第十一章图形与证明（一）.doc

地址：江苏省兴化市茅山中心校 作者：王振宏 邮编：225713 手机：13401218216 QQ：827016088 邮箱：jsxhwzh@ 第十一章 图形与证明（一） 11.1 你的判断对吗 漫画 知识目标导学(对称得加,享受探究乐趣) 知识要点 课标要求 中考考点 节内对应例题 节内对应习题 事件的判断 (1)经历一些观察、操作活动，并对获得的数学猜想进行实验验证，体验直观判断有时不一定正确，从而尝试从数学的角度运用所学的知识和方法寻求证据、给出证明. (2)感受数学思考的合理性和严密性． 能从数学的角度运用所学的知识和方法寻求证据，进行说理（理解） 知识典例1;易错典例1；易混典例1；题型典例1，2，3，4，5，6，7；中考典例1. 中考变式演练1； 强化训练1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15 本节重难点 1.重点：让学生初步体验证明说理的方法和重要性． 2.难点：尝试从数学的角度运用所学的知识和方法寻求证据、给出证明． 教材全面解读(对称得加,享受探究乐趣) 知识点1:事件的判断 (重、难点) 【知识规律】实验、观察、操作是人们认识事物的重要手段，通过实验、观察、操作得到的结论常常是正确的，但是仅凭实验、观察、操作得到的结论有时是不深入的、不全面的，甚至是错误的．所以正确地认识事物，不能单凭直觉，还要学会用数学方法说理！ 知识典例1: 某列从上海到温州的火车，包括起始和终点在内共有6个停靠站，将这6个站按火车到达的先后次序，依次记为A，B，C，D，E，F．小张乘坐这趟列车从上海出发去温州，火车驶离上海时，小张发现他乘坐的车厢里连他自己在内共19名旅客，这些旅客小张都认识，其中有些是浙江人，其他的都是上海人．一路上小张观测到下列情况：①除了终点站，在每一站，当火车到达时这节车厢里浙江人的人数与下车旅客的人数相同，且这次行程中没有新的旅客进入这节车厢；②当火车离开车站B时，车厢里有12名旅客；当火车离开车站D时，还有7名旅客在这一车厢里；在F站下车的旅客包括小张在内共5人． （1）火车驶离上海时，小张乘坐的这节车厢里共有多少浙江人？多少上海人？ （2）在B到C、C到D、D到E的旅途中，分别有多少浙江人？多少上海人？ 【思路导引】要求解这两个问题，可由条件知车厢里连他自己在内共有19名旅客，其中在B站有7人下车，即有7个浙江人，12个上海人，在E站有2人下车，即在D－E途中有2个浙江人，由此类推可以求解． 【解】（1）由条件得，在B站有7人下车，所以19名旅客中有7位浙江人， 即火车驶离上海时，车厢里有7个浙江人，12个上海人； （2）在E站有2人下车，即在D－E途中有2个浙江人，5个上海人， 从而C-D途中至少有2位浙江人，在D站至少有2人下车， 所以C站后车厢里至少有9个人． 因为火车离开B站时车厢里有12人，离开D站时有7人， 所在C站至少有3人下车，即经过C站后车厢里至多9人， 故经过C站后车厢里有9人，即在C站有3人下车． 所以B－C途中车厢里还有3个浙江人，9个上海人， 在D站有2人下车，C-D途中车厢里还有2个浙江人，7个上海人． 故答案为：B-C途中车厢里还有3个浙江人，9个上海人；C-D途中车厢里还有2个浙江人，7个上海人；在D-E途中有2个浙江人，5个上海人． 【方法总结】弄清楚各站及途中乘客数量的变化情况是求解问题的关键．根据B、D两站的人数推出C站的人数最少是9人，最多也是9人得到C站的人数是解本题关键之处． 易错易混辨析(对称得加,享受探究乐趣) 易错点1 依靠直觉判断导致错误 易错典例1假如用一根比地球赤道长1m的铁丝将地球赤道围起来，那么铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大（把地球看作球形）？能伸进一根小手指吗？能放进一个拳头吗？ 图11－1－1 【错解】相对于地球赤道的长度而言，1米可以忽略不计，所以铁丝与地球赤道之间的间隙几乎没有，可以忽略不计，更谈不上能放进一个拳头了． 【思路导引】本题的问题直觉上似乎是否定的，但是只要实际计算一下，你会感到非常吃惊. 