二次根式章末.doc

知识专题 专题1：二次根式的概念 专题解读：本章涉及的概念有二次根式的概念，最简二次根式和同类二次根式的概念，理解这些概念要抓住概念的本质，其中二次根式概念，一定要保证二次根式被开方数是非负数．最简二次根式的特征是：①被开方数不含分数或分式；②分式的分母不含根号；③根号内不含能够开得尽的因数或因式．同类二次根式式子两个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的两个二次根式． 例1 下列各式一定是二次根式的是（ ） A． B． C． D． 思路导引：判定一个代数式是否是二次根式，必须含有根号，且被开方数是非负数，本题中四个选项都含有根号，但是只有D项的被开方数肯定是非负数，所以本题选D． 答案：D 例2 在下列根式，，，中，最简二次根式的个数是（ ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 思路导引：最简二次根式的被开方数不含能够开方开得尽的因数或因式，而＝，＝，所以不是最简二次根式． 答案：C． 例3 下列各式中与是同类二次根式的是（ ） A． B． C． D． 思路导引：判定几个二次根式是否是同类二次根式，首先需要将这些二次根式化简，看化简后被开方数是否相同，＝，＝，＝，＝，＝，所以与是同类二次根式的是． 答案：B 专题2：二次根式的性质 专题解读：二次根式的性质主要包括四个公式：①；②；③；④．这些公式的主要功能是化简二次根式，应用这些性质的时候，要注意这些公式成立的条件． 例4 若a＜0，则＝ 思路导引：先求出字母a、b的取值范围，然后应用积的二次根式和商的二次根式进行化简，最后再合并同类二次根式． 解：∵a＜0，ab3≥0，∴b＜0． ＝＝＝－－＝－2． 点拨：根号内含字母的二次根式化简的时候，一定要弄清这些字母的取值范围． 专题3：二次根式的计算 专题解读：进行二次根式的运算时，（1）先将二次根式适当化简；（2）对于二次根式的乘法，可以参照整式乘法进行；（3）对于二次根式的除法，通常是先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；（4）二次根式的加减法与整式的加减法类似，即在化简的基础上，去括号与合并同类项；（5）运算结果一般要化成最简形式． 例5 计算： （1）； （2）； （3）； （4） 解：（1）； （2）； （3）； （4）． 点拨：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们说这两个代数式互为有理化因式。例如，，互为有理化因式． 思想方法专题 专题4：分类讨论思想 专题解读：在解某些数学题时，它的结果可能不唯一，因此需要对可能出现的情况一一加以讨论，像这样对事物情况分别加以讨论的思想，称为分类讨论思想，在运用分类讨论思想研究问题时，必须做到“不重、不漏”． 例6 根据的取值，谈谈二次根式是否有意义． 思路导引：根据二次根式的定义在实数范围内有意义的条件是：≥0，而当＜0时，无意义． 解：当≥－3时，即＋3≥0，有意义； 当＜－3时，即＋3＜0，无意义． 专题5：整体思想 专题解读：整体思想就是在数学问题中,对于有的问题,可以从整体角度思考问题,即将局部放在整体中去观察分析、探究问题的解决方法，从而使问题得以简捷巧妙地解决. 例7 已知，，求：的值. 思路导引：先将 变形成，然后将x＋y和xy的值整体代入． 解：x＋y＝＋(＝2，x×y＝＝1. = 点拨：本题如果直接代入计算，则计算量较大，而且容易出错．通过观察已知条件和欲求值的式子，现它们都可以化简,这样采取变更问题的条件和结论的方法，然后采取整体代入的思想,比较容易求出问题的解来． 专题6：转化思想 专题解读：解数学题时，碰到陌生的问题常把它设法转化成熟悉的问题，碰到复杂的问题常设法把它转化成简单问题，从而使问题获得解决的方法. 例8 化简得( ) A．2 B．－4x＋4 C．－2 D．4x－4 思路导引：因为原式可化为，而要使原式有意义,需使2x－3≥0，即：x≥，而此时2x－1＞0，∴原式＝2x－1－(2x－3)＝2. 