一元一次不等式组(高俊元）.doc

一元一次不等式组 一元一次不等式组是是一元一次不等式知识的综合运用和拓展延伸，是进一步刻画现实世界数量关系的数学模型，利用一元一次不等式组解决实际问题的关键，也是每年中考重要考点，特别是与实际生产和生活练习结合的应用题更是每年中考热门话题. ①维度1 一元一次不等式组的概念 把几个一元一次不等式合起来，组成一个一元一次不等式组.几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们组成的一元一次不等式组的解集. 求不等式组的解集的过程叫做解不等式组.解一元一次不等式组可以分为以下两个步骤：（1）求出这个不等式组中各个不等式的解集；（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即求出了这个不等式组的解集.解集的确定通常有“同大取大”、“同小取小”、“大小小大取中间”、“大大小小无解”四种情况． 例1：下列不等式中是一元一次不等式的是( ) A. B. C. D. 思路分析： 第1步：是否是两个不等式；第2步：两个不等式是否都是一元一次不等式；第3步：未知数是否相同. 解答过程： A选项还有两个未知数；B选项中第二个不等式未知数的次数是2次；C选项分母中含有未知数2；D选项是一元一次不等式组，故选D. 本例题总结： 判断一个不等式组是否是一元一次不等式组关键是正确理解一元一次不等式组的概念.判断时主要依据两点：有两个以上的一元一次不等式组成，只含有一个未知数. 关键字： 例题难度：中 表现形式： 呈现内容说明： 例2：解下列不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 思路分析： 第1步：分别求出不等式组中每个不等式的解集；第2步：将解集在数轴上表示出来；第3步：再利用数轴找出各解集的公共部分. 解答过程： 由（1）得：x＜2 由（2）得：x≤1 把它们的解集在数轴上表示如下： ∴原不等式组的解集是1≤x＜2． 本例题总结： 不等式组的解集用数轴表示既直观又不容易错，但是注意要正确解每个不等式，同时要注意数轴正确的画法、点的位置的正确选定（注意空心圆圈和实心圆点的区别）． 关键字： 例题难度：中 表现形式： 呈现内容说明： 随讲随练： 1.下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（ ） A. B. C. D. 解析：B中还有两个未知数，C中未知数的最高次数是2，D分母中还有未知数. 答案：A. 2. 解不等式组，并写出它的所有整数解. 解析:求不等式组的整数解,则要先求出不等式组的解集，即先求出不等式组中各个不等式的解集的公共部分,然后再求出解集中所包含的整数. 答案:由①得x＞-2；由②的解集为x≤2， 所以不等式组的解集为-2＜x≤2， 解集中所包含的整数解有-1，0，1，2，所以不等式组的整数解为-1，0，1，2. ②维度3巧解一元一次不等式组解中的字母取值范围 关于一元一次不等式组的解的讨论问题是中考常考题型，解答这类问题的一般思路是先解不等式组，进而根据解的情况确定对应字母的取值范围. 例1：若不等式组无解，求的取值范围. 思路分析： 第1步：根据无解的条件列不等式；第2步：解不等式. 解答过程： 因为原不等式组无解，所以可得到：m+1＜2m-1. 解这个关于m的不等式得 m＞2. 所以m的取值范围是m＞2. 本例题总结： 确定不等式组中字母的取值范围常用方法有下列四种①逆用不等式组解集确定；②分类讨论确定；③从反面求解确定；④借助数轴确定． 关键字： 例题难度：中 表现形式： 呈现内容说明： 例2：如果不等式组的解集是0≤x＜1，那么a+b的值为 ． 思路分析： 第1步：分别解不等式；第2步：根据解集列方程，并接方程；第3步：求值. 