专题2 第5讲.docx

学霸网 https://www.xue-ba.org 收集整理 第5讲　圆锥曲线的常规问题 例6　已知双曲线－＝1(a>1，b>0)的焦距为2c，直线l过点(a,0)和(0，b)，且点(1,0)到直线l的距离与点(－1,0)到直线l的距离之和s≥c，求双曲线的离心率e的取值范围． 审题破题　用a，b表示s可得关于a，b，c的不等式，进而转化成关于e的不等式，求e的范围． 解　设直线l的方程为＋＝1，即bx＋ay－ab＝0. 由点到直线的距离公式，且a>1，得到点(1,0)到直线l的距离d1＝， 同理可得点(－1,0)到直线l的距离为d2＝， 于是s＝d1＋d2＝＝. 由s≥c，得≥c，即5a≥2c2， 可得5≥2e2，即4e4－25e2＋25≤0， 解得≤e2≤5. 由于e>1，故所求e的取值范围是. 构建答题模板 第一步：提取．从题设条件中提取不等关系式； 第二步：解不等式．求解含有目标参数的不等式，得到不等式的解集； 第三步：下结论．根据不等式的解集，并结合圆锥曲线中几何量的范围，得到所求参数的取值范围； 第四步：回顾反思．根据题设条件给出的不等关系求参数的取值范围，要考虑圆锥曲线自身的一些几何意义，如离心率的范围，圆锥曲线定义中的a，b，c的大小关系等． 跟踪训练6　椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，短轴长为，离心率为，直线l与y轴交于点P(0，m)，与椭圆C交于相异两点A，B，且＝3. (1)求椭圆C的方程； (2)求m的取值范围． 解　(1)设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)， 设c>0，c2＝a2－b2，由题意，知2b＝，＝， 所以a＝1，b＝c＝. 故椭圆C的方程为y2＋＝1，即y2＋2x2＝1. (2)设直线l的方程为y＝kx＋m(k≠0)，l与椭圆C的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由得(k2＋2)x2＋2kmx＋(m2－1)＝0， Δ＝(2km)2－4(k2＋2)(m2－1)＝4(k2－2m2＋2)>0，(*) x1＋x2＝，x1x2＝. 因为＝3，所以－x1＝3x2， 所以所以3(x1＋x2)2＋4x1x2＝0. 所以3·2＋4·＝0. 整理得4k2m2＋2m2－k2－2＝0， 即k2(4m2－1)＋(2m2－2)＝0. 当m2＝时，上式不成立；当m2≠时，k2＝， 由(*)式，得k2>2m2－2， 又k≠0，所以k2＝>0. 解得－1<m<－或<m<1. 即所求m的取值范围为∪. 第 2 页 共 2 页 学霸网 https://www.xue-ba.org 收集整理