第5章 点的一般运动与刚体的基本运动.pdf

1点的一般运动与刚体的基本运动点的一般运动与刚体的基本运动2015年年10月月12日基日基基基 础础础础 部部部部 分分分分 运运运运 动动动动 学学学学第第 5 章点的一般运动与刚体的基本运动章点的一般运动与刚体的基本运动2点的一般运动与刚体的基本运动点的一般运动与刚体的基本运动一、运动学的研究对象及任务一、运动学的研究对象及任务一、运动学的研究对象及任务一、运动学的研究对象及任务引引引引论论论论?研究任务研究任务研究任务研究任务?研究对象研究对象研究对象研究对象点点点点和和刚体刚体刚体刚体（单个刚体、简单刚体系统）（单个刚体、简单刚体系统）?运动方程；运动方程；?运动的运动的几何性质几何性质几何性质几何性质；?运动的运动的运动的运动的合成合成合成合成与与与与分解分解分解分解。?几个工程实例几个工程实例几个工程实例几个工程实例3点的一般运动与刚体的基本运动点的一般运动与刚体的基本运动例例例例1 1 观察轮缘上点的运动轨迹观察轮缘上点的运动轨迹观察轮缘上点的运动轨迹观察轮缘上点的运动轨迹4点的一般运动与刚体的基本运动点的一般运动与刚体的基本运动例例例例2 2 观察摆式运输机的运动观察摆式运输机的运动观察摆式运输机的运动观察摆式运输机的运动5点的一般运动与刚体的基本运动点的一般运动与刚体的基本运动例例例例3 3 观察行星轮的运动观察行星轮的运动观察行星轮的运动观察行星轮的运动6点的一般运动与刚体的基本运动点的一般运动与刚体的基本运动例例例例4 4 观察操纵斗的运动观察操纵斗的运动观察操纵斗的运动观察操纵斗的运动7点的一般运动与刚体的基本运动点的一般运动与刚体的基本运动例例例例5 5 观察飞机的一般运动观察飞机的一般运动观察飞机的一般运动观察飞机的一般运动8点的一般运动与刚体的基本运动点的一般运动与刚体的基本运动例例例例6 6 观察陀螺的运动特点观察陀螺的运动特点观察陀螺的运动特点观察陀螺的运动特点9点的一般运动与刚体的基本运动点的一般运动与刚体的基本运动?学习动力学的基础学习动力学的基础二、学习运动学的目的二、学习运动学的目的二、学习运动学的目的二、学习运动学的目的?工程问题设计与分析的基础工程问题设计与分析的基础10点的一般运动与刚体的基本运动点的一般运动与刚体的基本运动三、运动学的分析方法三、运动学的分析方法三、运动学的分析方法三、运动学的分析方法?瞬时分析：特定瞬时或位置的运动性质瞬时分析：特定瞬时或位置的运动性质矢量工具矢量工具数值求解工具数值求解工具?过程分析：连续过程的运动全貌过程分析：连续过程的运动全貌11点的一般运动与刚体的基本运动点的一般运动与刚体的基本运动第第 5 章点的一般运动与刚体的基本运动第章点的一般运动与刚体的基本运动第 6 章点的复合运动第章点的复合运动第 7 章刚体平面运动第章刚体平面运动第14章刚体定点转动与刚体一般运动章刚体定点转动与刚体一般运动四、具体内容四、具体内容四、具体内容四、具体内容12点的一般运动与刚体的基本运动点的一般运动与刚体的基本运动5-1点的运动的矢量法点的运动的矢量法*5-2点的运动的直角坐标法点的运动的直角坐标法*5-3 点的运动的弧坐标法点的运动的弧坐标法5-4 刚体的基本运动刚体的基本运动*5-5本章讨论与小结本章讨论与小结第第5章章点的一般运动与刚体的基本运动点的一般运动与刚体的基本运动点的一般运动与刚体的基本运动点的一般运动与刚体的基本运动13点的一般运动与刚体的基本运动点的一般运动与刚体的基本运动一、一、一、一、运动方程运动方程运动方程运动方程)(trr=二、轨迹二、轨迹二、轨迹二、轨迹三三三三、点的速度点的速度点的速度点的速度tdd rv=r&=位矢端图位矢端图位矢端图位矢端图O)(tr)(tt+rvMM位矢位矢四、点的加速度四、点的加速度tdd va=22ddtr=rv&=5 5-1 1 点的运动的矢量法点的运动的矢量法变矢量对时间导数的几何解释变矢量对时间导数的几何解释?14点的一般运动与刚体的基本运动点的一般运动与刚体的基本运动一、一、一、一、运动方程运动方程运动方程运动方程5 5-2 2 点的运动的点的运动的点的运动的点的运动的直角坐标法直角坐标法直角坐标法直角坐标法OrMxyz)(zy,x,xyz)(txx=)(tyy=)(tzz=二、轨迹方程二、轨迹方程二、轨迹方程二、轨迹方程0),(=yx0),(=zy三三三三、点的速度点的速度点的速度点的速度四四四四、点的点的点的点的加速度加速度加速度加速度kjivzyx&+=kjiazyx&+=15点的一般运动与刚体的基本运动点的一般运动与刚体的基本运动AB5 5-3 3 点的运动的点的运动的点的运动的点的运动的弧坐标法弧坐标法弧坐标法弧坐标法前提：前提：运动轨迹运动轨迹运动轨迹运动轨迹已知。