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课时作业1　集合的概念与运算 1．解析：因为N＝{x|2x＞7}＝，M＝{1，3，5，7，9}，所以M∩N＝{5，7，9}． 答案：B 2．解析：方法一　由题知∁UB＝{－2，－1，1}，所以A∩（∁UB）＝{－1，1}． 方法二　易知A∩（∁UB）中的元素不在集合B中，则排除选项A、B、D. 答案：C 3．解析：因为集合A＝{x∈N＋|x2－3x－4<0}＝{x∈N＋|－1<x<4}＝{1，2，3}，所以集合A中共有3个元素，所以真子集有23－1＝7（个）. 答案：A 4．解析：方法一　因为B＝{x|x≤－2或x≥4}，所以A∪B＝{x|x≤－2或x≥1}，故∁R（A∪B）＝{x|－2<x<1}． 方法二　－2∈B，故－2∉∁R（A∪B），排除A，D；2∈A，故2∉∁R（A∪B），排除B. 答案：C 5．解析：全集U＝{－3，－2，0，2，3}，A＝{－3，3}，B＝{x|（x－3）（x－2）＝0}＝{2，3}，∴A∪B＝{－3，2，3}，则图中阴影部分所表示的集合为：∁U（A∪B）＝{－2，0}． 答案：D 6．解析：由A∩B≠∅知，集合A，B有公共元素，作出数轴，如图所示：易知a>－1. 答案：D 7．解析：∵集合A＝{1，2，3}，B＝{4，5}，C＝{x＋y|x∈A，y∈B}，∴集合C＝{5，6，7，8}，∴C中元素的个数为4. 答案：B 8．解析：当a＋2＝1时，a＝－1，此时有（a＋1）2＝0，a2＋3a＋3＝1，不满足集合中元素的互异性；当（a＋1）2＝1时，a＝0或a＝－2，当a＝－2，则a2＋3a＋3＝1，舍去，经验证a＝0时满足；当a2＋3a＋3＝1时，a＝－1或a＝－2，由上知均不满足，故a＝0，则2 021a＝1. 答案：1 9．解析：由于A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，结合数轴，∁U（A∪B）＝{x|0<x<1}． 答案：{x|0<x<1} 10．解析：A＝{x|x2－2x－3≤0}＝{x|（x＋1）（x－3）≤0}＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|y＝ln （2－x）}＝{x|2－x＞0}＝{x|x＜2}，则A∩B＝[－1，2），A∪B＝（－∞，3]. 答案：[－1，2）　（－∞，3] 11．解析：因为B＝＝{x|2x－1>0}＝{x|x>0}，所以∁RB＝{x|x≤0}．因为A＝{x|－1<x<0}，所以A∩（∁RB）＝{x|－1<x<0}． 答案：B 12．解析：当a>1时，A＝（－∞，1]∪[a，＋∞），B＝[a－1，＋∞），当且仅当a－1≤1时，A∪B＝R，故1<a≤2；当a＝1时，A＝R，B＝{x|x≥0}，A∪B＝R，满足题意；当a<1时，A＝（－∞，a]∪[1，＋∞），B＝[a－1，＋∞），又因为a－1<a，所以A∪B＝R，故a<1满足题意，综上知a∈（－∞，2]. 答案：（－∞，2] 13．解析：∵2≤n2＋n－4 042≤2n（n∈N*），解得n＝64，∴A＝{1，2，3，…，64}，对于数1，集合{2，3，…，64}有子集263个，∴以1作为最小元素被计算的次数为263，总和为1×263，同理以2作为最小元素被计算的次数为262，总和为2×262，以3作为最小元素被计算的次数为261，总和为3×261，依此类推，故所求结果S＝1×263＋2×262＋3×261＋…＋63×21＋64×20，则S＝1×262＋2×261＋…＋63×20＋64×，∴S＝263＋262＋261＋…＋21＋20－64×＝264－33，得S＝265－66. 答案：64　265－66 14．解析：（1）因为a＝3，所以P＝{x|4≤x≤7}，∁RP＝{x|x<4或x>7}． 又Q＝{x|x2－3x－10≤0}＝{x|－2≤x≤5}，所以（∁RP）∩Q＝{x|x<4或x>7}∩{x|－2≤x≤5}＝{x|－2≤x<4}． （2）当P≠∅时，由P∪Q＝Q得P⊆Q， 所以解得0≤a≤2； 当P＝∅，即2a＋1<a＋1时，有P⊆Q，得a<0. 综上，实数a的取值范围是（－∞，2]. 15．