【答案】设地球赤道的周长为c,半径为R1 ,铁丝的半径为R2, 则R- R=-=≈0.16（m）. 显然，这样的间隙不仅可以伸进一根小手指，而且也能放进一只拳头. 【易错总结】不能仅凭表面直觉去判断，计算是检验数学结论常用的方法. 易混点1 混淆面积与曲线长度的关系导致错误 易混典例1有两块同样形状的长方形耕地，长为m，宽为m，现在两块耕地中修一条为m的路．问剩下耕地的面积大小相等吗？试通过推理验证你的结论． 图11－1－2 【思路导引】不少同学看了图之后认为图（甲）中路是弯曲的，其长度比b大，而宽度都是1，所以认为图（甲）路的面积比图（乙）中路的面积大，所以理所当然的认为（甲）图中的耕地面积小于（乙）图中的耕地面积．事实上这是错误的，我们可以通过计算推理出这两图中剩下耕地的面积大小是相等的． 【答案】利用平移，把（甲），（乙）中的路的右边部分向左平移m，如下图所示，则两个图形就都变成长为m，宽为m的图形，其面积都为b(a－1)m2．所以这两图中剩下耕地的面积大小是相等的． 图11－1－3 【易混总结】对于不规则图形的面积可以通过平移，旋转、割补等方法将不规则图形转化成规则图形来计算． 典例分类剖析(对称得加,享受探究乐趣) 题型1 通过观察、猜想、实验、操作作出判断 【题型典例1】下面图11－1－4中的四边形是正方形吗？图11－1－5中的两条直线a、b平行吗？说说你的看法，如何验证你的结论？ 图11－1－4 图11－1－5 【思路导引】直觉看上去图11－1－4中的四边形不是正方形，图11－1－5中的两条直线a、b不平行．这是因为图11－1－4中受同心圆的影响，容易把四边形的边看成是弯曲的；图11－1－5中的两条直线受发散射线的影响，看上去也是弯曲的．但用直尺放在上面验证后发现，这些线条都是直的． 【解】图11－1－4中的四边形是正方形；图11－1－5中的两条直线a、b平行．可以用直尺验证． 【方法总结】俗话说“眼见为实”，可见直观是非常重要的，在我们日常生活中，经常通过眼睛去观察．但是，单纯用眼睛去观察，容易受到客观条件的制约．所以眼见不一定为实，还需要去检验． 题型2 通过计算作出判断 【题型典例2】如图11－1－6，两个大小相同的大圆，其中一个大圆内有10个小圆，另一个大圆内有2个小圆，你认为大圆内的10个小圆的周长之和与另一个大圆内的2个小圆的周长之和哪一个大一些？请你猜一猜，并用学过的知识和数学方法验证你的猜想． 图11－1－6 【思路导引】通过观察，给人的错觉是第二个圆中的两个圆大点，因此直觉上判断第二个大圆内的两个小圆的周长之和大上些，但是通过计算发现它们的周长是相同的． 【解】设原来大圆的半径为R，则第一个大圆内的每个小圆的半径为，则第一个大圆内的十个小圆的周长之和为10×2×＝2R；第二个大圆内的两个小圆的周长之和为2×2×＝2R，所以它们的周长一样长． 【方法总结】数学中的观察、猜想有时不一定正确，要学会运用已有的知识和方法来验证它的正确性，进一步培养数学思考的严密性和合理性． 题型3 通过数学推理作出判断 【题型典例3】某参观团依据下列约束条件，从A、B、C、D、E五个地方选定参观地点： （1）如果去A地，那么也必须去B地； （2）D、E两地至少去一处； （3）B、C两地只去一处； （4）C、D两地都去或都不去； （5）如果去E地，那么A、D两地也必须去 依据上述条件，你认为参观团只能去__________________ 【思路导引】由（2）知，D、E两地至少去一地，若去E地，则由（5）也必须去A、D地，于是由于（1）和（4）必须去B、C两地，但与（3）矛盾，所以不能去E地，因此必须去D地． 由（4）也必须去C地，再由（3）知，不能去B地，从而由（1）知也不能去A地． 【解】参观团只能去C、D两地． 【方法总结】从其中一个条件出发，一步步推理，看是否符合其他条件，有一个不符合条件则可以排除，最终的结果必须使所有条件都成立． 题型4 通过列举归纳作出判断 【题型典例】“如果n是自然数， 那么n2+n+17是质数”这一说法正确吗？ 【思路导引】n不是一个具体的数字，可以取不同的数值进行观察、分析 ，归纳得出结论． 【解】当n=1时，n2+n+17＝19是质数； 当n=2时，n2+n+17＝23是质数； 当n=3时，n2+n+17＝29是质数； …… 当n=15时，n2+n+17＝257是质数； 当n=16时，n2+n+17＝172是合数． 