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学海在线资源中心 导数的综合应用 【考纲要求】 1.了解复合函数的求导法则 会求某些简单函数的导数； 2.理解可导函数的单调性与其导数的关系，能利用导数研究函数的单调性； 3.了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)，会求给定函数的极大值、极小值，会求给定函数在闭区间上的最大值、最小值； 4．提高应用知识解决实际问题的能力。 【知识网络】 导数的应用 极值与最值问题 函数的单调性问题 切线斜率、方程 【考点梳理】 【高清课堂：导数的应用（理）394572 知识要点】 考点一、求切线方程的一般方法 （1）求出函数在处的导数； （2）利用直线的点斜式得切线方程。 要点诠释：求切线方程，首先要判断所给点是否在曲线上.若在曲线上，可用上法求解；若不在曲线上，可设出切点，写出切线方程，结合已知条件求出切点坐标，从而得方程. 考点二、判定函数的单调性 （1）函数的单调性与其导数的关系 设函数y=f(x)在某个区间内可导，则当时，y=f(x)在相应区间上为增函数；当时，y=f(x) 在相应区间上为减函数；当恒有时，y=f(x)在相应区间上为常数函数。 要点诠释：①在区间(a,b)内，是f(x)在(a，b)内单调递增的充分不必要条件！例如：而f(x)在R上递增。 ②学生易误认为只要有点使，则f(x)在(a，b)上是常函数，要指出个别导数为零不影响函数的单调性，同时要强调只有在这个区间内恒有，这个函数y=f(x)在这个区间上才为常数函数。 ③要关注导函数图象与原函数图象间关系。 （2）利用导数判断函数单调性的基本步骤 ①确定函数f(x)的定义域； ②求导数； ③在定义域内解不等式； ④确定f(x)的单调区间。 要点诠释：函数f(x)在区间(a,b)内是单调递增或递减的判定可依据单调性定义也可利用导数，应根据问题的具体条件适当选用方法，有时须将区间(a,b)划分成若干小区间，在每个小区间上分别判定单调性。 考点三、函数的极值 （1）极值的概念 一般地，设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义， ①如果对于x0附近的所有点，都有：f(x)<f(x0)，称f(x0)为函数f(x)的一个极大值，记作y极大值=f(x0)； ②如果对于x0附近的所有点，都有：f(x)>f(x0)，称f(x0)为函数f(x)的—个极小值，记作y极小值=f(x0)。 极大值与极小值统称极值。在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。 要点诠释： ①在函数的极值定义中，一定要明确函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义，否则无从比较。 ②函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，是一个局部概念，在函数的整个定义域内可能有多个极值，也可能无极值。由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。 ③极大值与极小值之间无确定的大小关系。即一个函数的极大值未必大于极小值。极小值不一定是整个定义区间上的最小值。 ④函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。 ⑤连续函数的某一点是极值点的充要条件是该点两侧的导数异号。我们主要讨论可导函数的极值问题，但是函数的不可导点也可能是极值点。如某些间断点也可能是极值点，再如y=|x|，x=0。 ⑥可导函数在某点取得极值，则该点的导数一定为零，反之不成立。在函数取得极值处，如果曲线有切线的话，则切线是水平的，从而有。但反过来不一定。如函数y=x3，在x=0处，曲线的切线是水平的，但这点的函数值既不比它附近的点的函数值大，也不比它附近的点的函数值小。 （2）求极值的步骤 ①确定函数的定义域； ②求导数； ③求方程的根； ④检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值。 (最好通过列表法) 要点诠释：函数极值只反映函数在某点附近值的大小情况。在某区间上函数的极值可能有若干个，而且极小值未必小于极大值。f＇(x0)=0仅是函数f(x)在点x0处有极值的必要条件，点x0是f(x)的极值点，当且仅当在x0的左右f＇(x)的符号产生变化。 