解答过程： 由①得：x≥4-2a，由②得：x＜，又不等式组解集为0≤x＜1，所以4-2a=0，=1，解得a=2，b=-1，所以a+b=1. 本例题总结： 本题根据不等式组的解集列方程解答. 关键字： 例题难度：中 表现形式： 呈现内容说明： 例3：已知关于x的不等式组的整数解共有6个，则a的取值范围是 . 思路分析： 第1步：确定不等式组的解集；第2步：将解集在数轴上表示出来；第3步：根据整数解的情况确定a的取值范围. 解答过程： ○ 解不等式组，得，不等组解为：a＜x＜.将在数轴上表示出来（如图），故6个整数解为：1，0，－1，－2，－3，－4，所以a应在-4的左边，不可能到-5的右边，故－5≤a＜－4. 本例题总结： 数轴是研究不等式的重要工具，通过这一工具，使原本抽象的数字问题变为具体的图形，通过图形的简单分析，轻松地解决这一有一定难度的问题。解决这一问题特别要注意两个端点的取舍. 关键字： 例题难度：中 表现形式： 呈现内容说明： 随讲随练： 1．已知：关于x的不等式组的整数解有5个，则a的取值范围为 ． 解析：解得不等式组的解集 因为不等式组的整数解有5个，即2，1，0，－1，－2，所以 答案： 2. 已知关于的不等式组无解，则的取值范围是（ ） A. 　B. C. 　　　D. 解析：将x>-1，x>2在数轴上表示出来（如图），要使不等式组无解，a不能在-1的右边，即. 答案：A ③维度4 一元一次不等式不等式组应用例析 一元一次不等式不等式组是基本的数学模型，许多数学问题需要根据条件列不等式组求解.这类问题往往与其他数学知识相结合，有一定的综合性. 一、与二次根式结合 例1（2004年泰州）若代数式的值是常数2，则a的取值范围是 A．a≥4 B．a≤2 C．2≤a≤4 D．a＝2或a＝4 思路分析： 第1步：根据条件列不等式组；第2步：解不等式组. 解答过程： . 根据结果判断，因为代数式的值为常数2，所以可判断a被合并为0，所以|a-2|和|a-4|在化简后一定有一个是其本身的相反数，而2-a＞a-4，所以，解得2≤a≤4，选C. 本例题总结： 解答本题思路不唯一，如对a进行分类讨论，分a＜2 、2≤a≤4、a＞4三种情况依据先进行化简.也可根据绝对值的意义，+表示的是数轴上表示a的点与表示2和4的点的距离的和，显然当表示a的点在2和4之间时，其值是常数2，所以2≤a≤4 关键字： 例题难度：中 表现形式： 呈现内容说明： 二、与一次函数结合 例:2：（2011年陕西省）若一次函数y=(2m-1)x+3-2m的图像经过 一、二、四象限，则m的取值范围是 ． 思路分析： 第1步：根据一次函数性质列不等式组；第2步：解不等式组. 解答过程： 由题意知，所以，所以． 本例题总结： 本题将一次函数与不等式组巧妙结合，解题关键是正确理解一次函数的性质. 关键字： 例题难度：中 表现形式： 呈现内容说明： 1. 在数轴上从左至右的三个数为a，1＋a，－a，则a的取值范围是（ ）。 A．a＜ B．a＜0 C．a＞0 D．a＜－ 解析：根据数轴上点的分别规律可列不等式组，解得a＜-. 答案：A 2. 如图，直线y=kx+b经过A（0，4）和B（-2，0）两点，则不等式组0＜kx+b≤-2x的解集为 . 解析：把A（0，4），B（-2，0）两点的坐标代入y=kx+b， 得 ，解得：，所以不等式可转化为0＜2x+4≤-2x， 解得：-2＜x≤-1． 答案：：-2＜x≤-1． ④维度6一元一次不等式不等式组在生活中的应用 不等式是刻画现实世界中量与量之间不等关系的一个有效的数学模型，借助不等式解决现实生活中的实际问题，而利用不等式组进行解答一直是每年中考的热点. 例1：（2011山东东营）如图，用锤子以相同的力将铁钉垂入木块，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力也越来越大.