解析：（1）因为A＝{x|x2－6x－16≤0}＝{x|－2≤x≤8}，B＝{x|－3≤x≤5}，所以A∩B＝{x|－2≤x≤5}， 因为C⊆（A∩B），C＝{x|m＋1≤x≤2m－1}， ①若C＝∅，则m＋1>2m－1，所以m<2； ②若C≠∅，则所以2≤m≤3， 综上，实数m的取值范围为{m|m≤3}； （2）由（1）得A∪B＝{x|－3≤x≤8}，因为D＝{x|x>3m＋2}，且（A∪B）∩D＝∅， 所以只需3m＋2≥8，解得m≥2，所以实数m的取值范围为{m|m≥2}． 课时作业2　命题及其关系、充分条件与必要条件 1．解析：因为x>1，y>1，∴x＋y>2， 所以命题p是q成立的充分条件； 当x＋y>2时，x>1，y>1不一定成立，如：x＝4，y＝－1. 所以命题p是q成立的不必要条件． 所以p是q成立的充分不必要条件． 答案：B 2．解析：非有志者不能至，是必要条件；但“有志”也不一定“能至”，不是充分条件． 答案：D 3．解析：由x2－x－2＜0，解得－1＜x＜2. ∵x2－x－2＜0是－2＜x＜a的充分不必要条件， ∴（－1，2）（－2，a），∴a≥2. ∴实数a的值可以是2，3，4. 答案：A 4．解析：因为c2≥0，当a>b时，若c2＝0，则不能推出ac2>bc2，充分性不成立， 若ac2>bc2，且c2>0，可以推出a>b，必要性成立， 所以“a>b”是“ac2>bc2”的必要不充分条件． 答案：B 5．解析：由log2（2x－3）＜1⇔0＜2x－3＜2⇔＜x＜，4x＞8⇔2x＞3⇔x＞，所以“log2（2x－3）＜1”是“4x＞8”的充分不必要条件． 答案：A 6．解析：|x－1|<a⇒1－a<x<1＋a，因为不等式|x－1|<a成立的充分条件是0<x<4，所以（0，4）⊆（1－a，1＋a），所以解得a≥3. 答案：D 7．解析：由cos α＝，可得cos （2α＋π）＝－cos 2α＝1－2cos2α＝1－2×＝， 所以充分性成立； 反之，由cos（2α＋π）＝－cos 2α＝1－2cos2α＝，可得cos2α＝， 所以cosα＝或cos α＝－，即必要性不成立， 所以cos α＝是cos （2α＋π）＝的充分不必要条件． 答案：A 8．解析：据题，充分性：“sin α＝sin β”不一定得出“α＝β”，也有可能α＋β＝π， 必要性：“α＝β”一定能得出“sin α＝sin β”故为必要不充分条件． 答案：必要不充分 9．解析：直线x－y－k＝0与圆（x－1）2＋y2＝2有两个不同交点等价于<，解得－1<k<3. 答案：－1<k<3 10．解析：由x2－5x＋4≥0得x≤1或x≥4，可知{x|x>4}是{x|x≤1或x≥4}的真子集，∴p是q的充分不必要条件． 答案：充分不必要 11．解析：若f（x）＝2ex－ax在（－∞，0）上为减函数， 则f′（x）＝2ex－a≤0在（－∞，0）上恒成立， 即a≥（2ex）max＝2， ∵（3，＋∞）[2，＋∞）， ∴a>3是a≥2的充分不必要条件． 答案：D 12．解析：由{x (13)x2-x-6}，得x2－x－6≥0，解得x≤－2或x≥3，则A＝{x|x≤－2或x≥3}． 由log3（x＋a）≥1，得x＋a≥3，即x≥3－a，则B＝{x|x≥3－a}． 由题意知BA，所以3－a≥3，解得a≤0. 答案：（－∞，0] 13．解析：由2－m>m－1>0， 得1<m<，即q：1<m<. 因为p是q的充分条件，所以解得≤a≤. 答案： 14．解析：记A＝，B＝{x|x（x－3）<0}＝{x|0<x<3}， 若p是q的充分不必要条件，则AB， 注意到B＝{x|0<x<3}≠∅，分两种情况讨论： （1）若A＝∅，即≥，解得m≤0，此时AB，符合题意； （2）若A≠∅，即<，解得m>0， 要使AB，应有解得0<m<3. 综上可得，实数m的取值范围是（－∞，3）. 15．解析：已知条件p，即5x－1<－a或5x－1>a， 得x<或x>. 已知条件q，即2x2－3x＋1>0，得x<或x>1； 令a＝4，则p即x<－或x>1， 此时必有p⇒q成立，反之不然． 故可以选取一个实数是a＝4，A为p，B为q，对应的命题是若A则B.由以上过程可知这一命题的原命题为真命题，而它的逆命题为假命题． 课时作业3　简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 1．