第一讲　　实数的有关概念及运算.doc

仓 猛 江苏省盐城市射阳县陈南初级中学 　　手机：13770184569 　QQ：656263358 邮编：224361 电子邮箱：cangmeng2934329@ 第一讲　　实数的有关概念及运算 【课改热点】 ◆中考要求◆ 1．了解实数分类及其有关的概念， 2．掌握实数各种运算，灵活运用运算律、公式进行计算和化简，体验实数的实际意义，探索数与式的规律。 ◆命题趋势◆ 数与式（即实数与代数式）是初中代数的重要内容之一，又是最基本的知识，在中考中所涉及的考点大多是大都是基础知识和基本技能，考查的分值平均约占到16％左右,主要题型是填空、选择、计算、阅读理解、归纳猜想等。试题反映出的考点和注意点具体有： 1．实数有关概念的理解和认识； 2．实数有关计算、化简和求值； 3．探索数、形中所蕴涵的关系和规律，考查合情猜想能力； 4．以实际问题为背景，体会数学与现实生活的紧密联系，增强数学应用意识，提高运用代数知识与方法解决问题的能力。 考点诠释　典例精析 考点一：　实数的分类： 知识点：有理数和无理数统称为实数。有理数分为正有理数、0和负有理数。 例1　在“，3.14，，，，”这六个数中，无理数的个数有　　　（　） A、1个　　B、2个　　　C、3个　　D、4个 【解析】　直接运用概念进行辨析。3.14是有理数，又，，，，，所以， 是无理数，，，是有理数。 【解答】　选A。 方法规律　判断一个数是有理数还是无理数，关键是正确理解它们的定义，如“无理数”它的本质属性是“无限不循环小数”不要被实数的表面所迷惑，要看它的实质。 【变式练习1】 1．（2008年黄石）在实数，，，，中，无理数有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点2　实数的有关概念 知识点：1．数轴：我们把规定了原点、正方向和均匀的单位长度的一条直线叫数轴．原点、正方向和单位长度是数轴的三要素．数轴上的点和实数是一一对应的． 2．相反数：实数a的相反数记作－a，零的相反数是零．互为相反数的两个数的和为零，反过来，和为零的两个数互为相反数．互为相反数的两个数所表示的点在数轴上关于原点对称． 3．倒数：积为1的两个实数互为倒数，零没有倒数． 4．绝对值：一个数a的绝对值记作，非负数的绝对值是它本身，非正数的绝对值是它的相反数． 即：。 例2　（1）(2008湖北孝感)的相反数是（ ） A． B． C． D． （2）（2008年山东临沂）－的倒数是（ ） A． －3 B． 3 C． D． － （3）（2008年山东济南）－2的绝对值是（ ） A．2 B．－2 C． D． 【解析】　本题组考查了实数的有关概念，相反数、倒数都体现了两个数之间的一种数量关系，绝对值是指数轴上数到原点的距离，由相反数、倒数、绝对值的概念可知的相反数是，－的倒数是－3，－2的绝对值是2 【解答】：（1）A；（2）A；（3）A 解题方法　本题组直接应用相反数、倒数、绝对值的概念寻找某一特定数字的相反数、倒数、绝对值，以此考查学生对实数的有关概念的理解水平，解题的关键是透彻理解相反数、倒数、绝对值等实数的有关概念。 【变式练习2】 2．（1）(2008年芜湖市)的相反数是（ ） A． 8 B． C． D． （2）（2008年肇庆市）的绝对值是（ ） A． B． C． D． 考点三　科学记数法 知识点：（1）科学记数法：把一个整数或有限小数记成a×10n，(其中)的记数方法。 （2）改写规律：中，n整数，当N>1时，n等于N的整数位数减1；当时，n为负整数，等于N的第一个非零数前的零的总个数（包括小数点前面的零）。 【例3】　（2008山东烟台）2008 年 5 月 12 日，我国四川省坟川县发生了里氏 8.0级特大地震．地动天不塌，大震有大爱．地震发生后一周，我国接受国内外捐赠的款物共108 . 34亿元，108.34 亿元用科学记数法表示是________元． 【解析】科学记数法要求对于任意一个数m，应写成a×10n的形式，其中；当0<<1时，n为负整数，当>10时，n为正整数。