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2020
天津市
高考
数学试卷
原卷版
绝密★启用前
2020年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)
数学
本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试用时120分钟.第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷4至6页.
答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上,并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时,考生务必将答案涂写在答题卡上,答在试卷上的无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利!
第I卷
注意事项:
1.每小题选出答案后,用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.
2.本卷共9小题,每小题5分,共45分.
参考公式:
如果事件与事件互斥,那么.
如果事件与事件相互独立,那么.
球的表面积公式,其中表示球的半径.
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 设全集,集合,则( )
A. B. C. D.
2. 设,则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 函数的图象大致为( )
A. B.
C. D.
4. 从一批零件中抽取80个,测量其直径(单位:),将所得数据分为9组:,并整理得到如下频率分布直方图,则在被抽取零件中,直径落在区间内的个数为( )
A. 10 B. 18 C. 20 D. 36
5. 若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为( )
A. B. C. D.
6. 设,则的大小关系为( )
A. B. C. D.
7. 设双曲线的方程为,过抛物线的焦点和点的直线为.若的一条渐近线与平行,另一条渐近线与垂直,则双曲线的方程为( )
A. B. C. D.
8. 已知函数.给出下列结论:
①的最小正周期为;
②是的最大值;
③把函数图象上所有点向左平移个单位长度,可得到函数的图象.
其中所有正确结论的序号是( )
A. ① B. ①③ C. ②③ D. ①②③
9. 已知函数若函数恰有4个零点,则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
绝密★启用前
2020年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)
数学
第Ⅱ卷
注意事项:
1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.
2.本卷共11小题,共105分.
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.试题中包含两个空的,答对1个的给3分,全部答对的给5分.
10. 是虚数单位,复数_________.
11. 在的展开式中,的系数是_________.
12. 已知直线和圆相交于两点.若,则的值为_________.
13. 已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和.假定两球是否落入盒子互不影响,则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________;甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________.
14. 已知,且,则的最小值为_________.
15. 如图,在四边形中,,,且,则实数的值为_________,若是线段上的动点,且,则的最小值为_________.
三、解答题:本大题共5小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
16. 在中,角所对的边分别为.已知 .
(Ⅰ)求角大小;
(Ⅱ)求的值;
(Ⅲ)求的值.
17. 如图,在三棱柱中,平面,,点分别在棱和棱上,且为棱的中点.
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)求二面角的正弦值;
(Ⅲ)求直线与平面所成角的正弦值.
18. 已知椭圆一个顶点为,右焦点为,且,其中为原点.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)已知点满足,点在椭圆上(异于椭圆的顶点),直线与以为圆心的圆相切于点,且为线段的中点.求直线的方程.
19. 已知等差数列,为等比数列,.
(Ⅰ)求和的通项公式;
(Ⅱ)记的前项和为,求证:;
(Ⅲ)对任意的正整数,设求数列的前项和.
20. 已知函数,为的导函数.
(Ⅰ)当时,
(i)求曲线在点处的切线方程;
(ii)求函数的单调区间和极值;
(Ⅱ)当时,求证:对任意的,且,有.