当铁钉进入木块部分长度足够时，每次钉入木块的铁钉长度是前一次的.已知这个铁钉被敲击3次后全部进入木块(木块足够厚)，且第一次敲击后，铁钉进入木块的长度是acm，如铁钉总长度是6cm，则a的取值范围是_________ 思路分析： 第1步：根据题意找不等关系；第2步：列不等式组；第3步：解不等式组. 解答过程： 第一次进入acm，第二次进入acm，如果钉子足够长第三次应进入acm.由这个铁钉被敲击3次后全部进入木块可得a+a+a≥6，但是第二次敲击后，钉子还留有部分可得a+a<6，所以可得不等式组解得. 本例题总结： 这道题需要抓住题眼“这个铁钉被敲击3次后全部进入木块”进行解题，同时按“全部进入木块和未能全部进入木块”进行讨论是重要的步骤. 关键字： 例题难度：中 表现形式： 呈现内容说明： 例2：（2011年内蒙古乌兰察布），某园林部门决定利用现有的349盆甲种花卉和295盆乙种花卉搭配A、B两种园艺造型共50个，摆放在迎宾大道两侧．已知搭配一个A种造型需甲种花卉8盆，乙种花卉4盆；搭配一个B种造型需甲种花卉5盆，乙种花卉9盆． (l）某校九年级某班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来； (2）若搭配一个A种造型的成本是200元，搭配一个B种造型的成本是360元，试说明（1）中哪种方案成本最低，最低成本是多少元？ 思路分析： 第1步：根据题意找不等关系；第2步：列不等式组；第3步：解不等式组；第3步：找出符合条件的解；第4步：求出成本最低的方案. 解答过程： ⑴设搭建A种园艺造型x个，则搭建B种园艺造型（50-x）个. 根据题意得，解得31≤x≤33 所以共有三种方案①A:31，B:19；②A:32，B:18；③A:33，B:17. ⑵由于搭配一个A种造型的成本是200元，搭配一个B种造型的成本是360元，所以搭配同样多的园艺造型A种比B种成本低，则应该搭配A种33个，B种17个. 成本：33×200+17×360=12720（元） 本例题总结： 对于方案设计类问题，结合列方程（组）或不等式（组）解决.成本最低的方案的确定可列出成本和搭配A种造型数量x之间的函数关系，用函数的性质求解；或直接算出三种方案的成本进行比较也可. 关键字： 例题难度：中 表现形式： 呈现内容说明： 随讲随练： （2011年山东枣庄）某中学为落实市教育局提出的“全员育人，创办特色学校”的会议精神，决心打造“书香校园”，计划用不超过1900本科技类书籍和1620本人文类书籍，组建中、小型两类图书角共30个.已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本，人文类书籍50本；组建一个小型图书角需科技类书籍30本，人文类书籍60本． （1）符合题意的组建方案有几种？请你帮学校设计出来； （2）若组建一个中型图书角的费用是860元，组建一个小型图书角的费用是570元，试说明（1）中哪种方案费用最低，最低费用是多少元？ 解析：（1）由题意知中型图书角科技书数+小型图书角科技书数≤科技书数，中型图书角人文书数+小型图书角人文书数≤人文书数，据此列出不等式组，根据实际意义讨论. （2）根据（1）求得的不同方案两种图书的数量和题意中两种图书建一个的价格进行计算，再求出总费用＝中型图书角的费用＋小型图书角的费用，最后进行比较． 答案：（1）设组建中型图书角x个，则组建小型图书角为（30-x）个．由题意，得： ，解这个不等式组，得18≤x≤20． 由于x只能取整数，∴x的取值是18，19，20． 当x=18时，30-x=12；当x=19时，30-x=11；当x=20时，30-x=10． 