故亿元=（元）。 【解答】　。 点评　认识和表达生活中的数据问题，是新课标设置的主要内容之一。而科学记数法作为其中的一个内容，常常被各中考命题专家所青睐。这类题型往往从学生身边生活中的热点事例取材，考查了学生对数据的敏感性，增广了见闻，感悟生活中处处皆有数学，解这类题时要注意数据后面是否带有“万”、“亿”等单位。 【变式练习3】 3．（2008年东莞市）2008年5月10日北京奥运会火炬接力传递活动在美丽的海滨城市汕头举行，整个火炬传递路线全长约40820米，用科学计数法表示火炬传递路程是（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 考点四　近似数和有效数字 知识点：与实际数值非常接近的数叫做近似数，它通常是对真实值进行四舍五入得到的；只有近似数才考查其有效数字，一个近似数的有效数字是指从它的左边的第一个不为零的数字起，到所要精确到的那位数字止，所有的数字（包括重复的数字和零）都叫做它的有效数字. 【例4】（2008·湖北咸宁）近似数2.01×104有_______ 个有效数字，精确到____位. 【解析】近似数2.01×104的有效数字是由2.01决定，它的精确度由0.01×104来确定. 【答案】三，百. 方法总结：在科学记数法N＝ａ×10n中，N的有效数字和ａ的有效数字一致，N的精确度由ａ的精确度乘以10ｎ来决定. 【变式练习4】 4．1.375保留两个有效数字的近似数是________；0.04048精确到千分位的近似数是________；近似数3.10精确到________位，有________个有效数字. 考点五　平方根与立方根 知识点：1．平方根 (1)平方根：一般地，如果一个数的平方等于a，即x2=a,那么这个数x叫做a的平方根或二次方根，记作(其中a≥0). (2)平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根； (3)算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a,那么这个正数x叫做的算术平方根，记为；0的算术平方根是0。 （4）平方根的性质：①是非负数； ②。 2. 立方根 （1）立方根：一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3 = a，那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根），记作； （2）立方根的性质：正数有一个正的立方根；负数有一个负的立方根；零的立方根是零。 说明：①任何一个数都有立方根，而且只有一个立方根。 ②立方根是其本身的数有0，。 【例5】　（1）（2008年南京市）2的平方根是（ ） A．4 B． C． D． （2）（2008年潜江市）64的算术平方根的立方根是＿＿＿。 【解析】　（1）一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，即2的平方根是； （2）因为64的算术平方根是8，8的立方根是2。 【答案】（1）选D；（2）2。 思维误区：平方根与算术平方根两者既有联系又有区别，一个正数正的平方根叫做它的算术平方根。在求2的平方根时，同学们误选B而出错。 【变式练习5】 5．（1）（2008年徐州市）4的平方根是 A.　　B.2　　C.　　－2　　D 16 （2）（2008年青海）的绝对值是 ；的立方根是 ． （3）（2008年连云港市）如果，那么的算术平方根是 ． 考点六　实数的大小比较 知识点：有理数的大小比较法则在实数范围内仍成立。 法则1　在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的大； 法则2　正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小。 【例6】　比较的大小，正确的是（　　） Ａ． Ｂ． Ｃ．　　　Ｄ． 