所以这一说法不正确． 【方法总结】通过一一列举，只要找到一个反例就可以说明这个说法是不正确的． 创新探究提升(对称得加,享受探究乐趣) 题型5 生活中的错觉判断 【题型典例】生活中，同样高的男孩、女孩，在别人眼里总觉得女孩更高些，这是为什么？ 【思路导引】这是因为生活中的惯性思维与参照物不同． 【解】如果两个都是1.70米的男孩、女孩，在一群男孩中1.70米只能算中等或中等偏上身高．在一群女孩中1.70米可能已经很高，所以总觉得女孩高于男孩． 【方法总结】生活中很多现象仅凭眼睛观察是不准确的，甚至是错误的，需要通过测量或其他技术手段去帮助判断．如体育比赛中短跑用摄像回放来辨认冠军；足球比赛中增加边裁和助理裁判，网球比赛中引入“鹰眼”系统等都是为了减少或避免因个人原因而产生的误判． 题型6 通过假设法判断 【题型典例】有红、黄、蓝三个箱子，一个苹果放入其中某个箱子内，并且（1）红箱子盖上写着：“苹果在这个箱子里”（2）黄箱子盖上写着：“苹果不在这个箱子里”（3）蓝箱子盖上写着：“苹果不在红箱子里”已知（1）、（2）、（3）中只有一句是真的，问苹果在哪个箱子里？ 【思路导引】如果苹果在红箱子里（1）正确那么（2）也正确，违背了只要一个为真；如果苹果在黄箱子里，（1）（2）错误（3）正确；如果苹果在蓝箱子里，（1）错（2）（3）正确．所以苹果在黄箱子里． 【解】若苹果在红箱子里⇒（1）（2）正确（3）错误； 若苹果在黄箱子里⇒（1）（2）错误（3）正确； 若苹果在蓝箱子里⇒（1）错（2）（3）正确． 故苹果在黄箱子里． 【方法总结】这种方法是先作一个假设，然后从这个假设出发，逐一推理，排除不可能情形，最后得出正确的结论． 题型7 通过排除法判断 【题型典例】用：0，1，2，3，4，5，6，7，8这9个数字组成若干个一位数或两位数（每个数字都只使用一次），然后把所得的数相加，它们的和不可能是（　　） A．36 B．117 C．115 D．153 【思路导引】∵0+1+2+3+4+5+6+7+8=36，2+3+4+5+6+17+80=117，0+1+2+3+4+56+87=153，故不能组成115． 【解】C 【方法总结】用排除法计算，分别检验各个选项．这种方法适用于选择题． 【课外链接】 费马数猜想：大师的失误 1640年，在数论领域留下不可磨灭足迹的费马思考了一个问题：式子+1 的值是否一定为素数．当 n取0、1、2、3、4时，这个式子对应值分别为3、5、17、257、65537，费马发现这五个数都是素数．由此，费马提出一个猜想：形如+1的数一定为素数．在给朋友的一封信中，费马写道：“我已经发现形如+1的数永远为素数．很久以前我就向分析学家们指出了这个结论是正确的．”费马同时坦白承认，他自己未能找到一个完全的证明．费马所研究的+1这种具有美妙形式的数，后人称之为费马数，并用Fn 表示．费马当时的猜想相当于说：所有费马数都一定是素数．费马是正确的吗？ 进一步验证费马的猜想并不容易．因为随着n的增大， Fn 迅速增大．比如对后人来说第一个需要检验的F5＝4294967297已经是一个十位数了．非常可能的是，由于这一数太大，所以费马在得出自己的猜想时并没有对它进行验证．那么，它到底是否如同费马所相信的那样是一个素数呢？ 1729年12月1日，哥德巴赫（哥德巴赫猜想的提出者）在写给欧拉的一封信中问道：“费马认为所有形如+1的数都是素数，你知道这个问题吗？他说他没能作出证明．据我所知，也没有其他任何人对这个问题作出过证明．”这个问题吸引了欧拉．1732年，年仅25岁的欧拉在费马死后67年得出F5 ＝641×6700417，其中641=5×27+1这一结果意味着 是一个合数，因此费马的猜想是错的． 在对费马数的研究上，费马这位伟大的数论天才过分看重自己的直觉，轻率地做出了他一生唯一一次错误猜测．更为不幸的是，研究的进展表明费马不但是错的，而且非常可能是大错特错了． 中考考法对接 中考解读：本节内容主要说明直觉等判断不一定正确，需要从数学的角度运用所学的知识和方法寻求证据，进行说理．近几年本节内容在中考中较少涉及，以选择题为主． 