故有三种组建方案：方案一，中型图书角18个，小型图书角12个；方案二，中型图书 角19个，小型图书角11个；方案三，中型图书角20个，小型图书角10个． …5分 （2）方案一的费用是：860×18+570×12=22320（元）； 方案二的费用是：860×19+570×11=22610（元）； 方案三的费用是：860×20+570×10=22900（元）． 故方案一费用最低，最低费用是22320元． ⑤维度7 一元一次不等式组考点例析 一元一次不等式(组)是方程(组)的延续， 同时，它还是学好后续知识的基础，因此，有必要掌握好一元一次不等式(组)的问题. 例1：（2011贵州毕节）解不等式组 把解集表示在数轴上，并求出不等式组的整数解. 思路分析： 第1步：分别解不等式；第2步：在数轴上表示各个不等式的解集；第3步：确定不等式解集的公共部分；第4步：确定不等式组的整数解. 解答过程： 解不等式①，得x≥. 解不等式②，得x＜3． 因此原不等式组的解集为≤x＜3． 解集表示在数轴上为： ○ 3 0 ● 所以不等式组的整数解为-1，0，1，2. 本例题总结： 判断一个方程是否是分式方程，要重点关注分母中是否含有未知数. 关键字： 例题难度：中 表现形式： 呈现内容说明： 例2：（2011年贵州安顺）若不等式组有实数解，则实数m的取值范围是（ ） A．m≤ B．m＜ C．m＞ D．m≥ 思路分析： 第1步：分别解不等式；第2步：确定有实数解的条件. 解答过程： 分别计算出每一个不等式的解集为，，不等式组有实数解，即为，m必须满足m≤. 本例题总结： 解答本题要注意两点，在求不等式的解集时，遇到应该改变不等号方向的情况时，容易出现不改变方向的问题.同时，求m时，容易取m＜，忽略等于的情况. 关键字： 例题难度：中 表现形式： 呈现内容说明： 例3：（2011广东湛江）.某工厂计划生产A,B两种产品共10件，其生产成本和利润如下表： （1）若工厂计划投入资金不多于44万元，且获利多于14万元，问工厂有哪几种生产方案？ （2）在（2）的条件下，哪种生产方案获利最大？并求出最大利润． 思路分析： 第1步：根据题意列不等式组；第2步：解不等式组；第3步：求出正整数解；第4步：确定最佳方案. 解答过程： （1）设应生产A种产品件，则生产B种产品有（10-x）件，由题意有 ，解得2≤x＜8； 所以可以采用的方案有： A:2，B:8；A:3，B:7；A:4，B:6；A:5，B:5；A:6，B:4；A:7，B:3.共6种方案； （2）由已知可得，B产品生产越多，获利越大，所以当A种产品2件，B种产品8件时可获得最大利润，其最大利润为2×1+8×3=26万元. 本例题总结： 解答这类问题的关键是根据题意列不等式组，并根据 的解集确定符合条件的方案. 关键字： 例题难度：中 表现形式： 呈现内容说明： 随讲随练： 1.(2011江苏南京)解不等式组，并写出不等式组的整数解． 解析：解一元一次不等式组，可分以下两个步骤：（1）求出该不等式组中 各个不等式的解集；（2）利用数轴求出这些不等式解集的公共部分，就求出了不等式组的解集，然后根据题目的要求求出不等式组的整数解. 答案：解不等式①得：x≥-1 解不等式②得：x＜2 所以，不等式组的解集是-1≤x＜2． 不等式组的整数解是-1，0，1． 2.（2011年广西桂林）某校志愿者团队在重阳节购买了一批牛奶到“夕阳红”敬老院慰问孤寡老人，如果给每个老人分5盒，则剩下38盒，如果给每个老人分6盒，则最后一个老人不足5盒，但至少分得一盒． （1）设敬老院有x名老人，则这批牛奶共有多少盒？（用含x的代数式表示） （2）该敬老院至少有多少名老人？最多有多少名老人？ 解析：（1）根据“给每个老人分5盒，则剩下38盒”易求牛奶盒数. （2）欲求老人的数目，需要确定一个范围，根据“每个老人分6盒，则最后一个老人不足5盒，但至少分得一盒．”