线代第3章习题答案(1).pdf

第 3 章 第 3 章 1.34(30,10,20,16).2.(1)能，唯一一种表示：12323.(2)不能.(3)能，很多种表示：123(21)(35)ccc，c为任意常数.3.证明略，唯一表达式为：12123234344()()()bbbbbbb.4.(1)线性无关.(2)线性相关.(3)线性相关，因为 4 个向量，每个向量维数 3 维.(4)若a,b,c均不相等，线性无关，否则线性相关.5.(1)线性无关(2)线性无关(3)线性相关.6.解：设112223334441()()()()0kkkk，整理可得141122233344()()()()0kkkkkkkk，因为已知 1234,是线性无关的，故有 141223340,0,0,0,kkkkkkkk 系数矩阵10011001110001010110001100110000A，则()3r A.故12233441,是线性相关的.7.证：因为任意1n个n维向量必线性相关，故12,n 线性相关，存在 不全为零的1n个数121,nk kk，使得112210nnnkkkk.若10nk，12,n 线性相关，矛盾.所以10nk，可由12,n 线 性表出.下证表达式唯一，类似于定理 3.5 的证明.8.证：（反证法即得）.假设1234,k k k k 不全为零，其中某个为零，其他的不为零.不妨假设10k，则2233440kkk，其中234,k k k 均不为零，则可推出 234,是线性相关的，这与已知任意三个向量都线性无关矛盾,故假设不成 立.由假设的任意性可知112233440kkkk，其中1234,k k k k 全不为 零.9.证：设前一向量组的秩为r，则显然rs，又后一组的秩也为r，则有1rss，故后一向量组是线性相关的.若rs,则前一组是线性无关 的，后一组是线性相关的，则由定理 3.5 知，可由1,2,s线性表出，且表达式唯一.若rs，则两组均是线性相关的，且两个向量组的秩是相等 的，也可推出可由1,2,s线性表出.10.证：因为12,n 能由12,na aa线性表示 所以 1212(,)(,)nnrr a aa，而12(,)nrn，12(,)nr a aan，所以12(,)nr a aan，从而 12,na aa线性无关.11.证：因为任一向量可由12,s 线性表出，故n维基本向量组12,s 能由12,s 线性表出，又知12,s 可由基本向量组12,s 表 出，故12,s 与12,s 等价，所以12,s 的秩为s，即 12,s 线性无关.12.证：由于123,线性无关，而1234,线性相关，故一定存在123,k k k,使得4112233kkk.若其中某个ik不为零，假定10k，则1422331()/kkk，知423,也是极大线性无关组，唯一性矛盾.故一定有1230kkk，即40.13.证：必要性.若12,s 线性无关，则12,(,)srs，又因为 12,12(,)min(),(,)ssrr A r ，而12(,)srs，故 12,(,)()srsr A，又因为()r As，则一定有()r As，即矩阵A可 逆.充分性,若矩阵A可逆，则在等式两边左乘1A，然后根据矩阵秩的不等 式可得11212,(,)min(),(,)ssrr Ar ，显然有 112(,)()srsr As，可推出1212,(,)(,)ssrsr ，又12,(,)srs，故只能12,(,)srs，即12,s 线性无关.14.证：因为向量组12,s 的秩为1r，则其中有1r个线性无关的向量，设为 112,rc cc.向量组12,t 的秩为2r，则其中有2r个线性无关的向量，设 为212,rd dd.则向量组1212,st 中线性无关的向量一定在 121212,rrc ccd dd中选取，所以312rrr.15.定义即得.16.（例题）12(,)srr，且12,riii 为其中r个线性无关的向量.设 k是向量组中任意一个向量，则12,riiik 线性相关，否则向量组的 秩会大于r.所以，由定理 3.5，k可由12,riii 线性表出，故 12,riii 为向量组的一个极大线性无关组.17.(1)113113226010030000040000A,故123()(,)2r Ar ,1 2 3 故一个极大线性无关组是1，2.(2)24611231123100013691000012310000A，1234()(,)2r Ar ,故一个极大线性无关组是1，4.(3)12341234234501233456000045670000A，1234()(,)2r Ar ,故一个极大线性无关组是1，2.18.(1)11511151112302743181000013970000A,于是得阶梯形方程组 123423450,2740,xxxxxxx 方程组的一般解为:34343432722xxxxXxx.可得方程组的一个基础解系为：13 7,1,02 2T，21,2,0,1T .通解为1 122Xkk，1k，2k为常数.(3)212112133112054736290010A，于是得阶梯形方程组 12342343230,5470,0,xxxxxxxx 方程组的一般解为44417,0,55TXxxx，可得方程组的一个基础解系：117,0,155T，通解为1 1Xk.(4)方程组本身即为一个阶梯形方程组，其一般解为:23423413,4TXxxxx x x,可得方程组的一个基础解系：11,1,0,04T，23,0,1,04T，31,0,0,14T.通解为1 12233Xkkk，1k，2k，3k为常数.19.证:首先由定理 3.9 知AXO的基础解系含有nr个线性无关的解向量.设 12,r 是AXO的任意nr个线性无关的解向量，要证12,r 是 AXO的基础解系，只需证AXO的任一解向量都可由12,r 线性 表出.