专题34函数与几何综合问题（解答题）-2021年中考数学真题分项汇编（解析版）【全国通用】（第01期）.docx

2021年中考数学真题分项汇编【全国通用】（第01期） 专题34函数与几何综合问题（解答题） 一、解答题 1．（2021·浙江中考真题）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B在直线上，过点B作AB的垂线，过原点O作直线l的垂线，两垂线相交于点C． （1）如图，点B，C分别在第三、二象限内，BC与AO相交于点D． ①若，求证：． ②若，求四边形的面积． （2）是否存在点B，使得以为顶点的三角形与相似？若存在，求OB的长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）①见解析；②；（2）存在，，4，9，1 【分析】 （1）①等腰三角形等角对等边，则，根据等角的余角相等和对顶角相等，得到，根据等角对等边，即可证明； ②添加辅助线，过点A作于点H，根据直线l的解析式和角的关系，分别求出线段AB、BC、OB、OC的长，则； （2）分多钟情况进行讨论：①当点C在第二象限内，时；②当点C在第二象限内，时；③当点C在第四象限内，时． 【详解】 解：（1）①证明：如图1， ∵，∴． ∴，∴． 而， ∴． ∵，∴． ∴， ∴． ②如图1，过点A作于点H．由题意可知， 在中，．设，． ∵，∴，解得． ∴． ∵， ∴， ∴ ∴． ∵， ∴， ∴， ： ∴． （2）过点A作于点H，则有． ①如图2，当点C在第二象限内，时，设 ∵，∴． 又∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴，∴， ∴，整理得，解得． ∴． ②如图3，当点C在第二象限内，时，延长交于点G， 则，∴． 又∵， ∴， 而， ∴， ∴ ③当点C在第四象限内，时，与相交于点E，则有． (a)如图4，点B在第三象限内． 在中，，∴ ∴， 又∵， ∴， 而 ∴， ∴ ∴， ∴， ∴ (b)如图5，点B在第一象限内． 在中 ∴，∴． 又∵， ∴ 而，∴ ∴ ∴， ∴， ∴ 综上所述，的长为，4，9，1． 【点睛】 本题涉及到等腰三角形、等角的余角相等、利用切割法求四边形的面积和相似三角形等知识，综合性较强．在题中已知两个三角形相似时，要分情况考虑． 2．（2021·浙江中考真题）如图，在平面直角坐标系中，经过原点，分别交轴、轴于，，连结．直线分别交于点，（点在左侧），交轴于点，连结． （1）求的半径和直线的函数表达式． （2）求点，的坐标． （3）点在线段上，连结．当与的一个内角相等时，求所有满足条件的的长． 【答案】（1）半径为，直线的函数表达式为；（2）点为，点为；（3）5，10或 【分析】 （1）由，，确定点为，再利用两点间距离公式求解即可得到半径的长，利用待定系数法可直接得到直线CM的函数表达式； （2）先作辅助线构造相似三角形，求出，，即可得到点为，点为； （3）先作辅助线，得到，再分三种情况讨论，通过作轴于点，证出点为符合条件的点，再分别讨论当时和时的情况，分别得到和的值，最后完成求解． 【详解】 解：（1）， 为的直径． ，， 点为， 半径为． 设直线的函数表达式为． 把，代入得，解得． 直线的函数表达式为； ∴⊙M 的半径为，直线 CM 的函数表达式为． （2）过点作轴平行线，点作轴平行线交于点，作轴于点（如图1）， ，， ， ，且 ，， 点为． 点，关于点对称， 点为． （3）作轴于点， ，． ， ． 分三种情况（如图2）： ①作轴于点， ，， ， ， ， 即点为符合条件的一个点． ． ②当时， ， ． ， （）， ， ． ③当时， ， ， ． ， ， , ， ． 综上所述，当与的一个内角相等时，的长为5，10或． 