全国Ⅰ卷2023学年高三数学4月教育教学质量监测考试试题理.doc

（全国Ⅰ卷）2023年届高三数学4月教育教学质量监测考试试题 理 注意事项： 1.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置。 3.全部答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 4.本试卷满分150分，测试时间120分钟。 5.考试范围：高考全部内容。 第I卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若复数z满足z－1＋i＝2i＋1，则|z|＝ A. B.2 C. D.3 2.已知集合A＝{2a－1，a2，0}，B＝{1－a，a－5，9}，且A∩B＝{9}，则 A.A＝{9，25，0} B.A＝{5，9，0} C.A＝{－7，9，0} D.A∪B＝{－7，9，0，25，－4} 3.已知向量a＝(x2－2x，1)，b＝(1，－3)，则“－1<x<3”是“a，b的夹角为钝角”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 4.将函数y＝2sin(2x＋)的图象向右平移个单位长度，所得函数 A.在区间(－，)上单调递增 B.在区间(－，－)上单调递减 C.以x＝为一条对称轴 D.以(，0)为一个对称中心 5.已知一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为 A. B.8π C. D.12π 6.改编自中国神话故事的动画电影《哪吒之魔童降世》自7月26日首映，在不到一个月的时间，票房收入就超过了38亿元，创造了中国动画电影的神话。小明和同学相约去电影院观看《哪吒之魔童降世》，影院的三个放映厅分别在7：30，8：00，8：30开始放映，小明和同学大约在7：40至8：30之间到达影院，且他们到达影院的时间是随机的，那么他们到达后等待的时间不超过10分钟的概率是 A. B. C. D. 7.已知函数在(，＋∞)上为减函数，则实数a的取值范围是 A.(－∞，1] B.[－，1] C.(－，1] D.(－，＋∞) 8.在平面直角坐标系xOy中，A、B为函数y＝|x|图象上的两点，若线段AB的中点M恰好落在曲线x2－3y2＋3＝0上，则△OAB的面积为 A.2 B. C. D. 9.一只蚂蚁从正四面体A－BCD的顶点A点出发，沿着正四面体A－BCD的棱爬行，每秒爬一条棱，每次爬行的方向是随机的，则第4秒时蚂蚁在A点的概率为 A. B. C. D. 10.在梯形ABCD中，AB//CD，AB＝2CD，BC＝CD，则∠ADB的最大值为 A. B. C. D. 11.我国古代的数学著作《九章算术·商功》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”。在如图所示的“堑堵”ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，M、N分别是BB1和A1C1的中点，则平面AMN截“堑堵”ABC－A1B1C1所得截面图形的面积为 A. B. C. D. 12.已知函数f(x)＝alnx－2x，若存在x∈N*，使f(x)>0成立，则实数a的取值范围是 A.(2e，＋∞) B.(，＋∞) C.(，＋∞) D.(2，＋∞) 第II卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答。 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。 13.若x，y满足约束条件，则z＝|x－y＋1|的最大值为 。 14.在(x2＋x－1)(x－a)5的展开式中，含x5项的系数为14，则实数a的值为 。 15.已知实数x，y满足y≥2x>0，则的最小值为 。 16.巳知F1、F2为双曲线的左、右焦点，P为双曲线右支上异于顶点的任意一点，若△PF1F2内切圆的圆心为I，则圆心1到圆x2＋(y－1)2＝1上任意一点的距离的最小值为 。 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分12分) 已知Sn为数列{an}的前n项和，S2＝10，(n∈N*)。 (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝(n∈N*)，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：≤Tn<1。 18.(本小题满分12分) 某市为了了解该市教师年龄分布情况，对年齡在[20，60]内的5000名教师进行了抽样统计，根据分层抽样的结果，统计员制作了如下的统计表格： 由于不小心，表格中部分数据被污染，看不清了，统计员只记得年龄在[20，30)的样本人数比年龄在[50，60]的样本人数多10，根据以上信息回答下列问题： (1)求该市年龄在[50，60]的教师人数； (2)试根据上表做出该市教师按照年龄的人数频率分布直方图，并求该市教师年龄的平均数及方差s2(同一组的数据用该组区间的中点值作代表)。 19.(本小题满分12分) 如图，将斜边长为4的等腰直角△ABC沿斜边BC上的高AD折成直二面角B－AD－C，E为AD中点。 (1)求二面角A－BC－E的余弦值； (2)M为线段BC上一动点，当直线DM与平面BCE所成的角最大时，求三棱锥M－CDE外接球的体积。 20.(本小题满分12分) 动圆P过定点A(2，0)，且在y轴上截得的弦GH的长为4。 (1)若动圆圆心P的轨迹为曲线C，求曲线C的方程； (2)在曲线C的对称轴上是否存在点Q，使过点Q的直线l'与曲线C的交点S、T满足为定值?若存在，求出点Q的坐标及定值；若不存在，请说明理由。 21.(本小题满分12分) 已知函数f(x)＝ax＋，g(x)＝－1。 (1)讨论函数f(x)在(0，＋∞)上的单调性； (2)当a＝时，设P(x，y)为函数y＝ln(x∈(0，＋∞))图象上任意一点。直线OP的斜率为k，求证：0<k<1。 请考生从第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的方框涂黑，按所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分。 22.(本小题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数方程] 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρsin(φ＋)＋＝0，P为直线l上的任意一点 (1)Q为曲线C上任意一点，求P、Q两点间的最小距离；。 (2)过点P作曲线C的两条切线，切点为A、B，曲线C的对称中心为点C，求四边形PACB面积的最小值。 23.(本小题满分10分)[选修4－5：不等式选讲] 若a>0，b>0，且2a＋b＋2＝3ab。 (1)求2a＋b的最小值； (2)是否存在a、b，使得a3＋b3＝4?并说明理由。