【解析】　根据“负数小于一切正数”得最小，“两个正数作比较，绝对值大的数较大”得＜，所以，故选A 【答案】　A。 【变式练习6】 6．（2008年杭州市）写出一个比大的负有理数是 ；比大的负无理数是 ． 考点七　非负数及其性质 知识点：（1）非负数：若，称为非负数。目前我们学习的非负数有、和。 （2）非负数的性质：若几个非负数的和为零，则这几个非负数均为零。 　　【例7】　 (2008年芜湖市)若，则的值为（ ） A． B． C．0 D．4 　　【解析】　（1）因为和为非负数，由非负数的性质可知和，所以，，所以的值－1。 【答案】　B。 温馨提示：利用非负数的性质解题是关键。 【变式练习7】 7．（2008年遵义市）14．若，则 1 ． 考点8　实数的运算及运算律 知识点：(1)实数的运算顺序：有括号先算括号内的；没有括号的先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减，同级运算，按从左到右的顺序计算. (2)实数的运算律：交换律a+b=b+a，ab=ba,结合律(a+b)+c=a+(b+c)，(ab)c=a(bc)，分配律a(b+c)=ab+ac. 　【例8】　（2008四川凉山）计算： 【解析】　先对每个运算进行化简，再进行加减的运算。∵，，， 【解答】　 　方法总结：对实数运算的考查往往都是一些对基础概念的理解和简单运用，解题时要用概念及法则指导运算，并注意运算顺序。记住：①。②。③特殊角的三角函数值 。④要灵活利用运算律、运算法则、公式，以及灵活运用相反数、倒数、0、1的运算特性的意识，善于寻求简捷合理的运算途径。 【变式练习8】 8．（1）（2008年肇庆市）计算：. （2）（2008年东莞市）计算 ：. 方法探究　能力升级 类型一 实数与数轴亲密结合 研究实数的有关概念，一般要借助数轴完成，相反数的几何意义、绝对值的概念在数轴上显得更加清楚明了；数轴上的点和实数是一一对应的关系，数轴上的每一个点都表示一个实数，每一个实数在数轴上都只能找到唯一的点和它对应。 【例1】（2008盐城市）实数a在数轴上对应的点如图所示，则a、－a、1的大小关系正确的是 （　 ） 0 1 a A．－a＜a＜1 B．a＜－a＜1 C．－a＜1＜a D．a＜1＜－a 【解析】本题主要考查数轴的认识和实数的大小比较。由题意可知a与－a互相相反数，因为a＜0，所以－a＞0，而a的绝对值大于1，从而可知选项C正确。 方法总结　 ①仔细观察数轴上点所表示的实数的大小是解决本题的关键。②由于互为相反数的两个数在数轴上的位置是关于原点对称，所以要注意数的符号及其在数轴上对应的位置。 类型二　新定义运算 在现实生活中，为了某些特定的需要，常常需要定义新的运算关系符，近几年来的中考试题中，多次出现此类题目，考查学生的类比与分析能力。 【例2】（2008福建省南平市）定义：是不为1的有理数，我们把称为的差倒数． 如：2的差倒数是，的差倒数是．已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，……，依此类推，则 ． 【解析】　由题意可知：， 同理可求，……，从而可知，计算结果每3个一个周期，而2009除以3余数为2，所以计算的结果与相同，所以。 【方法总结】解决这类问题的关键是阅读题意，通过阅读理解题目所提供的素材中所表现出来的新定义、新方法、新知识等，然后根据所得到的认识针对问题进行求解。 【例3】（2008年江苏省宿迁市）对于任意的两个实数对和，规定：当时，有；运算“”为：；运算“”为：．设、都是实数，若，则． 【解析】注意阅读新规定，先计算实数、的值，再计算。 1 12 111 101 21 20 19 18 17 16 15 14 13 5 4 9 8 7 6 2 3 【解答】由，所以，即 ，所以＝2，＝－2。 又由得， 。 类型三　探究微生物规律 【例4】　（2008年台州市）课题研究小组对附着在物体表面的三个微生物（课题小组成员把他们分别标号为1，2，3）的生长情况进行观察记录．