八年级下册数学 第七章 本章总结.doc

本章总结 一、 知识网络回顾 二、 重点专题讲解 【专题1】如何确定不等式中的字母系数 近几年中考试题中，经常出现求不等式（组）中的字母系数的值或取值范围的试题，解决这类问题可先求出不等式（组）的解集，再根据解的分布对照求解．相对于解不等式（组），这类问题更注重了知识的发生过程的考查，解答时要充分挖掘问题潜在的特征，多角度、全方位审视字母系数． （一）运用不等式的基本性质求解 【例1】如果关于x的不等式 (a+1) x>a+1的解集为x<1，那么a的取值范围是（　　　） A. a>0 B. a<0 C. a>-1 D. a<-1 分析：从不等式 (a+1) x>a+1得到不等式的解集x<1，是对不等式两边都除以a+1得到的，注意到不等号方向改变了，根据不等式性质3，得，解得，故选D． 解：选D。 点拨：本题考查了对不等式性质2的逆向运用． (二)、运用不等式的解集的唯一性构造方程求解 【例2】不等式组的解是0＜x＜2，那么a+b的值等于＿＿＿. 分析：视a与b为常数，确定不等式组的解集，进而利用已知条件即可求出a与b的值，从而问题获解. 解：视a与b为常数，解不等式组得 因为不等式组的解是0＜x＜2，所以有4－2a＝0，＝2， 所以a＝2，b＝－1.当a＝2，b＝－1时，a+b＝1. 点拨：把a与b看成常数来解不等式组是解本题的关键和难点。 (三)、运用数轴直观求解 【例3】关于x的不等式3x―2a≤―2的解集如图7-C-1所示，则a的值是 ． 图7-C-1 分析：解不等式3x―2a≤―2得，而由图可知不等式的解集为，故，解得． 解： 点拨：本题先把字母a看作字母系数，求出不等式的解集，结合图形给出的不等式的解集，构造出关于a的一元一次方程，求得a的值．本题以数轴给出不等式的解，考查了数形结合的数学思想． 【专题2】与一次函数有关的综合题 一次函数与方程、不等式的综合等问题是第七章的难点，具有很强的挑战性。结合具体问题认识一元一次方程、不等式与一次函数的联系，灵活运用相关知识与方法解决有关的综合性问题。由于任何一个一元一次不等式都可以化成ax+b>0或ax+b<0 (a、b为常数，a≠0)的形式，所以解一元一次不等式可以看作当一次函数y=ax+b的值大（小）于0时，求自变量的相应的取值范围问题。 【例4】（2006·南京）某块试验田里的农作物每天的需水量(千克)与生长时间(天)之间的关系如折线图7-C-2所示.这些农作物在第10天、第30天的需水量分别为2000千克、3000千克，在第40天后每天的需水量比前一天增加100千克. (1)分别求出≤40和≥40时与之间的关系式； (2)如果这些农作物每天的需水量大于或等于4000千克时 需要进行人工灌溉，那么应从第几天开始进行人工灌溉？ 图7-C-2 分析：观察图形，函数图像是折线，所以此题应是分段函数；根据图中的信息可以利用待定系数法来求出函数的解析式。 解：（1）当x≤40时，设y=kx+b，根据题意得，解得。 ∴当≤40时，与之间的关系式为y=50x+1500； ∴当x=40时，y=50×40+1500=3500； 当≥40时，由题意得:y=100(x-40)+3500即y=100x-500。 （2）当y≥4000时，y与x之间的关系式为y=100x-500，解不等式100x-500≥4000得x≥45。所以应从第45天开始人工灌溉。 点拨：该例综合考查分段函数、一次函数与一元一次不等式，其中待定系数法的运用是解题的关键。 【例5】 甲、乙两家商场以同样的价格出售同样的电器，但是各自推出的优惠方案不同．甲商场规定：凡购买超过1000元电器的，超出的金额按90%实收；乙商场规定：凡购买超过500元电器的，超出的金额按95%实收．顾客怎样选择商场购买电器能获得更大的优惠？ 分析：本题涉及甲、乙两家商场以同样的价格出售同样的电器，推出的不同优惠方案，要比较哪个商场价格更优惠，由于优惠的范围不同，所以需要根据购买电器的金额范围分类讨论．比较在哪家购买更优惠． 