已知。原点原点原点原点O O：轨迹上任选一点。：轨迹上任选一点。一、一、一、一、运动方程运动方程运动方程运动方程sMO)()(+?弧坐标表示的运动方程弧坐标表示的运动方程?弧坐标弧坐标弧坐标弧坐标正方向正方向正方向正方向：原点：原点O的某一侧为正向。的某一侧为正向。弧坐标弧坐标弧坐标弧坐标 s s：沿轨迹从：沿轨迹从O到点到点M的弧长。的弧长。)()(tstfs=16点的一般运动与刚体的基本运动点的一般运动与刚体的基本运动二、自然轴系二、自然轴系二、自然轴系二、自然轴系主法线主法线主法线主法线：单位矢量：单位矢量 n n，正向指向凹侧。，正向指向凹侧。切线切线切线切线：单位矢量：单位矢量 ，指，指，指向与弧坐标正向一致。，指向与弧坐标正向一致。副法线副法线副法线副法线：单位矢量：单位矢量 b b，且满足。，且满足。nb=17点的一般运动与刚体的基本运动点的一般运动与刚体的基本运动思考：思考：思考：思考：自然轴系与固定直角坐标系的自然轴系与固定直角坐标系的共同点共同点？自然轴系与固定直角坐标系的自然轴系与固定直角坐标系的不同点不同点？18点的一般运动与刚体的基本运动点的一般运动与刚体的基本运动)(trMO三三三三、点的速度点的速度点的速度点的速度tdd rv=ststt=r00limlim)(lim0tsst=r=tsddstsddddr=vtsvdd=)(tt+rvMsO)()(+rtt=r0lim19点的一般运动与刚体的基本运动点的一般运动与刚体的基本运动四四四四、点的加速度点的加速度点的加速度点的加速度tdd va=)(ddvt=22ddtstvdd+=tvddtvdd+第一项反映第一项反映速度速度速度速度大小大小大小大小随时间的变化率随时间的变化率随时间的变化率随时间的变化率，方向沿切线方向沿切线方向沿切线方向沿切线方向方向方向。方向。a22tddddtstv=22tddddtstva=?切向切向切向切向加速度加速度加速度加速度ta20点的一般运动与刚体的基本运动点的一般运动与刚体的基本运动svt=02limtvddna=)(lim0tssvt=tvt=0lim反映反映速度速度速度速度方向方向方向方向随时间的变化率随时间的变化率随时间的变化率随时间的变化率?法向法向法向法向加速度加速度加速度加速度na=|Q2sin|22sin2=st0lim1=ss=0limsdd=n2v=22sin,0,0st时当方向沿主法线正向。方向沿主法线正向。方向？方向？n21点的一般运动与刚体的基本运动点的一般运动与刚体的基本运动ntaaa+=2n2taaa+=nntaa+=全全全全加速度为加速度为加速度为加速度为：nt|arctan aa=讨论：讨论：讨论：讨论：什么情况下，点作什么情况下，点作什么情况下，点作什么情况下，点作加速加速加速加速运动？运动？运动？运动？什么情况下，点作什么情况下，点作什么情况下，点作什么情况下，点作减速减速减速减速运动？运动？运动？运动？na2nv=atvddt=22点的一般运动与刚体的基本运动点的一般运动与刚体的基本运动23点的一般运动与刚体的基本运动点的一般运动与刚体的基本运动 例例例例5 5-11半径为半径为r的轮子沿直线轨道作的轮子沿直线轨道作纯滚动纯滚动，设轮子转角，设轮子转角=t（为常值），如图所示。求用直角坐标和弧坐标表示的轮缘上任一点为常值），如图所示。求用直角坐标和弧坐标表示的轮缘上任一点M的运动方程，并求该点的速度、切向加速度及法向加速度。的运动方程，并求该点的速度、切向加速度及法向加速度。