第六章 3(1).docx

3　向心加速度 [学习目标]　 1.理解向心加速度的概念.2.知道向心加速度和线速度、角速度的关系式.3.能够运用向心加速度公式求解有关问题. 一、匀速圆周运动的加速度方向 1.定义：物体做匀速圆周运动时的加速度总指向圆心，这个加速度叫作向心加速度. 2.向心加速度的作用：向心加速度的方向总是与速度方向垂直，故向心加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小. 二、匀速圆周运动的加速度大小 1.向心加速度公式 an＝或an＝ω2r. 2.向心加速度的公式既适用于匀速圆周运动，也适用于非匀速圆周运动. 1.判断下列说法的正误. (1)做匀速圆周运动的物体的加速度一定不为0.(　√　) (2)匀速圆周运动的加速度始终不变.(　×　) (3)匀速圆周运动是匀变速运动.(　×　) (4)匀速圆周运动的向心加速度的方向时刻指向圆心，大小不变.(　√　) (5)根据an＝知向心加速度an与半径r成反比.(　×　) (6)根据an＝ω2r知向心加速度an与半径r成正比.(　×　) 2.在长0.2 m的细绳的一端系一小球，绳的另一端固定在水平桌面上，使小球以大小为0.6 m/s的线速度在桌面上做匀速圆周运动，则小球运动的角速度为______，向心加速度大小为______. 答案　3 rad/s　1.8 m/s2 解析　角速度ω＝＝ rad/s＝3 rad/s， 小球运动的向心加速度大小an＝＝ m/s2＝1.8 m/s2. 一、向心加速度及其方向 导学探究 如图1甲所示，地球绕太阳做匀速圆周运动(近似的)；如图乙所示，光滑桌面上一个小球在细线的牵引下绕桌面上的图钉做匀速圆周运动. 图1 (1)分析地球和小球的受力情况，说明地球和小球的加速度方向； (2)地球和小球加速度的作用是什么？ (3)地球和小球的加速度方向变化吗？匀速圆周运动是一种什么性质的运动呢？ 答案　(1)地球只受到太阳引力作用，方向指向圆心，加速度方向指向圆心.小球受到重力、支持力、拉力作用，合力指向圆心，故加速度的方向指向圆心. (2)由于加速度的方向指向圆心，故加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小. (3)由于地球和小球的加速度总是沿半径指向圆心，故加速度方向是变化的.匀速圆周运动是一种变加速曲线运动. 知识深化 对向心加速度及其方向的理解 1.向心加速度的方向：总指向圆心，方向时刻改变. 2.向心加速度的作用：向心加速度的方向总是与速度方向垂直，故向心加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小. 3.圆周运动的性质：不论向心加速度an的大小是否变化，其方向时刻改变，所以圆周运动的加速度时刻发生变化，圆周运动是变加速曲线运动. 4.变速圆周运动的加速度并不指向圆心，该加速度有两个分量：一是向心加速度，二是切向加速度.向心加速度描述速度方向变化的快慢，切向加速度描述速度大小变化的快慢，所以变速圆周运动中，向心加速度的方向也总是指向圆心. 下列关于向心加速度的说法中正确的是(　　) A.向心加速度表示做圆周运动的物体速率改变的快慢 B.向心加速度的方向不一定指向圆心 C.向心加速度描述线速度方向变化的快慢 D.匀速圆周运动的向心加速度不变 答案　C 解析　做匀速圆周运动的物体速率不变，向心加速度只改变速度的方向，A错误；向心加速度的方向总是沿着圆周运动轨迹的半径指向圆心，B错误；向心加速度描述线速度方向变化的快慢，C正确；向心加速度的方向是变化的，D错误. 二、向心加速度的大小 1.