可知1≤最后一个老人的牛奶盒数＜5，由于前面的老人每人6盒，总共（5x+38）盒，所以最后一个老人分得的牛奶盒数为（5x+38）-6（x-1），因此有1≤（5x+38）-6（x-1）＜5，解之可得出老人的数目. 答案：（1）牛奶盒数：(5x+38)盒. （2）根据题意得: ∴解这个不等式组得：39＜x≤43 ∵x为整数，∴x= 40，41，42，43 . 答：该敬老院至少有40名老人，最多有43名老人. ⑥维度8 一元一次不等式组错例辨析 同学初学解一元一不等式组时，由于没有掌握好知识点或粗心大意，经常会出现这样或那样的错误，现就一些常见的错误归类分析，供参考. 一、理解不等式组解集的定义致错 例1：解不等式组： 错解：解不等式①，得x≥1， 解不等式②，得x＜4，∴原不等式组的解集为x≥1或 x＜4 错因分析：求出不等式①、②的解集后，应取其公共部分，才是原不等式组的解集，这是错理解不等式组解集的定义造成的. 正解：解不等式①，得x≥1， 解不等式②，得x＜4，∴原不等式组的解集为1≤x＜4. 本例题总结：解一元一次不等式组的一般步骤是先分别解不等式，再确定其公共部分. 关键字： 例题难度：中 表现形式： 呈现内容说明： 二、套用等式的性质致错. 例2：解不等式组： 错解：①＋②，得5x+6)+(2x-1)≤16+7，解得x≤，∴原不等式组的解集为x≤. 错因分析：错在套用了等式的性质，应先求出不等式①、②的解集，然后取其公共部分. 正解：解不等式①，得x≤2，解不等式②，得x≤4，∴原不等式组的解集为x≤2 本例题总结： 关键字： 例题难度：中 表现形式： 呈现内容说明： 三、套用不等式的传递性 例3：解不等式组： 错解：由①②，得6x-5＞2x-1，解得x＞1，∴原不等式组的解集为x＞1. 错因分析：错在套用了不等式的传递性，应先求出不等式①、②的解集，然后取其公共部分. 正解：解不等式①得x＞6，解不等式②得x＞-4，∴原不等式组的解集为x＞6. 本例题总结： 关键字： 例题难度：中 表现形式： 呈现内容说明： 随讲随练： 解不等式组（2011广东），并把解集在数轴上表示出来． 解析：先分别解两个不等式，然后把解集分别表示在数轴，取公共解集，即为不等式组的解集． 答案：解不等式①，得x＞－2 解不等式②，得x≥3 解集表示在数轴上为： 所以，原不等式组的解集为x≥3． ⑦维度9一元一次不等式组创新题赏析 随着素质教育不断深入，新课程标准的全面实施，近年来关于不等式的中考题，已不在是课本上的封闭的单一的题型一统天下了，出现了许多新题型，这类题更能考查同学们的灵活运用知识的能力和创新精神及实践能力. 例1：（2011新疆乌鲁木齐）按如下程序进行运算： 并规定：程序运行到“结果是否大于65”为一次运算，且运算进行4次才停止．则可输入的整数x的个数是 ． 思路分析： 第1步：根据程序列不等式组；第2步：解不等式组. 解答过程： 根据题意得：，解得：5＜x＜9．则x的整数值是：6，7，8．共有3个． 本例题总结： 本题主要考查了列不等式组解实际问题，正确理解程序，列出不等式组是解题关键． 关键字： 例题难度：中 表现形式： 呈现内容说明： 例2：（2005陕西）阅读：我们知道，在数轴上，x＝1表示一个点，而在平面直角坐标系中，x＝1表示一条直线；我们还知道，以二元一次方程2x－y＋1＝0的所有解为坐标的点组成的图形就是一次函数y＝2x＋1的图象，它也是一条直线，如图①. 观察图1可以得出：直线＝1与直线y＝2x＋1的交点P的坐标（1，3）就是方程组的解，所以这个方程组的解为 在直角坐标系中，x≤1表示一个平面区域，即直线x＝1以及它左侧的部分，如图2；y≤2x＋1也表示一个平面区域，即直线y＝2x＋1以及它下方的部分，如图3. 回答下列问题： （1）在直角坐标系（图3）中，用作图象的方法求出方程组的解； （2）用阴影表示， 所围成的区域. 思路分析： 第1步：阅读题意；第2步：在坐标系中画出图像；第3步：在坐标系中表示出符合条件的区域. 