工科数学分析期中考试_2015_4_25（答案）.doc

第2页（共2页） 一、 填空题 1. ； 2．； 3．；4．； 5．； 6．； 7. ； 8. 0，0； 9. ； 10. 二、计算题 1解：面的投影区域为：…………………… (3分) 面的投影区域为：…………… (6分) 2 解：设所求平面方程为，…………… (2分) 其法向量为， 根据，可得…………… (4分) 故平面方程为. …………………………………… (6分) 3解： （两个偏导数各2分）…………… (4分) …………… (6分) ……………………… (8分) 4解：弧长 ；……… (4分) 由于， 曲率.……………………………… (8分) （弧长和曲率计算公式写正确，可以分别给2分） 5解：，故连续，……………………………… (2分) 不存在（左右极限不相等）， 同理，不存在，偏导数不存在…………… (4分) 由于偏导数不存在，故不可微， …………… (6分) 方向导数 存在 …………………(8分) 6解：构造函数…………………(2分) 令，得唯一驻点，即．……………(4分) 考虑曲线端点，； 距离函数在三点的取值分别为， 所以最长距离为，最短距离为1．……………………(8分) 7解： ，…………………………………(4分) . …………………………………(8分) 8解：由题设，知…………………(2分) 令得可能极值点为. 且 ， 所以点不是极值点，从而也非最值点. …………(4分) （注：不判断也可以） 再考虑其在边界曲线上的情形：令拉格朗日函数为 ， 得可能极值点 代入得， 故最大值为3，最小值为-2.……………………………………(8分)