解析：因为全称命题的否定是特称命题， 所以命题：∀x∈R，x2≥0的否定是：∃x∈R，x2<0. 答案：C 2．解析：∵¬p是假命题，∴p是真命题，可得p∨q是真命题，∴充分性成立．反之，由“p∨q是真命题”可得p或q是真命题，不能得到“¬p是假命题”，∴必要性不成立． 答案：A 3．解析：由全称命题的否定为特称命题可知，C正确． 答案：C 4．解析：已知全称量词命题p：∀x1，x2∈R，[f（x2）－f（x1）]·（x2－x1）≥0，则¬p：∃x1，x2∈R，[f（x2）－f（x1）]·（x2－x1）＜0. 答案：C 5．解析：因为“∃x∈，sin x<m”是假命题， 所以“∀x∈，m≤sin x”是真命题， 即m≤sin x对于∀x∈恒成立，所以m≤（sin x）min， 因为y＝sin x在单调递增， 所以x＝－时，y＝sin x最小值为y＝sin ＝－sin ＝－， 所以m≤－，实数m的最大值为－. 答案：D 6．解析：幂函数f（x）＝x的值域为[0，＋∞），且在定义域上单调递增，故A错误，B正确，C错误；D选项中当x1＝0，结论不成立． 答案：B 7．解析：当x∈时，sin x<1，tan x>1. 此时sin x－tan x<0，故命题p为真命题． 由于命题p为特称命题，所以命题p的否定为全称命题， 则¬p为：∀x∈，f（x）≥0. 答案：C 8．答案：∃x∈R，x2＋x＋1≤0 9．解析：当x＝10时，lg 10＝1，则①为真命题； 当x＝0时，sin 0＝0，则②为真命题； 当x＜0时，x3＜0，则③为假命题； 由指数函数的性质知，∀x1＞x2，2x1＞2x2，则④为真命题． 答案：③ 10．解析：∵函数y＝tan x在上是增函数，∴ymax＝tan ＝1，依题意，m≥ymax，即m≥1.∴m的最小值为1. 答案：1 11．解析：由x＝，得tan x＝1，但由tan x＝1不一定推出x＝，可知“x＝”是“tan x＝1”的充分不必要条件，所以A正确；若定义在[a，b]上的函数f（x）＝x2＋（a＋5）x＋b是偶函数，则解得则f（x）＝x2＋5，其在[－5，5]上的最大值为30，所以B正确；显然C错误，D正确． 答案：C 12．解析：对于命题p，若空间两平面α⊥β，直线a∥α，则直线a∥β或直线a⊥β或直线a在平面β内，故命题p为假命题，¬p为真命题． 对于命题q，不妨令m<n，讨论0<a<1和a>1两种情况， 当0<a<1时，y＝|logax|与y＝的大致图象如图， 结合图象可得，0<m<1，n>1，logam＝，－logan＝， 两式作差可得loga（mn）＝－>0＝loga1， 因为y＝logax（0<a<1）在（0，＋∞）上单调递减，所以0<mn<1； 当a>1时，y＝|logax|与y＝的大致图象如图， 结合图象可得，0<m<1，n>1，－logam＝，logan＝， 两式作差可得loga（mn）＝－<0＝loga1， 因为y＝logax（a>1）在（0，＋∞）上单调递增，所以0<mn<1. 综上，mn<1成立，即命题q为真命题，¬q为假命题． 所以p∧q是假命题；¬p∧q是真命题；p∧¬q是假命题；p∨¬q是假命题． 答案：B 13．解析：当a＝0时，1≤0，显然不成立，所以a≠0， 若a>0，ax2＋1≤0，显然不成立，所以a<0， ∃x∈[1，2]，ax2＋1≤0为真命题，只需22·a＋1≤0， 解得a≤－. 答案：a≤－ 14．解析：由p：x2－8x－20>0，得p：x<－2或x>10， 由q：x2－2x＋1－m2>0（m>0），得q：x<1－m或x>1＋m， ∵p是q的充分而不必要条件， ∴，解得0<m≤3. 15．解析：（1）若p命题为真，则对任意x∈[0，1]，不等式2x－2≥m2－3m恒成立，即当x∈[0，1]时，m2－3m≤（2x－2）min恒成立， ∵当x∈[0，1]时，2x－2∈[－2，0]，∴m2－3m≤－2，即m2－3m＋2≤0， 解得1≤m≤2， 即m的取值范围是[1，2]. （2）当a＝1时，若q命题为真，则存在x∈[－1，1]， 使得m≤x成立，即m≤xmax成立，故m≤1. 若p且q为假命题，p或q为真命题，则p，q一真一假， 若p真q假，则，得1<m≤2. 若p假q真，则，得m<1， 综上所述，m的取值范围是（－∞，1）∪（1，2]. 课时作业4　函数及其表示 1．