解答过程： （1）如图④所示，在坐标系中分别作出直线x＝－2和直线y＝－2x＋2，这两条直线的交点是P（－2，6）. 则是方程组的解. （2）如图阴影所示 x y O y=－2x+2 x=－2 P l 本例题总结： 本题的知识背景是高中线性规划的知识.将高中与初中联系紧密的知识点作为中考试题出题的背景资料是近几年来新兴的一种命题方式，主要考查学生的数学理解能力和获取信息、运用信息的能力. 关键字： 例题难度：中 表现形式： 呈现内容说明： 随讲随练： 1.已知不等式：①x＞1，②x＞4，③x＜2，④2-x＞-1，从这四个不等式中取两个，构成正整数解是2的不等式组是（ ）. A．①与② B．②与③ C．③与④ D．①与④ 解析：将①与④组成方程组，解得1＜x＜3，其正整数解为2． 答案：D 2.阅读下列材料，然后解答后面的问题： 我们知道方程2x+3y=12有无数组解，但在实际生活中我们往往只需要求出其正整数解。 例：由2x+3y=12得:y==4-x,(x、y为正整数) ∴则有0＜x＜6. 又y=4-x为正整数,则x为正整数. 由2与3互质,可知:x为3的倍数,从而x=3,代入:y=4-×3=2. ∴2x+3y=12的正整数解为 问题:（1)请你写出方程2x+y=5的一组正整数解: . (2)若为自然数,则满足条件的x的值有 个.（ ） A、2 B、3 C、4 D、5 (3)七年级某班为了奖励学习进步的学生,购买了单价为3元的笔记本与单价为5元的钢笔两种奖品,共花费35元,问有几种购买方案.? 解析：对于（1）可以直接仿照阅读材料求解；（2）抓住是自然数，对选值，并逐一代入，若是自然数即保留；（3）根据题意列二元一次一次方程，再利用（1）的方法讨论，从而确定购买方案. 解：（1）由2x+y=5，得y=5-2x (x、y为正整数） 所以当x=1时，y=3；当x=2时，y=1 所以方程2x+y=5的正整数解是，或（只要写出其中一组即可） （2）同样，若是自然数，则有0＜x-2≤6，即＜x≤82. 当型时，；当x=4时，；x=5时，；当x=8时，.所以满足条件的值有4个，故应选C （3）设购买单价为3元的笔记本m本，单价为5元的钢笔n支. 根据题意，得3m+2n=35，其中m、n均为自然数.于是有. 此时有，所以0＜m ＜，由于n=7-m为正整数，则为正整数.从而可知m为5的倍数，所以m=5时，n=4；当m=10时，n=1. ⑧维度10 经典题回顾 不等式组是初中数学的主要内容之一，常见的题型有解不等式组、利用解不等式组求特殊解及确定字母系数的取值（或取值范围）、利用不等式组解决方程（组）有关问题等． 例1：（2011黑龙江大庆）已知不等式组的解集是－1＜x＜1，则（a+1）（b－1）的值等于 . 思路分析： 第1步：分别解不等式；第2步：根据不等式的解集及已知解集列方程；第3步：解方程；第4步：求值. 解答过程： 解不等式①得x＜，解不等式②得，x＞2b+3，此类不等式组若有解，解集为2b+3＜x＜，所以2b+3=－1，=1，解得b=-2，a=1，代入（a+1）（b－1）=2×（-3）=-6. 本例题总结： 解答这类问题的一般思路是先解不等式组，结合已知解集列方程解答. 关键字： 例题难度：中 表现形式： 呈现内容说明： 例2：如图1是测量一颗玻璃球体积的过程： （1）将300 ml的水倒进一个容量为500 ml的杯子中； （2）将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满； （3）再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出． 根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积在（　　）． A．