解：设顾客所购买电器的金额为x元，由题意得： 当0＜x≤500时，可任意选择甲、乙两商场； 当500＜x≤1000时，可选择乙商场； 当x＞1000时， 甲商场实收金额为：y甲＝1000＋(x－1000)×0.9（元）； 乙商场实收金额为：y乙＝500＋(x－500)×0.95 （元）； ①若y甲＜y乙时，即：1000＋(x－1000)×0.9＜500＋(x－500)×0.95， 0.9x＋100＜0.95x＋25， －0.05x＜－75， x＞1500， 所以，当x＞1500时，可选择甲商场． ②若y甲＝y乙时，即： 1000＋(x－1000)×0.9＝500＋(x－500)×0.95， 0.9x＋100＝0.95x＋25， －0.05x＝－75， x＝1500． 所以，当x＝1500时，可任意选择甲、乙两商场． ③若y甲＞y乙时，即：1000＋(x－1000)×0.9＞500＋(x－500)×0.95， 0.9x＋100＞0.95x＋25， －0.05x＞－75， x＜1500． 所以，当x＜1500时，可选择乙商场． 综上所述，顾客对于商场的选择可参考如下： （1）当0＜x≤500或x＝1500时，可任意选择甲、乙两商场； （2）当500＜x＜1500时，可选择乙商场； （3）当x＞1500时，可选择甲商场． 点拨：用一次函数联合不等式解决哪种更优惠问题是一种有效的解题方法，这类问题也是中考中的一种重要的题型，应加强训练． 【专题3】数学思想方法 数学思想方法是数学内容的最高形式体现，也是数学学习的对象之一．因此，在数学学习的过程中应当注意思想方法的学习和巩固． (一)、数形结合思想： 数形结合思想是将代数的一般性与几何图形的直观性结合在一起的一种重要的数学思想。求不等式的解集的过程是解释数量不等关系的过程，用数轴表示不等式（组）的解集的过程是将数量不等关系图形化的过程，在此“数”与“形”要巧妙结合。 【例6】解不等式组 分析：此题是解一元一次不等式组，它必须找出2个解集的公共部分，通过将每个不等式的解集表示在数轴上，认真观察来找出公共部分。 解：由①得：。 由②得： 将①、②的解集表示在数轴上，如下图. -3 4 0 图7-C-3 则不等式的解集为。 点拨：数形结合思想是一种重要的解题思想方法. 本例借助数轴将原不等式组的解集直观地表示出来，即可很快求出的取值范围. （二）、分类思想 分类思想就是按照一定的标准，把研究对象分成为数不多的几个部分或几种情况，然后逐个加以解决，最后予以总结作出结论的思想方法.其实质是化整为零，各个击破的转化策略.在研究不等式的应用问题时经常要用到分类的思想方法 【例7】:比较a+b与a-b的大小 分析: （a+b）-（a-b）=a+b-a+b=2b.本题中没有说明b的大小情况，差值2b的大小情况就不能确定，进而也就不能判明a+b与a-b的大小关系了. 解: （a+b）-（a-b）=a+b-a+b=2b. 当b＞0时，2b＞0，得到a+b＞a-b， 当b=0时，2b=0，得到a+b=a-b， 当b＜0时，2b＜0，得到a+b＜a-b. 点拨：差值与0的大小不能确定时，原被减式与减式出现大于、等于、小于三种关系，解决这类问题时只能分类讨论，不能随意下结论.分类讨论时，只讨论影响差值与0关系的字母或代数式的变化情况，对差值结果没有影响的字母a或代数式就不必讨论.如本题中对差值没有影响，故不考虑. 　　（三）、建模思想 　列不等式（组）解决实际问题，实际上是运用建模的思想方法.所谓的建模思想方法是建立解决实际问题的数学模型，如方程（组）、不等式（组）等，然后用数学模型来解决实际问题. 【例8】某商店需要购进一批电视机和洗衣机，根据市场调查，决定电视机进货量不少于洗衣机的进货量的一半.电视机与洗衣机的进价和售价如下表： 类　别 电视机 洗衣机 进价（元/台） 1800 1500 售价（元/台） 2000 1600 计划购进电视机和洗衣机共100台，商店最多可筹集资金161 800元. （1）请你帮助商店算一算有多少种进货方案？（不考虑除进价之外的其它费用） （2）哪种进货方案待商店销售购进的电视机与洗衣机完毕后获得利润最多？并求出最多利润.