解析：根据题设有故x∈（－∞，1）∪（1，2），函数的定义域为（－∞，1）∪（1，2），故选C. 答案：C 2．解析：因为函数f（x）的定义域为[0，2]，所以0≤2x≤2，解得0≤x≤1，所以函数f（2x）的定义域为{x|0≤x≤1}，故选D. 答案：D 3．解析：∵A＝{y|y＝lg x}＝R，B＝{x|y＝}＝（－∞，1]，∴A∩B＝（－∞，1]，故选D. 答案：D 4．解析：f（－x）的定义域为{x|x≠－1}，令t＝－x，则t≠1，x＝－t，且f（t）＝，t≠1，所以f（x）＝，x≠1.故选C. 答案：C 5．解析：因为 f（x）＝， 所以f（1）＝22－1＝3，所以f（f（1））＝f（3）＝log28＝3，故选B. 答案：B 6．解析：对于A，f（x）＝|x－1|，定义域为R；f（x）＝＝|x－1|，定义域为R，两个函数定义域和解析式都相同，所以A中两个函数为相同函数； 对于B，f（x）＝x定义域为R，g（x）＝定义域为{x|x≠0}，所以两个函数不是相等函数，所以B中两个函数不是相同函数； 对于C，f（x）＝， g（x）＝x＋2，两个函数解析式不同，所以C中两个函数不是相同函数；对于D，f（x）＝x定义域为R，g（x）＝中定义域为{x|x≠0}，所以D中两个函数不是相同函数．故选A. 答案：A 7．解析：根据小车从点A出发的运动轨迹可得，视角θ＝∠AMP的值先是匀速增大，然后又减小，接着基本保持不变，然后又减小，最后又快速增大．故选D. 答案：D 8．解析：∵f（x）是一次函数，∴设f（x）＝ax＋b（a≠0），则 f（f（x））＝f（ax＋b）＝a（ax＋b）＋b＝a2x＋ab＋b， ∵f（f（x））＝4x－1，∴， 解得或 ∴f（x）＝2x－或f（x）＝－2x＋1. 答案：f（x）＝2x－或f（x）＝－2x＋1 9．解析：∵f（x）＝，∴f（x）＋f＝1，∵f（1）＝，∴所求解的结论为＋1＋1＝. 答案： 10．解析：f（x）＝4x－3，g（2x－1）＝f（x）＝4x－3， 令t＝2x－1，则x＝， 所以g（t）＝4×－3＝2t－1， 则g（2）＝2×2－1＝3. 答案：3 11．解析： 因为f（x）＝＝＝2＋， 又y＝在（1，＋∞）上单调递减；因此f（x）＝2＋在（1，＋∞）上单调递减； 则f（x）＝2＋在[2，4]上单调递减； 若x1∈[2，4]，则f（x1）∈[3，5]； 又g（x）＝2x＋a是增函数，若x2∈[2，4]， 则g（x2）∈[4＋a，16＋a]， 因为∀x1∈[2，4]，∃x2∈[2，4]，使得f（x1）＝g（x2）， 所以[3，5]是[4＋a，16＋a]的子集； 因此，解得－11≤a≤－1. 答案：D 12．解析：由题意知，函数f（x）的定义域为D，∀x∈D，∃y∈D，使得f（y）＝－f（x）成立，所以函数f（x）的值域关于原点对称，对于A中，函数y＝x2的值域为[0，＋∞），不关于原点对称，不符合题意；对于B中，函数y＝的值域为（－∞，0）∪（0，＋∞），关于原点对称，符合题意；对于C中，函数y＝ln （2x＋3）的值域为R，关于原点对称，符合题意；对于D中，函数y＝2x＋3的值域为R，关于原点对称，符合题意，故选A. 答案：A 13．解析：由题意得f＝2×＝. f＝f＝f＝2×＝. 所以f＋f＝4. 答案：B 14．解析：（1）f（2x）＋f＝＋＝＋＝＝1，x∈（－∞，－）∪（－，0）∪（0，＋∞）. （2）， ①－2×②得－3f（x）＝3x－2－＋4＝3x－＋2， 所以f（x）＝－x－，x∈（－∞，0）∪（0，＋∞）. 15．解析：（1）因为f（2）＝， 所以f（f（2））＝f（）＝－－2＝－. （2）当x>1时，f（x）∈（0，1）， 当x≤1时，f（x）∈[－3，＋∞）， 所以f（x）∈[－3，＋∞）. 课时作业5　函数的单调性与最值 1．解析：根据题意，依次分析选项： 对于A，f（x）＝3－x为一次函数，在（0，＋∞）上为减函数，不符合题意； 对于B，f（x）＝x2－3x为二次函数，在上为减函数，不符合题意； 对于C，f（x）＝－为反比例函数，在（0，＋∞）上为增函数，符合题意； 对于D，f（x）＝－|x|，当x>0时，f（x）＝－x，则函数f（x）在（0，＋∞）上为减函数，不符合题意． 答案：C 2．解析：函数f（x）＝－x＋的导数为f′（x）＝－1－，则f′（x）<0，可得f（x）在上单调递减，即f（－2）为最大值，且为2－＝. 