【点睛】 本题综合考查了平面直角坐标系、圆、待定系数法求函数解析式、勾股定理、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等内容，要求学生根根据题意找到相等关系建立方程求解，本题综合性很强，对学生的分析能力要求较高，解决本题的关键是能通过作辅助线构造相似三角形以及牢记相关概念、性质和公式等，本题蕴含了分类讨论的思想方法． 3．（2021·黑龙江中考真题）如图，一次函数的图象与轴的正半轴交于点，与反比例函数的图像交于两点．以为边作正方形，点落在轴的负半轴上，已知的面积与的面积之比为． （1）求一次函数的表达式： （2）求点的坐标及外接圆半径的长． 【答案】(1)；(2)点的坐标为；外接圆半径的长为 【分析】 (1)过D点作DE∥y轴交x轴于H点，过A点作EF∥x轴交DE于E点，过B作BF∥y轴交EF于F点，证明△ABF≌△DAE，，的面积与的面积之比为得到，进而得到，求出A、D两点坐标即可求解； (2)联立一次函数与反比例函数解析式即可求出P点坐标；再求出C点坐标，进而求出CP长度，Rt△CPD外接圆的半径即为CP的一半． 【详解】 解：(1)过D点作DE∥y轴交x轴于H点，过A点作EF∥x轴交DE于E点，过B作BF∥y轴交EF于F点，如下图所示： ∵与有公共的底边BO，其面积之比为1:4， ∴DH:OA=1:4， 设，则， ∵ABCD为正方形， ∴AB=AD，∠BAD=90°， ∴∠BAF+∠EAD=90°， ∵∠BAF+∠FBA=90°， ∴∠FBA=∠EAD， 在△ABF和△DAE中： , ∴△ABF≌△DAE(AAS)， ∴ 又， ∴，解得(负值舍去)， ∴，代入中， ∴ ，解得 ， ∴一次函数的表达式为； (2)联立一次函数与反比例函数解析式： ， 整理得到：， 解得 ，， ∴点的坐标为；D点的坐标为（4,1） ∵四边形ABCD为正方形， ∴， 且， 在中，由勾股定理：， ∴， 又△CPD为直角三角形，其外接圆的圆心位于斜边PC的中点处， ∴△CPD外接圆的半径为． 【点睛】 本题考查了反比例函数与一次函数的综合应用，三角形全等的判定与性质，勾股定理求线段长，本题属于综合题，解题的关键是正确求出点A、D两点坐标． 4．（2021·江苏中考真题）已知四边形是边长为1的正方形，点E是射线上的动点，以为直角边在直线的上方作等腰直角三角形，，设． （1）如图1，若点E在线段上运动，交于点P，交于点Q，连结， ①当时，求线段的长； ②在中，设边上的高为h，请用含m的代数式表示h，并求h的最大值； （2）设过的中点且垂直于的直线被等腰直角三角形截得的线段长为y，请直接写出y与m的关系式． 【答案】（1）①；②，h最大值=；（2） 【分析】 （1）①过点F作FM⊥BC，交BC的延长线于点M，先证明，可得FM =，CM=，进而即可求解；②由，得CP=，把绕点A顺时针旋转90°得，可得EQ =DQ+BE，利用勾股定理得DQ=，EQ=，QP=，结合三角形面积公式，即可得到答案； （2）以点B为坐标原点，BC 所在直线为x轴，建立直角坐标系，则E(m，0)，A(0，1)，F(1+m，m)，从而求出AE的解析式为：y=x+1，AF的解析式为：y=x+1，EF的解析式为：y=mx-m2，再分两种情况：①当0≤m≤时，②当m＞时，分别求解即可． 【详解】 解：（1）①过点F作FM⊥BC，交BC的延长线于点M， ∵在等腰直角三角形中，，AE=FE，在正方形中，∠B=90°， ∴∠BAE+∠AEB=∠FEM+∠AEB， ∴∠BAE=∠FEM， 又∵∠B=∠FME， ∴， ∴FM=BE=，EM=AB=BC， ∴CM=BE=， ∴CF=； ②∵∠BAE=∠FEC，∠B=∠ECP=90°， ∴， ∴，即：， ∴CP=， 把绕点A顺时针旋转90°得，则AG=AQ，∠GAB=∠QAD，GB=DQ， ∵∠EAF=45°， ∴∠BAE+∠QAD=∠BAE+∠GAB=90°-45°=45°，即：∠GAE=∠EAF=45°， ∵∠ABG=∠ABE=90°， ∴B、G、E三点共线， 