故选A． 答案：A 方法技巧专题 专题7：二次根式的运算技巧 专题解读：在二次根式运算中，有很多学生感到厌烦，步骤复杂，用了很长时间，结果又不对，原因之一他们没有找到运算中的技巧．遇到二次根式运算一定认真审题、仔细琢磨，找到运算技巧，达到事半功倍效果． 例9 计算 （1） （2） （3） （4） 思路导引：（1）将根号外的因式移到根号内，然后运用平方差公式计算比较简便；或先把化简，然后利用平方差公式计算． （2）因为，所以中有公因数、提公因数后，可用平方差公式计算． （3）两个括号里的三项式中，有两项完全相同：；有一项互为相反数；与如果把两个完全相同的项结合在一起即则可以用平方差公式计算． （4）因为都有意义，所以，所以 所以 解：（1）（巧移因式，避繁就简） 原式 （2）（巧提公因数，化难为易） 原式 （3）（巧分组） 原式 （4）（巧配方）原式 专题8：二次根式的大小比较 专题解读：二次根式的大小比较是中考常考内容，二次根式的大小比较的核心是将不能直接比较的两个二次根式转化为两个有理数的大小比较，常用的方法有平方法，内迁法，作差法，作商法，分母有理化，分子有理化，估值法等． 例10 比较大小 （1）与； （2）与； （3）与0.5； （4）与；（5）与3＋2； （6）和． 思路导引：（1）内迁法；（2）平方法；（3）作差法；（4）作商法；（5）估计值；（6）分子有理化． 解：（1）∵=；=，又18＞12，∴＞ （2）因为（）2=12+2；（）2=12+2； 显然a2＞b2，又a＞0，b＞0，∴a＞b． （3）－0.5＝，∵，∴＞0，即＞0.5． （4）÷=== ∴＜． （5）∵=，而72＜52＜82，∴7＜＜8，又2＝，∵28＞25，∴＞5，∴3＋2＞3＋5＝8，∴＜3＋2． （6）解：∵； 　　　　　　∴＜． 1．（专题1）如果是二次根式，那么x应满足的条件是（ ）． A． B． C． D．x≤ 2．（专题1）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A． B． C． D． 3．（专题1）在下列各组二次根式中，是能合并的两个二次根式的一组是（ ）． A．和 B．和 C．和 D．和 4．（专题2）若y＝，则的值是（ ）． A．27 B． C． D．9 5．（专题2）当a＜0时，化简的结果为（ ）． A． B． C． D． 6．（专题5）已知，，则______________． 7．（专题6）已知≤x≤1，则＝___________． 8．（专题4）若化简的结果是______________． 9．（专题5）已知，化简的结果是_______________． 10．（专题7）的关系是 ． 11．（专题2）计算 （1）；（2）； （3）； （4） 12．（专题5）若，,求的值 13．（专题5）已知x＋y＝－8，xy＝8，求的值 14．（专题8）比较下列二次根式的大小 （1）与； （2）与； （3）与； （4）与（a＞1）； （5）与；（6）与 1．D 思路导引：二次根式被开方数是非负数，可得5－2x≥0． 2．C 思路导引：A项被开方数4可以化简出来；B项根号内含有分母；D项a4可以开方出来． 3．B 思路导引：同类二次根式可以合并，判定两个二次根式是否可以合并，需要先将二次根式化简，然后判定是否是同类二次根式． 4．D 思路导引：原式＝，把y＝代入． 5．D 思路导引：＝＝＝． 6． 思路导引：，将x＋y和x－y的值整体代入． 7．5 思路导引：原式＝，然后化简绝对值． 8．或 思路导引：需要分a、b同号和a、b异号两种情况讨论． 9．3 思路导引：＝． 10．相等 思路导引：． 11．（1）；（2）；（3）；（4） 12．解：∵＝2＋，＝2－， ∴＝＝＝141． 13．∵x＋y＝－8，xy＝8，∴x＜0，y＜0， ∴ ． 14．（1）因为;, 而 296＞252，则＞，所以＞. （2）因为 ;， 又 ＞0;＞0,而 ＞， 所以 ＞. （3）; , 而＞，所以＞. （4）= = 因为＜，所以＞ 即 ＞. （5）； 而＞即 ＞ 所以＜. （6）因为＞0 所以＞