事实上，12,r 必线性相关（否则AXO的基础解系至少含有 1nr 个线性无关的解向量，与已知矛盾），所以都可由12,r 线性 表出，故12,r 是AXO的基础解系.20.证:假定一个基础解系为12,s,向量组12,s 与其等价，故也含 有s个向量.已知向量组12,s 满足线性无关性，又因为每一个解向量 都可以由12,s 线性表出，而12,s 和12,s 是等价向量组，根据线性表出的传递性，每个解向量都可以由12,s 线性表出，故 12,s 也是一个基础解系.21.证：先证122331,线性无关.设存在123,k k k,使得 112223331()()()0kkk，即 131122233()()()0kkkkkk，又因为123,线性无关，则1312230,0,0,kkkkkk 可得只能1230kkk，即122331,线性无关.由于112223331()()()Xkkk 131122233()()()kkkkkk，可知任意一个向量都可由122331,线性表出，即122331,也是AXO的一个基础解系.22.证:（1）反证法，若12,线性相关，则12,一定成倍数关系，不妨令12k.又因为12,故1k.由于12为齐次线性方程组AXO的解，并且 122(1)k，所以有22(1)(1)A kkAO，而1k，则有2AO，这与2A矛盾，所以假设不成立，即12,线性无关.（2）若()1r An，则齐次线性方程组AXO的基础解系中只有一个解向 量，又12()AO，故112()k即为基础解系，其中1k为某个非 零常数，又已知是齐次线性方程组AXO的解，则一定有2 112()k k，即说明12,是线性相关的.23.(1)273 16121 123522401151 109417200000A,于是得阶梯形方程组：123423422,11510,xxxxxxx 取3x，4x为自由变量，则方程组一般解为：3434341129,105,1111TXxxxxx x，可得一个特解为：02 10,0,011 11T，一个基础解系为：115,1,01111T，291,0,111 11T.则方程组的通解为：01 122122191111111051111111010001Xkkkk，其中1k，2k为常数.(2)1523 111523 1131425021131901 170091475361100000A,于是得阶梯形方程组：12342343452311,23,9147,xxxxxxxxx 取4x为自由变量，可得方程组一般解为：444431751,7 14,29189TXxxxx，可得一个特解为：017 70,099T，一个基础解系为：135 14,1218 9T.则方程组的通解为：01 1Xk，其中1k为常数.(3)211331321451010407551132121000152A,于是得阶梯形方程组：12342344324,75511,152,xxxxxxxx 取3x为自由变量，可得方程组一般解为：333131552,1573715TXxx x，可得一个特解为：013 52,0,15 315T，一个基础解系为：11 5,1,07 7T.则方程组的通解为：01 1Xk，其中1k为常数.(4)方程组本身即为一个阶梯形方程组，其一般解为:2345234544236,TXxxxx x x x x,可得一个特解为：04,0,0,0,0T，一个基础解系：14,1,0,0,0T，22,0,1,0,0T，33,0,0,1,0T,46,0,0,0,1T 通解为01 1223344Xkkkk，1k，2k，3k,4k为常数.24.解:221 1230112302325012112020000A,当20，即0或1时有解.当20，即0且1时无解.若有解，得阶梯形方程组：1234234230,2,xxxxxxx 取3x，4x为自由变量，则方程组一般解为：34343444,2,TXxxxx x x ，可得一个特解为：0,0,0T ，一个基础解系为：14,2,1,0T，24,1,0,1T.则方程组的通解为：01 122Xkk，其中1k，2k为常数，0或1.25.解:113211132113163011211510100010531 15230002226Abbaab，若220a且260b时，即1a且3b 时，无解.若1a时，有唯一解为：263420,6,5,11TbbXbbbaa.若1a且3b 时，有无穷多解.此时阶梯形方程组为：12342343321,21,2,xxxxxxxx 取4x为自由变量，可得方程组一般解为：448,32,2,TXxx，可得一个特解为：08,3,2,0T，一个基础解系为：10,2,0,1T.则方程组的通解为：01 1Xk，其中1k为常数 26.证法 1：单位矩阵E的每一列都是AXO的解，故AAEO.证法 2：假设AO，则()0r Ar，所以AXO只有nr个线性无关的解，显然矛盾.27.证:已知齐次线性方程组AXO的系数矩阵的秩为()r rn，则AXO的基 础解系中含有nr个线性无关的解向量.反证法假设12(,)trnr，则其中有大于nr个线性无关的解向量，并且其中每个解向量都可由这 12(,)tr 个解向量线性表出，这说明AXO的基础解系中含有大于 nr个线性无关的解向量，这与已知矛盾，故假设不成立.则 12(,)trnr 28.证:(1)AXO的基础解系中含有()nr A个线性无关的解向量，BXO的基 础解系中含有()nr B个线性无关的解向量.若AXO的解均为BXO的 解，即有()()nr Anr B，故()()r Ar B.(2)若AXO与BXO同解，通过(1)的结论，基础解系中含有相同个数的 线性无关的解向量，则()()nr Anr B，故()()r Ar B.(3)略.(4)不能.只能说基础解系中含有相同个数的线性无关的解向量，但这些解向 量不一定相等.