20cm3以上，30cm3以下 B．30cm3以上，40cm3以下 C．40cm3以上，50cm3以下 D．50cm3以上，60cm3 思路分析： 第1步：根据题意列不等式组；第2步：解不等式组. 解答过程： 设玻璃球的体积为x，得到不等式组，解得40＜x＜50，故选C． 本例题总结： 解此类题目关键是根据题意列出不等式，再化简计算得出x的取值范围．. 关键字： 例题难度：中 表现形式： 呈现内容说明： 随讲随练： 1.如图是测量一物体体积的过程：步骤一：将300ml的水装进一个容量为480ml的杯子中；步骤二：将三个相同的玻璃球放入水中，结果水没满；步骤三：将同样的玻璃球再加两颗放入水中，结果水满溢出．根据以上过程推测一颗玻璃球的体积范围 . 解析：设一个玻璃球的体积为x，依题意得： ，解得：36＜x＜60 答案：36＜x＜60. 2. 关于x的不等式组的所有整数解的和是－7，则m的取值范围是______． 解析：解不等式 ①，又知＜m ②，由①、②得该不等式组解集为，因该不等式组的所有整数解的和是－7，所以该不等式组的整数解可能是－4，－3或－4，－3，－2，－1，0，1，2两种情况，所以m的取值范围是－3＜m≤－2或2＜m≤3． 答案：2＜m≤3 ⑨ 维度13思想方法荟萃 数学思想方法是对数学知识内容的一种本质认识，要知道数学思想方法是数学的灵魂，是解决数学问题的金钥匙，灵活运用各种数学思想方法是提高解题能力的根本所在. 一、整体思想. 例：已知满足，化简 思路分析： 第1步：分别对不等式整体变形；第2步：对代数式化简. 解答过程： 原不等式组可化为：， 即， ∵， ∴ ，于是， 本例题总结： 本题按照常规解法是先求出不等式组的解集，然后根据解集进行化简，这样做较繁.仔细观察题中的式子，发现不必解不等式组，视“x-3”，“2x-1”为整体，推出x-3，2x-1符号后进行化简，很简捷. 关键字： 例题难度：中 表现形式： 呈现内容说明： 二、分类讨论思想 例3、已知不等式组无解，则的取值范围是　　　　。 思路分析： 第1步：解不等式组；第2步：对a的取值分情况讨论. 解答过程： 分别求出不等式组中每个不等式的解集可得3+2x≥1的解集为x≥－1，x－a＜0的解集为x＜a，对于－1的位置可在数轴上确定，而a在数轴上的位置不确定，需对它的位置进行分类讨论，我们可以分以下三种情况进行讨论： 容易看出，在情况（1）与(3)时无解，所以有a≤－1.故选D. 本例题总结： 分类讨论是一种重要的思想方法．首先根据题目要求确定分类对象；其次针对对象进行合理分类；最后对分类合并归纳，作出综合性结论．分类讨论既是一种思想又是寻求问题的思维方法，运用它可使问题的解答严谨，克服思维的片面性，防止漏解(或结论不严密)． 关键字： 例题难度：中 表现形式： 呈现内容说明： 随讲随练： 1.（2010年山东泰安）若关于x的不等式的整数解共有4个，则m的取值范围是（ ） A．6<m<7 B.6≤m<7 C．6≤m≤7 D．6<m≤7 解析：解不等式①得，x<m，解不等式②得x≥3，因此不等式组的解集是3≤x＜m，不等式组的整数解有4个，即3，4，5，6，所以6<m≤7． 答案：D. ⑩.维度15 不等式组综合题赏析 一元一次不等式（组）是初中数学的重点内容，在各级各类考试中也经常看到它们的身影．特别是综合应用型试题更是频频亮相，已成为近年来各地中考的一大热点．下面给出几例相关试题，供大家复习时参考． 一、与方程组综合 例1：（2011年湖北十堰）关于x,y的二元一次方程组的解是正整数，则整数P的值为 . 思路分析： 第1步：解方程组；第2步：根据条件列不等式组；第3步：解不等式组，求出整数解. 解答过程： 先把字母p看作已知数，解关于p的方程组得，，由方程组的解都是正整数，得p也是正整数，可建立关于p的不等式组，解得，∴p为5,6,7.