答案：A 3．解析：因为函数y＝＝＝－1在区间（－1，＋∞）上是减函数，且f（2）＝0，所以n＝2.根据题意，x∈（m，n]时，ymin＝0.所以m的取值范围是[－1，2）. 答案：D 4．解析：因为a＋b>0，所以a>－b，b>－a.所以f（a）>f（－b），f（b）>f（－a），结合选项，可知选A. 答案：A 5．解析：因为f（x）＝x2－4x＋2的单调递减区间为（－∞，2]， y＝＝x＋－4在[，＋∞）和（－∞，－]上为增函数， 所以f（x）＝x2－4x＋2的“可变区间”I为[，2]和（－∞，－]. 答案：A 6．解析： 令t＝x＋，x∈[1，9]，则函数t＝x＋在[1，3）上单调递减，在[3，9]上单调递增， 所以当x＝3时，tmin＝6，当x＝9时，tmax＝10， 所以t∈[6，10]，所以y＝|t－a|＋a在t∈[6，10]上的最大值为10， ①当a≥10时，y＝|t－a|＋a＝a－t＋a＝2a－t， 所以ymax＝2a－6＝10，∴a＝8，舍去； ②当a≤6时，y＝|t－a|＋a＝t－a＋a＝t≤10，此时命题成立； ③当6<a<8时，ymax＝|10－a|＋a＝10，此时命题成立； ④当8≤a<10时，ymax＝|6－a|＋a＝a－6＋a＝2a－6，所以2a－6＝10，解得a＝8，此时命题成立； 综上所述：实数a的取值范围是a≤8， 即实数a的最大值为8. 答案：B 7．解析： 由题得函数f（x）为偶函数，在[0，＋∞）单调递增， 则对任意的x∈， 不等式f（ax＋1）≤f（x－2）恒成立， 则不等式f（|ax＋1|）≤f（|x－2|）， x∈恒成立， 则|ax＋1|≤|x－2|，x∈恒成立， 得（ax＋1）2－（x－2）2≤0， 得≤0， x∈恒成立， 则a≤且a≥， 或a≥且a≤，x∈恒成立， 即当x∈时，a≤且a≥， 或a≥且a≤， 又当x∈，有0≤≤1， －5≤≤－2， 得－2≤a≤0. 答案：C 8．解析：由于f（x）＝|x－2|x＝ 结合图象（图略）可知函数的单调递减区间是[1，2]. 答案：[1，2] 9．解析：当a＝0时，f（x）＝2x－3在定义域R上是单调递增的，故在（－∞，4）上单调递增；当a≠0时，二次函数f（x）的对称轴为x＝－，因为f（x）在（－∞，4）上单调递增，所以a<0，且－≥4，解得－≤a<0. 综上，实数a的取值范围是 . 答案： 10．解析：∵f（2）＝－1， ∴由f（2x－4）>－1得，f（2x－4）>f（2），且f（x）在R上是减函数， ∴2x－4<2，解得x<3， ∴满足f（2x－4）>－1的实数x的取值范围是（－∞，3）. 答案：（－∞，3） 11．解析：∵对任意的x1，x2∈R（x1≠x2）， 总有>0成立， 不妨设x1>x2， f（x1）－f（x2）＝（x1－x2）×>0， ∴f（x1）>f（x2）， ∴函数f（x）＝ 在定义域R上是增函数， ∴，解得≤a<. 答案：C 12．解析：根据符号[x]的意义，讨论当自变量x取不同范围时函数f（x）＝x－[x]的解析式：当－1≤x<0时，[x]＝－1，则f（x）＝x－[x]＝x＋1；当0≤x<1时，[x]＝0，则f（x）＝x－[x]＝x；当1≤x<2时，[x]＝1，则f（x）＝x－[x]＝x－1；当2≤x<3时，[x]＝2，则f（x）＝x－[x]＝x－2.画函数f（x）＝x－[x]的图象如图所示： 根据定义可知，f（－3.9）＝－3.9－（－4）＝0.1，f（4.1）＝4.1－4＝0.1，即f（－3.9）＝f（4.1），所以A正确；从图象可知，函数f（x）＝x－[x]最高点处取不到，所以B错误；函数图象最低点处函数值为0，所以C正确；从图象可知y＝f（x）与y＝的图象有无数个交点，即f（x）＝有无数个根，所以D正确． 答案：B 13．解析：因为当x≤0时，f（x）＝（x－a）2，f（0）是f（x）的最小值，所以a≥0.当x＞0时，f（x）＝x＋＋a≥2＋a，当且仅当x＝1时取“＝”．要满足f（0）是f（x）的最小值，需2＋a≥f（0）＝a2，即a2－a－2≤0，解得－1≤a≤2，所以实数a的取值范围是0≤a≤2. 答案：[0，2] 14．解析：（1）证明：设x1＜x2＜－2， 则f（x1）－f（x2）＝－＝. 