考点四、函数的最值 函数的最值表示函数在定义域内值的整体情况。连续函数f(x)在闭区间[a,b]上必有一个最大值和一个最小值，但是最值点可以不唯一；但在开区间(a，b)内连续的函数不一定有最大值和最小值。 （1）最值与极值的区别与联系： ①函数最大值和最小值是比较整个定义域上的函数值得出的，是整个定义区间上的一个概念，而函数的极值则是比较极值点附近两侧的函数值而得出的，是局部的概念； ②极值可以有多个，最大(小)值若存在只有一个； ③极值只能在区间内取得，不能在区间端点取得；而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。 ④有极值的函数不一定有最值，有最值的函数未必有极值，极值可能成为最值。 （2）在区间[a，b]上求函数y=f(x)的最大与最小值的步骤 ①求函数y=f(x)在(a，b)内的导数 ②求函数y=f(x)在(a，b)内的极值 ③将函数y=f(x)在(a，b)内的极值与区间两端的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。 要点诠释：①函数的最值表示函数在定义域内值的整体情况。连续函数f(x)在闭区间[a,b]上必有一个最大值和一个最小值，但是最值点可以不唯一。 ②在实际问题中，要由实际问题的背景构造出相应的函数关系式y=f(x),并注明其定义域，当在定义域内只有一个解时，并且最值一定存在，则此点即为函数f(x)的最值点。 【典型例题】 类型一：函数的切线问题 例1.求曲线的分别满足下列条件的切线： （1）在点的切线；（2）过点的切线； 【解析】 （1）时，在点的切线的切线的斜率， ∴在点的切线为，即. （2）当切点为点时，切线为 当切点不是点时，设切点为， 则， 解得或（舍去） ∴切点为的切线为，即， 故过点的切线为或. 举一反三： 【变式1】已知曲线，曲线上哪一点处切线与直线y=-2x+3垂直，并写出这一点的切线方程。 【解析】∵， 令，得x=4, 将x=4代入中得y=5 ∴切点坐标是(4,5)， ∴切线方程为：. 即：x-2y+6=0。 【变式2】设函数的图象与直线相切于点（1，－11）,求a，b的值. 【解析】 ∵的图象与直线相切于点（1，－11）. ∴，即 解之得a=1，b=－3. 类型二：函数单调性问题 例2．（2016年北京高考） 设函数，曲线在点处的切线方程为. （1）求的值； （2）求的单调区间. 【解析】 （I） ∴ ∵曲线在点处的切线方程为 ∴， 即① ② 由①②解得：， （II）由（I）可知：， 令， ∴ 极小值 ∴的最小值是 ∴的最小值为 即对恒成立 ∴在上单调递增，无减区间. 举一反三： 【变式1】设恰有三个单调区间，试确定a的取值范围，并求其单调区间. 【解析】 （1）当时，则恒成立， 此时f(x)在R上为单调函数，只有一个单调区间为，不合题意； （2）当时， ， ∴当时，函数有三个单调区间， 增区间为：； 减区间为：，. 【变式2】已知f(x)=x2+1, g(x)=x4+2x2+2且F(x)=g(x)-lf(x), 试问：是否存在实数l，使F(x)在(-¥,-1)上是减函数，且在(-1,0)上是增函数. 【解析】假设存在实数l满足题设. F(x)=g(x)-lf(x)=(x4+2x2+2)-l(x2+1)=x4-(l-2)x2+(2-l), F¢(x)=4x3-2(l-2)x, 令4x3-2(l-2)x=0, （1）若l≤2，则x=0. 当x∈(-∞,0)时，F¢(x)<0；当x∈(0,+∞)时，F¢(x)>0. ∴F(x)在(-∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，显然不符合题设. （2）若l>2，则x=0或， 当时，F¢(x)<0；当时，F¢(x)>0； 当时，F¢(x)<0；当时，F¢(x)>0. ∴F(x)的单调增区间是，， 单调减区间是，. 要使F(x)在(-∞,-1)上是减函数，且在(-1,0)上是增函数， 则，即l=4. 故存在实数l=4，使F(x)在(-∞,-1)上是减函数，且在(-1,0)上是增函数. 类型三：函数的极值问题 例3.（2015 重庆高考） 设函数 （1）若f(x)在x=0处取得极值，确定a的值，并求此时曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程； （2）若f(x)在[3,+∞）上为减函数，求a的取值范围。 