05匀加速直线运动 追击相遇问题-教师版.docx

第一章 直线运动 §5 拓展：追击相遇问题 【知识框架】 【知识点梳理】 一、追击、相遇问题的分析方法 A. 画出两个物体运动示意图，根据两个物体的运动性质,选择同一参照物,列出两个物体的位移方程; B. 找出两个物体在运动时间上的关系 C. 找出两个物体在运动位移上的数量关系 D. 联立方程求解. 说明：追击问题中常用的临界条件: （1）速度小者追速度大者,追上前两个物体速度相等时,有最大距离； （2）速度大者减速追赶速度小者,追上前在两个物体速度相等时,有最小距离.即必须在此之前追上,否则就不能追上。 二、几种基本类型 1、速度小者追速度大者常见的几种情况： 类型 图象 说明 匀加速追匀速 ①t＝t0以前，后面物体与前面物体间距离增大 ②t＝t0时，两物体相距最远为x0＋Δx ③t＝t0以后，后面物体与前面物体间距离减小 ④能追及且只能相遇一次 注：x0为开始时两物体间的距离 匀速追匀减速 匀加速追匀减速　 2、速度大者追速度小者常见的情形： 类型 图象 说明 匀减速追匀速 开始追及时，后面物体与前面物体间距离在减小，当两物体速度相等时，即t＝t0时刻： ①若Δx＝x0，则恰能追及，两物体只能相遇一次，这也是避免相撞的临界条件 ②若Δx<x0，则不能追及，此时两物体间最小距离为x0－Δx ③若Δx>x0，则相遇两次，设t1时刻Δx1＝x0两物体第一次相遇，则t2时刻两物体第二次相遇 注：x0是开始时两物体间的距离 匀速追匀加速 匀减速追匀加速　 【例题解析】 例1、AB两车向同一方向做直线运动，B车在前，以VB做匀速运动，A车在后，t=0时A车距离B车为L，此时A车以初速度VA（VA<VB）、加速度a做匀加速直线运动，则在A车追上B车之前，A、B两车间最大距离为多少？ 解法一 临界条件法 开始计时后，由于VA<VB两车间距离逐渐拉大；当A车速度大于B车速度后，两车的距离又将逐渐减小，因此，当两车速度相等时，两车间的距离最大。设t时刻两车速度相等，则： VA +at=VB，则t= 又s=（VBt+L）-（VA t+），代入t，即得两车间最大距离. 解法二 图像法 做出二车运动的v~t图像，交点（tA时刻）表示两车速度相等。 从图可以看出在t<tA这段时间内，B的图线在A的上方，它和t轴所夹的面积比A大，说明B车位移比A车大，且随时间的增大，位移差也增大。tA是转折点，当t>tA时，在相同时间里，B车的位移都大于A车的位移。故tA时刻，A、B两车的位移差（两车距离）达到最大。 这个差值等于所围的面积，即： 又tA=,则 故两车间距离最大值为 解法三 利用相对速度、相对加速度求解。 取B车为参照物，则A车相对B车的速度为（VB-VA）,方向与VA、VB方向相反，而A车对B车的加速度为a，方向与VA、VB同向，所以A车相对B车做的是初速度为（VB-VA）和加速度为a的匀减速直线运动。A车追上B车时，A车相对B车速度为零，所以可列方程： 解法四 二次函数法 两车间的距离： 根据二次函数极值关系，可求得s的最大值，即 例2、在例1的基础上，若A、B同向运动，t=0时A、B间距离为L，这些条件不变，只是速度变为VA>VB，A车以加速度a做匀减速直线运动，试讨论： （1） 在什么条件下A车追不上B车？ （2） 在什么条件下A车恰能追上B车？ （3） 在什么条件下A车能超过B车？ 解法一 以地面为参考系，用二次函数法求解。