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源于名校，成就所托 标准教案 6.5 机械振动和机械波（五） 单元复习 高考对应考点 简谐振动及周期、振幅、频率（学习水平B） 机械波及波速、波长和频率的关系（学习水平B） 单摆及利用单摆测重力加速度（学习水平B） 课时目标： 1. 理解简谐振动 2. 掌握机械波的图像及波速、波长和频率的关系 3. 掌握单摆的原理及应用 重点难点： 1. 波长、波速、频率在图像中的关系 2. 利用单摆周期公式测重力加速度 知识精要： 简谐运动： （1）简谐运动：物体在跟偏离平衡位置的位移大小成正比，并且总指向平衡位置的回复力的作用下的振动。特征是：F=-kx,a=-kx/m. （2）简谐运动的规律： ①在平衡位置： 。 ②在离开平衡位置最远时： 。 ③振动中的位移x都是以平衡位置为起点的，方向从平衡位置指向末位置，大小为这两位置间的直线距离。加速度与回复力、位移的变化一致,在两个“端点”最大，在平衡位置为零，方向总是指向平衡位置。 （3）振幅A：振动物体离开平衡位置的最大距离称为振幅。它是描述振动强弱的物理量。它是标量。 （4）周期T和频率f： 所需的时间称为周期T,它是标量，单位是秒；单位时间内完成的全振动的次数称为振动频率，单位是赫兹（Hz）。周期和频率都是描述振动快慢的物理量，它们的关系是：T=1/f. (5)单摆的概念 ，这样的装置叫单摆。 (6)单摆的特点：①单摆是实际摆的理想化，是一个理想模型; ②单摆的等时性，在振幅很小的情况下，单摆的振动周期与振幅、摆球的质量等无关;③单摆的回复力由重力沿圆弧方向的分力提供，当最大摆角α<50时，单摆的振动是简谐运动，其振动周期T=。 (7)单摆的应用：①计时器；②测定重力加速度g= . （8）要判定一个物体的运动是简谐运动，首先要判定这个物体的运动是机械振动，即看这个物体是不是做的往复运动；看这个物体在运动过程中有没有平衡位置；看当物体离开平衡位置时，会不会受到指向平衡位置的回复力作用，物体在运动中受到的阻力是不是足够小。 然后再找出平衡位置并以平衡位置为原点建立坐标系，再让物体沿着x轴的正方向偏离平衡位置，求出物体所受回复力的大小，若回复力为F=-kx,则该物体的运动是简谐运动。 位移x 回复力F=-Kx 加速度a=-Kx/m 位移x 势能Ep=Kx2/2 动能Ek=E-Kx2/2 速度 （9）简谐运动涉及到的物理量较多，但都与简谐运动物体相对平衡位置的位移x存在直接或间接关系： 如果弄清了上述关系，就很容易判断各物理量的变化情况。 (10)简谐运动的图象：①定义：振动物体离开平衡位置的位移X随时间t变化的函数图象。不是运动轨迹，它只是反映质点的位移随时间的变化规律。②作法：以横轴表示时间，纵轴表示位移，根据实际数据取单位，定标度，描点，用平滑线连接各点便得图线。③图象特点：用演示实验证明简谐运动的图象是一条正弦（或余弦）曲线。 (11)简谐运动图象的应用：①可求出任一时刻振动质点的位移。②可求振幅A：位移的正负最大值。③可求周期T：两相邻的位移和速度完全相同的状态的时间间隔。④可确定任一时刻加速度的方向。⑤可求任一时刻速度的方向。⑥可判断某段时间内位移、回复力、加速度、速度、动能、势能的变化情况。 机械波： （1）波长：在波动中，对平衡位置的位移总是相等的两个相邻质点间的距离。波长通常用表示。 （2）周期：波在介质中传播一个波长所用的时间。波的周期与 无关，取决于波源，波从一种介质进入另一种介质周期不会改变。周期用T表示。 （3）频率：单位时间内所传播的完整波（即波长）的个数。周期的倒数为波的频率。