因为（x1＋2）（x2＋2）＞0，x1－x2＜0， 所以f（x1）－f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）， 所以f（x）在（－∞，－2）上单调递增． （2）设1＜x1＜x2， 则f（x1）－f（x2）＝－＝. 因为a＞0，x2－x1＞0，所以要使f（x1）－f（x2）＞0， 只需（x1－a）（x2－a）＞0恒成立， 所以a≤1.综上所述，实数a的取值范围为（0，1]. 15．解析：（1）由于a≥3，故当x≤1时，x2－2ax＋4a－2－2|x－1|＝x2＋2（a－1）（2－x）>0， 当x>1时，x2－2ax＋4a－2－2|x－1|＝（x－2）（x－2a）. 由（x－2）（x－2a）≤0得2≤x≤2a. 所以使得等式F（x）＝x2－2ax＋4a－2成立的x的取值范围为[2，2a]. （2）设函数f（x）＝2|x－1|，g（x）＝x2－2ax＋4a－2， 则f（x）min＝f（1）＝0，g（x）min＝g（a）＝－a2＋4a－2， 所以由F（x）的定义知m（a）＝min{f（1），g（a）}，即 m（a）＝ 课时作业6　函数的奇偶性与周期性 1．解析：对于A，y＝x2的定义域为R，f（－x）＝（－x）2＝x2＝f（x），所以y＝x2是偶函数，由二次函数的性质可知y＝x2在（－∞，0）上单调递减，故选项A不正确；对于B，由指数函数的性质可知y＝2x既不是奇函数又不是偶函数，故选项B不正确；对于C，y＝－ln |x|定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），且f（－x）＝－ln |－x|＝－ln |x|＝f（x），由y＝－ln |x|是偶函数， y＝－ln |x|＝，其图象如图所示： y＝－ln |x|在区间（－∞，0）上单调递增，故选项C正确；对于D，由余弦函数的性质可知：y＝cos x为偶函数，在（－∞，0）上不具有单调性，故选项D不正确． 答案：C 2．解析：由题意，函数f（x＋1）是奇函数，可得f（x）的图象关于点（1，0）对称， 所以f（1＋x）＋f（1－x）＝0，所以②正确；令x＝0，则f（1）＝0，又由f（2x－1）是偶函数，所以f（2x）的图象关于x＝－对称，所以f（x）的图象关于x＝－1对称，则有f（－1－x）＝f（－1＋x），令x＝2，则f（－3）＝f（1）＝0，所以③正确. 在f（－1－x）＝f（－1＋x）中，将x用x－7替换，则f（x－8）＝f（6－x），在f（1＋x）＝－f（1－x）中，将x用x－5替换，则f（6－x）＝－f（x－4），所以f（x－8）＝－f（x－4），再将x用x＋4替换，则f（x－4）＝－f（x），所以f（x－8）＝f（x），所以①正确；对于④中，由f（2－x）＝－f（x），f（2＋x）＝－f（－x），无法推出其一定相等． 答案：B 3．解析：当x>0时，f（x）＝x ln x＋，f′（x）＝ln x＋1，所以函数f（x）在上单调递减，在上单调递增，结合f（x）是定义在R上的奇函数，则函数f（x）的图象如图， f（0）＝0，函数F（x）的零点即方程f（x）[f（x）＋a]＝0的根，又因为f（x）＝0有3个根，所以f（x）＝－a有2个根，即满足条件－<－a<0或0<－a<，解得a∈∪. 答案：C 4．解析：方程3f（x）＝x可化为f（x）＝，则函数y＝f（x）与直线y＝的图象有5个交点，当－1≤x≤1时，曲线y＝f（x）为＋x2＝1的上半部分，当1<x≤2时，曲线y＝f（x）为y＝x－1， 当2<x≤3时，曲线y＝f（x）为y＝－x＋3. 如图所示，函数y＝的图象为一条过原点的直线，要使它适合题意， 需要直线y＝与曲线C2有两个交点，与C3没有交点． 由题意知， 得x2－8x＋15＝0. Δ1＝64－4×15>0且m>0，可得m>， 由， 得x2－16x＋63＝0. Δ2＝256－4×63<0且m>0， 得0<m<，故m∈（，）. 答案：B 5．解析：∵f（－x）＝2－x＋（）－x＝2x＋（）x＝f（x），所以函数f（x）为R上的偶函数， 设x1，x2∈（0，＋∞），且x1>x2，则f（x1）－f（x2）＝2x1＋(12)x1－2x2－(12)x2 ＝2x1－2x2＋2x2-2x12x1∙2x2＝（2x1－2x2）(1 - 12x1+x2 ). ∵x1>x2>0，∴2x1 >2x2，2x1＋x2 >1， ∴2x1－2x2>0，1 - 12x1+x2>0， ∴f（x1）>f（x2），∴函数f（x）为（0，＋∞）上的单调增函数 由f（x）＝f， 可得x＋＝0或x－＝0， 当x＋＝0时，即x2＋4x＋2＝0，判别式Δ>0，故方程有两个根，得x1＋x2＝－4， 当x－＝0时，即x2＋2x－2＝0，判别式Δ>0，故方程有两个根，得x3＋x4＝－2， 所以满足f（x）＝f的所有实数x的和为－6. 