（利润＝售价－进价） 分析　由“电视机进货量不少于洗衣机的进货量的一半”和“商店最多可筹集资金161 800元”这两个不等量关系，可列出不等式组求出购买电视机和洗衣机的数量，进而求解. 解（1）设商店购进电视机x台，则购进洗衣机(100－x)台. 则根据题意，得 解得 即33≤x≤39. 即购进电视机最少34台，最多39台，商店有6种进货方案. （2）通过计算这6种方案中当x＝39时，商店获利最多.即商店购进电视机39台，洗衣机61台，此时获得的最大利润为39×200+61×100＝13900（元）. 点拨：现实生活中广泛存在着数量之间的相等关系，因此，可建立方程模型来求解问题.同时，还存在着诸如估计生产数量、核定价格范围、投资决策等含有不等关系的问题，可建立不等式（组）模型来求解. 　 (四)、转化思想 转化思想是一种重要的数学思想，它蕴涵着极其丰富的内容，应用非常广泛。在解数学题时，运用转化思想，可化繁为简，把握解题的关键，突破解题的难点，探明解题的思路，获得新颖、独特的解题方法，从而提高解题的能力。 【例9】已知关于x的不等式2x+m>-5的解集如图7-C-4所示，则m的值为( ) A．1 B．0 C．-1 D．-2 图7-C-4 分析：一元一次方程（组）和一元一次不等式（组），它们之间可以相互转化，也就是说，有时可把一次方程（组）问题转化为不等式（组）来求解；有时又可以把不等式（组）问题转化为一次方程（组）来求解 。 解：由图可知：不等式的解集为，而解不等式得：， ，即，故选A。 【例10】　当m取何值时,关于x的方程的解大于1? 分析:先解关于x的方程,用含m的代数式表示x,然后将这个代数式转化为不等式,从中求出m的值. 解:由原不等式得x-2（6m-1）=6x-3（5m-1）， x-12m+2=6x-15m+3， . 依题意有,3m＞6,m＞2. ∴当m＞2时,关于x的方程的解大于1. 点拨:本题方程表示相等关系,其中m是一个定值,而表示不等关系,m的取值是一个范围m＞2. 三、 综合解题指导 【例11】(条件开放型)对于命题“a、b是实数，若a>b，则a2>b2”.若结论保持不变，怎样改变条件，命题才是真命题，给出以下四种改法： （1）“a、b是实数，若a>b>0，则a2>b2”; （2）“a、b是实数，若a>b且a+b>0，则a2>b2”; （3）“a、b是实数，若a<b<0，则a2>b2”; （4）“a、b是实数，若a＜b且a+b＜0，则a2>b2”;其中，真命题的个数是（ ）。 A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 分析：这是一道条件开放型试题。由于原命题是一个假命题，因此，需要考生在原命题的题设上再附加约束条件，变假命题为真命题。考题已给出了四种改法去辨别，这时，可逐一进行推断。 解：对于（1） ∵ a>b>0 ∴ a+b>0 a-b>0 ∴ (a+b)(a-b)>0 ∴ a2-b2>0 即 a2>b2 故（1）是真命题。 对于（2） ∵ a>b ∴ a-b>0 ∵ a+b>0 ∴ (a+b)(a-b)>0 ∴ a2-b2>0 即 a2>b2 故（2）是真命题。 对于（3） ∵ a＜b＜0 ∴ a-b＜0 a+b＜0 ∴ (a+b)(a-b)>0 ∴ a2-b2>0 即 a2>b2 故（3）是真命题。 对于（4） ∵ a＜b ∴ a-b＜0 又∵ a+b＜0 ∴ (a+b)(a-b)>0 ∴ a2-b2>0 即 a2>b2 故（4）是真命题。 点拨：这类选择题也可以用特殊值来代入检验。 【例12】(分类讨论题)（2008·宜宾）某学校准备添置一些“中国结”挂在教室.若到商店去批量购买，每个“中国结”需要10元；若组织一些同学自己制作，每个“中国结”的成本是4元，无论制作多少，另外还需共付场地租金200元.亲爱的同学，请你帮该学校出个主意，用哪种方式添置“中国结”的费用较节省？ 分析　由于题目中并没有确定准备添置多少“中国结”，所以就难以确定是到商店去批量购买，还是组织一些同学自己制作，所以只能分情况讨论. 