第1章第5节(1).pdf

1.5.1.5.条件概率条件概率一、条件概率的定义及计算一、条件概率的定义及计算1事件发生的概率。事件发生的条件下率，此概率称为在事件发生的概事件发生的条件下”有时也需要求在“外，的概率了要求事件在很多实际问题中，除事件发生的概率。事件发生的条件下率，此概率称为在事件发生的概事件发生的条件下”有时也需要求在“外，的概率了要求事件在很多实际问题中，除ABABAPA,)(区别，将此概率记为为了与区别，将此概率记为为了与)(AP)|()(BAPAP在一般情况下，在一般情况下，)|(BAP，称为两个事件，且定义：设，称为两个事件，且定义：设0)(,BPBA)()()|(BPABPBAP=发生的条件概率。事件发生的条件下事件为在发生的条件概率。事件发生的条件下事件为在AB2例例 下表给出了乌龟的寿命表，试求下面一些事件的条件概率：下表给出了乌龟的寿命表，试求下面一些事件的条件概率：（1 1）活到）活到6060岁的乌龟再活岁的乌龟再活4040年的概率是多少？年的概率是多少？要求的概率为条件概率要求的概率为条件概率解解 设设“乌龟活到乌龟活到x x岁岁”由于活到由于活到100100岁的乌龟一定活到岁的乌龟一定活到6060岁，所以有岁，所以有于是于是（2 2）120120岁的乌龟能活到岁的乌龟能活到200200岁的概率是多少？岁的概率是多少？解：解：即活到即活到120120岁的乌龟中大约有一半能活到岁的乌龟中大约有一半能活到200200岁岁.3即即100100只活到只活到6060岁的乌龟大约有岁的乌龟大约有9393只活到只活到100100岁岁.例例 设设10件产品中有件产品中有4件不合格品件不合格品,从中任取两件产品从中任取两件产品,已知所取已知所取两件产品中至少有一件是不合格品两件产品中至少有一件是不合格品,则另一件也是不合格品的则另一件也是不合格品的概率为多少概率为多少?4又因为又因为故所求的概为故所求的概为:解解:设设A=“两件产品中至少有一件是不合格品”两件产品中至少有一件是不合格品”B=“两件产品都不合格品”两件产品都不合格品”A=“两件产品都合格”两件产品都合格”0)|(.1 BAP非负性：非负性：二、条件概率的性质二、条件概率的性质条件概率是概率，所以也满足概率的三条公理条件概率是概率，所以也满足概率的三条公理5同样，有关概率的一些重要结论也适用于条件概率同样，有关概率的一些重要结论也适用于条件概率1)|(.2=BSP规范性：规范性：两两互不相容，则有若可列可加性：两两互不相容，则有若可列可加性：,.321AA=11)|()|(iiiiBAPBAP)|(1)|(BAPBAP=如：=如：)|()|()|()|(212121BAAPBAPBAPBAAP+=+=)|()|()()(ABCPABPAPABCP=)|()|()()(12112121=nnnAAAAPAAPAPAAAP6三、乘法公式三、乘法公式0)()|()(0)()|()()(=BPBAPBPAPABPAPABP为两个事件，则有设乘法定理：为两个事件，则有设乘法定理：BA,的乘法公式：三个事件的乘法公式：三个事件CBA,的乘法公式：个事件任意的乘法公式：个事件任意nAAAn,21例例:据以往资料表明某三口之家患某种传染病的概率有以下规律据以往资料表明某三口之家患某种传染病的概率有以下规律:P孩子得病孩子得病=0.6,P母亲得病母亲得病/孩子得病孩子得病=0.5,P父亲得病父亲得病/母亲母亲及孩子得病及孩子得病=0.4,求母亲及孩子得病但父亲未得病的概率求母亲及孩子得病但父亲未得病的概率.7父亲得病分别表示孩子、母亲及解：设父亲得病分别表示孩子、母亲及解：设321,AAA所求的概率为：所求的概率为：)|()|()()(213121321AAAPAAPAPAAAP=,5.0)|(,6.0)(121=AAPAP由题意知：由题意知：4.0)|(213=AAAP6.04.01)|(1)|(213213=AAAPAAAP18.06.05.06.0=8例例:某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，求他拨号不超过三次而接通所需的电话的概率。