又∵AE=AE， ∴， ∴EQ=EG=GB+BE=DQ+BE， ∴在中，，即：， ∴DQ=， ∴EQ= DQ+BE=+m=，QP=1--()=， ∴，即：×(1-m)= ×h， ∴=，即m=时，h最大值=； （3）以点B为坐标原点，BC 所在直线为x轴，建立直角坐标系，则E(m，0)，A(0，1)， ∵直线m过AB的中点且垂直AB， ∴直线m的解析式为：x=， 过点F作FM⊥x轴于点M，由（1）可知：，即FM=BE，EM=AB， ∴F(1+m，m)， 设AE的解析式为：y=kx+b， 把E(m，0)，A(0，1)代入上式，得，解得：， ∴AE的解析式为：y=x+1， 同理：AF的解析式为：y=x+1，EF的解析式为：y=mx-m2， ①当0≤m≤时，如图，G(，)，N(，m-m2)， ∴y=-(m-m2)=， ②当m＞时，如图，G(，)，N(，)， ∴y=-=， 综上所述：． 【点睛】 本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，一次函数的性质，添加辅助线构造全等三角形，建立坐标系，把几何问题用代数的方法解决，是解题的关键． 5．（2021·江苏中考真题）在平面直角坐标系中，对于A、两点，若在y轴上存在点T，使得，且，则称A、两点互相关联，把其中一个点叫做另一个点的关联点．已知点、，点在一次函数的图像上． （1）①如图，在点、、中，点M的关联点是_______（填“B”、“C”或“D”）； ②若在线段上存在点的关联点，则点的坐标是_______； （2）若在线段上存在点Q的关联点，求实数m的取值范围； （3）分别以点、Q为圆心，1为半径作、．若对上的任意一点G，在上总存在点，使得G、两点互相关联，请直接写出点Q的坐标． 【答案】（1）①B；②；（2）或；（3）或． 【分析】 由材料可知关联点的实质就是将点A绕y轴上点T顺时针或逆时针旋转90度的得到点．故先找到旋转90°坐标变化规律，再根据规律解答即可， （1）①根据关联点坐标变化规律列方程求解点T坐标，有解则是关联点；无解则不是；②关联点的纵坐标等于0，根据关联点坐标变化规律列方程求解即可； （2）根据关联点坐标变化规律得出关联点，列不等式求解即可； （3）根据关联点的变化规律可知圆心是互相关联点，由点E坐标求出点Q坐标即可． 【详解】 解：在平面直角坐标系中，设，点，关联点， 将点A、点、点T向下平移个单位，点T对应点与原点重合，此时点A、点对应点、， ∵绕原点旋转90度的坐标变化规律为：点（x，y）顺时针旋转，对应点坐标为（y，-x）；逆时针旋转对应点坐标为（-y，x）， ∴绕原点旋转90度的坐标对应点坐标为或， 即顺时针旋转时，解得：，即关联点， 或逆时针旋转时，，解得：，即关联点， 即：在平面直角坐标系中，设，点，关联点坐标为或， （1）①由关联点坐标变化规律可知，点关于在y轴上点的关联点坐标为：或， 若点是关联点，则或，解得：，即y轴上点或，故点是关联点； 若点是关联点，则或，无解，故点不是关联点； 若点是关联点，则或，无解，故点不是关联点； 故答案为：B； ②由关联点坐标变化规律可知，点关于点的关联点的坐标为或， 若，解得：，此时即点，不在线段上； 若，解得：，此时即点，在线段上； 综上所述：若在线段上存在点的关联点，则点 故答案为：； （2）设点与点是关于点关联点，则点坐标为或， 又因为点在一次函数的图像上，即：， 点在线段上，点、， 当∴， ∴， ∴， 或， ∴， 当； 综上所述：当或时，在线段上存在点Q的关联点． （3）对上的任意一点G，在上总存在点，使得G、两点互相关联， 故点E与点Q也是关于同一点的关联，设该点，则 设点与点是关于点关联点，则点坐标为或， 又因为在一次函数的图像上，即：， ∵点， 若，解得：， 即点， 若，解得：， 即点， 综上所述：或． 