波的频率就是质点的振动频率。频率用f表示。 （4）波速：波在单位时间传播的距离。机械波的波速取决于介质，一般与频率无关。波速用V表示。 （5）波速和波长、频率、周期的关系： ①经过一个周期T ，振动在介质中传播的距离等于一个波长，所以波速为 ②由于周期T和频率f互为倒数（即f =1/T），所以上式可写成 （6）波的图象：①波的图象是描述在波的传播方向上的介质中各质点在某时刻离开平衡位置的位移。②简谐波的图象是一条正弦或余弦图象。③波的图象的重复性：相隔时间为周期整数倍的两个时刻的波形相同。④波的图象反映机械波的有关信息：质点的振幅、波长、介质中各质点在该时刻的位置、已知波的传播方向后可确定各质点在该时刻的振动方向和经过一段时间后的波形图。 （7）波的叠加原理：在两列波重叠的区域，任何一个质点的总位移都等于两列波分别引起的位移的矢量和。 （8）波的独立传播原理，在两列波重叠的区域每一列波保持自己的特性互不干扰继续前进。 （9）波的干涉:①产生稳定干涉现象的条件： 。②两列相干波的波峰与波峰（或波谷与波谷）相遇处是振动最强的地方，波峰与波谷（或波谷与波峰）相遇处是振动最弱的地方。③驻波：是一种特殊的干涉现象。驻波的特点是两波节间的各质点均做同时向下或同时向上，但振幅不同的同步调振动；波形随时间变化，但并不在传播方向上移动。 （10）波的衍射:①波绕过障碍物的现象叫做波的衍射。②能够发生明显的衍射现象的条件是： 。 热身练习： 1.一质点作简谐振动，其位移s与时间t的关系如图所示，则在t＝4s时，质点的 ( ) A.速度为正的最大值，加速度为零.B.速度为负的最大值，加速度为零. C.速度为零，加速度为正的最大值.D.速度为零，加速度为负的最大值. 2.一水平平台沿竖直方向作简谐振动，一物体置于平台上随台一起运动.当振动平台处于什么位置时，物体对平台的正压力最大 ( ) A.运动到最高点时. B.向下运动过振动中心点时. C.运动到最低点时. D.向上运动过振动中心点时. 3. 弹簧振子从平衡位置拉开1cm后放手开始振动，振动频率为2Hz，则弹簧振子的振幅为 ，1s内振子走过的路程为 . 4.一物体放在某行星表面时受到的万有引力大小是它放在地球表面时受到的万有引力大小的.在地球上走得很准的摆钟(设可视为单摆)搬到此行星上后，此钟的分针走一整圈所经历的时间实际上是 ( ) A.0.25h. B.0.5h. C.2h. D.4h. 5.图所示为一双线摆，它是在一个水平天花板上用两根等长的细线悬挂一小球而成，线的质量不计，线长为L，线与天花板的夹角为α.当小球在垂直于纸面方向作简谐振动时，其周期为 。 6.如图所示，AC是半径为3m的光滑圆弧槽，圆弧与水平面相切于A点，底边长为AB＝8cm，高为BC＝5cm.现将小球先后从顶点C和圆弧AC的中点D静止起释放，则两次运动到A点的时间t。和t。的关系是 ( ) A.tC>tD. B.tC<tD. C.tC＝tD. D.无法确定. 精解名题： 例1、弹簧振子在光滑的水平面上做简谐运动，在振子向平衡位置运动的过程中： A．振子所受的回复力逐渐增大 B．振子的位移逐渐增大 C．振子的速度逐渐减小 D．振子的加速度逐渐减小。 解：在振子向平衡位置运动的过程中，易知x减小，根据上述关系很容易判断，回复力F、加速度a减小；速度V增大。即D选项正确。 C a b d 例2、如图所示，一轻质弹簧竖直放置，下端固定在水平面上，上端处于a位置，当一重球放在弹簧上端静止时，弹簧上端被压缩到b位置。现将重球（视为质点）从高于位置的c位置沿弹簧中轴线自由下落，弹簧被重球压缩到最低位置d.以下关于重球运动过程的正确说法应是（ ） A、重球下落压缩弹簧由a至d的过程中，重球做减速运动。 