A 知识讲解(5).doc

学海在线资源中心 椭圆综合 编稿：张希勇 审稿：李霞 【学习目标】 1.能正熟练使用直接法、待定系数法、定义法求椭圆的方程； 2.能熟练运用几何性质（如范围、对称性、顶点、离心率）解决相关问题； 3.能够把直线与椭圆的位置关系的问题转化为方程组解的问题，判断位置关系及解决相关问题. 【知识网络】 椭圆 椭圆的定义与标准方程方程 椭圆的几何性质 直线与椭圆的位置关系 椭圆的综合问题 最大（小）值问题 椭圆的弦问题 椭圆离心率及离心率的范围问题 【要点梳理】 要点一、椭圆的定义及其标准方程 椭圆的定义 平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数()，这个动点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 椭圆的标准方程： 1.当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中； 2.当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中； 要点诠释：求椭圆的标准方程应从“定形”、“定式”和“定值”三个方面去思考.“定形”是指对称中心在原点，以坐标轴为对称轴的情况下，焦点在哪条坐标轴上；“定式”根据“形”设椭圆方程的具体形式；“定量”是指用定义法或待定系数法确定a,b的值. 要点二、椭圆的几何性质 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 图形 性质 焦点 ， ， 焦距 范围 ， ， 对称性 关于x轴、y轴和原点对称 顶点 ， ， 轴 长轴长=，短轴长= 离心率 要点三、直线与椭圆的位置关系 直线与椭圆的位置关系 将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ. ①Δ＞0直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）； ②Δ＝0直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)； ③Δ＜0直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点． 直线与椭圆的相交弦 设直线交椭圆于点两点，则 == 同理可得 这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形： 椭圆的中点弦问题 遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解. 在椭圆中，以为中点的弦所在直线的斜率； 涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来相互转化，同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍. 解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”. 【典型例题】 类型一：椭圆的方程与性质【高清课堂：椭圆综合357255 例1】 例1.若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由题知所以，选D 【总结升华】椭圆的方程要注意焦点轴的不同，标准方程的形式不同，另外要注意对应的a,b,c的不同 举一反三： 【高清课堂：椭圆综合357255 例2】 【变式】已知椭圆过两点求椭圆的标准方程. 【答案】设椭圆的方程为因为在椭圆上 所以有 解得 所以所求椭圆方程为 例2. 已知方程表示椭圆，求的取值范围． 【解析】由得，且． ∴满足条件的的取值范围是，且． 【总结升华】本题易出现如下错解：由得，故的取值范围是．出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中这个条件，当时，并不表示椭圆. 举一反三： 【变式】已知椭圆的方程为，焦点在x轴上，则m的取值范围是(　　) A．－4≤m≤4 B．－4<m<4且m≠0 C．m>4或m<－4 D．0<m<4 【答案】B 例3 . 若△ABC的两个焦点坐标为A(－4,0)、B(4,0)，△ABC的周长为18，则顶点C的轨迹方程为(　　) A. B. (y≠0) C. (y≠0) D. (y≠0) 【答案】　D 【解析】　|AB|＝8，|AC|＋|BC|＝10>|AB|，故点C轨迹为椭圆且两焦点为A、B，又因为C点的纵坐标不能为零，所以选D. 【总结升华】本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程．这是求轨迹方程的一种重要思想方法． 举一反三： 【变式】的底边，和两边上中线长之和为30，求此三角形重心的轨迹和顶点的轨迹． 【答案】 （1）以所在的直线为轴，中点为原点建立直角坐标系．设点坐标为，由，知点的轨迹是以、为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因，，有，故其方程为． （2）设，，则． ① 由题意有代入①，得的轨迹方程为，其轨迹是椭圆（除去轴上两点）． 类型二：直线与椭圆的位置关系 例4.椭圆ax2＋by2＝1与直线x＋y－1＝0相交于A、B，C是AB的中点，若|AB|＝，OC的斜率为，求椭圆的方程． 【解析】　由得(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0. 设A(x1，y1)、B(x2，y2)， 则 . ∵，∴.① 设C(x，y)，则，， ∵OC的斜率为，∴. 代入①，得，. ∴椭圆方程为. 【总结升华】处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，采用的方法与处理直线和圆的有所区别；方程的思想是解决这类问题的通法 【变式1】椭圆内有一点P（3，2）过点P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的方程为 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设直线与椭圆的两交点坐标，利用点差法可求直线斜率为k=，所求直线方程为 【变式2】已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是(，0)，(，0)，离心率是，直经y＝t与椭圆C交于不同的两点M、N，以线段MN为直径作圆P，圆心为P. (1)求椭圆C的方程； (2)若圆P与x轴相切，求圆心P的坐标． 【答案】　(1)∵且，∴，b＝1. ∴椭圆c的方程为. (2)由题意知点P(0，t)(－1<t<1)， 由得 ∴圆P的半径为， 又∵圆P与x轴相切， ∴，解得， 故P点坐标为. 类型三：椭圆中的最值问题 例5 . AB为过椭圆中心的弦，F(c,0)为椭圆的左焦点，则△AFB的面积最大值是(　　) A．b2 B．bc C．ab D．ac 【答案】　B 【解析】　S△ABF＝S△AOF＋S△BOF＝|OF|·|yA－yB|， 当A、B为短轴两个端点时，|yA－yB|最大，最大值为2b. ∴△ABF面积的最大值为bc. 【总结升华】椭圆中的最值问题往往要多结合图形的特征，或是设出有关变量利用函数思想解决. 举一反三： 【变式】设P是椭圆短轴的一个端点，Q为椭圆上的一个动点，求的最大值 【答案】依题意可设，则 ∵Q在椭圆上 ∴ = = ∵则 当时，去最大值 若，则当时，取最大值2.