【点睛】 本题主要考查了坐标的旋转变换和一次函数图像上点的特征，解题关键是总结出绕点旋转90°的点坐标变化规律，再由规律列出方程或不等式求解． 6．（2021·广东中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线分别与x轴，y轴相交于A、B两点，点为直线在第二象限的点 （1）求A、B两点的坐标； （2）设的面积为S，求S关于x的函数解析式：并写出x的取值范围； （3）作的外接圆，延长PC交于点Q，当的面积最小时，求的半径． 【答案】（1）A（-8，0），B（0，4）；（2），-8＜＜0；（3）4． 【分析】 （1）根据一次函数的图象与性质即可求出A、B两点的坐标； （2）利用三角形面积公式及点的坐标特点即可求出结果； （3）根据圆周角性质可得，．由等角的三角函数关系可推出，再根据三角形面积公式得，由此得结论当最小时，的面积最小，最后利用圆的性质可得有最小值，且为的直径，进而求得结果． 【详解】 解：（1）当时，，解得， ∴A（-8，0）． 当时，， ∴B（0，4）． （2）∵A（-8,0）， ∴． 点P在直线上， ∴， ∴． ∵点P在第二象限， ∴＞0，且＜0． 解得-8＜＜0； （3）∵B（0，4）， ∴． ∵为的外接圆， ∴，． ∴． 设，则． ∴． ∴当最小时，的面积最小． ∴当时，有最小值，且为的直径． ∴． 即的半径为4． 【点睛】 本题考查了一次函数的图象与性质、三角形面积计算及圆的相关性质等知识，熟练掌握一次函数的图象与性质、三角形面积计算及圆的相关性质是解题的关键． 7．（2021·广西梧州市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（0，3），顶点为C．平移此抛物线，得到一条新的抛物线，且新抛物线上的点D（3，﹣1）为原抛物线上点A的对应点，新抛物线顶点为E，它与y轴交于点G，连接CG，EG，CE． （1）求原抛物线对应的函数表达式； （2）在原抛物线或新抛物线上找一点F，使以点C，E，F，G为顶点的四边形是平行四边形，并求出点F的坐标； （3）若点K是y轴上的一个动点，且在点B的上方，过点K作CE的平行线，分别交两条抛物线于点M，N，且点M，N分别在y轴的两侧，当MN＝CE时，请直接写出点K的坐标． 【答案】（1）；（2）F（-4，3），（3）． 【分析】 （1）根据待定系数法将点A（﹣1，0），B（0，3）代入抛物线y＝x2+bx+c，即可求出原抛物线解析式； （2）根据新抛物线上的点D（3，﹣1）为原抛物线上点A的对应点可知抛物线平移方式为右移4个单位下移1个单位，从而确定新抛物线解析式，进而确定点C、D、G坐标，由以点C，E，F，G为顶点的四边形是平行四边形即可确定点F坐标的可能位置，判断是否在原抛物线或新抛物线上即可解答； （3）由，MN＝CE，可知M点到N点的平移方式和C点到E点平移方式相同，故可设点M坐标为（a，b），可得点N坐标为（a+4，b-1），由图像可知M在新抛物线、N在原抛物线上，据此列方程求出点M、N坐标，由直线MN解析式即可求出与y轴交点坐标即K点坐标． 【详解】 解：（1）由抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（0，3），得： ， 解得：， ∴原抛物线对应的函数表达式为：； （2）由（1）得：原抛物线为：，故顶点C坐标为 ∵新抛物线上的点D（3，﹣1）为原抛物线上点A的对应点， ∴原抛物线向右移4个单位，向下移1个单位得到新抛物线， ∴新抛物线对应的函数表达式为：，即： 故新抛物线顶E点坐标为，与y轴交点G坐标为， 以点C，E，F，G为顶点的四边形是平行四边形，点F不可能在CE下方，故如图所示： 当平行四边形为时，点F坐标为，即，根据平移性质可知：一定在原抛物线； 当平行四边形为时，点F坐标为，即，此时；故不在新抛物线上， 综上所述：以点C，E，F，G为顶点的四边形是时，F的坐标为； （3）∵，MN＝CE， ∴M点到N点的平移方式和C点到E点平移方式相同， 设M在左侧，坐标为（a，b），则点N坐标为（a+4，b-1），由图可知，点M在新抛物线，点N在原抛物线， ， 解得： ， 即M点坐标为， ∴点N坐标为， 设直线MN解析式为， ∴， 解得：， 即：， 故直线MN与y轴交点K坐标为． 