考法一 通过推理作出判断 【中考典例1】如图11－1－7是老年活动中心门口放着的一个招牌，这个招牌是由三个特大号的骰子摞在一起而成的．每个骰子的六个面的点数分别是1到6，其中可以看见7个面，其余11个面是看不见的，则看不见的面上的点数总和是（　　） A．41 B．40 C．39 D．38 （2012·浙江宁波中考·10题·3分）图11－1－7 【思路导引】先求出所有面上的点数的总和，然后减去看得见的7个面上的点数的和，即可得解． 【解】三个骰子18个面上的数字的总和为： 3（1+2+3+4+5+6）=3×21=63， 看得见的7个面上的数字的和为： 1+2+3+5+4+6+3=24， 所以，看不见的面上的点数总和是63-24=39． 故选C． 【变式演练】1. 通过找出这组图形符号中所蕴含的内在规律，在空白处的横线上填上恰当的图形. 图11－1－8 （2011·山东烟台中考·18题·4分） 【答案】． 【思路导引】每个图形都是由两个英文大写字母构成的轴对称图形，其中A，C，E图形上下对称，B，D，F左右对称． 本节强化训练(走出题海误区) 基础巩固 1. 下列关于判断一个数学结论是否正确的叙述正确的是 ( ) A.只需观察得出 B.只需依靠经验获得 C.通过亲自实验得出 D.必须进行有根据地推理 (知识点1 题型3 ) 2. 下列说法正确的是（ ） A．经验、观察或实验完全可以判断一个数学结论的正确与否． B．推理是科学家的事，与我们没有多大关系． C．如果两个三角形的面积相等，则它们一定全等． D．对于任意实数a，代数式一定是正数． (知识点1 题型3 ) 3. 如图11－1－9，矩形ABCD的对角线AC=10，BC=8，则图中五个小矩形的周长之和为（ 　　） A．14 B．16 C．20 D．28 图11－1－9 知识点1 题型3 ) 4. 小明三天没来上学了,明天他肯定还不会来,这种判断是否合理?答:______. (知识点1 题型3 ) 5. 下面的判断是否正确，（1）对于所有的自然数n，n2的末位数都不是2． （2）当n=0，1，2，3，4，5时，n2+n的值是偶数，你能否得到结论：对于所有的自然数n，n2+n的值都是偶数． (知识点1 题型2) 6. 有一正方体，将它各面上分别标出a、b、c、d、e、f．有甲、乙、丙三个同学站在不同角度观察结果如图11－1－10，问这个正方体各个面上的字母的对面各是什么字母，即a的对面为______，b的对面为______，c的对面为______． 图11－1－10 (知识点1 题型1 ) 7. 观察下面图11－1－11中的两组图形，中间的两个等边三角形哪个面积大？用直尺等工具验证自己的猜想． 图11－1－11 (知识点1 题型 1) 8. 图11－1－12中有两个三角形，你感觉它们哪一个的面积大？实际算一算，看看结果又如何？ 图11－1－12 (知识点1 题型2 ) 9. 一位老农有一块地，形状是平行四边形，地里有一口水井，他将水井与地的4角分别相连，把地分成4块，然后对他的儿子说：“地分给你们了，每人各取相对的两块；水井不分，两家共用．”精明的弟弟要求先选，在看到土地后果断地选择了①③两地，同学们，老实的哥哥吃亏了吗？ 图11－1－13 (知识点1 题型2 ) 10. 甲、乙、丙、丁四个小朋友在院里玩球，忽听“砰”的一声，球击中了李大爷家的窗户．李大爷跑出来查看，发现一块窗户玻璃被打裂了．李大爷问：“是谁闯的祸？” 甲说：“是乙不小心闯的祸．” 乙说：“是丙闯的祸．” 丙说：“乙说的不是实话．” 丁说：“反正不是我闯的祸．” 如果这四个小朋友中只有一个人说了实话，请你帮李大爷判断一下，究竟是谁闯的祸？ (知识点1 题型6) 能力突破 11. 补完下表： n 0 1 2 3 4 5 n2-n+11 11 17 观察表格，你有什么发现？对于所有自然数n，n2-n+11的值是否都是质数？再换几个自然数试试． (知识点1 题型2) 12. 读句画图： （1）任意画一个四边形ABCD； （2）分别取AB、BC、CD、DA的中点E、F、G、H，依次连接E、F、G、H．试猜想四边形EFGH是什么四边形？你能肯定吗？ (知识点1 题型3 ) 13. 