2023学年辽宁省丹东市凤城市第一中学高考数学二模试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 考生请注意： 1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。 2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。 3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知抛物线y2= 4x的焦点为F，抛物线上任意一点P，且PQ⊥y轴交y轴于点Q，则 的最小值为（ ） A． B． C．l D．1 2．已知数列满足,且,则的值是( ) A． B． C．4 D． 3．若函数在时取得最小值，则（ ） A． B． C． D． 4．已知与函数和都相切，则不等式组所确定的平面区域在内的面积为（ ） A． B． C． D． 5．若直线不平行于平面，且，则（ ） A．内所有直线与异面 B．内只存在有限条直线与共面 C．内存在唯一的直线与平行 D．内存在无数条直线与相交 6．已知椭圆+=1(a>b>0)与直线交于A，B两点，焦点F(0，-c)，其中c为半焦距，若△ABF是直角三角形，则该椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 7．已知直线与直线则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 8．金庸先生的武侠小说《射雕英雄传》第12回中有这样一段情节，“……洪七公道：肉只五种，但猪羊混咬是一般滋味，獐牛同嚼又是一般滋味，一共有几般变化，我可算不出了”.现有五种不同的肉，任何两种（含两种）以上的肉混合后的滋味都不一样，则混合后可以组成的所有不同的滋味种数为（ ） A．20 B．24 C．25 D．26 9．设集合，集合 ，则 =（ ） A． B． C． D．R 10．已知数列的通项公式为，将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵.记为数阵从左至右的列，从上到下的行共个数的和，则数列的前2020项和为（ ） A． B． C． D． 11．已知向量与向量平行，，且，则（ ） A． B． C． D． 12．在三棱锥中，，且分别是棱，的中点，下面四个结论： ①； ②平面； ③三棱锥的体积的最大值为； ④与一定不垂直. 其中所有正确命题的序号是（ ） A．①②③ B．②③④ C．①④ D．①②④ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．在三棱锥中，，，两两垂直且，点为的外接球上任意一点，则的最大值为______. 14．三棱锥中，点是斜边上一点.给出下列四个命题： ①若平面，则三棱锥的四个面都是直角三角形； ②若，，，平面，则三棱锥的外接球体积为； ③若，，，在平面上的射影是内心，则三棱锥的体积为2； ④若，，，平面，则直线与平面所成的最大角为. 其中正确命题的序号是__________．（把你认为正确命题的序号都填上） 15．设全集，集合，，则集合______. 16．如果抛物线上一点到准线的距离是6，那么______. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）过点作倾斜角为的直线与曲线（为参数）相交于M、N两点． （1）写出曲线C的一般方程； （2）求的最小值． 18．（12分）在平面直角坐标系中，点是直线上的动点，为定点，点为的中点，动点满足，且，设点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）过点的直线交曲线于，两点，为曲线上异于，的任意一点，直线，分别交直线于，两点.问是否为定值？若是，求的值；若不是，请说明理由. 19．（12分）已知椭圆的上顶点为，圆与轴的正半轴交于点，与有且仅有两个交点且都在轴上，（为坐标原点）. （1）求椭圆的方程； （2）已知点，不过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，证明：直线与直线的斜率互为相反数. 20．（12分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为. （Ⅰ）求直线的直角坐标方程与曲线的普通方程； （Ⅱ）已知点设直线与曲线相交于两点，求的值. 21．（12分）等差数列的公差为2, 分别等于等比数列的第2项，第3项，第4项. （1）求数列和的通项公式； （2）若数列满足,求数列的前2020项的和． 22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为；直线l的参数方程为（t为参数）.直线l与曲线C分别交于M，N两点. （1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程； （2）若点P的极坐标为，，求的值. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、A 【答案解析】 设点，则点，，利用向量数量积的坐标运算可得，利用二次函数的性质可得最值. 【题目详解】 解：设点，则点，， ， ， 当时，取最小值，最小值为. 故选：A. 【答案点睛】 本题考查抛物线背景下的向量的坐标运算，考查学生的计算能力，是基础题. 2、B 【答案解析】 由，可得，所以数列是公比为的等比数列， 所以，则， 则，故选B. 点睛：本题考查了等比数列的概念，等比数列的通项公式及等比数列的性质的应用，试题有一定的技巧，属于中档试题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，等比数列的性质和在使用等比数列的前n项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程. 3、D 【答案解析】 利用辅助角公式化简的解析式，再根据正弦函数的最值，求得在函数取得最小值时的值． 