【点睛】 本题主要考查了函数图像的平移、函数图像与几何图形结合的综合能力的培养，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，掌握图像平移的性质确定函数解析式和点的坐标是解题关键． 8．（2021·四川中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，与x轴相交于点B． （1）求反比例函数的表达式； （2）过点A的直线交反比例函数的图象于另一点C，交x轴正半轴于点D，当是以为底的等腰三角形时，求直线的函数表达式及点C的坐标． 【答案】（1）；（2），点C的坐标为 【分析】 （1）先求出A点坐标，再用待定系数法即可求解； （2）根据已知条件求出B坐标，再求出D的坐标，然后用待定系数法求出解析式，再联立解析解出即可 【详解】 （1）将点的坐标代入一次函数表达式并解得：a＝2， 故， 将点A的坐标代入反比例函数表达式并解得：k＝6， 故反比例函数表达式为：y（x＞0） ； (2)∵ ∴ ∵是以为底的等腰三角形， ∴ 设一次函数AD的表达式为：y＝kx+b 得： 解得： ∴解析式为： 联立反比例函数和直线AD的解析式得 解得（舍去）或 ∴点C的坐标为． 【点睛】 本题考查了反比例函数与一次函数的交点，当有两个函数的时候，要注重数形结合，把函数转化成方程，体现了方程思想，综合性较强． 9．（2021·湖南中考真题）如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与函数的图像（记为）交于点A，过点A作轴于点，且，点在线段上（不含端点），且，过点作直线轴，交于点，交图像于点． （1）求的值，并且用含的式子表示点的横坐标； （2）连接、、，记、的面积分别为、，设，求的最大值． 【答案】（1），D点横坐标为；（2） 【分析】 （1）先求出A点坐标，再利用待定系数法即可求出k的值，利用OC=t和D点在直线l上即可得到D点横坐标； （2）分别用含t的式子表示出、，得到关于t的二次函数，求函数的最大值即可． 【详解】 解：（1）∵， ∴A点横坐标为1, ∵A点在一次函数的图像上， ∴， ∴, ∵A点也在反比例函数图像上， ∴， ∴反比例函数解析式为：， ∵，直线轴， ∴D点纵坐标为t， ∵D点在直线l上， ∴D点横坐标为， 综上可得：，D点横坐标为． （2）直线轴，交于点，交图像于点， ∴E点纵坐标为t， 将纵坐标t代入反比例函数解析式中得到E点坐标为， ∴，A点到DE的距离为， ∴， ∵轴于点， ∴， ∴， ∴， ∴当时，最大=； ∴的最大值为． 【点睛】 本题综合考查了反比例函数和一次函数，涉及到了用待定系数法求函数解析式、用点的坐标表示线段的长、平面直角坐标系中三角形的面积表示、平行于x轴的直线上的点的坐标特征等内容，本题综合性较强，要求学生对概念的理解和掌握应做到深刻与扎实，本题蕴含了数形结合的思想方法等． 10．（2021·江苏中考真题）如图，在平面直角坐标系中．四边形为矩形，点、分别在轴和轴的正半轴上，点为的中点已知实数，一次函数的图像经过点、，反比例函数的图像经过点，求的值． 【答案】 【分析】 先根据一次函数求出点C的坐标，进而可表示出点B的横坐标，再代入反比例函数即可求得点B的坐标，再结合点D为AB的中点可得点D的坐标，最后将点D坐标代入一次函数即可求得答案． 