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第十一章 单元小结 单元小结 图 念 概 知识梳理 边边边(SAA) 角边角(ASA) 角角边(AAS) 边边边(SSS) 三角形全等的条件 全等图形 全等三角形 对应元素 表示方法 全等三角形的性质 对应边相等 对应角相等 直角三角形全等的条件 斜边、直角边(HL) 应用三角形解决问题 技巧归纳 技巧一、巧用隐含条件解决三角形全等问题 1.公共边 【例1】如图11-1，AD//BC且AD=BC，试问△ACD与△CAB全等吗？为什么？ 图11-1 分析：通过AD//BC，可得出∠DAC=∠BCA，两个三角形有一边一角对应相等了，再加上公共边AC=CA，就可证出两个三角形全等． 解：因为AD//BC 所以∠DAC=∠BCA． 在△ACD和△CAB中 AD=BC ∠DAC=∠BAC AC=CA 所以△ACD≌△CAB（SAS） 技巧点拨：解题的过程中我们先观察一下，两个三角形有没有公共边，如果有的话就是具备了一组对边相等. 2.公共角 【例2】如图11-2，AB=AC，∠B=∠C，试问AD与AE相等吗？ 图11-2 分析：AD与AE分别在△ADB和△AEC中，要证明AD=AE，必须证明这两个三角形全等，已经有一边一角对应相等，再加上公共角∠A，就可以判定这两个三角形全等． 解：AD与AE 相等 理由如下： 在△ADB和△AEC中 ∠B=∠C AB=AC ∠A=∠A 所以△ADB≌△AEC（ASA） 所以AD=AE（全等三角形的对应边相等） 技巧点拨：在一些复杂的图形中经常会出现两个三角形具有公共角，此时可以围绕这个角构造出两个全等的三角形解决问题. 3.对顶角 【例3】要测出一池塘两端A、B的距离，如图11-3，设计如下方案：先在平地上取一点可以直接到达A、B的点C，连接AC并延长到D，使CD=AC，连接BC并延长到E，使CE=BC，最后测出DE的长即为A、B之间的距离，为什么？ 图11-3 A B C D E 分析：已知两边对应相等，再找夹角．根据对顶角相等，用SAS公理即可证明两个三角形全等． 解：在△ABC和△DEC中 AC=CD ∠ACB=∠DCE BC=CE 所以△ABC≌△DEC（SAS） 所以AB=DE（全等三角形的对应边相等） 技巧点拨：在出现交叉型的图形时，通过会出现一组对顶角，然后围绕这组对顶角构造全等三角形解决问题. 4.客观规律 【例4】中午12点时，操场上垂直于地面竖立着两根一样长的竹竿，如图11-4，它们的影长相等吗？ 图11-4 分析：这道题已知AB=，∠ABC=∠ =90°，还容易忽视的一个客观规律那就是太阳光线可以看成是平行的． 解：因为AC// 所以∠ACB=∠ 在△ABC和△中 ∠ABC=∠=90• ∠ACB=∠ AB= 所以△ABC≌△（AAS） 所以AB= 即它们的影长相等． 技巧点拨：客观规律要根据题目的实际情况去运用．光的反射规律，即反射角等于入射角也是常用的客观规律之一． 技巧二、巧用全等解决开放型问题 1. 条件开放型 【例5】如图11-5，AB＝AC，要使△ABE≌△ACD，应添加的条件是____ (添加一个条件即可)． E A B C D 图11-5 分析：挖掘出公共角的隐含条件，这样就具备一组边和一组角，再添上角的另一边对应相等或一组角相等就可以了. 解：答案不唯一．依据三角形全等的判定方法并结合图形可填上：∠B＝∠C，或AE＝AD，或∠AEB＝∠ADC．等等． 技巧点拨：这是一道条件开放型题目，求解时，除了要认真分析题意外，还要细心观察图形特征，充分挖掘隐含条件．另外还要不能陷入“角角角（AAA）”和“边边角（SSA）”的怪圈，造成错解．， 2. 结论开放型 【例6】如图11-6，将等腰直角三角形ABC的直角顶点置于直线上，且过A、B两点分别作直线的垂线，垂足分别为D、E，请你仔细观察后，在图中找出一对全等三角形，并写出证明它们全等的过程． l 图11-6 C B E F D A 分析：根据两条垂线得到△ACD与△CBE一组角相等，根据△ABC是等腰三角形得到△ACD与△CBE一组边相等，再根据同角的余角相等得到∠CAD＝∠BCE. 解：△ACD≌△CBE．