向心加速度公式 (1)基本公式：①an＝；②an＝ω2r. (2)拓展公式：①an＝r；②an＝4π2n2r＝4π2f2r；③an＝ωv. 2.向心加速度公式的适用范围 向心加速度公式不仅适用于匀速圆周运动，也适用于非匀速圆周运动，v即为那一位置的线速度，且无论物体做的是匀速圆周运动还是非匀速圆周运动，其向心加速度的方向都指向圆心. 3.向心加速度与半径的关系(如图2所示) 图2 如图3所示，一球体绕轴O1O2以角速度ω匀速旋转，A、B为球体表面上两点，下列几种说法中正确的是(　　) 图3 A.A、B两点具有相同的角速度 B.A、B两点具有相同的线速度 C.A、B两点的向心加速度的方向都指向球心 D.A、B两点的向心加速度大小之比为2∶1 答案　A 解析　A、B为球体表面上两点，因此，A、B两点的角速度与球体绕轴O1O2旋转的角速度相同，A正确；如图所示，A以P为圆心做圆周运动，B以Q为圆心做圆周运动，因此，A、B两点的向心加速度方向分别指向P、Q，C错误；设球的半径为R，则A运动的半径rA＝Rsin 60°，B运动的半径rB＝Rsin 30°，＝＝＝，B错误；＝＝，D错误. (2019·大同一中期中)如图4所示的皮带传动装置中，甲轮的轴和乙、丙轮的轴均为水平轴，其中，甲、丙两轮半径相等，乙轮半径是丙轮半径的一半.A、B、C三点分别是甲、乙、丙三轮边缘上的点，若传动中皮带不打滑，则(　　) 图4 A.A、B两点的线速度大小之比为2∶1 B.B、C两点的角速度之比为1∶2 C.A、B两点的向心加速度大小之比为2∶1 D.A、C两点的向心加速度大小之比为1∶4 答案　D 解析　传动中皮带不打滑，则A、B两点的线速度大小相等，故vA＝vB，则vA∶vB＝1∶1，A错误；B、C两点绕同一轴转动，故B、C两点的角速度相等，ωB＝ωC，则ωB∶ωC＝1∶1，故B错误；由于A、B两点的线速度大小相等，半径之比为2∶1，由an＝可知A、B两点的向心加速度大小之比为aA∶aB＝RB∶RA＝1∶2，C错误；由于B、C两点的角速度相等，由an＝ω2R可知B、C两点的向心加速度大小之比为aB∶aC＝RB∶RC＝1∶2，又aA∶aB＝1∶2，所以aA∶aC＝1∶4，故D正确. 向心加速度公式的应用技巧 向心加速度的每一个公式都涉及三个物理量的变化关系，必须在某一物理量不变时分析另外两个物理量之间的关系. (1)先确定各点是线速度大小相等，还是角速度相同. (2)在线速度大小相等时，向心加速度与半径成反比，在角速度相同时，向心加速度与半径成正比. 针对训练　(2019·深圳中学期中)如图5所示，自行车的小齿轮A、大齿轮B、后轮C是相互关联的三个转动部分，且半径RB＝4RA、RC＝8RA，当自行车悬空，大齿轮B带动后轮匀速转动时，A、B、C三轮边缘的向心加速度的大小之比aA∶aB∶aC等于(　　) 图5 A.1∶1∶8 B.4∶1∶4 C.4∶1∶32 D.1∶2∶4 答案　C 解析　小齿轮A和大齿轮B通过链条连接，边缘线速度大小相等，即vA＝vB，小齿轮A和后轮C同轴转动，角速度相等，有ωA＝ωC，由向心加速度大小an＝可得aA∶aB＝RB∶RA＝4∶1；由向心加速度大小an＝ω2R可得aA∶aC＝RA∶RC＝1∶8，所以aA∶aB∶aC＝4∶1∶32，选项C正确. 1.(向心加速度公式的理解)关于做匀速圆周运动的质点，下列说法中正确的是(　　) A.由an＝可知，an与r成反比 B.由an＝ω2r可知，an与r成正比 C.由v＝ωr可知，ω与r成反比 D.由ω＝2πf可知，ω与f成正比 答案　D 2.(向心加速度公式的理解)(多选)(2019·长丰二中高一下学期期末)甲、乙两物体都在做匀速圆周运动，下列情况下，关于向心加速度的说法正确的是(　　) A.