这三个微生物第一天各自一分为二，产生新的微生物（分别被标号为4，5，6，7，8，9），接下去每天都按照这样的规律变化，即每个微生物一分为二，形成新的微生物（课题组成员用如图1－2所示的图形进行形象的记录）．那么标号为100的微生物会出现在（ ） A．第3天；B．第4天；C．第5天；D．第6天。 【解析】：原来标号需要3个数，第一天需要6个数，第二天需要12个数，第三天需要是24个数，第四天需要48个数，第五天需要96个数，到第四天标号最大的数是3+6+12+24+48=93，小于100，到第五天标号最大的数为93+96=189，因此，第五天用到的标号数是从94到189，所以标号100在第五天，选C。 【答案】：C。 温馨提示：这是一道将生物知识与数学巧妙结合的跨学科问题，这种跨学科问题是近几年来中考命题的热点之一.题目从微生物的变化规律来进行推断，从而得出结果。本题并不难，但它提醒我们在学习过程中应注意学科之间相关知识的联系。 类型四　奥运圣火到达珠峰 【例5】　2008年5月5日，奥运火炬手携带着象征“和平、友谊、进步”的奥运圣火火种，离开海拔5200米的“珠峰大本营”，向山顶攀登．他们在海拔每上升100米，气温就下降0.6°C的低温和缺氧的情况下，于5月8日9时17分，成功登上海拔8844.43米的地球最高点．而此时“珠峰大本营”的温度为－4°C，峰顶的温度为（ ）（结果保留整数） A．－26°C B．－22°C C．－18°C D．22°C 【解析】　由于每上升100米，气温就下降0.6°C，地球最高点8844.43米，“珠峰大本营”海拔5200米，所以峰顶的温度为－4－≈－26。 【答案】　A。 实战演练　挑战满分 ◆夯实基础◆ 　　1．（2008年广州市）计算所得结果是 （ 　 ） A B C D 8 2．（2008年中山市）的值是　　　　　 （ ） A． B． C． D．2 3．（2008年中山市）2008年5月10日北京奥运会火炬接力传递活动在美丽的海滨城市汕头举行，整个火炬传递路线全长约40820米，用科学计数法表示火炬传递路程是（ ） A．米 B．米 C．米 D．米 　　4．（2008年海南省）在0，－2，1，这四个数中，最小的数是 （ ） A. 0 B. -2 C. 1 D. 5．（2008年梅州市）下列各组数中，互为相反数的是 （　　） A．2和 B．-2和－ C． －2和|－2| D．和 　　6．（2008年无锡市）的相反数是 ， 16的算术平方根是 ． 7．（2008年桂林市）如果向东走３米记作＋３米，那么向西走５米记作　　　　米。 ◆能力互动◆ 8．(2008年赤峰市)如果，下列成立的是 （ ） A． B． C． D． 9．（2008年广州市）若实数、互为相反数，则下列等式中恒成立的是（ ） A B C D 10．（2008年武汉市）2008年某市应届初中毕业生人数约10.8万．比去年减少约0.2万，其中报名参加高级中等学校招生考试（简称中考）的人数约10.5万，比去年增加0.3万，下列结论： ①与2007年相比，2008年该市应届初中毕业生人数下降了； ②与2007年相比，2008年该市应届初中毕业生报名参加中考人数增加了； ③与2007年相比，2008年该市应届初中毕业生报名参加中考人数占应届初中毕业生人数的百分比提高了．其中正确的个数是 （　　）． Ａ.0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．3 11．（2008年连云港）实数在数轴上对应点的位置如图所示，则必有（ ） 0 a 1 0 b A． B． C． D． 　12．2008年8月第29届奥运会将在北京开幕，5个城市的国标标准时间（单位：时）在数轴上表示如图所示，那么北京时间2008年8月8日20时应是（　　） 北京 汉城 巴黎 伦敦 纽约 A．伦敦时间2008年8月8日11时；　　B．巴黎时间2008年8月8日13时； C．纽约时间2008年8月8日5时；　　D．汉城时间2008年8月8日19时。 13．（2008年河北省）如图1－5所示，数轴上表示数的点是___________. 