学霸网https://www.xue-ba.org收集整理第1页共2页学霸网https://www.xue-ba.org收集整理第5讲圆锥曲线的常规问题例6已知双曲线－＝1(a>1，b>0)的焦距为2c，直线l过点(a,0)和(0，b)，且点(1,0)到直线l的距离与点(－1,0)到直线l的距离之和s≥c，求双曲线的离心率e的取值范围．审题破题用a，b表示s可得关于a，b，c的不等式，进而转化成关于e的不等式，求e的范围．解设直线l的方程为＋＝1，即bx＋ay－ab＝0.由点到直线的距离公式，且a>1，得到点(1,0)到直线l的距离d1＝，同理可得点(－1,0)到直线l的距离为d2＝，于是s＝d1＋d2＝＝.由s≥c，得≥c，即5a≥2c2，可得5≥2e2，即4e4－25e2＋25≤0，解得≤e2≤5.由于e>1，故所求e的取值范围是.构建答题模板第一步：提取．从题设条件中提取不等关系式；第二步：解不等式．求解含有目标参数的不等式，得到不等式的解集；第三步：下结论．根据不等式的解集，并结合圆锥曲线中几何量的范围，得到所求参数的取值范围；第四步：回顾反思．根据题设条件给出的不等关系求参数的取值范围，要考虑圆锥曲线自身的一些几何意义，如离心率的范围，圆锥曲线定义中的a，b，c的大小关系等．跟踪训练6椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，短轴长为，离心率为，直线l与y轴交于点P(0，m)，与椭圆C交于相异两点A，B，且AP＝3PB.(1)求椭圆C的方程；(2)求m的取值范围．解(1)设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，设c>0，c2＝a2－b2，由题意，知2b＝，＝，所以a＝1，b＝c＝.故椭圆C的方程为y2＋＝1，即y2＋2x2＝1.(2)设直线l的方程为y＝kx＋m(k≠0)，l与椭圆C的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(k2＋2)x2＋2kmx＋(m2－1)＝0，Δ＝(2km)2－4(k2＋2)(m2－1)＝4(k2－2m2＋2)>0，(*)x1＋x2＝，x1x2＝.因为AP＝3PB，所以－x1＝3x2，学霸网https://www.xue-ba.org收集整理第2页共2页学霸网https://www.xue-ba.org收集整理所以所以3(x1＋x2)2＋4x1x2＝0.所以3·2＋4·＝0.整理得4k2m2＋2m2－k2－2＝0，即k2(4m2－1)＋(2m2－2)＝0.当m2＝时，上式不成立；当m2≠时，k2＝，由(*)式，得k2>2m2－2，又k≠0，所以k2＝>0.解得－1