证：由题意知∠CAD+∠ACD＝90°，∠ACD+∠BCE＝90°，所以∠CAD＝∠BCE，又∠ADC＝∠CEB＝90°，AC=CB，所以△ACD≌△CBE． 技巧点拨：处理这类问题一定要根据题意，结合图形特征，依据全等三角形的判定方法，才能使问题获解． 技巧三、巧用全等解决实际问题 1. 说理题 【例7】工人师傅经常利用角尺平分一个任意角，如图11-7，∠AOB是一个任意角，在OA、OB边上分别取OD=OE，移动角尺使角尺两边相同的刻度分别与D、E重合，这时过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线，你能说明其中的道理吗？ 图11-7 O A B P D E 分析： 要想说明OP是角平分线，就要证明∠AOP=∠BOP，然后将这两个角转化到两个三角形中，证明两个三角形全等. 解：根据题意得OE=OD，PE=PD， 在△POB和△POD中， ， 所以△POE≌△POD（SSS）， 所以∠AOP=∠BOP， 即射线OP就是∠AOB的平分线． 温馨提示：解决这类问题时，关键是要仔细阅读题目，根据题意，抓住相等的量，先证明三角形全等，在证明三角形全等时，一定要利用好条件，不能任意造条件和结论． 2.操作题 【例8】如图11-8，小明为了测量河的宽度，他先站在河边的C点面向河对岸，压低帽檐使目光正好落在河对岸的岸边A点，然后他姿态不变原地转了180°，正好看见他所在岸上的一块石头B点，他度量了BC=30米，你能猜出河有多宽吗？ 图11-8 B A C D 分析：这个题目关键是设计三角形全等，这一过程正好得到两个△ACD和△BCD，且有∠ACD=∠BCD=90°，∠ADC=∠BDC（因为小明的视线角度没变），易证△ACD≌△BCD， 所以AC=BC=30m． 解：河宽30米，理由如下： 因为小明姿态不变原地转了180°，所以∠ACD=∠BCD=90°， 因为帽檐的位置没动，所以帽檐与小明自身的角度不变， 即∠ADC=∠BDC，在△ACD和△BCD中，， 所以△ACD≌△BCD，所以AC=BC=30m． 技巧点拨：对于这种操作类的问题，我们要学会构造全等三角形来解决实际问题. 3. 判断题 【例9】某校二（4）班学生到野外活动，为测量一池塘两端A、B的距离，设计了如下方案： ⑴如图11-9-1先在平地取一个可以直接到达A、B的点C，可连结AC、BC，并延长AC到D、BC到E，使DC=AC，EC=BC，最后测出DE的距离即为AB之长． ⑵如图11-9-2先过B点作AB的垂线BF，再在BF上取C、D两点，使BC=CD，接着过点D作BD的垂线DE，交AC的延长线于E，测出DE的长即为A、B的距离. 阅读后回答下列问题： ⑴方案⑴是否可行？ ，理由是 ⑵方案⑵是否切实可行？ ，理由是 ⑶方案⑵中作BF⊥AB，ED⊥BF的目的是 ；若仅满足∠ABD=∠BDE≠90， 方案⑵是否成立？ ． A B C D E A B C D E F 图11-9-1 图11-9-2 分析：本题让我们了解测量两点之间的距离的设计方案不只一种，只要符合三角形全等的条件，方案的操作性很强，需要测量的线段和角度在陆地一侧即可实施 答案：⑴可行，边角边；⑵可行，角边角；⑶使∠ABC=∠EDC，仍成立 温馨提示：对于操作类的题目，在构造全等三角形的时候要抓住对顶角的隐含条件. 技巧四、巧作辅助线构造全等三角形 【例10】如图11-10，AB=AE，∠C=∠D，BC=ED，点F是CD的中点，则AF平分∠BAE，为什么？ 图11-10 分析：要说明AF平分∠BAE，就是说明∠BAF=∠EAF，我们可考虑将他们放到两个三角形中，先说明这两个三角形全等。故连接BF、EF，而要说明△ABF≌△AEF，条件还不够，而由已知可得△BCF≌△EDF，由它可得BF=EF，从而使问题解决。 解：连接BF、EF，因为点F是CD的中点，所以CF=DF， 在△BCF和△EDF中， BC=ED，∠C=∠D，CF=DF， 所以△BCF≌△EDF（SAS）， 所以BF=EF， 在△ABF和△AEF中， AB=AE，BF=EF，AF=AF 所以△ABF≌△AEF（SSS） 所以∠BAF=∠EAF， 所以AF平分∠BAE。 技巧点拨：本题是依据结论（要说明的）来构造全等三角形，但构造出的三角形全等的条件不够，所以需结合条件先判断有无其它的三角形全等，再说明构造的两个三角形全等。 7