【详解】 解：把代入，得． ∴． ∵轴， ∴点横坐标为． 把代入，得． ∴． ∵点为的中点， ∴． ∴． ∵点在直线上， ∴． ∴． 【点睛】 本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法确定一次函数、反比例函数解析式，坐标与图形性质，矩形的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 11．（2021·山东中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边、分别在坐标轴上，且，，连接．反比例函数（）的图象经过线段的中点，并与、分别交于点、．一次函数的图象经过、两点． （1）分别求出一次函数和反比例函数的表达式； （2）点是轴上一动点，当的值最小时，点的坐标为______． 【答案】（1）, ；（2） 【分析】 （1）先求出B点的坐标，再由反比例函数过点，求出点的坐标，代入即可， 由矩形的性质可得、坐标，代入即可求出解析式； （2）“将军饮马问题”，作关于轴的对称点，连接,直线与轴交点即为所求． 【详解】 （1） 四边形是矩形，， 为线段的中点 将代入，得 将，代入，得： ，解得 （2）如图：作关于轴的对称点，连接交轴于点P 当三点共线时，有最小值 ， 设直线的解析式为 将，代入，得 ，解得 令，得 【点睛】 本题考查了矩形的性质，反比例函数性质，反比例函数和一次函数待定系数法求解析式，反比例函数图像上点的特点，线段和距离最值问题，正确的作辅助线，理解并记忆待定系数法求解的技巧是解题关键． 12．（2021·广西中考真题）如图①，在中，于点，，，点是上一动点（不与点，重合），在内作矩形，点在上，点，在上，设，连接． （1）当矩形是正方形时，直接写出的长； （2）设的面积为，矩形的面积为，令，求关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）如图②，点是（2）中得到的函数图象上的任意一点，过点的直线分别与轴正半轴，轴正半轴交于，两点，求面积的最小值，并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）6 【分析】 （1）直接根据等腰直角三角形性质及正方形性质可以得出：，进一步计算即可； （2）先根据等腰直角三角形以及直角三角形得出，，代入化简即可； （3）设l：，则，当面积的最小时，两个函数图像仅有一个交点，列出面积的表达式求解即可． 【详解】 解：（1）根据题意：可知 均为等腰直角三角形，则， ∵，，， ∴DC=8， ∴AC=， ∴； （2）∵四边形EFGH为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）由（2）得P在上， 设l：，则， 当面积的最小时，两个函数图像仅有一个交点， 令，得， 则， ∴， ， ， ， ． 【点睛】 本题主要考查正方形性质，矩形的性质，勾股定理，特殊角锐角三角函数，反比例函数与一次函数综合问题，能够根据题意列出相应的方程是解决本题的关键． 13．（2021·江苏中考真题）通过构造恰当的图形，可以对线段长度、图形面积大小等进行比较，直观地得到一些不等关系或最值，这是“数形结合”思想的典型应用． （理解） （1）如图1，，垂足分别为C、D，E是的中点，连接．已知，． ①分别求线段、的长（用含a、b的代数式表示）； ②比较大小：__________（填“＜”、“＝”或“＞”），并用含a、b的代数式表示该大小关系． （应用） （2）如图2，在平面直角坐标系中，点M、N在反比例函数的图像上，横坐标分别为m、n．设，记． ①当时，__________；当时，________； ②通过归纳猜想，可得l的最小值是__________．请利用图2构造恰当的图形，并说明你的猜想成立． 