答案：A 6．解析：由f（x）是R上的奇函数得：f（0）＝0， 又f（x）是以3为周期的周期函数， 则f（－3）＝－f（3）＝－f（0）＝0，①正确； f（1）＝f（1－3）＝f（－2）＝－f（2），②错误； 由f（3＋x）＝f（x）得：f＝f＝－f即f＋f＝0，即f（x）的图象关于点对称，③正确； 由f＋f＝0可得f＝0， 于是得f＝f＝f＝0，④正确， 所以给出的4个命题正确的是①③④. 答案：①③④ 7．解析：因为f（－x）＝e－x－ex－sin x＋x＝－f（x）. 所以f（x）是R上的奇函数， f′（x）＝ex＋e－x＋cos x－1， f′（x）＝ex＋e－x＋cos x－1≥2＋cos x－1＝1＋cos x≥0， 所以f（x）是R上的增函数， f[a－2ln （|x|＋1）]＋f≥0等价于f[a－2ln （|x|＋1）]≥－f＝f， 所以a－2ln （|x|＋1）≥－， 所以a≥－＋2ln （|x|＋1）， 令g（x）＝－＋2ln （|x|＋1），则a≥g（x）max， 因为g（－x）＝g（x）且定义域为R， 所以g（x）＝－＋2ln （|x|＋1）是R上的偶函数， 所以只需求g（x）在（0，＋∞）上的最大值即可． 当x∈[0，＋∞）时，g（x）＝－＋2ln （x＋1）， g′（x）＝－x＋＝＝－， 则当x∈[0，1）时，g′（x）>0；当x∈[1，＋∞）时，g′（x）<0； 所以g（x）在[0，1）上单调递增，在[1，＋∞）上单调递减， 可得：g（x）max＝g（1）＝2ln 2－，即a≥2ln 2－. 答案： 8．解析：∵f（x＋3）＝f（x），∴T＝3， 又x∈[0，3）时，f（x）＝2x－x2＋1， ∴f（0）＝1，f（1）＝2，f（2）＝1， ∴f（0）＋f（1）＋f（2）＝1＋2＋1＝4， ∴f（0）＋f（1）＋f（2）＋…＋f（2 021）＝674×4＝2 696. 答案：2 696 9．解析：（1）设x<0，则－x>0， 所以f（－x）＝－（－x）2＋2（－x）＝－x2－2x. 又f（x）为奇函数，所以f（－x）＝－f（x）， 于是当x<0时，f（x）＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2. （2）要使f（x）在[－1，a－2]上单调递增，结合f（x）的图象（如图所示）知所以1<a≤3， 故实数a的取值范围是（1，3]. 10．解析：（1）因为f（1＋x）＝f（1－x），所以f（－x）＝f（2＋x）. 又f（x＋2）＝f（x），所以f（－x）＝f（x）. 又f（x）的定义域为R， 所以f（x）是偶函数． （2）当x∈[0，1]时，－x∈[－1，0]， 则f（x）＝f（－x）＝x； 从而当1≤x≤2时，－1≤x－2≤0， f（x）＝f（x－2）＝－（x－2）＝－x＋2. 故f（x）＝ 11．解析：因为f（x）为偶函数，所以f（4＋x）＝f（4－x）＝f（x－4），所以f（8＋x）＝f（x），所以f（x）是周期函数，且周期为8，且f（x）关于x＝4对称，又当x∈（0，4]时，f（x）＝，则f′（x）＝＝（x>0），令f′（x）＝0，解得x＝，所以当x∈时，f′（x）>0，f（x）为增函数，当x∈时，f′（x）<0，f（x）为减函数，作出f（x）一个周期内的图象，如图所示： 因为f（x）为偶函数，且不等式f2（x）＋af（x）>0在[－200，200]上有且只有200个整数解， 所以不等式在（0，200）内有100个整数解，因为f（x）周期为8，所以在（0，200）内有25个周期， 所以f（x）在一个周期内有4个整数解， （1）若a>0，由f2（x）＋af（x）>0，可得f（x）>0或f（x）<－a， 由图象可得f（x）>0有7个整数解，f（x）<－a无整数解，不符合题意； （2）若a＝0，则f（x）≠0，由图象可得，不满足题意； （3）若a<0，由f2（x）＋af（x）>0，可得f（x）>－a或f（x）<0， 由图象可得f（x）<0在一个周期内无整数解，不符合题意， 所以f（x）>－a在一个周期（0，8）内有4个整数解， 因为f（x）在（0，8）内关于x＝4对称， 所以f（x）在（0，4）内有2个整数解， 因为f（1）＝ln 2，f（2）＝＝ln 2，f（3）＝， 所以f（x）>－a在（0，4）的整数解为x＝1和x＝2， 所以≤－a<ln 2，解得－ln 2<a≤－. 