知识梳理(18).doc

学海在线资源中心 等差数列 【考纲要求】 1．理解等差数列概念. 2．能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题. 3．了解等差数列与一次函数的关系. 4．灵活应用等差数列的定义、公式和性质解决数列问题，认识和理解数列与其它数学知识之间的内在联系. 5．掌握常见的求等差数列通项的一般方法； 6．用数列知识解决带有实际意义的或生活、工作中遇到的数学问题 【知识网络】 等差数列 等差中项 等差数列的通项公式及应用 等差数列定义 【考点梳理】 【高清课堂：等差数列382420 知识要点】 考点一、等差数列的定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差. 要点诠释： (1)｛｝为等差数列(n∈N※)－=d (n2, n∈N※)（ d为常数） (2)等差中项：若三个数a，x，b成等差，则x称为数a，b的等差中项。 任意实数a，b的等差中项存在且唯一，为 (3)证数列{}是等差数列的方法： ① (n≥2) （ d为常数）； ② 为和的等差中项。 考点二、通项公式 (归纳法和迭加法) 要点诠释： ①｛｝为等差数列为n的一次函数或为常数=kn+b (n) ②式中、、n、d只要有三个就可以利用方程(组)求出第四个。 ③公式特征：等差数列{}中=kn+b是关于n的一次函数(或常数函数)，一次项系数k为公差d。 ④几何意义：点(n，)共线；=kn+b中， 当k=d>0时，{}为递增数列； 当k=d<0时，{}为递减数列； 当k=d=0时，{}为常数列。 考点三、通项公式的性质： （1）等差中项：、、成等差数列，则； （2）通项公式的推广： （3）若，则； 特别，若，则 （4）等差数列中，若. 【典型例题】 类型一：等差数列的概念、公式、项的性质 例1. （1）－20是不是等差数列0，，－7，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由. （2）100是不是等差数列2，9，16，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由. 【思路点拨】题中要想判断一数是否为某一数列的其中一项，关键是要看是否存在一正整数值，使得等于这一数. 【解析】（1）由题意可知：,， ∴此数列的通项公式为：, 令,解得， 所以－20不是这个数列的项. （2）根据题意可得：,. ∴此数列通项公式为：（,）. 令,解得：, ∴100是这个数列的第15项. 【总结升华】1.根据所给数列的前2项求得首项和公差，写出通项公式. 2.要注意解题步骤的规范性与准确性. 举一反三： 【变式1】求等差数列8，5，2…的第21项 【解析】由，，∴. 【变式2】求集合的元素的个数，并求这些元素的和 【解析】∵， ∴， ∵，∴中有14个元素符合条件， 又∵满足条件的数7，14，21，…，98成等差数列， 即，，， ∴. 例2、已知等差数列中，,，试问217是否为此数列的项？若是，说明是第几项？若不是，说明理由。 【思路点拨】判断某个数值是否为某数列中的项，基本的思路是先得到这个数列的通项公式，再验证这个数值是否为其中的某项。 【解析】法一：由通项公式，得 ， ∴, 由，解得. ∴217是此数列的第61项。 法二：由等差数列性质得，即, 又， ∴, 得. ∴217是此数列的第61项。 法三：由等差数列的几何意义可知，等差数列的图象是一些共线的点， ∵点P(15,33), Q(45,153), R(n,217)在同一条直线上， ∴ ，得。 ∴217是此数列的第61项。 【总结升华】在解决等差数列、等比数列的有关问题时，要熟悉其基本概念，基本公式及性质。 举一反三： 【变式1】等差数列中，已知，a2+a5=4，an=33，则n是（ ） A.48 B.49 C.50 D.51 【答案】C； 【解析】由已知得 例3．若数列为等差数列，, , 求； 【解析】法一：令数列的首项为，公差为d，则 即 解之有：， ∴. 法二：∵, , ∴ 90=10+30d ∴ , ∴. 法三：∵为等差数列，, , ∴,(n∈N). ∴ 解之有 ， ∴. 法四：∵为等差数列， ∴、、、,…为等差数列， ∴ ， 又， ∴. 【总结升华】依条件恰当的选择入手公式，性质，从而简洁地解决问题，减少运算量。 举一反三： 【变式】若数列为等差数列，, ,且公差 求； 【解析】∵为等差数列 ∴ 又∵ ∴、是方程的根 ∴或（舍去） 以下解法同例2（1）得 类型二：等差数列的判断与证明 【高清课堂：等差数列382420 典型例题三】 例4．设为数列的前n项和，且.求证：数列为等差数列． 【思路点拨】判断一个数列是否为等差数列，需要严格按照等差数列的概念或性质进行判断。本题中已知条件是关于数列前n项和的，所以应该从前n项和的思路着手考虑。 证明：由得，所以 整理得，又得 相减并整理得: 所以数列是个等差数列 【总结升华】判断或证明数列是等差数列的方法有: (1)定义法:an+1-an=d(常数)(n∈N*){an}是等差数列; (2)中项公式法:2an+1=an+an+2(n∈N*){an}是等差数列; (3)通项公式法:an=kn+b(k、b是常数)(n∈N*){an}是等差数列; (4)前n项和公式法:Sn=An2+Bn(A、B是常数)(n∈N*){an}是等差数列. 举一反三： 【变式】已知数列{an}，an∈N*，Sn =，求证：{an}是等差数列； 【答案】an+1 = Sn+1–Sn, ∴8an+1 =, ∴, ∴， ∵an∈N*，∴， ∴，即， ∴数列{an}是等差数列. 例5．设{an}是等差数列,证明以bn=(n∈N*)为通项公式的数列{bn}是等差数列. 【思路点拨】等差数列的概念是以递推关系的形式给出的，这也是判定一个数列是否为等差数列的首要考虑。 证法一:设等差数列{an}的公差是d(常数), 当n≥2时， =- = = = = (常数) ∴{bn}是等差数列. 证法二:等差数列{an}的前n项和, ∴bn= ∴{bn}是等差数列.