设A、B相遇，即SB+L=SA 所以 （1） 当t无解，即当（VA-VB）2-2aL<0时，A车追不上B车的条件为a>; （2） 当t有一个实数解，即当（VA-VB）2-2aL=0时，A车恰能追上B车的条件为a=； （3） 当t有两个实数解，即当（VA-VB）2-2aL>0时，A车能超过B车的条件为0<a<. 例3、一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以3m/s2的加速度开始加速行驶，恰在这时一辆自行车以6m/s的速度匀速驶来，从后边超过汽车。试求：汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？ 解1：（公式法） 当汽车的速度与自行车的速度相等时，两车之间的距离最大。设经时间t两车之间的距离最大。则 解2：（图像法） 在同一个v-t图中画出自行车和汽车的速度时间图像，根据图像面积的物理意义，两车位移之差等于图中梯形的面积与矩形面积的差，当t=t0时矩形与三角形的面积之差最大。 v-t图像的斜率表示物体的加速度 当t=2s时两车的距离最大为图中阴影三角形的面积 动态分析随着时间的推移,矩形面积（自行车的位移）与三角形面积（汽车的位移）的差的变化规律 解3：（相对运动法） 选自行车为参照物，以汽车相对地面的运动方向为正方向，汽车相对自行车沿反方向做匀减速运动v0=-6m/s，a=3m/s2，两车相距最远时vt=0 对汽车由公式（由于不涉及位移，所以选用速度公式。） 对汽车由公式：（由于不涉及“时间”，所以选用速度位移公式。） 表示汽车相对于自行车是向后运动的,其相对于自行车的位移为向后6m. 例4、A火车以v1=20m/s速度匀速行驶，司机发现前方同轨道上相距100m处有另一列火车B正以v2=10m/s速度匀速行驶，A车立即做加速度大小为a的匀减速直线运动。要使两车不相撞，a应满足什么条件？ 解1：（公式法） 两车恰好不相撞的条件是两车速度相同时相遇。 （包含了时间关系） 由A、B速度关系： 由A、B位移关系： 解2：（图像法） 在同一个v-t图中画出A车和B车的速度时间图像图线，根据图像面积的物理意义，两车位移之差等于图中梯形的面积与矩形面积的差，当t=t0时梯形与矩形的面积之差最大,为图中阴影部分三角形的面积.根据题意,阴影部分三角形的面积不能超过100. 物体的v-t图像的斜率表示加速度,面积表示位移。 解3：（相对运动法） 以B车为参照物，A车的初速度为v0=10m/s，以加速度大小a减速，行驶x=100m后“停下”，末速度为vt=0。 （由于不涉及时间，所以选用速度位移公式。 ） 备注：以B为参照物,公式中的各个量都应是相对于B的物理量.注意物理量的正负号。 例5．从地面上以初速度2v0竖直上抛物体A，相隔Δt时间后再以初速度v0竖直上抛物体B。要使A、B在空中相遇，Δt应满足什么条件？ 【解析】A、B两物体都做竖直上抛运动，由s＝v0t－gt2作出它们的s-t图象，如图所示.显然，两图线的交点表示A、B相遇(sA＝sB). 由图象可看出Δt满足关系式时，A、B在空中相遇. 例6．现检测汽车A的制动性能：以标准速度20 m/s在平直公路上行驶时，制动后40 s停下来.若A在平直公路上以20 m/s的速度行驶时发现前方180 m处有一货车B以6 m/s 的速度同向匀速行驶，司机立即制动，能否发生撞车事故？ 【错解】设汽车A制动后40 s的位移为x1，货车B在这段时间内的位移为x2. 据a＝得车的加速度a＝－0.5 m/s2 又x1＝v0t＋at2得 x1＝20×40 m＋×(－0.5)×402 m＝400 m x2＝v2t＝6×40 m＝240 m 两车位移差为400 m－240 m＝160 m 因为两车刚开始相距180 m>160 m 所以两车不相撞. 