解：解：解：解：（1 1）运动方程）运动方程）运动方程）运动方程MCOC=tr=)2/cos(1=MOOCx)sin(ttr=)2/sin(11+=MOCOy)cos1(tr=M点的点的运动方程运动方程运动方程运动方程为：为：24点的一般运动与刚体的基本运动点的一般运动与刚体的基本运动)2/cos(1=MOOCx)sin(ttr=)2/sin(11+=MOCOy)cos1(tr=tryvysin=&)cos1(trxvx=&（2 2）速度）速度）速度）速度22yxvvv+=trcos22=2sin2tr=（3）切向、法向加速度）切向、法向加速度va&=t2cos2tr=思考：思考：思考：思考：如何求如何求如何求点如何求点M的法向加速度？的法向加速度？25点的一般运动与刚体的基本运动点的一般运动与刚体的基本运动将将速度投影速度投影对时间求导，即得对时间求导，即得加速度投影加速度投影加速度投影加速度投影：trxaxsin2=&tryaycos2=&全加速度全加速度全加速度全加速度：222raaayx=+=法向加速度法向加速度法向加速度法向加速度：2t2naaa=2sin2tr=n2av=2sin4tr=还可求得轨迹的还可求得轨迹的曲率半径曲率半径曲率半径曲率半径26点的一般运动与刚体的基本运动点的一般运动与刚体的基本运动tvsdd=（4 4）运动）运动方程（弧坐标）方程（弧坐标）方程（弧坐标）方程（弧坐标）如何取弧坐标的原点？如何取弧坐标的原点？=tvs0d)(=tr0d2sin2)2cos1(4tr=)20(t27点的一般运动与刚体的基本运动点的一般运动与刚体的基本运动讨论：讨论：讨论：讨论：当当t=2/（=2）时）时0=v即：沿地面作即：沿地面作纯滚动纯滚动纯滚动纯滚动的轮子与地面接触点的的轮子与地面接触点的的轮子与地面接触点的的轮子与地面接触点的速度为零速度为零速度为零速度为零，但但但但加速度不为零加速度不为零加速度不为零加速度不为零，且指向轮心。，且指向轮心。20raayx=traxsin2=traycos2=2sin2trv=28点的一般运动与刚体的基本运动点的一般运动与刚体的基本运动5 5-4 4刚体的基本运动刚体的基本运动刚体的基本运动刚体的基本运动?定义定义定义定义刚体在运动过程中，其上刚体在运动过程中，其上任一任一任一任一直线直线直线始终与其初始位置保持平行。直线始终与其初始位置保持平行。5 5-4 4-1 1 平行移动（平移）平行移动（平移）平行移动（平移）平行移动（平移）29点的一般运动与刚体的基本运动点的一般运动与刚体的基本运动30点的一般运动与刚体的基本运动点的一般运动与刚体的基本运动?特点特点特点特点?各点轨迹的各点轨迹的形状相同形状相同形状相同形状相同；?同一瞬时，刚体上各点的同一瞬时，刚体上各点的速度相同速度相同速度相同速度相同；?同一瞬时，刚体上各点的同一瞬时，刚体上各点的加速度相同加速度相同加速度相同加速度相同。刚体平移归结为刚体上任一点（通常是质心）的运动。刚体平移归结为刚体上任一点（通常是质心）的运动。?结论结论31点的一般运动与刚体的基本运动点的一般运动与刚体的基本运动5 5-4 4-2 2 定轴转动定轴转动定轴转动定轴转动?转动方程转动方程)(t=?角速度和角加速度角速度和角加速度 dd&=t&=22dddd tt矢量表示矢量表示:k=kk=ttd)d(dd右手规则滑动矢量右手规则滑动矢量k32点的一般运动与刚体的基本运动点的一般运动与刚体的基本运动?刚体上点的速度和加速度刚体上点的速度和加速度刚体上点的速度和加速度刚体上点的速度和加速度?线速度线速度vtsvdd=（弧坐标法）（弧坐标法）（弧坐标法）（弧坐标法）tst=0limR=Rv=Rnatata方向方向?加速度加速度aRa=tRa2n=2n2taaa+=42+=Rnt tanaa=2=33点的一般运动与刚体的基本运动点的一般运动与刚体的基本运动思考：思考：思考：思考：过轴的任一条直线上过轴的任一条直线上过轴的任一条直线上各点的加速度分布图？过轴的任一条直线上各点的加速度分布图？34点的一般运动与刚体的基本运动点的一般运动与刚体的基本运动?点的速度和加速度的矢积表示点的速度和加速度的矢积表示点的速度和加速度的矢积表示点的速度和加速度的矢积表示Rv=Qvr=tddva=Qvra+=|rrv=r=tddsin=rtd)d(r=tddr+R=sinr=ta=ra=t|vo90sinv=R2=na=va=n35点的一般运动与刚体的基本运动点的一般运动与刚体的基本运动?