当它们的角速度相等时，乙的线速度小则乙的向心加速度小 B.当它们的周期相等时，甲的半径大则甲的向心加速度大 C.当它们的线速度相等时，乙的半径小则乙的向心加速度小 D.当它们的线速度相等时，在相同的时间内甲与圆心的连线转过的角度比乙的大，则甲的向心加速度比乙的小 答案　AB 解析　角速度相等，乙的线速度小，根据公式an＝vω，可知甲的向心加速度大于乙的向心加速度，故A正确；周期相等，甲的半径大，根据公式an＝()2r，可知甲的向心加速度大于乙的向心加速度，故B正确；线速度相等，乙的半径小，根据公式an＝，可知甲的向心加速度小于乙的向心加速度，故C错误；线速度相等，在相同的时间内甲与圆心的连线转过的角度比乙的大，即甲的角速度大，根据公式an＝ωv，可知甲的向心加速度大于乙的向心加速度，故D错误. 3.(向心加速度的计算)(2019·山东省实验中学期中)某变速箱中有甲、乙、丙三个齿轮，如图6所示，其半径分别为r1、r2、r3，若甲轮匀速转动的角速度为ω，三个轮相互不打滑，则丙轮边缘上各点的向心加速度大小为(　　) 图6 A. B. C. D. 答案　A 解析　三个轮相互不打滑，则甲、丙边缘的线速度大小相等，根据an＝和an＝ω2r，可得a丙＝＝，故A正确. 4.(向心加速度的计算)(多选)(2019·遂宁市高一下学期期末)如图7所示，小球A用轻质细线拴着在水平面内做半径为R的匀速圆周运动，当小球A运动到左侧时，在小球A的正上方高度为R处的小球B水平飞出，飞出时的速度大小为.不计空气阻力，重力加速度为g，要使小球A在运动一周的时间内能与小球B相碰，则小球A的向心加速度大小可能为(　　) 图7 A. B. C. D. 答案　AD 解析　B做平抛运动，在竖直方向上有：R＝gt2，得：t＝，则水平方向的位移为x＝v0t＝·＝R，若要使小球A在运动一周的时间内能与小球B相碰，根据几何关系可知，当A运动或时恰能与B相碰，则有：t＝＝或t＝＝，又有an＝R，联立解得：an＝或an＝，故A、D正确. 考点一　向心加速度的理解 1.关于向心加速度，下列说法正确的是(　　) A.由an＝知，匀速圆周运动的向心加速度恒定 B.匀速圆周运动不属于匀速运动 C.向心加速度越大，物体速率变化越快 D.做圆周运动的物体，加速度时刻指向圆心 答案　B 解析　向心加速度是矢量，且方向始终指向圆心，因此向心加速度不是恒定的，A错误；匀速运动是匀速直线运动的简称，匀速圆周运动其实是匀速率圆周运动，存在向心加速度，速度方向改变，B正确；向心加速度不改变速率，C错误；只有匀速圆周运动的加速度才时刻指向圆心，D错误. 2.如图1所示是A、B两物体做匀速圆周运动的向心加速度随半径变化的图像，其中A为双曲线的一支，由图可知(　　) 图1 A.A物体运动的线速度大小不变 B.A物体运动的角速度不变 C.B物体运动的角速度是变化的 D.B物体运动的线速度大小不变 答案　A 解析　根据an＝知，当线速度v大小为定值时，an与r成反比，其图像为双曲线的一支；根据an＝rω2知，当角速度ω大小为定值时，an与r成正比，其图像为过原点的倾斜直线，结合题图，A正确，B、C、D错误. 3.(多选)(2019·贵阳市高一下学期期末)如图2所示，转动悬空的自行车的脚踏板时，关于大齿轮、小齿轮、后轮边缘上的A、B、C三点的向心加速度的说法正确的是(　　) 图2 A.A点的向心加速度比B点的大 B.A点的向心加速度比B点的小 C.B点的向心加速度比C点的大 D.B点的向心加速度比C点的小 答案　BD 4.