【错因】这是典型的追及问题.关键是要弄清不相撞的条件.汽车A与货车B同速时，两车位移差和初始时刻两车距离关系是判断两车能否相撞的依据.当两车同速时，两车位移差大于初始时刻的距离时，两车相撞；小于、等于时，则不相撞.而错解中的判据条件错误导致错解. 【正解】如图，汽车A以v0＝20 m/s的初速度做匀减速直线运动经40 s停下来.据加速度公式可求出a＝－0.5 m/s2.当A车减为与B车同速时，是A车逼近B车距离最多的时刻，这时若能超过B车则相撞，反之则不能相撞. 据v2－＝2ax可求出A车减为与B车同速时的位移 x1＝m＝364 m 此时间t内B车的位移为x2，则t＝s＝28 s x2＝v2t＝6×28 m＝168 m Δx＝364 m－168 m＝196 m>180 m 所以两车相撞. 【课堂练习】 1．如图所示是A、B两物体从同一地点出发，沿相同的方向做直线运动的v－t图象，由图象可知 ( ) A．A比B早出发5 s B．第15 s末A、B速度相等 C．前15 s内A的位移比B的位移大50 m D．第20 s末A、B位移之差为25 m 【答案】D 2．a、b两物体从同一位置沿同一直线运动，它们的速度图像如图所示，下列说法正确的是 ( ) A．a、b加速时，物体a的加速度大于物体b的加速度 B．20秒时，a、b两物体相距最远 C．60秒时，物体a在物体b的前方 D．40秒时，a、b两物体速度相等，相距200 m 【答案】C 3.公共汽车从车站开出以4 m/s的速度沿平直公路行驶，2 s后一辆摩托车从同一车站开出匀加速追赶，加速度为2 m/s2，试问： （1）摩托车出发后，经多少时间追上汽车？ （2）摩托车追上汽车时，离出发处多远？ （3）摩托车追上汽车前，两者最大距离是多少？ 【答案】5.46s 29.9m 12m 4.汽车A在红绿灯前停住，绿灯亮起时起动，以0.4 m/s2的加速度做匀加速运动，经过30 s后以该时刻的速度做匀速直线运动.设在绿灯亮的同时，汽车B以8 m/s的速度从A车旁边驶过，且一直以相同的速度做匀速直线运动，运动方向与A车相同，则从绿灯亮时开始 （ ） A.A车在加速过程中与B车相遇 B.A、B相遇时速度相同 C.相遇时A车做匀速运动 D.两车不可能再次相遇 【答案】C 5．两辆游戏赛车a、b分别在两条平行的直车道上比赛，t=0时两车都在车道垂直的同一直线上，它们在四次比赛中的v﹣t图象如图所示．下列各图中所对应的比赛，有一辆赛车追上了另一辆是（　　） A． B． C． D． 【解答】C． 　 6．甲、乙两质点在一直线上做匀加速直线运动的v﹣t图象如图所示，在3s末两质点在途中相遇，两质点出发点间的距离是（　　） A．甲在乙之前2 m B．乙在甲之前2 m C．乙在甲之前4 m D．甲在乙之前4 m 【解答】故选D 　 7．一质点自坐标原点由静止出发，沿x轴正方向以加速度a加速，经过t0时间速度变为v0，接着以﹣a的加速度运动，当速度变为时，加速度又变为a，直至速度变为时，加速度再变为﹣a，直至速度变为…，其v﹣t图象如图所示，则下列说法中正确的是（　　） A．质点一直沿x轴正方向运动 B．质点运动过程中离原点的最大距离为v0t0 C．质点最终静止时离开原点的距离一定大于v0t0 D．质点将在x轴上一直运动，永远不会停止 【解答】B 　 8．甲乙两汽车从相距70km的两地开始相向行驶，它们的v﹣t图象如图所示．忽略汽车掉头所需时间．下列对汽车运动状况的描述正确的是（　　） A．在第1小时末，乙车改变运动方向 B．