B、重球下落至b处获得最大速度。 C、重球下落至d处获得最大加速度。 D、由a至d过程中重球克服弹簧弹力做的功等于小球由c下落至d处时重力势能减少量。 解：重球由c至a的运动过程中，只受重力作用，做匀加速运动；由a至b的运动过程中，受重力和弹力作用，但重力大于弹力，做加速度减小的加速运动；由b至d的运动过程中，受重力和弹力作用，但重力小于弹力，做加速度增大的减速运动。所以重球下落至b处获得最大速度，由a至d过程中重球克服弹簧弹力做的功等于小球由c下落至d处时重力势能减少量，即可判定B、D正确。C选项很难确定是否正确，但利用弹簧振子的特点就可非常容易解决这一难题。重球接触弹簧以后，以b点为平衡位置做简谐运动，在b点下方取一点a,,使ab=a,b,根据简谐运动的对称性，可知，重球在a、a,的加速度大小相等，方向相反，如图所示。而在d点的加速度大于在a,点的加速度，所以重球下落至d处获得最大加速度，C选项正确。 例3、一弹簧振子作简谐运动，周期为T ，则下列说法中正确的是（ ） A.若t时刻和(t+△t)时刻振子运动位移的大小相等、方向相同，则△t一定等于T的整数倍； B.若t时刻和(t+△t)时刻振子运动速度的大小相等、方向相反，则△t一定等于T/2的整数倍； C.若△t=T，则在t时刻和(t+△t)时刻振子运动的加速度 一定相等； D.若△t=T/2 ，则在t时刻和(t+△t)时刻弹簧的长度一定相等。 解：若t时刻和(t+△t)时刻振子运动位移的大小相等、方向相同，表明两时刻振子只是在同一位置，其速度方向还可能相反，则△t不一定是T的整数倍，故A选项错误。 若t时刻和(t+△t)时刻振子运动速度的大小相等、方向相反，这时振子可能处于平衡位置两侧的两个对称的位置上，也可能是两次处于同一位置上，这都不能保证△t一定是T/2的整数倍。故选项B错误。 振子每经过一个周期，必然回到原来的位置，其对应的加速度一定相等。故选项C正确。 经过半个周期，弹簧的长度变化大小相等、方向相反，即一个对应弹簧被压缩，另一个对应弹簧被拉伸，这两种情况下弹簧的长度不相等，可见选项D错误。 综上所述，本题正确答案为C。 例4、一简谐横波在x轴上传播，在某时刻的波形如图所示。已知此时质点F的运动方向向下，则    A．此波朝x轴负方向传播 B．质点D此时向下运动 C．质点B将比质点C先回到平衡位置 D．质点E的振幅为零 解：本题主要考查对波的传播方向与波上某质点运动方向间的关系的推理判断，以及对波形图的想像能力。 对于本题，已知质点F向下振动，由上述方法可知，此列波向左传播。质点B此时向上运动，质点D向下运动，质点C比B先回到平衡位置。在此列波上所有振动质点的振幅都是相等的。故只有A、B选项正确。 x y O 备选例题： 例5、一列横波如图所示，波长λ=8m，实线表示t1=0时刻的波形图，虚线表示t2=0.005s时刻的波形图．求： （1）波速多大？ （2）若，波速又为多大？ （3）若，并且波速为3600m/s，则波沿哪个方向传播？ 解：（1）因为题中没有给出波的传播方向，故需要对波沿x轴正方向和x轴负方向传播分别进行讨论．又因为题中没有给出与周期T的关系，故需要考虑到波的重复性． 若波沿x轴正方向传播，则可看出是波形传播的最小距离m 波传播的可能距离是（ m） 则可能的波速为 m/s）,（n = 0、1、2、……，） 若波沿x轴负方向传播，则可看出是波形传播的最小距离m 波传播的可能距离是（ m） 则可能的波速为 m/s）,（n = 0、1、2、……，） （2）当时，根据波动与振动的对应性可知，这时波速的通解表达式中n=1． 