【答案】（1）①，=；②＞，＞；（2）①，1；②l的最小值是1，理由见详解 【分析】 （1）①先证明，从而得，进而得CD的值，根据直角三角形的性质，直接得CE的值；②根据点到线之间，垂线段最短，即可得到结论； （2）①把m，n的值直接代入=进行计算，即可；②过点M作x，y轴的平行线，过点N作x，y轴的平行线，如图所示，则A(n，)，B(m，)，画出图形，用矩形的面积表示，进而即可得到结论． 【详解】 解：（1）①∵， ∴∠ACD+∠A=∠ACD+∠BCD=90°，即：∠A=∠BCD， 又∵∠ADC=∠CDB=90°， ∴， ∴，即：， ∴，即：（负值舍去）， ∵E是的中点， ∴==； ②∵，， ∴＞，即：＞． 故答案是：＞； （2）①当时，==， 当时，==， 故答案是：，1； ②l的最小值是：1，理由如下： 由题意得：M(m，)，N(n，)，过点M作x，y轴的平行线，过点N作x，y轴的平行线，如图所示，则A(n，)，B(m，)， == =[（①的面积+②的面积）+②的面积+（②的面积+④的面积）+（①的面积+②的面积+③的面积 +④的面积）] = [（①的面积+②的面积）+（②的面积+④的面积）+（①的面积+②的面积）+（②的面积+④的面积）+③的面积] =(1+1+1+1+③的面积)≥1， ∴l的最小值是1． 【点睛】 本题主要考查直角三角形的性质，反比例函数的图像和性质以及相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，反比例函数图像上点的坐标特征，是解题的关键． 14．（2021·四川中考真题）已知反比例函数的图象经过点． （1）求该反比例函数的表达式； （2）如图，在反比例函数的图象上点A的右侧取点C，作CH⊥x轴于H，过点A作y轴的垂线AG交直线于点D． ①过点A，点C分别作x轴，y轴的垂线，交于B，垂足分别为为F、E，连结OB，BD，求证：O，B，D三点共线； ②若，求证：． 【答案】（1）反比例函数的表达式为；（2）①证明见详解；②证明见详解． 【分析】 （1）根据反比例函数的图象经过点，可得即可； （2）①利用锐角三角函数值tan∠EBO=，tan∠DBC=相等，可证∠EBO=∠DBC，利用平角定义∠DBC+∠OBC=∠EBO+∠OBC=180°即可； ②设AC与OD交于K，先证四边形ABCD为矩形，可得∠KAD=∠KDA，KA=KC=，由，可得AO=AK，由∠AKO为△AKD的外角，可得∠AKO=2∠ADK，由AD∥OH 性质，可得∠DOH=∠ADK即可． 【详解】 解：（1）∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴该反比例函数的表达式为； （2）①设点C（），则B（2，），D（）， ∴OE=，BE=2，CD=3-，BC=， ∴tan∠EBO=，tan∠DBC=， ∴∠EBO=∠DBC， ∵∠DBC+∠OBC=∠EBO+∠OBC=180°， ∴点O，点B，点D三点共线； ②设AC与OD交于K， ∵AD⊥y轴，CB⊥y轴， ∴AD∥BC∥x轴， ∵AF⊥x轴，DH⊥x轴， ∴AB∥DC， ∴四边形ABCD为平行四边形， ∵AF⊥x轴，AD∥x轴， ∴AF⊥AD， ∴∠BAD=90°， ∴四边形ABCD为矩形， ∴∠KAD=∠KDA，KA=KC=， ∵， ∴AO=AK， ∴∠AOD=∠AKO， 又∵∠AKO为△AKD的外角， ∴∠AKO=∠KAD+∠KDA=2∠ADK， ∵AD∥OH ， ∴∠DOH=∠ADK， ∴∠AOD=2∠DOH． 【点睛】 本题考查待定系数法求反比例函数解析式，锐角三角函数，平角定义，矩形判定与性质，等腰三角形判定与性质，三角形外角性质，平行线性质，掌握待定系数法求反比例函数解析式，锐角三角函数，平角定义，矩形判定与性质，等腰三角形判定与性质，三角形外角性质，平行线性质是解题关键． 15．