在第2小时末，甲乙两车相距10 km C．在第4小时末，甲乙两车相距最远 D．在第4小时末，甲乙两车相遇 【解答】BC． 　 9．如图所示表示甲、乙两运动物体相对同一原点的位移﹣时间图象，下面说法中错误的是（　　） A．甲和乙都做匀速直线运动 B．甲、乙运动的出发点相距x0 C．甲、乙两物体在处相遇 D．乙比甲早出发t1的时间 【解答】D． 　 10．甲、乙两个物体在同一直线上做匀变速直线运动，它们的速度图象如图所示，则（　　） A．甲、乙两物体运动方向一定相反 B．前4s内，甲、乙两物体的位移相同 C．t=4s时，甲、乙两物体的速度相同 D．甲物体的加速度比乙物体的加速度小 【解答】C． 　 11．同一直线上的A、B两质点，相距s，它们向同一方向沿直线运动（相遇时互不影响各自的运动），A做速度为v的匀速直线运动，B从此时刻起做加速度为a、初速度为零的匀加速直线运动.若A在B前，两者可相遇几次？若B在A前，两者最多可相遇几次？ 【答案】1；2 12．一列货车以28.8 km/h的速度在平直铁路上运行，由于调度失误，在后面600 m处有一列快车以72 km/h的速度向它靠近.快车司机发觉后立即合上制动器，但快车要滑行2000 m才停止.试判断两车是否会相碰. 【答案】会相碰 13．一列火车以v1的速度直线行驶，司机忽然发现在正前方同一轨道上距车为s处有另一辆火车正沿着同一方向以较小速度v2做匀速运动，于是他立即刹车，为使两车不致相撞，则a应满足什么条件？ 【答案】a＞ 14．A、B两车沿同一直线向同一方向运动，A车的速度vA=4 m/s,B车的速度vB=10 m/s.当B车运动至A车前方7 m处时，B车以a=2 m/s2的加速度开始做匀减速运动，从该时刻开始计时，则A车追上B车需要多长时间？在A车追上B车之前，二者之间的最大距离是多少？ 【答案】8；16 【回家作业】 1、 汽车正以10m/s的速度在平直公路上前进，突然发现正前方有一辆自行车以4m/s 的速度做同方向的匀速直线运动，汽车立即关闭油门做加速度大小为 6 m/s2的匀减速运动，汽车恰好不碰上自行车。求关闭油门时汽车离自行车多远？ 答案： 7m 2、一辆客车在平直公路以30m/s的速度行驶，突然发现正前方40m处有一货车正以20m/s的速度沿同一方向匀速行驶，于是客车立刻刹车，以2m/s2的加速度做匀减速直线运动，问此后的过程中客车能否撞到货车？ 答案： 不能相撞 3、 列车以72km/h的速度行驶，司机突然发现一平直铁路上前方500m处，一货车正以36km/h的速度同向行驶，为避免撞车，列车司机立即刹车，求列车刹车时加速度的最小值． 答案： a=0.1m/s2 4、一辆值勤的警车停在公路边，当警员发现从他旁边以8m/s的速度匀速行驶的货车有违章行为时，决定前去追赶，经2.5s，警车发动起来，以加速度2m/s2做匀加速运动。 试问：（1）警车要多长时间才能追上货车？ （2）在警车追上货车之前，两车间的最大距离是多少？ 【答案】:（1）10s； （2）36m 5、 汽车的制动性能经测定,当它以标准速度20m/s在水平轨道上行驶时,制动后需40s才停下,现这列车正以20m/s的速度在水平轨道上行驶,司机发现前方180m处一货车正以6m/s的速度同向行驶,于是立即制动,问是否会发生撞车事故? 【答案】:会发生撞车事故 6、汽车从静止开始以a = 1m/s2的加速度前进，相距汽车x0 = 25m处，与车运动方向相同的某人同时开始以v = 6m/s的速度匀速追赶汽车，问人能否追上？若追不上，求人与汽车间的最小距离． 【答案】:7m 16