7.1.2 三角形的高、中线与角平分线7.1.3三角形的稳定性.doc

7.1.2 三角形的高、中线与角平分线 7.1.3三角形的稳定性 Ⅰ．核心知识扫描 1．如图7-1-2-1，从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的高． 2．如图7-1-2-2，连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的中线． 3．如图7-1-2-3，画∠A的平分线AD，交∠A所对的边BC于点D，所得线段AD叫做△ABC的角平分线． 图7-1-2-1 图7-1-2-2 图7-1-2-3 4．三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性． Ⅱ．知识点全面突破 知识点1：三角形的高（重点、难点） 在三角形中，从一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高． 图7-1-2-4 图7-1-2-5 图7-1-2-6 图7-1-2-7 注意：（1）三角形的高线是一条线段（图7-1-2-4）； （2）三角形的三条高交于一点，这一点叫做三角形的垂心． ①锐角三角形的三条高都在三角形内，三条高的交点在三角形的内部（如图7-1-2-5）； ②钝角三角形有两条高落在三角形的外部，一条在三角形内部，三条高所在的直线交于三角形外一点（如图7-1-2-6）； ③直角三角形有两条高恰好是三角形的两条直角边，另一条在三角形内部，它们的交点是直角顶点（如图7-1-2-7）． 例：如图7-1-2-8，在△ABC中，D是BC边上的任意一点，AH⊥BC于H。图中以AH为高的三角形个数为（ ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 图7-1-2-8 答案：D 点拨：AH可看作点A到直线BC的垂线段，因此A、H表示的点必然一个是三角形的顶点，另一个是垂足。显然点A是三角形的顶点，另外两个字母是可从“B、D、H、C”中任取两个字母，所以以AH为高的三角形可以是△ABD、△ABH、△ABC、△ADH、△ADC、△AHC． 知识点3：三角形的中线（重点、难点） 在三角形中，连接三角形的一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线.一个三角形有三条中线，这三条中线交于一点，这一点称为三角形的重心．如图7-1-2-9，AD、BE、CF分别是△ABC的三条中线． 图7-1-2-9 三角形的每一条中线将三角形分成两个面积相等的三角形 理由：如图7-1-2-9，AD是△ABC的中线，则△ABD和△ACD的底BD和CD相等，这两个边上的高都是点A到BC距离，所以△ABD和△ACD的面积相等． 例：如图7-1-2-10，△ABC的三条高AD、BE、CF相交于点H （1）△ABH的三条高是_________________，这三条高相交于点______； （2）点A到点B的距离是______的长度，点A到BH的距离是______的长度； （3）＝_______________＝_______________＝_______________． 图7-1-2-10 答案：（1）HF，AE，BD C（2）线段AB线段AE（3）BC·HD CH·BF BH·CE 点拨：图7-1-2-10中，H是△ABC三条高的交点，但事实上A点也可看作△HBC三条高所在直线的交点，B点可以看作△AHC三条高所在直线的交点，C点可以看作△AHC三条高所在直线的交点，克服“H是△ABC三条高的交点”思维定势，是解决此类问题的关键． 知识点2：三角形的角平分线（重点、难点） 在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线． 三角形有三条角平分线，它们交于一点，如图7-1-2-11，AD、BE、CF分别是△ABC的三条角平分线． 在△ABC中，由AD平分∠BAC（或∠BAD＝∠CAD＝∠BAC）可得AD是△ABC的角平分线； 反之，如果AD是△ABC的角平分线，就有AD平分∠BAC，或∠BAD＝∠CAD＝∠BAC． 图7-1-2-11 例：如图7-1-2-12，下列说法正确的是（ ） A．如图甲，由AB，BC，DE三条线段组成的图形是三角形 B．如图乙，已知∠BAD＝∠CAD，则射线AD是△ABC的平分线 C．如图丙，已知点D为BC边上的中点，则射线AD是△ABC的中线 D．如图丁，已知△ABC中，AD⊥BC于D，则线段AD是△ABC的高 甲 乙 丙 丁 图7-1-2-12 答案：D． 点拨：根据三角形的概念，三条线段必须首尾顺次相接，组成的图形才是三角形，图甲中的图形没有首尾顺次相接，所以A项错误；图乙、图丙错误的原因是三角形的中线、角平分线是线段而不是射线． 知识点4：三角形的稳定性 三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性． 三角形的稳定性在生产、生活中应用很广，有很多需要稳定的东西都制成三角形形状．