在提供的图11－1－14中,以已知点为圆心,自选一个长度为半径,画一个圆和图中线相交. 仔细观察你画的圆,判断这个圆还象是圆吗?为什么呢? 图11－1－14 (知识点1 题型5 ) 14. 今有囚徒A、B两人，因共同作案而被警方抓获，面临审判．他们两人均可以作出坦白或不坦白的选择． 对于这两种选择将得到的结果是：如果两人都坦白，他们各自被判刑5年；两人都不坦白，他们分别被判刑1年；如果一人坦白而另一人不坦白，则坦白者可释放，不坦白者将被判刑10年． 请问两囚徒作何选择为上策？ (知识点1 题型6 ) 15. 小王、小张和小李在一起，一位是工人，一位是农民，一位是战士，现在知道：小李比战士年龄大，小王和农民不同岁，农民比小张年龄小，那么谁是工人，谁是农民、战士？ (知识点1 题型7 ) 答案: 新题精练(走出题海误区) 基础强化 1. D 【思路导引】通过实验、观察、操作得到的结论常常是正确的，但是仅凭实验、观察、操作得到的结论有时是不深入的、不全面的，甚至是错误的．所以正确地认识事物，不能单凭直觉，还要学会用数学方法说理．. 2. D 【思路导引】经验、观察或实验不一定可以判断一个数学结论的正确，所以要学会说理，因此A、B不正确；两个三角形的面积相等，则它们不一定全等，因此C不正确；对于任意实数a，代数式＝（a-2）2+1一定是正数，故D正确． 3. D 【思路导引】∵AC=10，BC=8 ，根据勾股定理得AB=6，由题意可知五个小矩形的周长之和正好能平移到大矩形的四周，∴图中五个小矩形的周长之和为：6+8+6+8=28． 点拨：得出五个小矩形的周长之和正好能平移到大矩形的四周是解决问题的关键． 4.不合理 【思路导引】明天小明来不来与前面三天没有关系． 5.（1）对（2）能 【思路导引】（1）因为12＝1，22＝4，32＝9，42＝16，52＝25，62＝36，72＝49，82＝64，92＝81，02＝0，所以对于所有的自然数n，n2的末位数都不是2．（2）因为n2+n＝n(n+1)，是两个连续整数的积，其中必有一个因数是偶数，所以n2+n的值一定是偶数． 6. a对面是e； b对面是d； c对面是f 【思路导引】由一、二两个图可以得到字母a与b、c、d、f相邻，故a的对面是e，由二、三两个图可以得到字母c与b、c、d、e相邻，故c的对面是f，剩下的b与d相对． 7.一样大 【思路导引】通过测量，中间的两个等边三角形的边长相等，所以面积也相等． 8.感觉左上角的三角形面积大．实际计算后一样大． 【思路导引】第一个三角形的面积为2×3÷2＝3，第一个三角形的面积为1×6÷2＝3. 9.不吃亏 【思路导引】因为①③和②④两块地的面积和相等，都是平行四边形面积的一半． 10. 【思路导引】若甲说的是实话，则丙说的也是实话，所以甲说的是假话，则一定不是乙闯的祸；若乙说的是真话，则丁说的也是真话，所以乙说的一定是假话，则不是丙闯的祸，所以丙说的话是真话，丁说的是假话．则一定是丁闯的祸． 解：本题可分三种情况进行讨论： ①若甲真，则乙假，丙真，丁真；这种情况下，三人说了实话，显然与条件不符； ②若甲假，乙真，则丙假，丁真；这种情况下，两人说了实话，显然与条件不符； ③若甲假，乙假，则丙真，丁假；这种情况下，只有丙说了实话，符合题目给出的条件． 由于丁说了假话，因此闯祸的人一定是丁． 11. 解：表中数据依次是11，11，13，17，23，31，这些数都是质数；不一定，当n＝11时，n2-n+11的值是合数． 12. 解：是平行四边形，能肯定． 13. 解：不象，因为所画的圆受到旁边条纹的影响看上去有视觉误差． 14. 解：两人都应选择坦白． 【思路导引】A：如果B坦白，而A不坦白，A就将被判10年，如果A坦白，就只要判5年．如果B不坦白，A也不坦白的话，那A就要被判1年，如果A坦白，A就可以被释放，所以对A来说选择坦白为上策 同理，如果B也面临着和A同样的抉择，B选择坦白也是上策． 15. 解：小李是农民，小王是战士，小张是工人． 【思路导引】“小李比战士年龄大”说明小李不是战士；小李年龄大于战士年龄．“农民比小张年龄小”说明小张不是农民，小张年龄大于农民年龄．“小王与农民不同岁”说明小王不是农民．既然小王和小张都不是农民，那么小李是农民．