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学海在线资源中心 基本不等式 【考纲要求】 1.了解基本不等式的证明过程，理解基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等； 2.会用基本不等式解决最大（小）值问题. 3.会应用基本不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题 【知识网络】 基本不等式 重要不等式 最大（小）值问题 基本不等式 基本不等式的应用 扩充不等式 绝对值不等式 柯西不等式 【考点梳理】 考点一：两个重要不等式及几何意义 1．重要不等式： 如果，那么（当且仅当时取等号“=”）. 2．基本不等式： 如果是正数，那么（当且仅当时取等号“=”）. 要点诠释：和两者的异同： （1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数； （2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”。 （3）可以变形为：，可以变形为：. 3.如图，是圆的直径，点是上的一点，,，过点作交圆于点D，连接、. 易证，那么，即. 这个圆的半径为，它大于或等于，即，其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立. 要点诠释：1.在数学中，我们称为的算术平均数，称为的几何平均数. 因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 2.如果把看作是正数的等差中项，看作是正数的等比中项，那么基本不等式可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项. 要点二、用基本不等式求最大（小）值 在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等。 ① 一正：函数的解析式中，各项均为正数； ② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值。 要点三、几个常见的不等式 1），当且仅当a=b时取“=”号。 2），当且仅当a=b 时取“=”号。 3）；特别地：； 4） 5）； 6）； 7） 要点四、绝对值不等式的性质 　　1.； 2.； 要点五、柯西不等式 1. 二维形式的柯西不等式： （1）向量形式： 设是两个向量，则，当且仅当是零向量或存在实数k，使时，等号成立。 （2）代数形式： ①若a、b、c、d都是实数，则，当且仅当ac=bd时，等号成立； ②若a、b、c、d都是正实数，则，当且仅当ac=bd时，等号成立； ③若a、b、c、d都是实数，则，当且仅当ac=bd时，等号成立； 要点诠释：柯西不等式的代数形式可以看作是向量形式的坐标化表示； （3）三角形式： 设，则。 2. 三维形式的柯西不等式（代数形式）： 若都是实数，则，当且仅当或存在实数k，使得时，等号成立。 3. 一般形式的柯西不等式（代数形式）： 若都是实数，则 ， 当且仅当或存在实数k，使得时，等号成立。 【典型例题】 类型一：基本不等式求最值问题 【高清课堂：基本不等式394847 基础练习二】 例1．设，则的最小值是 A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】 当且仅当即时取等号. 【答案】D 举一反三： 【变式1】已知, 且，求的最小值及相应的值. 【解析】∵, ∴, 又, ∴ 当且仅当即时取等号 ∴ 当时，取最小值. 【变式2】求下列函数的最大（或最小）值. （1）； (2)， ； (3) ， (4) ， ； (5)， 【解析】（1）∵ ，∴，∴ 当且仅当，即时取等号 ∴时， (2) ∵，∴ 当且仅当即时，. (3) ∵，∴ ∴ 当且仅当即时，. (4) ∵，∴ ∴ 当且仅当 即时，. (5) ∵，∴ ∴ 当且仅当即时， 【变式3】已知且，求的最小值. 【解析】方法一：且 ∴ （当且仅当即时等号成立）. ∴的最小值是16. 方法二：由，得， ∵，∴ ∴ 当且仅当即时取等号，此时 ∴的最小值是16. 方法三：由得，∴ ∴ 当且仅当时取等号， ∴的最小值是16. 类型二：利用基本不等式证明不等式 例2.已知，，，求证：，，中至少有一个小于等于. 证明：假设 则有 〔＊〕 又∵ 与〔＊〕矛盾 举一反三： 【变式1】已知、、都是正数，求证： 【解析】∵、、都是正数 ∴ （当且仅当时，取等号） （当且仅当时，取等号） （当且仅当时，取等号） ∴（当且仅当时，取等号） 即. 【变式2】已知、都是正数，求证：。 【解析】∵、都是正数 ，∴，， ∴（当且仅当即时,等号成立） 故. 类型三：基本不等式在实际问题中的应用 【例4】(2015春 贵阳校级期末)某单位建造一间靠墙的小房，地面面积为，房屋正面每平方米造价为1200元，房屋侧面每平方米造价为800元，屋顶的造价为5800元，如果墙高为3m，且不计房屋背面和地面的费用，设房屋正面地面的边长为xm，房屋的总造价为y元. (1)求y用x表示的函数关系式. (2)怎样设计房屋能使总造价最低？最低造价是多少？ 【解析】(1)如图所示，设底面的长为xm,宽为ym，则 设房屋总造价为由题意可得： (2) 当且仅当x=4时取等号. 答：当底面的长宽分别为4m，3m时，可使房屋总造价最低，总造价是34600元. 举一反三： 【变式】(2015 南昌其中)新建一个娱乐场的费用时50万元，每年的固定费用(水、电费、员工工资等)4.5万元，年维修费用第一年1万元，以后逐年递增1万元，问该娱乐场使用多少年时，它的平均费用最少？ 【解析】设使用x年时，平均费用最少，平均费用为y万元，所以总维修费用为万元，则： 当且仅当时，即x=10时等号成立.所以娱乐场使用10年时，它的平均费用最少. 类型四：利用绝对值不等式求最值 例5. 不等式对恒成立，则实数的取值范围是 ； 【解析】设，则对恒成立， ∵ ， ∴的最小值为， ∴实数的取值范围是. 举一反三： 【变式1】求的最值 【解析】由得：， ∴ ∴的最小值为，最大值为6. 【变式2】不等式对恒成立，则常数的取值范围是 ； 【解析】设，则对恒成立， ∵ ， ∴的最大值为， ∴实数的取值范围是. 类型五：利用柯西不等式求最值 例6. 设，求函数的最大值． 【解析】∵ ∴根据柯西不等式 ， 故. 当且仅当，即时等号成立， 此时， 举一反三： 【变式1】求函数的最大值． 【解析】函数的定义域为[1，5]，且y>0， 当且仅当时，等号成立， 即时函数取最大值，最大值为.