解　设需要中国结x个，则直接购买需10x元，自制需(4x+200)元.下面分两种情况： ①若10x＜4x+200，得x＜33，即少于33个时，到商店购买更便宜； ②若10x＝4x+200，得x＝33，即等于33个时，到商店购买与自已制作一样便宜； ③若10x＞4x+200，得x＞33，即多于33个时，自已制作更便宜. 点拨：本题利用费用的多少展开讨论，既保证了问题的正确性，又确定了添置的方式. 【例13】（数形结合型）关于x的不等式组只有4个整数解，则a的取值范围是 （　 　） A. －5≤a≤－　　B. －5≤a＜－　　C. －5＜a≤－　　D. －5＜a＜－ 解：解不等式组，得.其解集为.由于解集中只有4个整数解.所以这4个整数解只能是20，19，18，17.表示在数轴上，如图7-C-5： 图7-C-5 由图1可知，应在16（包括16）到17（不包括17）之间，即，解得－5＜a≤－.故选C. 点拨：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”解题时应数形结合加深对问题的理解；解此类题目，应以所有的整数解作为突破口。 【例14】(定义新运算型)对于整数a,b,c,d,符号表示运算ac-bd;已知1＜＜ 3 ，则b+d的值是 。 分析：本题定义了新的运算。即 =ac-bd，所以 =1×4- bd， 所以，所以，又因为 b,d为整数，bd=2， 所以 b、d同为正或同为负。 当时， 当时，。所以 。 解： 点拨：解答本题的关键是观察定义的新运算的运算规则，对新知识要有全新的理解。 【例15】（方案设计型）市政公司为绿化一段沿江风光带，计划购买甲、乙两种树苗共500株，甲种树苗每株50元，乙种树苗每株80元．有关统计表明：甲、乙两种树苗的成活率分别为90％和95％． (1)若购买树苗共用了28000元，求甲、乙两种树苗各多少株? (2)若购买树苗的钱不超过34000元，应如何选购树苗? (3)若希望这批树苗的成活率不低于92％，且购买树苗的费用最低，应如何选购树苗? 分析：（1）可利用一元一次方程求出购买两种树苗的株数；（2）列出不等式，求出购买甲种树苗的范围；（3）根据题意列出不等式，再利用一次函数及性质，确定选购方案． 解：(1)设购甲种树苗x株，则乙种树苗为(500-x)株．依题意得50x+80(500—x)=28000， 解得x=400，∴500-x=500-400=100．答：购买甲种树苗400株，乙种树苗100株； (2)由题意得50x+80(500-x)≤34000，解之得x≥200．答：购买甲种树苗不小于200株； (3)由题意可得90%x+95％(500—x)≥92％·500 ，∴x≤300．设购买两种树苗的费用之和为y元，则y=50x+80(500-x)=40000-30x，函数y=40000-3x的值随x的增大而减小，∴当x=300时 y最小值=40000-30╳300=31000．答：应购买甲种树苗300株，乙种树苗200株． 点拨：这是一道有关环保类的方案设计题，主要考查同学们运用数学知识解决实际问题的能力．通过这道题我们可以看出，现在的试题已不再像以前那样，仅是简单的知识点的拼凑，而是更注重数学生活的时代气息．解这类题的关键是把实际问题转化为方程或不等式（组）来解决，即通过构建数学模型解决实际应用问题，这是近年来中考的热点． 【例16】(阅读理解)（2007·岳阳）阅读下列材料，然后解答后面的问题： 我们知道方程2x+3y＝12有无数组解，但在实际生活中我们往往只需要求出其正整数解. 例：由2x+3y＝12，得y＝＝4－x，(x、y为正整数) ∴则有0＜x＜6.又y＝4－x为正整数，则x为正整数. 由2与3互质，可知：x为3的倍数，从而x＝3，代入y＝4－×3＝2， ∴2x+3y＝12的正整数解为 问题：（1）请你写出方程2x+y＝5的一组正整数解： . （2）若为自然数，则满足条件的x的值有 个. A.2 　　 B.3 　 　 C.4 　 　 D.5 （3）八年级某班为了奖励学习进步的学生，购买了单价为3元的笔记本与单价为5元的钢笔两种奖品，共花费35元，问有几种购买方案？ 