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学海在线资源中心 函数的最值与值域 【考纲要求】 1. 会求一些简单函数的定义域和值域； 2. 理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义； 3. 会运用函数图象理解和研究函数的性质． 4. 在某些实际问题中，会建立不等式求参数的取值范围，以及求最大值和最小值. 【知识网络】 函数的最值与值域 函数的值域 函数的最大值 函数的最小值 【考点梳理】 考点一、函数最值的定义 1.最大值：如果对于函数定义域内的任意一个自变量，存在，使得成立，则称是函数的最大值． 注意：下面定义错在哪里？应怎样订正． 如果对于函数定义域内的任意一个自变量，都有，则称是函数的最大值． 2.最小值的定义同学们自己给出． 考点二、函数最值的常用求法 1.可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的取值范围． 2.判别式法：主要适用于可化为关于的二次方程，由（要注意二次项系数为0的情况）求出函数的最值，要检验这个最值在定义域内是否有相应的的值． 3.换元法：很多含根式的函数的最值的求法经常用到换元法来求．常用的换元有———三角代换，整体代换． 4.不等式法：利用均值不等式求最值． 5.利用函数的性质求函数的最值 6.含绝对值的函数或分段函数的最值的求法 7.利用导数求函数的最值。 要点诠释： (1)求最值的基本程序：求定义域、求导数、求导数的零点、列表、根据表比较函数值大小给出最值； (2)一些能转化为最值问题的问题: 在区间D上恒成立函数 在区间D上恒成立函数 在区间D上存在实数使函数 在区间D上存在实数使函数 【典型例题】 类型一、通过转化或换元的方法求解函数的值域或最值 例1.求函数的最值． 【解析】 令（注意的范围），这样所求函数就变为二次函数． 【总结升华】当式子中同时出现和时，都可以化为二次式． 举一反三： 【变式】求函数的值域． 解：平方再开方，得 类型二、函数值的大小比较，求函数值域，求函数的最大值或最小值 例2. 求下列函数值域： (1)； 1)x∈[5，10]； 2)x∈(-3，-2)∪(-2，1)； (2)y=x2-2x+3；　 1)x∈[-1，1]； 2)x∈[-2，2]. 【解析】 (1)2个单位， 再上移2个单位得到，如图 1)f(x)在[5，10]上单增，； 2)； (2)画出草图 1)y∈[f(1)，f(-1)]即[2，6]； 2). 举一反三： 【变式】已知函数. (1)判断函数f(x)的单调区间； (2)当x∈[1，3]时，求函数f(x)的值域. 【解析】 (1) 上单调递增，在上单调递增； (2)故函数f(x)在[1，3]上单调递增 ∴x=1时f(x)有最小值，f(1)=-2 x=3时f(x)有最大值 ∴x∈[1，3]时f(x)的值域为. 类型三、含参类函数的最值与值域问题 例3.（2015 保定模拟）若函数在区间上的值域为，则 . 【答案】4 【解析】记 为奇函数，函数图像关于原点对称. 函数在区间上的最大值记为a,(a>0),则函数在区间上的最小值为-a 即即 故选D. 举一反三： 【变式】已知函数，若关于x的方程有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________. 【解析】单调递减且值域(0,1]，单调递增且值域为，由图象知，若有两个不同的实根，则实数k的取值范围是（0,1）. 类型四、抽象函数的最值与值域问题 例4.若函数的值域是，则函数的值域是（ ） A． B． C． D． 【答案】 【解析】令，则， 举一反三： 【变式】设函数则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵， ∴. 类型五：函数、导数、不等式知识在最值方面的综合应用 例5. （2016 全国新课标Ⅱ）(Ⅰ)讨论函数的单调性，并证明当时，； (Ⅱ)证明：当时，函数有最小值.设的最小值为，求函数的值域． 【解析】（Ⅰ）的定义域为. 