如图7-1-2-13，图7-1-2-14 图7-1-2-13 图7-1-2-14 例：根据所了解的平面图形的特性说明下列设计中的数学原理． （1）用两个钉子把木条固定在墙上； （2）有一个不稳固的凳子，一位同学找来两根木条斜钉在椅子； （3）用三个边长相同的四边形做成挂衣架． 解：（1）两点确定一条直线； （2）三角形的稳定性； （3）四边形的不稳定性． 点拨：三角形具有稳定性、四边形具有不稳定性，稳定性有稳定性的好处，不稳定性也不是一无是处，如电动门运用的四边形的不稳定性，如果电动门做成三角形的，那么门就开不了了． Ⅲ．提升点全面突破 提升点1：求作三角形的高 例1：如图7-1-2-15，在下面三个三角形中，∠C分别小于90°、等于90°、大于90°，分别作出三角形的三条高，观察三条高或三条高的延长线交点的位置，你能得出什么结论？ 图7-1-2-15 【答案】如图7-1-2-16，AD、BE、CF是三角形的三条高． 图7-1-2-16 结论：第一个三角形三条高交点在三角形内，第二个三角形三条高交点在直角顶点，第三个三角形三条高延长线交点在三角形外． 【点拨】求作三角形的高，实际上就是作三角形的一个顶点到对边所在直线的垂线段，钝角三角形作钝角的两条夹边上的高时，要将钝角的两条夹边延长． 检查作出的高是否正确，可检查是否满足下面两个条件：（1）看这条高的一端是否是三角形的顶点；（2）另一端是否垂直于三角形的边． 提升点2：等分三角形面积技巧 例2：如图7-1-2-17，是一块三角形菜地． （1）把这块菜地分成面积相等的四块，应怎样分？ （2）现要求将这块菜地分成面积为2∶3∶4的三块，且图中的A处是这三块菜地的公共水源，应怎样分？ 图7-1-2-17 图7-1-2-18 图7-1-2-19 图7-1-2-20 解：（1）有多种分法，以下几种以供参考： ①如图7-1-2-18所示，作△ABC的BC边上的中线AD，再分别取AB、AC的中点E、F，连结DE、DF，则S△BED＝S△AED＝S△DFC； ②图7-1-2-19，取△ABC的BC边的四等分点E、D、F，连结AE、AD、AF，则S△BED＝S△AED＝S△DFC； （2）如图7-1-2-20，量出BC的长度，将BC九等分，然后在BC上依次截取BD、DE、EC，使得BD∶DE∶EC=2∶3∶4． 由于△ABD、△ADE、△AEC共高，故S△ABD＝S△ADE＝S△AEC＝2∶3∶4． 点拨：（1）由于三角形的一条中线将三角形分为面积相等的两个小三角形，要将一个三角形面积4等分，可先将三角形二等分，然后再分别将分得两个三角形再次二等分即可，因此这种方法一共9种，当然还有别的分法，如连接△ABC三边的中点，也可以将△ABC分成面积相等的四个部分，这种方法用到八年级三角形中位线知识； （2）要使得三个三角形的面积比为2∶3∶4，可以构造同高的三个三角形，同高的三个三角形的底边长之比就等于面积比． 例3：如图7-1-2-21，△ABC中，AD，BE，CF是三条中线，它们相交于点O，请你根据以上条件判断△AOF的面积与△AOE的面积有什么关系，并说明你的理由． 图7-1-2-21 答：△AOF的面积与△AOE的面积相等 理由：∵D、E、F分别为BC、AC、AB的中点 ∴△ABD的面积与△ACD的面积相等，△OBD的面积与△OCD的面积相等 △OBF的面积与△OAF的面积相等，△OCE的面积与△OAE的面积相等 ∴△AOF的面积与△AOE的面积相等． 点拨：三角形的中线可将三角形的面积分成面积相等的两部分，本题中除了AD、CF、BE可以看作中线外，GF、GE、GD也可以看作中线． 面积相等的两个三角形常见类型：（1）同底等高；（2）等底同高；（3）等底等高；三角形的中线将三角形分成的两个三角形属于等底同高型． 提升点3：等积法 例3：如图7-1-2-22，在△ABC中，AB＝AC。 图7-1-2-22 图7-1-2-23 （1）在图上分别画出AB，AC边上的高CF和BE； （2）填空：＝AC×_______，＝AB×_______； （3）BE_______CF（填“＝”“＞”或“＜”）； （4）由此可以得出结论：____________________________． 【答案】（1）如图7-1-2-23； （2）BE CF；（3）＝；（4）等腰三角形两腰上的高相等． 【点拨】等积法是用两种方式求同一个图形的面积，根据面积相等得到一个等式，为解决问题提供便利。 提升点4：化多边形为稳定图形 例5：要使四边形木架（用4根木条钉成）不变形，至少要再钉上几根木条？五边形木架和六边形木架呢？n边形木架呢？ 【答案】要使四边形木架（用4根木条钉成）不变形，至少要再钉上1根木条；五边形木架不变形，至少要再钉上2根木条；六边形木架不变形，至少要再钉上3根木条；n边形木架不变形，至少要再钉上(n－3)根木条． 【点拨】要将多边形变成稳定图形至少需要多少根木条，可考虑过多边形的一个顶点作对角线，对角线的条数就是最少要钉的木条根数． Ⅳ．