分析:对于（1），可以直接仿照阅读材料求解.（2）抓住是自然数，对x选值，并逐一代入，若是自然数即保留.（3）若设购买单价为3元的笔记本m本，单价为5元的钢笔n支.则可以列出一个二元一次方程，再利用（1）的方法讨论，从而可以确定购买方案. 解:（1）由2x+y＝5，得y＝5－2x，(x、y为正整数)，所以即0＜x＜. 所以当x＝1时，y＝3，当x＝2时，y＝1. 即方程2x+y＝5的正整数解是或（只要写出其中的一组即可） （2）同样，若为自然数，则有0＜x－2≤6，即2＜x≤8的自然数，当x＝3时，＝6；当x＝4时，＝3；当x＝5时，＝2；当x＝8时，＝1.即满足条件的x的值4个.故应选C. （3）设购买单价为3元的笔记本m本，单价为5元的钢笔n支.则根据题意，得3m+5n＝35，其中m、n均为自然数.于是有n＝＝7－m，此时有所以0＜m＜.由于n＝7－m为正整数，则m为正整数，可知m为5的倍数，所以当m＝5时，n＝4，当m＝10时，n＝1， 所以有2种购买方案.即购买单价为3元的笔记本5本，单价为5元的钢笔4支；或购买单价为3元的笔记本10本，单价为5元的钢笔1支. 【例17】（实践操作型）（2007·烟台）生活中，有人喜欢把传送的便条折成形状 ，折叠过程是这样的(阴影部分表示纸条的反面)： 图7-C-6 如果由信纸折成的长方形纸条(图①)长为2 6 cm，宽为xcm，分别回答下列问题： (1)为了保证能折成图④的形状(即纸条两端均超出点P)，试求x的取值范围． (2)如果不但要折成图④的形状，而且为了美观，希望纸条两端超出点P的长度相等，即最终图形是轴对称图形，试求在开始折叠时起点M与点A的距离(用x表示)． 解：（1）此题可动手折纸并展开，得下图所示带有折痕的纸条 A P B M P/ M/ 要保证折后纸条两端均超出点,则必须满足 不难发现重叠部分为五个边长为的正方形，于是得 解得 （2）略 点评：本题设计精巧、颇具创意，以学生喜闻乐见的“折纸”为背景，展示了数学丰富的内涵，材料鲜活、亲切，表述简明、直观，且几何底蕴丰富，极具挑战性；既考查了学生的实践能力，又考查了学生的建模能力。引导学生将实践变为真知，学生如果不亲手动手实践，仅凭想象，是很难得出正确结果的。 四、自主探究地带 ㈠探究学习课题 课题1：类比思想 把两个（或两类）不同的数学对象进行比较，如果发现它们在某些方面有相同或类似之处，那么就推断它们在其他方面也可能有相同或类似之处。这种数学思想通常称为“类比”，在数学中有着广泛的运用。 一元一次不等式和一元一次方程既有密切的联系，又有本质的区别．同学们若能加强它们之间的辨析，则会收到事半功倍的学习效果.同学们若能加强它们之间的辨析，则会大大提高学习效率． 我们可以从二者的概念上类比；求解过程的类比；解和解集的类比；性质上的类比。通过上述方面的类比，可以发现尽管一元一次方程和一元一次不等式有着本质的区别，但它们也存在许多相似之处. 将不等式与方程类比学习，可以充分利用已有的解方程的经验，来实现知识的正迁移，这样更有利于弄清两者的区别与联系，更能透彻理解这两部分的知识. ㈡漫游数学世界 数学史话——数学符号的起源 数学除了记数以外，还需要一套数学符号来表示数和数、数和形的相互关系。 数学符号的发明和使用比数字晚，但是数量多得多。现在常用的有200多个，初中数学书里就不下20多种。它们都有一段有趣的经历。 例如加号曾经有好几种，现在通用“+”号。 “+”号是由拉丁文“et”（“和”的意思）演变而来的。十六世纪，意大利科学家塔塔里亚用意大利文“più”（加的意思）的第一个字母表示加，草为“μ”最后都变成了“+”号。 “-”号是从拉丁文“minus”（“减”的意思）演变来的，简写m，再省略掉字母，就成了“-”了。也有人说，卖酒的商人用“-”表示酒桶里的酒卖了多少。以后，当把新酒灌入大桶的时候，就在“-”上加一竖，意思是把原线条勾销，这样就成了个“+”号。 到了十五世纪，德国数学家魏德美正式确定：“+”用作加号，“-”用作减号。 乘号曾经用过十几种，现在通用两种。