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无穷级数无穷级数表示函数的一种新方法，是研究函数性质表示函数的一种新方法，是研究函数性质与工程计算的重要工具与工程计算的重要工具.无穷级数的概念，我们在中学就已经涉及过无穷级数的概念，我们在中学就已经涉及过2()()naararara+如无穷等比级数 几何级数为常数+如无穷等比级数 几何级数为常数133330.3333310100100010n=+无限循环小数也可以看作是一无穷级数，例如：=+无限循环小数也可以看作是一无穷级数，例如：级数的概念级数的概念基本性质基本性质级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件一、级数的概念一、级数的概念1.级数的定义级数的定义12121,()()nnnnu uuuuuu=+给定一个数列，则称为 常数项 无穷级数，简称常数项 级数，记作，即给定一个数列，则称为 常数项 无穷级数，简称常数项 级数，记作，即121(1)nnnuuuu=+=+一般项或通项一般项或通项(1)我们知道有限项相加是数，级数是无穷项和的形式，无穷多项能否相加，其和是什么？我们知道有限项相加是数，级数是无穷项和的形式，无穷多项能否相加，其和是什么？2.级数的收敛与发散级数的收敛与发散1nnun=级数的前项和级数的前项和121niniuuuu=+=+ns=1nnu=称为级数的部分和.称为级数的部分和.1,2,3,.nns=当时，得一数列=当时，得一数列1121212 nnsusuusuuu=+=+即，=+=+即，部分和数列.部分和数列.定义定义11limlim.nnnnnnnnnsssussu=对于，若，则称级数收敛，称为该级数的和；若不存在，则称级数发散，称该级数没有和对于，若，则称级数收敛，称为该级数的和；若不存在，则称级数发散，称该级数没有和1()lim().nnnnus=级数收敛 发散存在 不存在级数收敛 发散存在 不存在1nnnuss=当收敛时，当收敛时，nnrss=余项=余项121nnn iiuuu+=+=+=+=，lim0.nnr=则=则例例120(0).nnnaraararara=+=+讨论等比级数的敛散性 讨论等比级数的敛散性解解ns=1nar=，；=，；11(1)12nar+=，；+=，；(1)1.1narrr，11lim1.nnarrsr=，；不存在，=，；不存在，0(0)1nnarar=+1.2mm显然显然limmn=+而，=+而，级数发散.级数发散.114nn=由性质的逆否命题，调和级数发散.由性质的逆否命题，调和级数发散.112.nnnnuu=若级数加括号后所成的级数收敛，则原级数不一定收敛.若级数加括号后所成的级数收敛，则原级数不一定收敛.1111+例如：级数+例如：级数发散；发散；(11)(11)+而级数+而级数收敛.收敛.三、级数收敛的必要条件三、级数收敛的必要条件定理定理1lim0.nnnnuu=若级数收敛，则若级数收敛，则证明证明1.nnus=设设1nnnuss=，=，1limlim()nnnnnuss=1limlimnnnnss=0.=ss=注1.().逆命题不成立 必要非充分条件逆命题不成立 必要非充分条件11nn=例如：调和级数，例如：调和级数，1limlim0nnnun=，=，但调和级数发散.但调和级数发散.112.nnnnuu=若级数的一般项不趋于零，则级数发散.若级数的一般项不趋于零，则级数发散.(1)111111+例如：，+例如：，11(2)(1)nnn=+级数，级数，limnnu不存在，发散；不存在，发散；1limlim(1)0nnnnuen=+=，发散.=+=，发散.小结小结1.常数项级数的基本概念；常数项级数的基本概念；2.基本审敛法基本审敛法.(1)nss由定义，若，则级数收敛；由定义，若，则级数收敛；(2)lim0nnu若，则级数发散；若，则级数发散；(3)().基本性质 四条基本性质 四条