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点点练15__解三角形及其应用 一 基础小题练透篇 1．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C＋c cos B＝a sin A，则△ABC的形状为(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 2．[2023·江西省赣州市五校联考]在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝4，A＝，B＝，则b＝(　　) A．2 B．2 C．2 D．6 3．[2023·宁夏银川市第六中学考试]已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝2b sin ，则B＝(　　) A． B． C． D． 4．[2023·陕西省宝鸡市质检]已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝，B＝30°，S△ABC＝，则△ABC的外接圆的直径为(　　) A． B．2 C．2 D． 5．[2023·安徽省亳州市第一中学月考]花戏楼，原为关帝庙，始建于清顺治十三年，1988年1月13日被国务院批准为第三批全国重点文物保护单位．某同学想利用镜面反射法测量花戏楼主体的高度，建立如图所示模型．测量并记录人眼距离地面h m，将镜子(平面镜)置于平地上，人后退至从镜中能够看到楼顶的位置，测量人与镜子的距离a1 m，将镜子后移a m，重复前面中的操作，测量人与镜子的距离a2 m.此时可求出楼的高度为(　　) A． B． C．＋h D．＋h 6．魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点E，H，G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”，GC与EH的差称为“表目距的差”，则海岛的高AB＝(　　) A．＋表高 B．－表高 C．＋表距 D．－表距 7．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m. 8．在△ABC中，若tan A tan B＝1，AB＝，则△ABC面积的最大值为________． 二 能力小题提升篇 1.[2023·安徽黄山一模]已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.△ABC的面积为，且2b cos A＝2c－a，a＋c＝4，则△ABC的周长为(　　) A．4＋ B．6 C．4＋2 D．8 2．[2023·陕西省西安市期中]已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝，若a＋b＝2，则c的最小值为(　　) A．1 B． C． D． 3. [2023·山东省潍坊市高三上学期期中]小李在某大学测绘专业学习，节日回家，来到村头的一个池塘(如图阴影部分)，为了测量该池塘两侧C，D两点间的距离，除了观测点C，D外，他又选了两个观测点P1，P2，且P1P2＝a，已经测得两个角∠P1P2D＝α，∠P2P1D＝β，由于条件不足，需要再观测新的角，则利用已知观测数据和下面三组新观测的角的其中一组，就可以求出C，D间距离的是(　　) ①∠DP1C和∠DCP1；②∠P1P2C和∠P1CP2；③∠P1DC和∠DCP1. A．①和② B．①和③ C．②和③ D．①和②和③ 4．[2023·湖南怀化月考]已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A＝60°，b＝3c，角A的平分线交BC于点D，且BD＝，则cos ∠ADB的值为(　　) A．－ B． C． D．± 5．[2023·广东佛山模考]已知△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足b＝2，B＝60°的三角形有两个，则边长a的取值范围是________． 6．[2023·山西省三晋名校联盟考试]在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝2，AD＝3，则四边形ABCD面积的最大值为________． 三 高考小题重现篇 1.[2020·全国卷Ⅲ]在△ABC中，cos C＝，AC＝4，BC＝3，则cos B＝(　　) A． B． C． D． 2．[全国卷Ⅱ]在△ABC中，cos ＝，BC＝1，AC＝5，则AB＝(　　) A．4 B． C． D．2 3．[2019·全国卷Ⅰ]△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a sin A－b sin B＝4c sin C，cos A＝－，则＝(　　) A．6 B．5 C．4 D．3 4．[全国卷Ⅲ]△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为，则C＝(　　) A． B． C． D． 5．[2021·全国乙卷]记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，B＝60°，a2＋c2＝3ac，则b＝________． 6．[2022·全国甲卷]已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB＝120°，AD＝2，CD＝2BD.当取得最小值时，BD＝________． 四 经典大题强化篇 1. 如图，在四边形ABCD中，CD＝3，BC＝，cos ∠CBD＝－. (1)求∠BDC； (2)若∠A＝，求△ABD周长的最大值． 2. [2023·湖北省部分省级示范校联考]如图，在平面凹四边形ABCD中，AB＝2，BC＝3，∠ADC＝120°，角B满足：(1＋sin B＋cos B)＝cos . (1)求角B的大小； (2)求凹四边形ABCD面积的最小值．