考研数学知识点-概率统计Editedby杨凯钧2005年10月1一.随机事件和概率1、概率的定义和性质（1）概率的公理化定义设Ω为样本空间，A为事件，对每一个事件A都有一个实数P(A)，若满足下列三个条件：1°0≤P(A)≤1，2°P(Ω)=13°对于两两互不相容的事件1A，2A，…有∑∞=∞==⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛11)(iiiiAPAPΥ常称为可列（完全）可加性。则称P(A)为事件A的概率。（2）古典概型（等可能概型）1°{}nωωωΛ21,=Ω，2°nPPPn1)()()(21===ωωωΛ。设任一事件A，它是由mωωωΛ21,组成的，则有P(A)={})()()(21mωωωΥΛΥΥ=)()()(21mPPPωωω+++Λnm=基本事件总数所包含的基本事件数A=2、五大公式（加法、减法、乘法、全概、贝叶斯）（1）加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)当P(AB)＝0时，P(A+B)=P(A)+P(B)（2）减法公式P(A-B)=P(A)-P(AB)当B⊂A时，P(A-B)=P(A)-P(B)当A=Ω时，P(B)=1-P(B)（3）条件概率和乘法公式定义设A、B是两个事件，且P(A)>0，则称)()(APABP为事件A发生条件下，事件B发生的条件概率，记为=)/(ABP)()(APABP。条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。（4）全概公式设事件nBBB,,,21Λ满足1°nBBB,,,21Λ两两互不相容，),,2,1(0)(niBPiΛ=>，2°ΥniiBA1=⊂，则有)|()()|()()|()()(2211nnBAPBPBAPBPBAPBPAP+++=Λ。此公式即为全概率公式。（5）贝叶斯公式设事件1B，2B，…，nB及A满足1°1B，2B，…，nB两两互不相容，)(BiP>0，=i1，2，…，n，2°ΥniiBA1=⊂，0)(>AP，则∑==njjjiiiBAPBPBAPBPABP1)/()()/()()/(，i=1，2，…n。此公式即为贝叶斯公式。)(iBP，（1=i，2，…，n），通常叫先验概率。)/(ABPi，（1=i，2，…，n），通常称为后验概率。如果我们把A当作观察的“结果”，而1B，2B，…，nB理解为“原因”，则贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。3、事件的独立性和伯努利试验（1）两个事件的独立性设事件A、B满足)()()(BPAPABP=，则称事件A、B是相互独立的（这个性质不是想当然成立的）。若事件A、B相互独立，且0)(>AP，则有)()()()()()()|(BPAPBPAPAPABPABP===所以这与我们所理解的独立性是一致的。若事件A、B相互独立，则可得到A与B、A与B、A与B也都相互独立。（证明）由定义，我们可知必然事件Ω和不可能事件Ø与任何事件都相互独立。（证明）同时，Ø与任何事件都互斥。（2）多个事件的独立性设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，考研数学知识点-概率统计Editedby杨凯...