【解析】(1)对f(x)求导得 因为f(x)在x=0处取得极值，所以f＇(0)=0，即a=0. 当a=0时，，故，从而f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为，化简得3x－ey=0 （2）由（1）得，， 令g(x)=-3x2+(6-a)x+a 由g(x)=0，解得. 当x＜x1时，g(x)＜0，故f(x)为减函数； 当x1＜x＜x2时，g(x)＞0，故f(x)为增函数； 当x＞x2时，g(x)＜0，故f(x)为减函数； 由f(x)在[3，+∞）上为减函数，知，解得 故a的取值范围为. 【总结升华】利用“在处取得极值，则必有导数”是本题的破题关键. 举一反三： 【变式1】已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10，求a,b的值. 【解析】 依题意得方程组 解得. 当a=-3,b=3时， 令得x=1. x (-∞,1) 1 (1,+∞) + 0 + ↗ 无极值 ↗ 显然a=-3, b=3不合题意，舍去. 当a=4, b=-11时，f´(x)=3x2+8x-11=(x-1)(3x+11) 令得或 x=1. x 1 （1，+∞） + 0 - 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ f(x)在x=1处有极小值10，合题意， ∴a=4, b=-11. 【变式2】已知函数，当且仅当时，取得极值，并且极大值比极小值大4. （1）求常数的值； （2）求的极值. 【解析】，令得方程 ∵在处取得极值 ∴或为上述方程的根， ∴，即 　 ∴ ①当时，（不符合题意） ②当时，当x变化时，与的变化情况如下表： 1 (1，+∞) + 0 — 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ ∴在处取得极大值，在处取得极小值. 由题意得， 整理得，又 联立，解得， ∴ 由表知道：， ③当时，当x变化时，与的变化情况如下表： 当x变化时，与的变化情况如下表： 1 (1，+∞) - 0 + 0 - ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘ ∴在处取得极小值，在处取得极大值. 由题意得， 整理得，又 联立，解得， ∴ ， 综上可得： （１），或， （２）当，时，， 当，时，， 类型四：函数的最值问题 【高清课堂：导数的应用（理）394572 典型例题一】 例4.已知函数 （1）若曲线与曲线在它们的交点（1，c）处具有公共切线，求的值； （2）当时，求函数的单调区间，并求其在区间上的最大值。 【解析】（1）， 由题意： （2）令 令 令 令 + 0 - 0 + ↗ 极大 ↘ 极小 ↗ 所以函数的单调增区间是， 单调减区间是 结合函数单调性的草图知： 当即时， 在上单调增， 当即时， 在上单调增，在上单调减， 当即时， 由题意得，则 综上，当时， 当时，. 举一反三： 【变式1】求函数在[0，2]上的最大值和最小值. 【解析】， 令，化简为x2+x－2=0. 解得x=－2（舍去）或x=1. ，又因为，， ， 所以为函数在[0，2]上的最小值， 为函数在[0，2]上的最大值. 【变式2】（2015 河南一模）已知函数f（x）=xlnx，g（x）=（﹣x2+ax﹣3）ex（a为实数）． （Ⅰ）当a=5时，求函数y=g（x）在x=1处的切线方程； （Ⅱ）求f（x）在区间[t，t+2]（t＞0）上的最小值； （Ⅲ）若存在两不等实根x1，x2∈[，e]，使方程g（x）=2exf（x）成立，求实数a的取值范围． 【解析】（Ⅰ）当a=5时，g（x）=（﹣x2+5x﹣3）ex，g（1）=e． g′（x）=（﹣x2+3x+2）ex，故切线的斜率为g′（1）=4e ∴切线方程为：y﹣e=4e（x﹣1），即y=4ex﹣3e； （Ⅱ）f′（x）=lnx+1， x f'（x） ﹣ 0 + f（x） 单调递减 极小值（最小值） 单调递增 ①当时，在区间（t，t+2）上f（x）为增函数， ∴f（x）min=f（t）=tlnt； ②当时，在区间上f（x）为减函数，在区间上f（x）为增函数， ∴； （Ⅲ） 由g（x）=2exf（x），可得：2xlnx=﹣x2+ax﹣3， ， 令，． x 1 （1，e） h′（x） ﹣ 0 + h（x） 单调递减 极小值（最小值） 单调递增 h（1）=4，h（e）=． ． ∴使方程g（x）=2exf（x）存在两不等实根的实数a的取值范围为．