答案：C 12．解析：对①：若f（x）为奇函数，则f（x）＋f（－x）＝0. 令y＝－x，由（2）知0∈A， 而与（1）f（x）≠0矛盾，所以①错误． 对②：若f（x）为周期函数，则f（x＋T）＝f（x）（其中T为非零常数）， 当f（x）（比如f（x）＝tan x）值域A＝（－∞，0）∪（0，＋∞）时，令y＝x＋T， 则（1）＝1∈A成立；（2）f（x）＋f（y）＝2f（x）∈A也成立，故②正确． 对③：由②可知，存在x∈D，使f（x）为任意非零常数，所以可使f（x）＝，故③正确． 对④：令y＝x，则由（1）知1∈A，从而∈A，所以＝f2（x）∈A，所以④正确． 答案：B 13．解析：若f（x）＝c，则f′（x）＝0，此时（x－4）f′（x）≤0和y＝f（x＋4）为偶函数都成立，函数值恒等于c，当|x1－4|<|x2－4|时，恒有f（8－x1）＝f（8－x2），故等号成立； 若f（x）不是常数，因为函数y＝f（x＋4）为偶函数，所以f（4＋x）＝f（4－x），函数关于x＝4对称，所以f（x1）＝f（8－x1），f（x2）＝f（8－x2）； 由（x－4）f′（x）≤0，当x>4时，f′（x）<0，函数f（x）单调递减；当x<4时，f′（x）>0，函数f（x）单调递增，可画出拟合图象，如图： |x1－4|<|x2－4|，从绝对值本身含义出发，即等价于x轴上x1到4的距离小于x2到4的距离，由图可知，f（x1）>f（x2），即f（8－x1）>f（8－x2），综上所述，则f（8－x1）≥f（8－x2）. 答案：D 14．解析：（1）证明：∵f（x＋2）＝－f（x）， ∴f（x＋4）＝－f（x＋2）＝f（x）. ∴f（x）是周期为4的周期函数． （2）∵x∈[2，4]， ∴－x∈[－4，－2]， ∴4－x∈[0，2]， ∴f（4－x）＝2（4－x）－（4－x）2＝－x2＋6x－8， 又f（4－x）＝f（－x）＝－f（x）， ∴－f（x）＝－x2＋6x－8， 即f（x）＝x2－6x＋8，x∈[2，4]. （3）∵f（0）＝0，f（1）＝1，f（2）＝0，f（3）＝－1. 又f（x）是周期为4的周期函数， ∴f（0）＋f（1）＋f（2）＋f（3）＝f（4）＋f（5）＋f（6）＋f（7） ＝…＝f（2 012）＋f（2 013）＋f（2 014）＋f（2 015）＝0. ∴f（0）＋f（1）＋f（2）＋…＋f（2 016）＝0＋f（2 016）＝f（0）＝0. 15．解析：（1）证明：方法一　当a＝b＝1时，f（x）＝， 因为f（1）＝＝－，f（－1）＝＝， 所以f（－1）≠－f（1）即f（x）不是奇函数． 方法二　因为f（－x）＝＝ 而－f（x）＝－＝， 即f（－x）≠－f（x），所以f（x）不是奇函数． （2）方法一　∵f（x）是R上的奇函数， ∴f（－x）＝－f（x）， 即＝－对任意x∈R恒成立． 化简整理得（2a－b）22x＋（2ab－4）2x＋（2a－b）＝0对任意x∈R恒成立． ∴⇒或. 因为原函数定义域为R，所以b≥0.所以a＝1，b＝2. 方法二　∵f（x）是定义在R上的奇函数， ∴即，经验证满足． 所以a＝1，b＝2. （3）由（2）得：f（x）＝＝－＋， ∵2x>0，∴2x＋1>1. ∴0<<1， ∴－<f（x）<. 而c2－3c＋3＝＋≥>恒成立， 所以对任何实数x，c都有f（x）<c2－3c＋3成立． 16．解析：由对任意0≤x1<x2，都有<0，可得f（x）在[0，＋∞）上单调递减；由函数y＝f（x＋2）的图象关于点（－2，0）对称，得函数y＝f（x）的图象关于原点对称，可得函数y＝f（x）为奇函数；故f（x）在R上单调递减．于是得f（a2＋2b）≤f（b2＋2a）， ∴a2＋2b≥b2＋2a， ∴b2－a2＋2a－2b≤0， ∴（b－a）[b－（2－a）]≤0. 则当a∈时，令a＝x，b＝y，则问题等价于点（x，y）满足