若巳知最后一求他拨号不超过三次而接通所需的电话的概率。若巳知最后一个数字是奇数那么此概率是多少个数字是奇数那么此概率是多少?解解设事件设事件 A=“拨号不超过三次而接通电话”拨号不超过三次而接通电话”则则“连拨三次都未接通电话”“连拨三次都未接通电话”又设又设“第第 i次次 接通电话”接通电话”则则(1)故故(2)如已知最后一个数字是奇数如已知最后一个数字是奇数,则共有则共有5个数字可选择个数字可选择,所以所以故故142,1=iiAi，个人摸到奖券第设解：，个人摸到奖券第设解：的概率。求第二个人摸到奖券张彩票中有一张奖券，设在例题：的概率。求第二个人摸到奖券张彩票中有一张奖券，设在例题：n所以，所求的概率为所以，所求的概率为)A|A(P)A(P)AA(P)A(P121212=方法二：nnnn1111=四、全概率公式四、全概率公式和和贝叶斯公式贝叶斯公式9事件，若满足：为一组的样本空间，为试验定义：设事件，若满足：为一组的样本空间，为试验定义：设nBBBES,21jiBBji=,).1(.).2(1SBnii=的一个划分。为样本空间则称的一个划分。为样本空间则称SBBBn,21有，则对任意事件个划分，且的一为的样本空间，为试验定理：设有，则对任意事件个划分，且的一为的样本空间，为试验定理：设AniBPSBBBESin,2,1,0)(,21=)()|()()|()()|()()().12211+=+=nnBAPBPBAPBPBAPBPAP称为全概率公式称为全概率公式)()(,2,1)|()()|()()|().21=njBAPBPBAPBPABPniiijjj称为贝叶斯公式称为贝叶斯公式)(10nnABABABBBBAASA2121)().1=证：=证：njijiABABji,2,1,)()(=又因为=又因为)()()()(21nABPABPABPAP+=+=所以所以)B|A(P)B(P)B|A(P)B(P)B|A(P)B(P)A(Pnn+=2211概率公式得：由条件概率的定义及全 概率公式得：由条件概率的定义及全).2njBAPBPBAPBPAPABPABPniiijjjj,2,1)|()()|()()()()|(1=例例:某通信系统的发端以某通信系统的发端以 0.6 和和 0.4 的概率发出的概率发出 0 和和 1,由于信道干扰由于信道干扰,当发出信号当发出信号 0 时时,接收端以概率接收端以概率0.8和和0.2 收到信号收到信号 0 和和 1;而当发出信号而当发出信号 1 时时,接收端以概接收端以概率率 0.9 和和 0.1 收到信号收到信号 1 和和 0,求求(1)收到信号收到信号 1 的概率的概率;(2)当收到信号当收到信号 1 时时,发端确是发出发端确是发出 1 的概率的概率.15解解 设事件设事件分别表示发端发出的信号为分别表示发端发出的信号为 0 和和1,事件事件 A 表示接端收到信号表示接端收到信号 1,则则)A/A(P)A(P)A/A(P)A(P)A(P0011+=0A1A为样本空间的划分(1)由全概率公式得由全概率公式得(2)由贝叶斯公式得由贝叶斯公式得1601010.80.20.90.1例例:在一盒中装有在一盒中装有 15 个球个球,其中有其中有 9 个新球个新球,第一次第一次比赛从中任取比赛从中任取 3 个使用个使用,赛后仍放回盒中赛后仍放回盒中,第二次比第二次比赛时赛时,再从盒中任取再从盒中任取 3 个球个球,求求(1)第二次取出的球都是新球的概率第二次取出的球都是新球的概率;(2)已知第二次取出的球都是新球已知第二次取出的球都是新球,第一次仅取出第一次仅取出 2个新球的概率个新球的概率.17解解 以以表示事件“第一次比赛从盒中表示事件“第一次比赛从盒中任取的任取的3个球中有个球中有i个新球”个新球”,可知可知是是样本空间样本空间S的一个划分的一个划分,以以B表示事件“第二次取出的表示事件“第二次取出的球都是新球”球都是新球”.则则=30iii)A/B(P)A(P)B(P18(2)由贝叶斯公式得由贝叶斯公式得(1)由全概率公式得由全概率公式得19课堂练习题:备课本19