一个是“×”，最早是英国数学家奥屈特1631年提出的；一个是“• ”，最早是英国数学家赫锐奥特首创的。德国数学家莱布尼茨认为：“×”号象拉丁字母“X”，加以反对，而赞成用“• ”号。他自己还提出用“п”表示相乘。可是这个符号现在应用到集合论中去了。 到了十八世纪，美国数学家欧德莱确定，把“×”作为乘号。他认为“×”是“+”斜起来写，是另一种表示增加的符号。 “÷”最初作为减号，在欧洲大陆长期流行。直到1631年英国数学家奥屈特用“：”表示除或比，另外有人用“-”（除线）表示除。后来瑞士数学家拉哈在他所著的《代数学》里，才根据群众创造，正式将“÷”作为除号。 方根号曾经用拉丁文“Radix”（根）的首尾两个字母合并起来表示，十七世纪初叶，法国数学家笛卡儿在他的《几何学》中，第一次用“√￣”表示根号。“√”是由拉丁字线“r”变，“￣”是括线。 六世纪法国数学家维叶特用“二”表示两个量的差别。可是英国牛津大学数学、修辞学教授列考尔德觉得：用两条平行而又相等的直线来表示两数相等是最合适不过的了，于是等于符号“=”就从1540年开始使用起来。 1591年，法国数学家韦达在菱形中大量使用这个符号，才逐渐为人们接受。十七世纪德国莱布尼茨广泛使用了“=”号，他还在几何学中用“∽”表示相似，用“≌”表示全等。 不等号（Sign of inequality）是用以表示两个量数之间大小关系的符号。现在常用的有“≠”（不等号）、“＞ ”（大于号）及“＜”（小于号）。 １６２９年，在法国数学家日纳尔的代数教程里，用 “ＡffＢ”代表Ａ大于Ｂ，以及用“ＢξＡ”代表Ｂ小于 Ａ。 　　１６３１年，英国著名的代数学家哈里奥特（１５６０－１６２１）在其出版的数学著作中，首先创用了“＞ ”（大于号）及“＜”（小于号），但未被实时采用。同时期的英国数学家奥特雷德（１５７０－１６６０）亦发 明了以“”表示大于，以“”表示小于的符号，这种符号，至十八世纪仍被采用。 至近代，“＞”及“＜”分别表示大于及小于的符号，逐渐被统一及广泛采用。并以“”“”及“≠”来表示为大于、小于及等于的否定号。 　　英国人哈里奥特于1631年开始采用现今通 用之“大于”号＞及“小于”号＜，但并未为当时数学界所接受。直至百多年后才渐成标准 之应用符号。 1655年沃利斯曾以表示“等于或大于” ，到了1670年，他以及分别表示“等于或大于”和“等于或小于”。据哥德巴赫于1734 年1月写给欧拉的一封信所述，现今通用之≧ 和≦符号为一法国人Ｐ．布盖（1698-1758） 所首先采用。然后逐渐流行。 庞加莱与波莱尔于1901年引入符号<<（远 小于）和>>（远大于），很快为数学界所接受，沿用至今。 单元测试题 （100分钟，120分） 一、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）. 1．（1）下列各式：.其中,不等式有( ) A 3个 B 4个 C 5个 D 6个 2.如果a＞b，那么下列结论中错误的是 ( ) A.a－3＞b－3 B. 3a＞3b C.＞ D.－a＞－b 3. (2008·武汉) 不等式的解集在数轴 上表示为（　　）． 3 2 1 0 Ａ. Ｂ． 3 2 1 0 3 2 1 0 Ｃ． Ｄ． 4. (2008·凉山州)不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A． B． C． D． 5.已知关于(1-a)x>2的不等式的解集为x<，则a的范围是( ). A.a>0 B.a>1 C.a<0 D .a<1 6. 不等式2x-1≥3x-5的正整数解的个数为（ ） A.1； B.2； C.3； D.4. 7.若关于的不等式的解集如7-D-1所示，则等于（　　） 0 1 2 3 4 A、 B、 C、 D、 7-D-1 - 8.设“○”、“□”、“△”分别表示三种不同的物体，用天平比较它们质量的大小，两次情况如7-D-2所示，那么每个“○”、“□”、“△”这样的物体，按质量从小到大的顺序排列为 （ ） A． ○□△ B. ○△□ C. □○△ D. △□○ △□ △△△ ○○ □○ 7-D-2 - 9.