【题目详解】 解：，其中，，， 故当，即时，函数取最小值， 所以， 故选：D 【答案点睛】 本题主要考查辅助角公式，正弦函数的最值的应用，属于基础题． 4、B 【答案解析】 根据直线与和都相切，求得的值，由此画出不等式组所表示的平面区域以及圆，由此求得正确选项. 【题目详解】 .设直线与相切于点，斜率为，所以切线方程为，化简得①.令，解得，，所以切线方程为，化简得②.由①②对比系数得，化简得③.构造函数，，所以在上递减，在上递增，所以在处取得极小值也即是最小值，而，所以有唯一解.也即方程③有唯一解.所以切线方程为.即.不等式组即，画出其对应的区域如下图所示.圆可化为，圆心为.而方程组的解也是.画出图像如下图所示，不等式组所确定的平面区域在内的部分如下图阴影部分所示.直线的斜率为，直线的斜率为.所以，所以，而圆的半径为，所以阴影部分的面积是. 故选：B 【答案点睛】 本小题主要考查根据公共切线求参数，考查不等式组表示区域的画法，考查圆的方程，考查两条直线夹角的计算，考查扇形面积公式，考查数形结合的数学思想方法，考查分析思考与解决问题的能力，属于难题. 5、D 【答案解析】 通过条件判断直线与平面相交，于是可以判断ABCD的正误. 【题目详解】 根据直线不平行于平面，且可知直线与平面相交，于是ABC错误，故选D. 【答案点睛】 本题主要考查直线与平面的位置关系，直线与直线的位置关系，难度不大. 6、A 【答案解析】 联立直线与椭圆方程求出交点A，B两点，利用平面向量垂直的坐标表示得到关于的关系式，解方程求解即可. 【题目详解】 联立方程，解方程可得或， 不妨设A(0，a)，B(-b，0)，由题意可知，·=0， 因为，， 由平面向量垂直的坐标表示可得，， 因为，所以a2-c2=ac， 两边同时除以可得，， 解得e=或（舍去）， 所以该椭圆的离心率为. 故选：A 【答案点睛】 本题考查椭圆方程及其性质、离心率的求解、平面向量垂直的坐标表示；考查运算求解能力和知识迁移能力；利用平面向量垂直的坐标表示得到关于的关系式是求解本题的关键；属于中档题、常考题型. 7、B 【答案解析】 利用充分必要条件的定义可判断两个条件之间的关系. 【题目详解】 若，则，故或， 当时，直线，直线 ，此时两条直线平行； 当时，直线，直线 ，此时两条直线平行. 所以当时，推不出，故“”是“”的不充分条件， 当时，可以推出，故“”是“”的必要条件， 故选：B. 【答案点睛】 本题考查两条直线的位置关系以及必要不充分条件的判断，前者应根据系数关系来考虑，后者依据两个条件之间的推出关系，本题属于中档题. 8、D 【答案解析】 利用组合的意义可得混合后所有不同的滋味种数为，再利用组合数的计算公式可得所求的种数. 【题目详解】 混合后可以组成的所有不同的滋味种数为（种）， 故选：D. 【答案点睛】 本题考查组合的应用，此类问题注意实际问题的合理转化，本题属于容易题. 9、D 【答案解析】 试题分析：由题，，，选D 考点：集合的运算 10、D 【答案解析】 由题意，设每一行的和为，可得，继而可求解，表示，裂项相消即可求解. 【题目详解】 由题意，设每一行的和为 故 因此： 故 故选：D 【答案点睛】 本题考查了等差数列型数阵的求和，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 11、B 【答案解析】 设，根据题意得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出向量的坐标. 【题目详解】 设，且，， 由得，即，①，由，②， 所以，解得，因此，. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查向量坐标的求解，涉及共线向量的坐标表示和向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中等题. 12、D 【答案解析】 ①通过证明平面，证得；②通过证明，证得平面；③求得三棱锥体积的最大值，由此判断③的正确性；④利用反证法证得与一定不垂直. 【题目详解】 设的中点为，连接，则，，又，所以平面，所以，故①正确；因为，所以平面，故②正确；当平面与平面垂直时，最大，最大值为，故③错误；若与垂直，又因为，所以平面，所以，又，所以平面，所以，因为，所以显然与不可能垂直，故④正确. 故选：D 【答案点睛】 本小题主要考查空间线线垂直、线面平行、几何体体积有关命题真假性的判断，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 先根据三棱锥的几何性质，求出外接球的半径，结合向量的运算，将问题转化为求球体表面一点到外心距离最大的问题，即可求得结果. 【题目详解】 因为两两垂直且， 故三棱锥的外接球就是对应棱长为2的正方体的外接球. 且外接球的球心为正方体的体对角线的中点，如下图所示： 容易知外接球半径为. 设线段的中点为， 故可得 ， 故当取得最大值时，取得最大值. 而当在同一个大圆上，且， 点与线段在球心的异侧时，取得最大值，如图所示： 此时， 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查球体的几何性质，几何体的外接球问题，涉及向量的线性运算以及数量积运算，属综合性困难题. 14、①②③ 【答案解析】 对①，由线面平行的性质可判断正确； 对②，三棱锥外接球可看作正方体的外接球，结合外接球半径公式即可求解； 对③，结合题意作出图形，由勾股定理和内接圆对应面积公式求出锥体的高，则可求解； 对④，由动点分析可知，当点与点重合时，直线与平面所成的角最大，结合几何关系可判断错误； 【题目详解】 对于①，因为平面，所以，，，又， 所以平面，所以，故四个面都是直角三角形，∴①正确； 对于②，若，，，平面， ∴三棱锥的外接球可以看作棱长为4的正方体的外