根据上面结论知道他们年龄从大到小顺序是：小张、农民、战士． 因此，小王是战士，小张是工人． 11.2 说理 漫画 知识目标导学(对称得加,享受探究乐趣) 知识要点 课标要求 中考考点 节内对应例题 节内对应习题 说理 (1)初步感受说理的必要性; (2) 尝试用说理的方法解决问题，体验说理必须步步有据． 能用说理的方法解决问题（掌握） 知识典例1;题型典例1； 强化训练3，7，11，12，13，14，15 定义 了解定义的含义 了解定义的含义（了解） 知识典例2;题型典例2，6； 强化训练4 命题 (1)了解命题、真命题、假命题的含义,会区分命题的条件和结论; (2)在交流中发展有条理思考和有条理表达的能力 (1)了解命题的含义，分清命题的题设和结论（理解）; (2)对命题的真假进行判断、说理（掌握） 知识典例3;易错典例1，2，3；易混典例1；题型典例3，4，5；中考典例1. 中考变式演练1； 强化训练1，2，5，6，8，9，10 本节重难点 1. 重点：通过试验、观察、操作，感受“说理”的必要性． 2. 难点：理解命题的组成，能说出一个命题的条件和结论，掌握真假命题的判断． 教材全面解读(对称得加,享受探究乐趣) 知识点1: 说理(重点) 判断一个数学结论是否正确，有时仅仅依靠经验、直觉和估计，往往会得出与实际相反的结论，这就需要借助推理来帮助，只有通过有理有据的推理，才能得出正确的结论． 知识典例1: 小明和小芳所在的年级有4个班，每班都有正、副班长各一人，这8人中没有2人是同姓的．平时召开年级的班长会议时，各班都只派1名班长参加．参加第一次会议的是小杨、小童、小方、小刘；参加第二次会议的是小叶、小童、小汪、小刘；参加第三次会议的是小杨、小叶、小童、小徐．3次会议小金都因病没有参加．请问每个班各是哪两位班长？ 【思路导引】为了解决这个问题，我们可以按如下的方法进行思考： （1）先把参加会议的情况列表如下： 小杨 小童 小方 小刘 小叶 小汪 小徐 小金 第一次会议 1 1 1 1 0 0 0 0 第二次会议 0 1 0 1 1[来+X+X+K] 1 0 0 第三次会议 1 1 0 0 1 0 1 0 （2）依据表格进行推理．由题意可知，两人同班的必要条件是他们没有一次会议是同时出席的．按照这个条件，从上表中首先可以发现，3次会议都出席的小童与3次会议都没有出席的小金同班；然后从出席两次会议的小杨、小刘、小叶出发，不难从表中找到小杨与小汪同班，小刘与小徐同班，小叶与小方同班． 【解】：小童与小金同班，小杨与小汪同班，小刘与小徐同班，小叶与小方同班． 【方法总结】推理时，利用表格来帮助思考是一种非常有效的方法． 知识点2: 定义(重点) 日常生活中，人们为了交流思想，常常用到一些名称和术语，只有对这些名称和术语有了共识才可以正常的交流．类似的，数学中要进行说理，必须对涉及的数学术语或名词有共识，也就是需要对概念下定义． 对名称或术语的含义进行描述，做出规定，就是给出它们的定义． 【知识规律】定义的规则：(1)应相等，即定义概念和定义概念的外延相等；(2)不应循环；(3)一般不应是否定判断；(4)应清楚确切. 【知识拓展】在定义中，必须揭示出事物与其他事物的本质区别．人们正是利用这种本质的区别才能分清甲和乙的．如“一组对边平行，而另一组对边不平行的四边是梯形”就是“梯形” 的定义，其中“另一边不平行”就是它与“平行四边形”的本质区别，因此，在对某些事物下定义时，一定要体现出其本质属性． 【学法指南】定义是对于一个概念的特征性质的描述． （1）定义必须是严密的，要避免使用含糊不清的术语，比如：“一些”，“大概”，“差不多”等不能在定义中出现． （2）定义是几何推理的依据，教材中列举的定义要正确理解、熟练识记，为以后的推理做好知识准备．比如： 若AB⊥CD于O，则∠AOC＝90°（垂直定义） 反过来，若∠AOC＝90°，则AB⊥CD（垂直定义） 定义既可当性质用，也可当判定用，是我们思考问题的出发点和目标． 知识典例2: 下列语句哪些不属于定义（ ） A．北京是中华人民共和国的首都． B．只含有一个未知数，并且未知数的指数是一次的整式方程是一元一次方程． C．两直线平行，内错角相等． D．