14．（2008贵州贵阳）符号“”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下： （1），，，，… （2），，，，… 利用以上规律计算： ． 15．（1）（2008年泸州市）⑴计算 （2）（2008年扬州市）计算：。 （3）（2008年淮安市）计算 ◆拓展探究◆ 16．在下面两个集合中各有一些实数，请你分别从中选出2个有理数和2个无理数，再用“＋，－，×，÷”中的3种符号将选出的4个数进行3次运算，使得运算的结果是一个正整数。 17．把几个数用大括号围起来，中间用逗号断开，如：、，我们称之为集合，其中的数称其为集合的元素。如果一个集合满足：当实数是集合的元素时，实数也必是这个集合的元素，这样的集合我们称为好的集合。 (1)请你判断集合，是不是好的集合？ (2)请你写出满足条件的两个好的集合的例子。 18.（2008年宁夏）．商场为了促销，推出两种促销方式： 方式①：所有商品打7.5折销售： 方式②：一次购物满200元送60元现金． （1）杨老师要购买标价为628元和788元的商品各一件，现有四种购买方案： 方案一：628元和788元的商品均按促销方式①购买； 方案二：628元的商品按促销方式①购买，788元的商品按促销方式②购买； 方案三：628元的商品按促销方式②购买，788元的商品按促销方式①购买； 方案四：628元和788元的商品均按促销方式②购买． 你给杨老师提出的最合理购买方案是 ． （2）通过计算下表中标价在600元到800元之间商品的付款金额，你总结出商品的购买规律是 ． ●答案与点拨● 变式练习答案： 1．B　点拨：无理数有，。 2．（1）A　　（2）B　　　 3．C 4．1.4，　0.040. 百分，三 5．（1）A　　（2）； 　　 （3）3　点拨：先求出＝3，再求出9算术平方根是3 6．; 等, 【答案】不惟一 7．1　点拨：先求出，，所以1。 8．（1）原式= =　　（2）原式＝ 实战演练　挑战满分答案与点拨 1．C　　2、B　　3、C　　4、B　　5、C　　 6、6，4　　　7、－5　　 8．B　　9．B　　 10．B　点拨：由题意可知：①与2007年相比，2008年该市应届初中毕业生人数下降应为×100℅；所以①不正确；②与2007年相比，2008年该市应届初中毕业生报名参加中考人数增加了×100℅；所以②不正确；③与2007年相比，2008年该市应届初中毕业生报名参加中考人数占应届初中毕业生人数的百分比提高了正确。 11．D 12．B点拨：从数轴上可见，伦敦时间比北京时间晚（小）8小时，巴黎时间比北京时间晚（小）7小时，纽约时间比北京晚（小）13小时，汉城时间比北京时间早（大）1小时，因此，北京时间2008年8月8日20时对应的伦敦时间应是2008年8月8日12时，巴黎时间应是2008年8月8日13时，纽约时间应是2008年8月8日7时，汉城时间是2008年8月8日21时。故选B。 13．B 14．1 点拨：本题考查了有理数的运算及定义新运算．观察这种运算的规律可得，可括号内是一个整数，则结果减1，若括号内是一个分子为1的分数，则计算其倒数．所以结果应为1． 15．（1） （2） （3）原式＝； 16．答案不唯一. 如：可选－6，－，－，. 则：－6 ×（－）－（－）÷＝8＋2＝10 再如：3，－6，， 则：3－（－6）＋·＝9＋3＝12； 再如：3，，，－　　则：3×－（－）÷＝2＋2＝4. 17．（1）集合不是好的集合，这是因为8-1=7，而7不是中的数，所以不是好的集合；是好的集合，这是因为8-1=7，7是中的数；8-4=4，4也是中的数；8-7=1，1又是中的数。所以是好的集合； （2）答案不唯一。集合、、、、{0，8}等都是好的集合。 18．（1）方案三 （2）正确填写下表 规律：商品标价接近600元的按促销方式②购买，商品标价接近800元的按促销方式①购买．或商品标价大于600元且小于720元按促销方式②购买，商品标价大于720元且小于800元按促销方式①购买。 12