分别把p为5，6，7代入原方程组的解中，只有p=5，7时方程组的解是正整数，故填5和7. 本例题总结： 解答方程组有关的问题的一般思路是先解方程组，再根据解的要求解答. 本题解答的关键是先把字母p看作已知数，用含p的代数式表示方程组的解. 关键字： 例题难度：中 表现形式： 呈现内容说明： 二、与几何综合 例2：（2011年湖南湘潭）某小区前坪有一块空地，现想建成一块面积大于48平方米，周长小于34米的矩形绿化草地，已知一边长为8米，设其邻边长为x米，求的整数解. 思路分析： 第1步：根据条件列不等式组；第2步：解不等式组. 解答过程： 依题意得：，解得：6<x<9，当为整数时，则取值为：7、8. 本例题总结： 本题根据矩形的面积公式=长×宽，周长公式=2×(长＋宽)及已知数量之间的关系，列出不等式组． 关键字： 例题难度：中 表现形式： 呈现内容说明： 三、与一次函数综合 例3：（2010年湖北孝感）若直线x+2y=2m与直线2x+y=2m+3（m是常数）的交点在第四象限，则整数m的值为（ ） A．—3，—2，—1，0 B．—2，—1，0，1 C．—1，0，1，2 D．0，1，2，3 思路分析： 第1步：联立方程组；第2步：解方程组；第3步：根据象限内点的特点列不等式组；第4步：解不等式组，求出整数解. 解答过程： 两直线交点满足方程组 ，解得， 因为两直线交点在第四象限，所以 ，解得-3＜m＜，所以整数 m可取—2，—1，0，1故选B. 本例题总结： 此题巧妙地将二元一次方程组、一次不等式组和一次函数结合在一起，在考查一次函数知识的同时考查一次方程组和不等式组的整数解问题的知识. 关键字： 例题难度：中 表现形式： 呈现内容说明： 随讲随练： 1.如图，直线经过，两点，则不等式的解集为 ． y x O A B 解析：求不等式的解集，就是说当取何值时，函数的值小于函数的值，且大于；作函数的图象，两函数图象的交点为．观察图象发现：当时，；当＜2时，＜；当＞-1时，-2＜；综上，本题答案是. 答案：-1＜x＜2 11.维度17 重点题型探究 新课改下的中考题更为突显创新能力.这类问题具有知识容量大、解题方法活、能力要求高、突显数学思想方法的运用以及要求学生具有一定的创新意识和创新能力等特点.中考的区分度和选拔功能主要靠这类题型来完成预设目标. 例1 图中是表示以x为未知数的一元一次不等式组的解集，那么这个一元一次不等式组可以是 . $\left\{\begin{array}{l}x＞1\\x≤4\end{array}$ 思路分析： 第1步：根据数轴写出不等式组的解集；第2步：根据解集写出不等式组. 解答过程： 由图示可看出，从1出发向右画出的折线且表示1的点是空心圆，表示x＞1；从4出发向左画出的折线且表示4的点是实心圆，表示x≤4．所以这个不等式组的解集是1＜x≤5，符合条件的不等式组答案不唯一，如. 本例题总结： 本题主要考查不等式组的解法及在数轴上表示不等式组的解集．不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示． 关键字： 例题难度：中 表现形式： 呈现内容说明： 随讲随练： 1.试写出一个由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组，使它的解集是-1＜x≤2，这个不等式组是 . 解析：根据不等式的基本性质直接写出结果. 答案：答案不唯一，如 阅读下列内容后，解答下列各题：几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定． 例如：考查代数式的值与0的大小 （1）填写下表：（用“”或“”填入空格处） （2）由上表可知，当满足时，； （3）运用你发现的规律，直接写出当 满足时，． 【解答】（1）+，—（2）或（3）x<－8或7<x<9