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 【思路导引】定义是对名称或术语的含义进行描述，做出规定，A、B、D分别对首都、一元一次方程、三角形中位线的含义作出描述，是定义；C是平行线的性质，不是定义． 【解】C 【方法总结】定义是对于一个概念的特征性质的描述，要注意区别于概念的性质和判定． 知识点3: 命题（难点） 判断一个事情的句子叫做命题． 【知识规律】命题的定义中体现了以下两层含义： （1）命题必须是完整的句子． （2）这个句子必须对某一事物做出明确的肯定或否定的判断．命题中，不存在“大约”、“大概”、“差不多”、“左右”等含糊不清的词语． 【知识拓展】1.命题的结构形式：每个命题都是由条件和结论两部分组成，条件是已知事项，结论是由已知事项推断出的事项．即 命题组成 题设 结论 组成剖析 已知事项 由已知事项推出的事项 表达形式 如果…… 那么…… 2.命题的表达形式：命题一般都可以写成“如果…… ，那么……”的形式，“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论，但有些命题的条件、结论不太分明，可先写成“如果…… ，那么……”的形式，再找条件和结论． 3.命题的真假：对于一个命题来说，它可能是正确的，也可能是错误的．正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题．真命题假命题的比较如下： 真命题 如果题设成立，那么结论一定成立 假命题 题设成立时，不能保证结论总是正确的 要说明一个命题是假命题，通常可以举出一个例子，使之具有命题的条件，而不具有命题的结论，这种例子称为反例；要说明一个命题是真命题需根据基本事实和已经证明的定理等进行推理证明． 知识典例3: 判断下列语句是否是命题？ ① 对应角相等的两个三角形一定全等； ② 不许大声说话； ③ 作线段AB=CD； ④ 你爱好什么运动？ ⑤ 人是高等动物； ⑥ 同一平面内不相交的两直线叫做平行线． 【思路导引】因为②③不是对事物的判断，④没有确定是还是不是，所以不是命题；①⑤⑥是对事物作出了判断，所以是命题． 【解】②③④不是命题；①⑤⑥是命题． 【方法总结】判断一个句子是否是命题要抓住两条：（1）必须是一个完整的句子，这个句子通常是陈述句（包括肯定句和否定句），而疑问句和命令性语句都不是命题；（2）必须对某一事件作出肯定或否定的判断． 易错易混辨析(对称得加,享受探究乐趣) 易错点1 命题与非命题识别中的错误 易错典例1下列语句：（1）三角形的外角等于两个内角的和；（2）好香的茉莉花呀！（3）在△ABC和中，若那么，你认为这个结论正确吗？（4）画一个△,使它与△ABC全等；（5）不许和陌生人说话． 其中是命题的有______________（填序号）． 【错解】填（1）、（2）、（3）、（4）、（5）． 【思路导引】命题既然表示判断，不能既肯定又否定．因此，命题一定是陈述句，不能是疑问句、感叹句或祈使句，也不能是画图语句或猜测．题中的5个语句中，只有（1）表示判断，是命题． 【答案】填（1） 易错点2 命题改写中的错误 易错典例2将下列命题改写成“如果……那么……”的形式. （1）同角的余角相等； （2）直角都相等． （3）两点之间线段最短 【错解】（1）如果是同角，那么余角相等． （2）如果是直角，那么相等． （3）如果两点之间，那么线段最短. 【思路导引】错在语句表达不完整、不准确. 缺乏把简单句变换成复合句的语法知识． 【答案】（1）如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等. （2）如果两个角都是直角，那么这两个角相等． （3）如果平面上有两点，那么在连接两点的所有线中，线段最短． 易错点3 真假命题识别中的错误 易错典例3判断下列命题是真命题还是假命题 （1）大于锐角的角是钝角； （2）若一个实数有算术平方根；则它的算术平方根是正数； （3）若等腰三角形的周长为16，其中一边长为7，则该等腰三角形的底边长为2. 【错解】(1)真命题；（2）真命题；（3）真命题. 【思路导引】（1）错在忽视了角的分类，其实，大于锐角的角还有直角.