若波沿x轴正方向传播，则波速为 （ m/s） 若波沿x轴负方向传播，则波速为 （ m/s） （3）当，波速为3600m/s时，根据波动与振动的对应性可知， 所以波向前传播的距离大于波长，而且可以计算出（m） 由于波长等于8m，这样波向前传播了个波长．由波形图不难判断出波是沿x轴向右传播的．也可以由波速的通解表达式来判断： 若波沿x轴正方向传播，则波速为 （ m/s），当n=2时， （ m/s）． 若波沿x轴负方向传播，则波速为（ m/s），当n=1时，（ m/s），当n=2时，（ m/s）． 所以波是沿x轴向右传播的． 方法小结： 振动图线和波形图的分析方法. 振动图线是表示一个质点不同时刻的位置，而波形图则表示同一时刻不同质点的位置.振动图线中分析质点振动方向时是看质点下一时刻的位置，而波形图中分析质点振动方向时是看前一邻近质点的位置. 分析质点的运动速度和路程时需分清楚波动传播和振动质点运动的区别，振动只是在平衡位置附近运动，每一个质点都在进行简谐振动。波动是振动形式的传播，其传播快慢和路程遵循计算公式。分析时要注意机械波传播的方向性和周期性，要分情况讨论。推出通式，并选出附和题意的答案。 巩固练习： 1、一个质点作简谐振动的图像如图所示，则该质点 ( ) A.在3.5s时速度为正，加速度为负. B.在4s时速度最大，加速度为零. C.在0至1s的时间内，其速度和加速度方向相同. D.在2s时的位移沿z轴的负方向. 2、单摆的周期在发生下述哪种变化时将会增大 ( ) A.摆球质量增大. B.单摆的摆长减小. C.单摆从赤道移到北极. D.单摆从海平面移到高山上. 3、已知地球和月球的质量分别为M、m，半径分别为.R、r，甲单摆在地球上的周期和乙单摆在月球上的周期相同，则甲、乙单摆的摆长之比为 .摆长相等的单摆在地球上和月球上的周期之比为 . 4、一列横波在t＝0时刻的波形如图中实线所示，在t＝1s时刻的波形如图中虚线所示，由此可以判定此波的 ( ) A.波长一定是4cm. B.周期一定是4s. C.振动一定是2cm. D.传播速度一定是lcm/s. 5、如图所示，S为波源，其频率为100Hz，所产生的一列横波向右传播，波速为80m/s.P、Q是波传播途径中的两点，已知SP＝4.2m，SQ＝5.4m，则当s经过平衡位置并向上运动时 ( ) A.P在波谷，Q在波峰. B.P在波峰，Q在波谷. C.P、Q都在波峰. D.P通过平衡位置向上运动，Q通过平衡位置向下运动. 6、如图所示，S1、S2是两个振动情况完全相同的波源，产生的波向四周传播.分别以S1、S2为圆心作出了两组同心圆弧，分别表示在同一时刻两列波的波峰和波谷，实线表示波峰，虚线表示波谷.在图中方框内标出了三个质点a、b、c，在这三个点中，振动始终加强的点是 ，振动始终减弱的是点 . 7、一弹簧振子作简谐振动，周期为T，则 ( ) A.若t时刻和(t+Δt)时刻振子运动位移的大小相等、方向相同，则Δt一定等于T的整数倍. B.若t时刻和(t+△t)时刻振子运动速度的大小相等、方向相同，则Δt一定等于的整数倍. C.若Δt＝T，则在t时刻和(t＋Δt)时刻振子运动的加速度一定相同. D.若，则在t时刻和(t+Δt)时刻振子的位移一定相同. 答案：C 8、如图所示，实线是一列简谐波在某一时刻的波形图线，虚线是0.2s后它的波形图线，这列波可能的传播速度是 . 当堂总结： 自我测试： 1、图所示为一列简谐横波在时刻t＝0时的波形图，波沿x轴正方向传播，其传播速度为2m/s，则从t＝0到t＝2.5s的时间内，x＝0.2m处的质点M通过的路程是 ，位移是 . 2、一列沿x轴正方向传播的横波，振幅为A，波长为λ，某一时刻波的图像如图所示.