如图3所示，质量为m的木块从半径为R的半球形碗口下滑到碗的最低点的过程中，如果由于摩擦力的作用，木块的速率不变，那么木块(　　) 图3 A.加速度为零 B.加速度恒定 C.加速度大小不变，方向时刻改变，但不一定指向圆心 D.加速度大小不变，方向时刻指向圆心 答案　D 解析　由题意知，木块做匀速圆周运动，木块的加速度大小不变，方向时刻指向圆心，D正确，A、B、C错误. 考点二　向心加速度的计算 5.甲、乙两个物体都做匀速圆周运动，转动半径之比为9∶4，转动的周期之比为3∶4，则它们的向心加速度之比为(　　) A.1∶4 B.4∶1 C.4∶9 D.9∶4 答案　B 解析　设甲、乙两个物体的转动半径分别为r1、r2，周期分别为T1、T2，根据题意＝，＝，由an＝r得：＝·2＝×()2＝，B选项正确. 6.(多选)(2019·肥东高中下学期期末)某实验楼大厅里科普器材中有如图4所示的传动装置：在大齿轮盘内嵌有三个等大的小齿轮.若齿轮的齿很小，大齿轮半径(内径)是小齿轮半径的3倍，则当大齿轮顺时针匀速转动时，下列说法正确的是(　　) 图4 A.小齿轮逆时针匀速转动 B.小齿轮的每个齿的线速度均相同 C.小齿轮的角速度是大齿轮角速度的3倍 D.小齿轮每个齿的向心加速度是大齿轮每个齿的向心加速度的3倍 答案　CD 解析　小齿轮的运动方向和大齿轮的运动方向一致，小齿轮也是顺时针匀速转动，故A错误；大齿轮和小齿轮的线速度大小相等，小齿轮的每个齿的线速度方向不同，故B错误；根据v＝ωr可知，线速度大小相等，大齿轮半径(内径)是小齿轮半径的3倍，则小齿轮的角速度是大齿轮角速度的3倍，故C正确；根据an＝，大齿轮半径(内径)是小齿轮半径的3倍，可知小齿轮每个齿的向心加速度是大齿轮每个齿的向心加速度的3倍，故D正确. 7.(多选)一质点做匀速圆周运动，其轨迹半径为1 m，转动周期为2 s，则(　　) A.角速度为0.5 rad/s B.转速为0.5 r/s C.线速度大小为π m/s D.加速度大小为π2 m/s2 答案　BCD 8.(多选)如图5所示，一个球绕中心轴线OO′以角速度ω做匀速圆周运动，θ＝30°，则(　　) 图5 A.a、b两点的线速度相同 B.a、b两点的角速度相同 C.a、b两点的线速度大小之比va∶vb＝2∶ D.a、b两点的向心加速度大小之比aa∶ab＝∶2 答案　BD 解析　球绕中心轴线转动，球上各点应具有相同的周期和角速度，即ωa＝ωb，B正确；因为a、b两点做圆周运动的半径不同，rb＞ra，根据v＝ωr知vb＞va，A错误；θ＝30°，设球半径为R，则rb＝R，ra＝Rcos 30°＝R，故＝＝，C错误；又根据an＝ω2r知＝＝，D正确. 9.如图6所示，在男女双人花样滑冰运动中，男运动员以自身为转动轴拉着女运动员做匀速圆周运动.若运动员的转速为30 r/min，女运动员触地冰鞋的线速度大小为4.8 m/s，则女运动员做圆周运动的角速度为________，触地冰鞋做圆周运动的半径为________，向心加速度大小为________.(π取3.14，结果均保留三位有效数字) 图6 答案　3.14 rad/s　1.53 m　15.1 m/s2 解析　男女运动员的转速、角速度是相同的. 由ω＝2πn得ω＝ rad/s＝3.14 rad/s 由v＝ωr得r＝＝ m≈1.53 m 由an＝ω2r得an＝3.142×1.53 m/s2≈15.1 m/s2. 10.(多选)如图7所示，皮带传动装置中，右边两轮连在一起共轴转动，图中三轮半径分别为r1＝3r，r2＝2r，r3＝4r；A、B、C三点为三个轮边缘上的点，向心加速度分别为a1、a2、a3，皮带不打滑，则下列比例关系正确的是(　　) 图7 A.＝ B.＝ C.＝ D.