综合能力养成 例1：（2011，黄冈中学期中，探究题）如图7-1-2-24，是6个面积为1的小正方形组成的长方形，点A，B，C，D，E，F，G是小正方形的顶点，以这七个点中的任意三个点为顶点可组成多少个面积为1的三角形？请你写出所有这样的三角形． 图7-1-2-24 【答案】共14个，它们分别是：△ADE，△BDE，△AEF，△BEF，△AFG，△BFG，△ACG，△CDF，△CEG，△ABD，△ABE，△ABF，△ABG，△FAB． 【点拨】要使得三角形的面积为1，则这个三角形的底为2，高为1；或底为1，高为2． 底为2，高为1的三角形：△DFC，△EGC，△AED，△AEF，△BFE，△BFG，△ABE，△ABF； 底为1，高为2的三角形（排除重复）：△DEB，△FGA，△ABG，△ABD，△ACG，△ABD． Ⅴ．分层实战 A组．基础训练 1．（知识点1，2，3）下面判断正确的有（ ） ①平分三角形内角的射线是三角形的角平分线；②三角形的中线、角平分线、高都是线段；③一个三角形有三条角平分线和三条中线；④直角三角形只有一条高；⑤三角形的中线、角平分线、高都在三角形的内部。 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（知识点1）如图7-1-2-25，在△ABC中，EF∥AC，BD⊥AC，BD交EF于G，则下面说法中错误的是（ ） A．BD是△ABC的高 B．CD是△BCD的高 C．EG是△BEG的高 D．BE是△BEF的高 A B D C E F G 图7-1-2-25 3．（知识点2，3）一个三角形有_______条中线、_______条角平分线。 4．（知识点2）如图7-1-2-26，D、E是边AC的三等分点，图中有______个三角形，BD是三角形_____中_______边的中线，BE是三角形_______中_________边上的中线。 图7-1-2-26 5．（知识点4）为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的对角线加钉了一根木条，这样做的数学道理是___________________________。 6．（知识点4）要使六边形木架不变形，至少要再钉上________根木条。 7．（知识点2）在△ABC中，AB＝AC，AC上的中线BD把三角形的周长分为24cm和30cm的两个部分，求三角形的三边长。 B组．培优训练 1．（提升点1）如果一个三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 2．（提升点2）如图7-1-2-27，在△ABC中，已知点D，E，F分别是BC、AD、CE的中点，且＝4cm2，则的值为（ ） A．2cm2 B．1cm2 C．cm2 D．cm2 图7-1-2-27 3．（提升点2）如图7-1-2-28，在△ABC中，D、E分别是BC、AD的中点，S△ABC＝4cm2，求S△ABE． 图7-1-2-28 4．（提升点3）（1）如图7-1-2-29，AD是△ABC的角平分线，DE∥AB，DF∥AC，EF交AD于点O．请问：DO是△DEF的角平分线吗？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由． （2）若将结论与AD是△ABC的角平分线、DE∥AB、DF∥AC中的任一条件交换，所得命题正确吗？ 图7-1-2-29 7.1.2 三角形的高、中线与角平分线 7.1.3三角形的稳定性 A组．基础训练 1．A，点拨：三角形的中线、角平分线、高都是线段，且都有3条． 2．D，点拨：三角形的高首先是一个垂线段，不能看作垂线段的线段肯定不是三角形的高． 3．3；3 4．6 ABE AE BCD CD，点拨：找BD是哪个三角形的中线，实际上就是看D点是哪条线段的中点． 5．三角形具有稳定性，点拨：钉一根木条，实际上是将四边形变成了两个三角形． 6．3，点拨：过六边形的一个顶点作对角线，能作几条对角线，就要再钉几根木条． 7．这AB＝AC＝2x，BC＝y， 则或 解得：或 ∴三角形的三边长分别为20，20，14或16，16，22 B组．培优训练 1．C，点拨：锐角三角形三条高交于三角形的内部，钝角三角形三条高所在直线交于三角形外部，只有直线三角形的高的交点在直角顶点． 2．B，点拨：由于BE、CE分别是△ABD、△ACD的中线，所以S△ABE＝S△DBE，S△ACE＝S△DCE．因此△BCE的面积是△ABC面积的一半，然后再根据BF是△BCE的中线，可得△BEF的面积是△ABC面积的四分之一． 3．解：∵AD是△ABC的边BC上的中线， ∴S△ABD=S△ABC=×4=2（cm2）． ∵BE是△ABD的边AD上的中线， ∴S△ABE=S△ABD=×2=1（cm2）． 4．解：（1）DO是△DEF的角平分线． 证明：∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠EAD=∠FAD． ∵DE∥AB，DF∥AC， ∴∠EDA＝∠FAD，∠FDA＝∠EAD（两直线平行，内错角相等）． ∴∠EDA＝∠FDA． ∴DO是△DEF的角平分线． （2）所得命题正确． - 10-