吉林省永吉实验高级中学2023学年高三下第一次测试数学试题（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项 1．考生要认真填写考场号和座位序号。 2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。 3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在中，点为中点，过点的直线与，所在直线分别交于点，，若，，则的最小值为（ ） A． B．2 C．3 D． 2．已知，，，若，则（ ） A． B． C． D． 3．已知双曲线的焦距为，过左焦点作斜率为1的直线交双曲线的右支于点，若线段的中点在圆上，则该双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 4．甲、乙、丙、丁四位同学利用暑假游玩某风景名胜大峡谷，四人各自去景区的百里绝壁、千丈瀑布、原始森林、远古村寨四大景点中的一个，每个景点去一人．已知：①甲不在远古村寨，也不在百里绝壁；②乙不在原始森林，也不在远古村寨；③“丙在远古村寨”是“甲在原始森林”的充分条件；④丁不在百里绝壁，也不在远古村寨．若以上语句都正确，则游玩千丈瀑布景点的同学是（ ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 5．已知复数，则的虚部为（ ） A． B． C． D．1 6．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出的的值为（ ） A． B． C． D． 7．如图，将两个全等等腰直角三角形拼成一个平行四边形，将平行四边形沿对角线折起，使平面平面，则直线与所成角余弦值为（ ） A． B． C． D． 8．若的展开式中二项式系数和为256，则二项式展开式中有理项系数之和为（ ） A．85 B．84 C．57 D．56 9．框图与程序是解决数学问题的重要手段，实际生活中的一些问题在抽象为数学模型之后，可以制作框图，编写程序，得到解决，例如，为了计算一组数据的方差，设计了如图所示的程序框图，其中输入，，，，，，，则图中空白框中应填入（ ） A．， B． C．， D．， 10．给定下列四个命题： ①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行； ④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直． 其中，为真命题的是( ) A．①和② B．②和③ C．③和④ D．②和④ 11．双曲线的渐近线方程是（ ） A． B． C． D． 12．已知向量，，设函数，则下列关于函数的性质的描述正确的是　　 A．关于直线对称 B．关于点对称 C．周期为 D．在上是增函数 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．如图，在长方体中，，E，F，G分别为的中点,点P在平面ABCD内，若直线平面EFG，则线段长度的最小值是________________. 14．某班星期一共八节课（上午、下午各四节，其中下午最后两节为社团活动），排课要求为：语文、数学、外语、物理、化学各排一节，从生物、历史、地理、政治四科中选排一节.若数学必须安排在上午且与外语不相邻（上午第四节和下午第一节不算相邻），则不同的排法有__________种. 15．已知是等比数列，且，，则__________，的最大值为__________． 16．已知，则展开式的系数为__________． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知圆,定点 ,为平面内一动点，以线段为直径的圆内切于圆，设动点的轨迹为曲线 （1）求曲线的方程 （2）过点的直线与交于两点，已知点，直线分别与直线交于两点，线段的中点是否在定直线上，若存在，求出该直线方程；若不是，说明理由. 18．（12分）选修4-5：不等式选讲 已知函数f（x）=log2（|x+1|+|x﹣2|﹣m）． （1）当m=7时，求函数f（x）的定义域； （2）若关于x的不等式f（x）≥2的解集是R，求m的取值范围． 19．（12分）选修4—5；不等式选讲． 已知函数． (1)若的解集非空，求实数的取值范围； (2)若正数满足，为（1）中m可取到的最大值，求证：． 20．（12分） [选修4-5：不等式选讲] 设函数. （1）求不等式的解集； （2）已知关于的不等式在上有解，求实数的取值范围. 21．（12分）已知椭圆（）的半焦距为，原点到经过两点，的直线的距离为． （Ⅰ）求椭圆的离心率； （Ⅱ）如图，是圆的一条直径，若椭圆经过，两点，求椭圆的方程． 22．（10分）已知. （1）若是上的增函数，求的取值范围； （2）若函数有两个极值点，判断函数零点的个数. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、B 【答案解析】 由，，三点共线，可得，转化，利用均值不等式，即得解. 【题目详解】 因为点为中点，所以， 又因为，， 所以． 因为，，三点共线， 所以， 所以， 当且仅当即时等号成立， 所以的最小值为1． 故选：B 【答案点睛】 本题考查了三点共线的向量表示和利用均值不等式求最值，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 2、B 【答案解析】 由平行求出参数，再由数量积的坐标运算计算． 【题目详解】 由，得，则， ，，所以． 故选：B． 【答案点睛】 本题考查向量平行的坐标表示，考查数量积的坐标运算，掌握向量数量积的坐标运算是解题关键． 3、C 【答案解析】 设线段的中点为，判断出点的位置，结合双曲线的定义，求得双曲线的离心率. 【题目详解】 设线段的中点为，由于直线的斜率是，而圆，所以.