下列说法中错误的是 （ ） A.2x>-6的解集是x>-3 B. -8是2x<-8的一个解 C.x<5的整数解有无数个 D.x<3的正数解只有两个 10.采石场工人爆破时，为了确保安全，点燃炸药导火线后要在炸药爆破前转移到400米以外的安全区域；导火线燃烧速度是1厘米/秒，人离开的速度是5米/秒，至少需要导火线的长度是（　　） Ａ．70厘米　　Ｂ．75厘米　　 Ｃ．79厘米　　Ｄ．80厘米 二、 填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．） 11.（2006·大连）今年4月某天的最高气温为8°，最低气温为2°，则这天气温t°的t的取值范围是________________________； 12.一个不等式的解集如图7-D-3所示，则这个不等式的正整数解是＿＿＿＿. 2 3 1 -1 4 0 13.已知2－3x2＋2k＞1是关于x的一元一次不等式，则k= ，不等式的解集是 ． 14.不等式组①②③④中是一元一次不等式组的是 （用序号表示） 15.当a 时，不等式（a－5）x＞1的解集为x＜． 16.（2007·陕西省）如图，要使输出值大于100，则输入的最小正整数是 ． 输入正整数x 输出y ？ 偶数 奇数 17.不等式组，的解集是 . 18.不等式组的整数解是 ． 19.甲、乙两超市为了促销一种定价相同的商品，甲超市连续两次降低10%，乙超市一次性降低20%，在哪家超市购买此种商品更合算 ． 20.（2005·滨州）在a克糖水中含有b克糖(a＞b＞0)，现再加入m克糖，则糖水变得更甜了，这一实际问题说明了数学上的一个不等关系式，则这个不等关系式为______. 三、 解答题（60分） 21.（10分）解下列不等式，并把解集表示在数轴上。 （1） （2）－≤－4 22.（6分）(2008·徐州)解不等式组，并写出它的所有整数解. 23.（8分） 已知关于x、y的方程组的解满足x＞y，求p的取值范围。 24.(12分)(2008·福州)今年5月12日，四川汶川发生了里氏8.0级大地震，给当地人民造成了巨大的损失．“一方有难，八方支援”，我市锦华中学全体师生积极捐款，其中九年级的3个班学生的捐款金额如下表： 班级 （1）班 （2）班 （3）班 金额（元） 2000 吴老师统计时不小心把墨水滴到了其中两个班级的捐款金额上，但他知道下面三条信息： 信息一：这三个班的捐款总金额是7700元； 信息二：（2）班的捐款金额比（3）班的捐款金额多300元； 信息三：（1）班学生平均每人捐款的金额大于48元，小于51元． 请根据以上信息，帮助吴老师解决下列问题： （1）求出（2）班与（3）班的捐款金额各是多少元； （2）求出（1）班的学生人数． 25.（12分）某电器经营业主计划购进一批同种型号的挂式空调和电风扇，若购进8台空调和20台电风扇，需要资金17400元，若购进10台空调和30台电风扇，需要资金22500元． （1）求挂式空调和电风扇每台的采购价各是多少元？ （2）该经营业主计划购进这两种电器共70台，而可用于购买这两种电器的资金不超过30000元，根据市场行情，销售一台这样的空调可获利200元，销售一台这样的电风扇可获利30元．该业主希望当这两种电器销售完时，所获得的利润不少于3500元．试问该经营业主有哪几种进货方案？哪种方案获利最大？最大利润是多少？ 26．（12分）探索问题： （1）请你任意写出5个正的真分数：_____，_______，________，__________，_________，给每个分数的分子、分母同加一个正数得到五个新分数：____，______，__________，___________，_______________． （2）比较原来每个分数与对应新分数的大小，可以得出下面的结论： 一个真分数是（，均为正数），给其分子分母同加一个正数，得，则两个分数的大小关系是________． （3）请你用文字叙述（2）中结论的含义： ________________________________________________________________． （4）你能用图形的面积说明这个结论吗？ （5）这个结论可以解释生活中的许多现象，解决许多生活与数学中的问题，请你再提出一个类似的数学问题，或举出一个生活中与此结论相关的例子． 参考答案及思路分析 一、1．A分析：第（2）（4）（5）（6）是用不等号连接的表示不等关系的式子，符合不等式的定义，故选B。（2）都可以使不等式成立,故应选A. 点拨:不等式的概念是初中数学的最基本知识，要熟练掌握. 2.D分析：根据不等式性质，两边都乘以一个负数，不等号方向要改变.因此，错误的是D. 3. B分析:不等式＜3的解集在数轴上表示,应为在3所对应的点的左侧,且表示3的点用空心圆圈表示.对照图形,只有(B)满足. 点拨：不等式的解集在数轴上的表示要注意两点:①大于某个数,则表示在该数所对应的点的右侧; 小于某个数,则表示在该数所对应的点的左侧;②包括某个数,应将这个数所对应的点用实心圆点表示; 不包括某个数,应将这个数所对应的点用空心圆圈表示. 4. C分析:先求出组成不等式组的每一个不等式的解集,再根据不等式的解集在数轴上的表示方法,将它们一一表示出来.不等式的解集为,在数轴上表示为在-2所对应的点的右侧,且表示-2的点用实心圆点表示;不等式＜1的解集为＜3, 在数轴上表示为在3所对应的点的左侧,且表示3的点用空心圆圈表示; 点拨:在数轴上表示要注意两点:①在该点的左侧还是右侧;②包括该点还是不包括该点. 5.B分析:由不等式的性质可知:当(1-a)x>2的解集为x<时,只有在1-a<0的前提下,才能成立,故a>1,所以选B. 点拨:此题逆用了不等式的一条性质:不等式的两边同乘以(除以)同一个负数,不等号的方向改变. 6.C分析：先求出不等式的解集，移项，得2x-3x≥-5+1，合并同类项，得-x≥-4系数化为1，得x≤4（注意：不等式两边同时乘或除以负数，要改变不等号的方向）；在x≤4范围内，x的正整数解有3、2、1共计3个.故选C. 点拨：要求不等式的特殊解，先求出不等式的解集，然后在解集中找到符合条件的特殊解。 7.D分析：由，可知≥，观察数轴 可知不等式的解集为≥2，因此=2，=3，故选D. 点拨：利用不等式的解集确定相关字母的值，关键是先解不等式（组），然后根据所给的条件，利用不等式（组）的解的确定原则去推断. 8.D分析:从左边的天平看○比□重，从右边的天平看□的重是△的重的2倍，所以△<□<○选D. 点拨：本题通过天平很直观地构造出一道不等式问题,需要从图形中观察到解题信息.在研究问题时把数和形结合起来考虑，或者把问题的数量关系转化为图形表述，或者把图形的特征转化为数量关系，从而使直观问题准确化，抽象问题直观化. 9.D分析：本题对不等式的解、解集、整数解、正数解巧妙设置，拓广了思维空间．要正确区别上述几个概念含义，由题意可知D选项错误． 10.Ｄ分析：设导火索的长为xcm，从时间关系来考虑：人跑到安全区域所需的时间为400÷5＝80（秒），因此导火索燃烧的时间应不少于80秒，故可得不等式，x≥80．故至少需要80cm，选Ｄ． 点拨：在不等式解集中的近似数不能采用四舍五入法．比如本题中，如果把题设中的“400米”改为“396米”，然后要求精确到1厘米，则x≥79.2，此时符合要求的x的值应是80，而不是79． 二、11.分析：2≤t≤8根据已知条件列不等式，实际上就是研究不等关系，列不等式的关键抓住关键词，弄清不等关系． 12. 2,1 分析:由图7-D-3知不等式的解集为x＜3,其不等式的整数 解为2,1,0,-1,-2,-3…;但是, 这个不等式的正整数解是2,1. 13. ，x＜ 分析：根据一元一次不等式的概念，可知2+2k=1，所以k=，所以原不等式为2－3x＞1，解这个不等式得x＜。 点拨：本题考查了一元一次不等式的概念和不等式的解法。 14. ①④分析：根据一元一次不等式的定义可知①④是一元一次一次不等式，②中含有两个未知数，所以不是一元一次不等式组，③中第一个不等式中含有，不是整式，所以③不是一元一次一次不等式。 15.＜5 分析：因为不等式（a－5）