且仅当时，，所以在单调递增， 因此当时， 所以 (Ⅱ) 由（Ⅰ）知，单调递增，对任意 因此。存在唯一，使得，即， 当时，单调递减； 当时，单调递增。 因此在处取得最小值，最小值为 于是由单调递增， 所以，由得， 因为单调递增，对任意存在唯一的 使得所以的值域是 综上，当时，有，的值域是 【总结升华】本题重点考查函数的导数，函数，函数极值的判定，给定区间上二次函数的最值等基础知识的综合运用，考查数形结合的数学思想分析问题，解决问题的能力. 举一反三： 【变式】设函数（为常数，是自然对数的底数）. (I)当时，求函数的单调区间； (II)若函数在内存在两个极值点，求的取值范围. 【解析】(I) 的定义域为， 当时，， 令则， 当时，，单调递减. 当时，，单调递增. 的单调递减区间为，的单调递增区间为. (II)由(I)知，时，函数在内单调递减， 故在内不存在极值点. 当时，设函数. 当时，当时，，单调递增，故在内不存在两个极值点. 当时，得： 时，，函数单调递减, 时，，函数单调递增, 的最小值为 函数在内存在两个极值点 解得 综上所述函数在内存在两个极值点时，的取值范围为：. 类型六：函数、不等数与数列知识在最值方面的综合应用 例6.设数列的前项和为，点均在函数的图像上. （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）设，是数列的前项和，求使得对所有都成立的最小正整数. 【解析】（I）依题意得，即. 当时，; 当时，. 所以. （II）由（I）得， 故. 因此，使得成立的必须满足，即, 故满足要求的最小整数为10. 【总结升华】与数列知识结合的函数、不等式,解题时往往以不等式和数列知识结合为工具, 结合函数知识,通过计算和推理来解决问题. 举一反三： 【变式1】已知函数f(x)=a1x+a2x2+…+anxn(n∈N*)，且a1，a2，a3，…，an构成数列{an}，又f(1)=n2． （1）求数列{an}的通项公式； （2）求证：． 【解析】 （1）由题意：f(1)=a1+a2+…+an=n2，(n∈N*) n=1时，a1=1 n≥2时，an=(a1+a2+…+an)-(a1+a2+…+an-1)=n2-(n-1)2=2n-1 ∴对n∈N*总有an=2n-1, 即数列{an}的通项公式为an=2n-1. (2) ∴ ∴ 【变式2】已知数列的首项，，． （Ⅰ）求的通项公式； （Ⅱ）证明：对任意的，，； （Ⅲ）证明：． 【解析】 （Ⅰ），，， 又，是以为首项，为公比的等比数列． ，． （Ⅱ）由（Ⅰ）知， ， 原不等式成立． 【另解】设， 则 ，当时，；当时，， 当时，取得最大值． 原不等式成立． 由（Ⅱ）知，对任意的，有 ． 令， 则， ． 原不等式成立． 类型五：解析几何在最值方面的综合应用 例7．设A（0，0），B（4，0），C（t+4，4），D（t，4）（t∈R）．记N（t）为平行四边形ABCD内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数N（t）的值域为（ ） A．{9，10，11} B．{9，10，12} C．{9，11，12} D．{10，11，12} 【解析】当t≠0时，直线AD的方程为， 分别与直线y=1，y=2，y=3交于点，。 同理直线BC的方程为分别与直线y=1，y=2，y3交于点 ，，。 此时当时，直线y=1，y=2，y=3在平等四边形ABCD内部的线段上各有4个整点， 故此时N（t）=12； 当时，直线y=1，y=2在平行四边形ABCD内部的线段上各有4个整点， 而直线y=3在平行四边形ABCD内部的线段上只有3个整点， 此时N（t）=11。同理可得当时，N（t）=12； 当时，N（t）=11。 综上得 ，其中k∈Z）。 故选C。 【答案】C 当t=0时，平行四边形ABCD为正方形，不含边界的整点个数为9个。 【变式2】设直线x=t与函数，的图像分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为（ ） A．1 B． C． D． 【答案】D 如图，，令， ∵，∴易知时，； 时，。 于是可判断当时，|MN|取得小值。