由于是线段的中点，所以，而，根据双曲线的定义可知，即，即. 故选：C 【答案点睛】 本小题主要考查双曲线的定义和离心率的求法，考查直线和圆的位置关系，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题. 4、D 【答案解析】 根据演绎推理进行判断． 【题目详解】 由①②④可知甲乙丁都不在远古村寨，必有丙同学去了远古村寨，由③可知必有甲去了原始森林，由④可知丁去了千丈瀑布，因此游玩千丈瀑布景点的同学是丁． 故选：D． 【答案点睛】 本题考查演绎推理，掌握演绎推理的定义是解题基础． 5、C 【答案解析】 先将，化简转化为，再得到下结论. 【题目详解】 已知复数， 所以， 所以的虚部为-1. 故选：C 【答案点睛】 本题主要考查复数的概念及运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 6、C 【答案解析】 根据给定的程序框图，计算前几次的运算规律，得出运算的周期性，确定跳出循环时的n的值，进而求解的值，得到答案. 【题目详解】 由题意，， 第1次循环，，满足判断条件； 第2次循环，，满足判断条件； 第3次循环，，满足判断条件； 可得的值满足以3项为周期的计算规律， 所以当时，跳出循环，此时和时的值对应的相同，即. 故选：C. 【答案点睛】 本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出问题，其中解答中认真审题，得出程序运行时的计算规律是解答的关键，着重考查了推理与计算能力. 7、C 【答案解析】 利用建系，假设长度，表示向量与，利用向量的夹角公式，可得结果. 【题目详解】 由平面平面， 平面平面，平面 所以平面，又平面 所以，又 所以作轴//,建立空间直角坐标系 如图 设，所以 则 所以 所以 故选：C 【答案点睛】 本题考查异面直线所成成角的余弦值，一般采用这两种方法：（1）将两条异面直线作辅助线放到同一个平面，然后利用解三角形知识求解；（2）建系，利用空间向量，属基础题. 8、A 【答案解析】 先求，再确定展开式中的有理项，最后求系数之和. 【题目详解】 解：的展开式中二项式系数和为256 故， 要求展开式中的有理项，则 则二项式展开式中有理项系数之和为： 故选：A 【答案点睛】 考查二项式的二项式系数及展开式中有理项系数的确定，基础题. 9、A 【答案解析】 依题意问题是，然后按直到型验证即可. 【题目详解】 根据题意为了计算7个数的方差，即输出的， 观察程序框图可知，应填入，， 故选：A. 【答案点睛】 本题考查算法与程序框图，考查推理论证能力以及转化与化归思想，属于基础题. 10、D 【答案解析】 利用线面平行和垂直，面面平行和垂直的性质和判定定理对四个命题分别分析进行选择． 【题目详解】 当两个平面相交时，一个平面内的两条直线也可以平行于另一个平面，故①错误；由平面与平面垂直的判定可知②正确；空间中垂直于同一条直线的两条直线还可以相交或者异面，故③错误；若两个平面垂直，只有在一个平面内与它们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直，故④正确．综上，真命题是②④. 故选：D 【答案点睛】 本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，是中档题． 11、C 【答案解析】 根据双曲线的标准方程即可得出该双曲线的渐近线方程. 【题目详解】 由题意可知，双曲线的渐近线方程是. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查双曲线的渐近线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线的简单性质的合理运用． 12、D 【答案解析】 当时,,∴f(x)不关于直线对称； 当时, ,∴f(x)关于点对称； f(x)得周期， 当时, ,∴f(x)在上是增函数． 本题选择D选项. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 如图，连接，证明平面平面EFG.因为直线平面EFG，所以点P在直线AC上. 当时.线段的长度最小，再求此时的得解. 【题目详解】 如图，连接， 因为E，F，G分别为AB，BC，的中点， 所以，平面， 则平面.因为， 所以同理得平面，又. 所以平面平面EFG. 因为直线平面EFG，所以点P在直线AC上. 在中，， 故当时.线段的长度最小，最小值为. 故答案为： 【答案点睛】 本题主要考查空间位置关系的证明，考查立体几何中的轨迹问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 14、1344 【答案解析】 分四种情况讨论即可 【题目详解】 解：数学排在第一节时有： 数学排在第二节时有： 数学排在第三节时有： 数学排在第四节时有： 所以共有1344种 故答案为：1344 【答案点睛】 考查排列、组合的应用，注意分类讨论，做到不重不漏；基础题. 15、5 【答案解析】 ，即的最大值为 16、 【答案解析】 先根据定积分求出的值，再用二项展开式公式即可求解. 【题目详解】 因为 所以 的通项公式为 当时， 当时， 故展开式中的系数为 故答案为： 【答案点睛】 此题考查定积分公式，二项展开式公式等知识点，属于简单题目. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）；（2）存在，. 【答案解析】 （1）设以为直径的圆心为，切点为，取关于轴的对称点，连接，计算得到，故轨迹为椭圆，计算得到答案. （2）设直线的方程为，设，联立方程得到 ，，计算，得到答案. 【题目详解】 （1）设以为直径的圆心为，切点为，则， 取关于轴的对称点，连接，故， 所以点的轨迹是以为焦点，长轴为4的椭圆，其中， 曲线方程为. （2）设直线的方程为，设，