线性代数练习三.pdf

线线 性性 代代 数数 练练 习习 三三 学号 姓名 一、填空 1、已知矩阵A0 0 101 04 0 0，矩阵B与A相似，则B ，2BI+的特征值为 ，12BI+的特征值为 ，2122BI 。2、设矩阵A有特征值10，则a ，其中A1 0 10 2 01 0 a。3、三阶矩阵A特征值为 1，2，3，则A相似于对角形矩阵，A的对角标准形为 ，A的分别属于特征值 1、2 的特征向量1，2必线性 关；又若实对称矩阵B与A相似，那么B属于1和2的特征向量1，2必 。4、已知三阶方阵A、AI、2AI+都不可逆，则A的特征值为 ，且A的特征多项式为 ，A （填能或不能）与对角形矩阵相似。5、三阶实对称矩阵A特征值为1232，则A属于特征值 2 的线性无关的特征向量必有 个，与A相似的对角形矩阵为 ，且A 。6、设A为三阶实对称矩阵，特征值为122，31，若A属于特征值 1 的一个特征向量为()1 4 0T，则A属于特征值 2 的线性无关的特征向量为 1 和2 。7、设A为四阶矩阵且()r A2，则A的伴随矩阵*A的秩()*r A 。8、二次型()123f x x xTX AX的矩阵A的特征值为1，2，3则此二次型在正交变换下化为标准形f ，当i（i1，2，3）满足条件时 ，此二次型正定；又若A的特征值为2，0，3，则此二次型的规范形为 ，此时二次型的秩为 。二、计算题 1、设二次型()2221231231213232484f x x xxxxx xx xx x=+1）用正交变换法将二次型化为标准形，写出所做正交变换及标准形。2）用配方法将二次型化为标准形，写出所做可逆线性变换及标准形。3）此二次型是否正定？说明理由。2、矩阵A21 25312ab的一个特征向量为1111。1）确定A中参数a、b，并求出特征向量1对应的特征值1。2）问矩阵A能否与对角形矩阵相似，说明理由。3、三阶实对称矩阵A特征值为121，31，A属于特征值 1 的线性无关的特征向量为1011，2121。1）求矩阵A属于特征值31 的特征向量3。2）求正交矩阵T，使1T ATTT AT为对角形矩阵，并写出此对角形矩阵。3）求矩阵10A。