＝ 答案　BD 解析　由于皮带不打滑，故v1＝v2，由an＝可得＝＝，A错误，B正确；由于右边两轮共轴转动，故ω2＝ω3，由an＝rω2可得＝＝，C错误，D正确. 11.(多选)如图8所示的靠轮传动装置中，右轮半径为2r，a为它边缘上的一点，b为轮上的一点，b距轴的距离为r.左侧为一轮轴，大轮的半径为4r，d为它边缘上的一点，小轮的半径为r，c为它边缘上的一点.若传动中靠轮不打滑，则(　　) 图8 A.b点与d点的线速度大小相等 B.a点与c点的线速度大小相等 C.c点与b点的角速度相等 D.a点与d点的向心加速度大小之比为1∶8 答案　BD 解析　左边两轮同轴转动，c、d两点角速度相等，根据v＝rω知，d点的线速度大于c点的线速度，而a、c两点的线速度大小相等，则d点线速度大于a点的线速度；a、b两点的角速度相等，则a点的线速度大于b点的线速度，所以d点的线速度大于b点的线速度，故A错误，B正确；a、c两点的线速度大小相等，半径之比为2∶1，根据ω＝，知a、c两点的角速度之比为1∶2，a、b两点的角速度相等，所以b、c两点的角速度不相等，故C错误；a、c两点的线速度大小相等，半径之比为2∶1，根据an＝，知a、c两点的向心加速度之比为1∶2，c、d轮共轴转动，角速度相等，半径之比为1∶4，根据an＝ω2r知c、d两点的向心加速度之比为1∶4，所以a、d两点的向心加速度之比为1∶8，故D正确. 12.(2018·华东师大二附中期中考试)如图9所示，“旋转秋千”中的两个座椅A、B质量相等，通过相同长度的缆绳悬挂在旋转圆盘上.不考虑空气阻力的影响，当旋转圆盘绕竖直中心轴匀速转动时，下列说法正确的是(　　) 图9 A.A的线速度比B的大 B.悬挂A、B的缆绳与竖直方向的夹角相等 C.悬挂A的缆绳所受的拉力比悬挂B的小 D.A与B的向心加速度大小相等 答案　C 解析　A、B两个座椅具有相同的角速度，根据题图及公式v＝ωr可知，A的运动半径小，A的线速度就小，故选项A错误；任一座椅，受力如图所示，由缆绳的拉力与重力的合力提供向心力，则mgtan θ＝mω2r，得tan θ＝，A的半径r较小，A、B的角速度ω相等，可知悬挂A的缆绳与竖直方向夹角较小，选项B错误；由图可知FT＝，悬挂A的缆绳与竖直方向夹角较小，拉力较小，选项C正确；根据an＝ω2r，因为A、B角速度相等，而A的运动半径小，则A的向心加速度较小，选项D错误. 13.如图10所示，半径为R的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O的对称轴OO′重合，转台以一定角速度ω匀速旋转.一质量为m的小物块落入陶罐内，经过一段时间后，小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，它和O点的连线与OO′之间的夹角θ为45°.已知重力加速度大小为g，小物块与陶罐之间的最大静摩擦力大小为Ff＝mg. 图10 (1)若小物块受到摩擦力恰好为零，求此时的向心加速度大小和角速度ω0； (2)若小物块一直相对陶罐静止，求陶罐旋转的角速度的最大值. 答案　(1)g　　(2) 解析　(1)当小物块受到的摩擦力为零时，支持力和重力的合力提供向心力，有mgtan θ＝man得， an＝gtan θ＝g 又an＝ω02Rsin θ 解得ω0＝. (2)当ω＞ω0时，重力和支持力的合力不足以提供所需向心力，当摩擦力方向沿罐壁切线向下且摩擦力达到最大值时向心力最大，角速度最大，设此时最大角速度为ωm， 由牛顿第二定律得Ffcos θ＋FNsin θ＝mωm2Rsin θ. Ffsin θ＋mg＝FNcos θ， 联立解得ωm＝.