泊松公式（泊松公式（Poisson formula）rr=t dd对固对固对固对固连连连连于刚体的单位矢于刚体的单位矢于刚体的单位矢于刚体的单位矢i、j、k，有，有ii=tddjj=tddkk=tdd可以证明，刚体作一般运动时仍成立。可以证明，刚体作一般运动时仍成立。xyz1Oijkrv=36点的一般运动与刚体的基本运动点的一般运动与刚体的基本运动 例例例例5 5-22 纸盘，纸厚度纸盘，纸厚度a，等速，等速v。求。求（以半径（以半径r表示）。表示）。解：解：解：解：vr=ddddddvrrttt=+d0drrt=+232avr=ravtr2dd=avtrR+=2237点的一般运动与刚体的基本运动点的一般运动与刚体的基本运动思考题思考题 设设 为转动坐标系为转动坐标系 Ax y z 的角速度矢量，的角速度矢量，i 、j 、k 为动坐标系的单位矢量。试证明：为动坐标系的单位矢量。试证明：kjijikikj+=tttddddddkjkj=)(ddt提示：提示：kjkji+=)(zyxkik=)(zxx=kji+=zyx38点的一般运动与刚体的基本运动点的一般运动与刚体的基本运动5 5-5 5 本章讨论与小结本章讨论与小结本章讨论与小结本章讨论与小结5-5-1 注意区别几组公式注意区别几组公式t ddrv=tsvdd=t ddva=tvaddt=t dd=t dd=5-5-2 描述点的运动的其它方法描述点的运动的其它方法?极坐标方法极坐标方法?柱坐标方法柱坐标方法?球坐标方法球坐标方法39点的一般运动与刚体的基本运动点的一般运动与刚体的基本运动点的一般运动与刚体基本运动点的一般运动与刚体基本运动点的一般运动点的一般运动刚体基本运动刚体基本运动矢量法矢量法直角坐标法直角坐标法弧坐标法弧坐标法其它方法其它方法平移平移定轴转动定轴转动5-5-3 本章知识结构框图本章知识结构框图40点的一般运动与刚体的基本运动点的一般运动与刚体的基本运动补充：补充：轮系的传动比轮系的传动比一、齿轮传动一、齿轮传动一、齿轮传动一、齿轮传动41点的一般运动与刚体的基本运动点的一般运动与刚体的基本运动?两轮接触点的两轮接触点的速度速度速度速度大小、方向相同。大小、方向相同。?两轮接触点的两轮接触点的切向加速度切向加速度切向加速度切向加速度大小、方向相同。大小、方向相同。?传动特点传动特点传动特点传动特点外啮合外啮合外啮合外啮合内啮合内啮合内啮合内啮合42点的一般运动与刚体的基本运动点的一般运动与刚体的基本运动11RvA=Q22RvB=两齿轮之两齿轮之传动比传动比传动比传动比：1221RR=21nn=?传动比传动比传动比传动比122112RRi=2112=i12zz=43点的一般运动与刚体的基本运动点的一般运动与刚体的基本运动1212212112zzRRnni=正号正号正号正号表示两轮表示两轮內啮合內啮合，负负负负号号号号表示两轮表示两轮外啮合外啮合。nnnnni11,1=其中，其中，m为为外啮合外啮合齿轮的对数。考虑到齿轮的对数。考虑到转向转向转向转向，则有，则有)()(齿数主动轮半径齿数从动轮半径=的乘积齿数所有主动轮半径的乘积齿数所有从动轮半径)()()1(m=推广：推广：44点的一般运动与刚体的基本运动点的一般运动与刚体的基本运动二、带轮（链轮）传动二、带轮（链轮）传动45点的一般运动与刚体的基本运动点的一般运动与刚体的基本运动二、带轮（链轮）传动二、带轮（链轮）传动?皮带不可伸长。皮带不可伸长。?皮带与带轮间无相对滑动。皮带与带轮间无相对滑动。?皮带（链条）上各点速度、切向加速度皮带（链条）上各点速度、切向加速度大小大小大小大小相同。相同。BAvv=Q(方向不一定相同方向不一定相同)BBAArr=ABBAABrri=?传动特点传动特点传动特点传动特点?传动比传动比传动比传动比46点的一般运动与刚体的基本运动点的一般运动与刚体的基本运动课后作业课后作业课后作业课后作业:第一次第一次第一次第一次一、概念题一、概念题一、概念题一、概念题三、五、七、八三、五、七、八三、五、七、八三、五、七、八