（2）错在忽略了0的特殊性，事实上，0的算术平方根仍是0，而0既不是正数也不是负数.(3)错在忽视了长为7的边既可以是底边，也可以是腰.若长为7的边为底边，则腰长为，此时，另两边的长度为，；若长为7的边为腰，则另一腰的长也是7，则底边为16－7－7＝2，此时另两边长为7，2. 【答案】（1）假命题；（2）假命题；（3）假命题. 易混点1 混淆命题的题设与结论 易混典例1找出命题“两条直线被第三条直线所截，同位角相等，两条直线平行”的题设和结论. 【错解】条件：两条直线被第三条直线所截；结论：同位角相等，两条直线平行. 【思路导引】判断一个命题的题设和结论，最好的方法是先将命题改为“如果…，那么…”的形式，“如果”后面的是条件，“那么”的后面是结论，这样对于命题“两条直线被第三条直线所截，同位角相等，两条直线平行”就可以改写成“两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行”． 【答案】题设：两条直线被第三条直线所截，同位角相等；结论：两条直线平行． 典例分类剖析(对称得加,享受探究乐趣) 题型1 判断说理 【题型典例1】今年五一节期间，王老板在其经营的服装店里卖出两件衣服，其中一件是裤子售价为168元，盈利20％，一件是夹克衫售价也是168元，但亏损20％，问王老板在这次的交易过程中是赚了还是亏了，赚了赚了多少？亏了亏了多少？还是不赚不亏？ 【思路导引】根据售价都为168元，一件盈利20％，一件亏损20％，分别求出这两件衣服的原价分别是多少，相加得到总成本，再与售出总价相比较就能判断是赚了还是亏了． 【解】裤子的成本价：168÷（1+20%）=140（元） 夹克的成本价：168÷（1－20%）=210（元） 总成本=140+210=350（元） 总售价＝168×2=336（元） 350元>336元 350-336=14（元） 答：这次的交易亏了，亏了14元． 【方法总结】不能认为一件盈利20％，一件亏损20％，就是不赚不亏，因为这两个20％对应的单位“1”不同．应通过计算来判断． 题型2 定义的判断 【题型典例】指出下列句子是否是定义． (1)两直线平行,内错角相等; (2)两腰相等的梯形叫等腰梯形; (3)有一个角是钝角的三角形是钝角三角形; (4)等腰三角形的两底角相等; (5)平行四边形的对角线互相平分; (6)连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 【思路导引】（1）（4）（5）分别是平行线、等腰三角形、平行四边形的性质，不是定义． 【解】(1)不是 (2)是 (3)是(4)不是(5)不是(6)是 【方法总结】定义是对名称或术语的含义进行描述，做出规定，不能与概念的性质相混淆． 题型3 命题的判断 【题型典例】下列句子是命题吗？哪些不是命题？ （1）猴子属于灵长类动物； （2）两个全等三角形的对应角相等； （3）过直线外一点作直线的平行线； （4）一个数的平方一定是非负吗？ （5）同位角相等； （6）三角形不一定用符号“△”表示； （7）圆的周长； （8）是平行四边形． 【思路导引】：命题就是一种判断，只有对事物做出了某种判断的语句才叫做命题，反之，若没有判断什么就不是命题，同时要注意命题并不一定要求正确，对事物做出的错误判断也是命题． 【解】属于命题的有：（1）（2）（5）； 不属于命题的有：（3）（4）（6）（7）（8）． 【方法总结】识别一个语句是否是命题时往往与判断正误产生混淆，这里要特别注意． 题型4 命题真假的判断 【题型典例】下列命题是真命题还是假命题？ （1）相等的角是对顶角； （2）四边形的内角和是360º； （3）内错角相等； （4）菱形的对角线相等. 【思路导引】判断时不能认为肯定的命题就是真命题，否定的命题就是假命题.命题的真假是具有客观标准的，有的命题真假较易判别，但有些命题的真假性的探讨是需要很长时间的，如“费马定理”、“哥德巴赫猜想”等. 【解】（1）假命题.如图11－2－1，∠1＝∠2，但∠1和∠2并不是对顶角. （2）真命题.如图11－2－2，可以连一条对角线即可以把一个四边形分成两个三角形，从而可知该命题为真命题. （3）假命题.如图11－2－3，该命题成立的前提必须是AB∥