在此时刻波传播方向上某一质点的坐标为(λ，O)，再经过四分之一周期后，该质点的坐标将变为 . 3、如图所示是一列横波在某时刻的波形图的一部分.已知C点的加速度大小为8m/s2，A点的速度方向向上，AB相距0.5m，经过0.1s，B点第一次到达最大位移，则图中所示时刻D点加速度大小为 ，方向 ，这列波是向 传播的，波速大小为 . 4、一列简谐横波沿直线传播，位于直线上相距1.8m的A、B两点的振动图像如图所示.如果这列波的波长大于5m，那么其频率是 ，波传播的方向是 ，波速的大小是 ，其波长是 . 5、弹簧振子沿直线作简谐振动，当振子连续两次经过平衡位置时，振子的 ( ) A.加速度相同，动能相同. B.动能相同，动量相同. C.加速度相同，速度相同. D.动量相同，速度相同. 6、关于声波正确说法有 ( ) A.在发声音叉边某处，听到声音特别强是因为声波反射产生的回声加强了原来的声音. B.在发声的音叉周围转走一圈，会听到声音忽强忽弱，这是因为两个叉股发出的声波发生干涉的结果. C.由于声波的波长可与一般的障碍物相比较，因此声波较容易发生衍射现象. D.声波在水中传播的速度比在空气中传播的速度大. 7、如图所示，在平面:xy内有一沿水平轴x正向传播的简谐横波，波速为3.0m/s，频率为2.5Hz，振幅为8.0×10-3m.已知t＝0时刻P处质点的位移为y＝4.0×10-2m，速度沿y轴正向，Q点在P点右方9.0×10-1m处，对于Q处的质点来说 ( ) A.在t＝0时，位移为y＝－4.0×10-2m. B.在t＝0时，速度沿y轴负方向. C.在t＝0.1s时，位移为y＝－4.0×10-2m. D.在t＝0.1s时，速度沿y轴正方向. 8、关于机械波正确说法有 A.波产生需要两个条件，即波源和介质. B.在传播方向上两个振动情况完全相同的质点之间的距离是一个波长. C.波动过程是能量由近及远传播的过程. D.波源振动一个周期，波就沿传播方向前移一个波长. 9、组成单摆的条件是 ( ) A.摆线不可伸长. B.摆线长远大于小球直径. C.小球质量远大于摆线质量. D.最大摆角小于5°. 10、利用单摆测定重力加速度的实验中，若测得的g值偏小，可能的原因是 ( ) A.测摆长时，仅测了线长，未加上小球半径. B.测摆长时，将线长加了小球的直径. C.测周期时，把n次全振动误记为n+1次. D.测周期时，把n次全振动误记为，n－1次. 机械振动和机械波（五）知识精要、方法小结及练习、自测参考答案 知识精要 简谐运动： （2）简谐运动的规律： ①在平衡位置：速度最大、动能最大、动量最大；位移最小、回复力最小、加速度最小。 ②在离开平衡位置最远时：速度最小、动能最小、动量最小；位移最大、回复力最大、加速度最大。 （4）振动物体完成一次全振动 (5) 单摆的概念：在细线的一端拴一个小球，另一端固定在悬点上，线的伸缩和质量可忽略，线长远大于球的直径 (6) (7) 机械波：（2）传播的介质 （9） 频率相同；振动方向相同；有固定的相位差 （10）障碍物或孔的尺寸比波长小，或者跟波长相差不多 热身练习 1、D 2、C 3、1cm，8cm 4、C 5、 6、C 方法小结 巩固训练 1、ACD 2、D 3、Mr2:mR2， 4、AC 5、A 6、a、b，c 7、C 8、向右传播时为0.05(4k+1)m/s，向左传播时为0.05(4k+3)m/s 自我测试 1、2.5m，0 2、(λ－A) 3、8m/s2，上，左，2.5m/s 4、2.5Hz，A到B，18m/s，7.2m 5、A 6、B、C、D 7、B、C 8、A、C、D 9、A、B、C 10、A、D 创新三维学习法让您全面发展 10