知识梳理(25).doc

学海在线资源中心 双曲线 【考纲要求】 1.了解双曲线图形的实际背景及形成过程； 2.掌握双曲线的定义、几何图形、标准方程及简单性质； 3.掌握双曲线的简单应用； 4.理解解析几何中数形结合思想的运用. 【知识网络】 双曲线 数形结合思想 标准方程及简单性质 双曲线的实际背景及定义 【考点梳理】 【高清课堂：双曲线及其性质404777 知识要点】 考点一、双曲线的定义 在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于定长（）的动点的轨迹叫作双曲线.这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距. 要点诠释： （1）双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解； （2）若常数满足约束条件：（），则此时的曲线是双曲线的靠的一支； （3）若常数满足约束条件：，则此时的曲线是两条射线； （4）若常数满足约束条件：，则此时的曲线不存在. 考点二、双曲线的标准方程 （1）当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中； （2）当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中. 要点诠释： （1）只有当双曲线的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到双曲线的标准方程； （2）在双曲线的两种标准方程中，都有； （3）双曲线的焦点总在实轴上，即系数为正的项所对应的坐标轴上. 当的系数为正时，焦点在轴上，双曲线的焦点坐标为，； 当的系数为正时，焦点在轴上，双曲线的焦点坐标为，. 考点三、双曲线的简单几何性质 双曲线的简单几何性质 （1）范围：，； （2）焦点，顶点，实轴长=，虚轴长=，焦距＝； （3）离心率是； （4）渐近线：. 双曲线的简单几何性质 （1）范围：，； （2）焦点，顶点，，实轴长=，虚轴长=，焦距＝； （3）离心率是； （4）渐近线：. 考点四、有关双曲线的渐近线的问题 （1）已知双曲线方程求渐近线方程： 若双曲线方程为渐近线方程 （2）已知渐近线方程求双曲线方程： 若渐近线方程为双曲线可设为 （3）若双曲线与有公共渐近线，可设为（，焦点在轴上，，焦点在y轴上） （4）特别地当离心率两渐近线互相垂直，分别为，此时双曲线为等轴双曲线，可设为. 考点五、双曲线图像中线段的几何特征： 双曲线的图像如图所示： （1）实轴长，虚轴长,焦距， （2）离心率：； （3）顶点到焦点的距离：，； （4）中结合定义与余弦定理，将有关线段、、和角结合起来. 【典型例题】 类型一：求双曲线的标准方程 例1. 求与椭圆有共同的焦点，且过点的双曲线的标准方程。 【解析】依题意设双曲线方程为 由已知得， 又双曲线过点，∴ ∴ 故所求双曲线的方程为. 【总结升华】先根据已知条件确定双曲线标准方程的焦点的位置（定位），选择相应的标准方程，再利用待定系数法确定、. 举一反三： 【变式】求中心在原点，对称轴在坐标轴上且分别满足下列条件的双曲线的标准方程. （1）一渐近线方程为，且双曲线过点. （2）虚轴长与实轴长的比为，焦距为10. 【解析】 （1）依题意知双曲线两渐近线的方程是,故设双曲线方程为， ∵点在双曲线上， ∴，解得， ∴所求双曲线方程为. （2）由已知设, ,则() 依题意，解得. ∴双曲线方程为或. 类型二：双曲线的焦点三角形 例2.中心在原点，焦点在x轴上的一个椭圆与双曲线有共同焦点和，且，又椭圆长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比. （1）求椭圆与双曲线的方程； （2）若为这两曲线的一个交点，求的余弦值. 【解析】 （1）设椭圆方程为()，双曲线方程， 则，解得 ∵,∴ , . 故所求椭圆方程为，双曲线方程为. （2）由对称性不妨设交点在第一象限.设、. 由椭圆、双曲线的定义有: 解得 由余弦定理有. 举一反三： 【变式1】设为双曲线上的一点，是该双曲线的两个焦点，若，则的面积为（ ） A． B． C． D． 【解析】依据双曲线的定义有， 由得、， 又，则，即， 所以，故选B. 例3．方程表示双曲线，求实数m的取值范围。 【解析】由题意得或或 。 ∴实数m的取值范围为。 【总结升华】方程Ax2+By2=1表示双曲线时，A、B异号。 举一反三： 【变式1】k＞9是方程表示双曲线的（ ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【变式2】设双曲线的渐近线方程为，则的值为 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 例4．已知双曲线的方程是. （1）求这双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程； （2）设和是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，且，求的大小 【解析】 （1）由得， ∴，，.焦点、，离心率，渐近线方程为. （2）， ∴ ∴ 举一反三 【变式1】已知是双曲线的两个焦点，P在双曲线上且满足，则______。 【答案】 【变式2】已知双曲线，P为双曲线上一点，是双曲线的两个焦点，并且，求的面积。 【答案】 类型三：离心率 【高清课堂：双曲线及其性质404777 例1】 例5.在平面直角坐标系xOy中，若双曲线的离心率为，则的值为________． 【解析】双曲线中，且 所以 则 解得 举一反三： 【变式1】已知双曲线-=1与x轴正半轴交于A点，F是它的左焦点，设B点坐标为(0,b)，且AB⊥BF，则双曲线的离心率为（ ） A、 B、 C、 D、 【答案】B 【变式2】 若椭圆的离心率为,则双曲线的离心率为_______ 【答案】 例6. 已知是双曲线的左、右焦点,过且垂直于轴的直线与双曲线的左支交于A、B两点,若是正三角形,求双曲线的离心率。 【解析】∵，是正三角形， ∴， ∴， ∴ 举一反三： 【变式1】 双曲线的渐进线方程,则双曲线的离心率为________ 【答案】 【变式2】 等轴双曲线的离心率为_________ 【答案】