所以在上为增函数，进而可得函数的单调增区间为，单调减区间为；（Ⅱ）利用导数可得在区间上存在唯一零点，所以函数在递减，