公垂线及相关补充.ppt

第三节,一、平面方程,二、两平面的相互关系,三、点到平面的距离,空间的平面与直线,四、空间直线的方程,五、两直线、直线与平面的夹角,六 平面束,八、两直线共面的条件，异面直线的距离,七、点到直线的距离,四、空间直线的方程,因此其一般式方程,1.一般式方程,直线可视为两平面交线，,(不唯一),2.对称式方程,故有,说明:某些分母为零时,其分子也理解为零.,设直线上的动点为,则,此式称为直线的对称式方程(也称为点向式方程),直线方程为,已知直线上一点,例如,当,和它的方向向量,3.参数式方程,设,得参数式方程:,例1.用对称式及参数式表示直线,解:先在直线上找一点.,再求直线的方向向量,令 x=1,解方程组,得,交已知直线的两平面的法向量为,是直线上一点.,故所给直线的对称式方程为,参数式方程为,解题思路:,先找直线上一点;,再找直线的方向向量.,1.两直线的夹角,则两直线夹角 满足,设直线,两直线的夹角指其方向向量间的夹角(通常取锐角),的方向向量分别为,五、两直线、直线与平面的夹角,特别有:,(3)重合：,例2.求以下两直线的夹角,解:直线,直线,二直线夹角 的余弦为,从而,的方向向量为,的方向向量为,当直线与平面垂直时,规定其夹角,线所夹锐角 称为直线与平面间的夹角;,2.直线与平面的夹角,当直线与平面不垂直时,设直线 L 的方向向量为,平面 的法向量为,则直线与平面夹角 满足,直线和它在平面上的投影直,Am+Bn+Cp0；,L的方向矢量为,的法矢量为,(1)L与p垂直,A/m=B/n=C/p；,(2)L与p平行,Am+Bn+Cp0，Ax0+By0+Cz0+D0；,(3)直线在平面上,Am+Bn+Cp0，Ax0+By0+Cz0+D=0；,特别有:,解:取已知平面的法向量,则直线的对称式方程为,直的直线方程.,为所求直线的方向向量.,垂,例3.求过点(1,2,4)且与平面,1.空间直线方程,一般式,对称式,参数式,内容小结,直线,2.线与线的关系,直线,夹角公式:,平面:,L,L/,夹角公式：,3.面与线间的关系,直线 L:,六、平面束,过直线,的平面束,方程,例4.求过直线L:,且与平面,夹成,角的平面方程.,解,过直线 L 的平面束方程,其法向量为,已知平面的法向量为,选择,使,从而得所求平面方程,例5.求直线,在平面,上的投影直线方程.,解 过已知直线的平面束方程,从中选择,得,这是投影平面,即,使其与已知平面垂直：,从而得投影直线方程,到直线,的距离,为,点,