（2021·内蒙古中考真题）如图，矩形的两边的长分别为3，8，C，D在y轴上，E是的中点，反比例函数的图象经过点E，与交于点F，且． （1）求反比例函数的解析式； （2）在y轴上找一点P，使得，求此时点P的坐标． 【答案】（1）；（2）（0，14）或（0，-2） 【分析】 （1）根据矩形的性质和勾股定理得出，再结合得出CF的长，设E点坐标为（-4，a），则F点坐标为（-6，a-3），再根据E，F两点在反比例函数的图象上列出方程，解出a的值即可得出反比例函数的解析式； （2）设P点坐标为（0，y），根据得出，从而确定点P的坐标； 【详解】 解：（1）矩形ABCD中，AB=3，BC=8，E为AD的中点， ∴AD=BC=8，CD=AB=3， ∵E为AD的中点， ∴DE=AE=4， ∴ ∵， ∴CF=6， 设E点坐标为（-4，a），则F点坐标为（-6，a-3）， ∵E，F两点在反比例函数的图象上； ∴-4a=-6（a-3），解得a=9， ∴E（-4，9）， ∴k=-4×9=-36，． ∴反比例函数的解析式为； （2）∵a=9，∴C（0，6）， ∵， ∴， ∵点P在y轴上，设P点坐标为（0，y）， ∴PC=|6-y| ∴ ∴y=14或-2； ∴点P的坐标为（0，14）或（0，-2） 【点睛】 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及矩形的性质，解题时注意：反比例函数图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k． 16．（2021·湖南中考真题）如图，抛物线经过，两点，与轴交于点，连接． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）如图2，直线：经过点A，点为直线上的一个动点，且位于轴的上方，点为抛物线上的一个动点，当轴时，作，交抛物线于点（点在点的右侧），以，为邻边构造矩形，求该矩形周长的最小值； （3）如图3，设抛物线的顶点为，在（2）的条件下，当矩形的周长取最小值时，抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）存在，或． 【分析】 （1）直接将，两点坐标代入抛物线解析式之中求出系数的值即可； （2）先利用待定系数法求出直线的解析式，再设出点的坐标，接着表示出Q点和M点的坐标后，求出线段PQ和QM的表达式，再求出它们和的两倍，利用配方法即可求出其最小值； （3）先利用锐角三角函数证明出，进而得到F点的其中一个位置，在BC另一侧，通过构造直角三角形，利用勾股定理建立方程组，即可求出BF与y轴的交点，进而求出BF的解析式，与抛物线的解析式联立，即可确定F点的坐标． 【详解】 解：（1）∵抛物线经过，两点， ∴， 解得：， ∴该抛物线的函数表达式为：； （2）∵经过点A， ∴， ∴， ∴直线：； 设，则， ∵抛物线对称轴为：，且Q点和M点关于对称轴对称， ∴M点横坐标为， ∴； 又∵， ∴， 当时，的值最小，为； ∴该矩形周长的最小值为； （3）存在，或； 由（2）可知，， ∵抛物线的函数表达式为：； 且， ∴顶点D坐标为， 如图4，作DE⊥QM， 因为，， ∴； 又∵抛物线与y轴交于点C，与x轴交于点A、B， ∴ 令，解得：，； ∴,, ∴, ∴， ∴当F点在点A处时，能使得，此时; 如图5，在BC另一侧，当时，， 过C点作CN⊥BH，垂足为点N， 由角平分线的性质可得：CN=CO=2， ∴BN=BO=4， 由勾股定理可得：且, 即，且； 解得：，; ∴ 设直线BH的函数解析式为：， ∴， ∴， ∴直线BH的函数解析式为：， 联立抛物线解析式与直线BH的函数解析式，得： 解得：（与B点重合，故舍去），或， ∴， 综上可得，抛物线上存在点，使得，或． 【点睛】 本题综合考查了待定系数法求函数解析式、平面直角坐标系中两点之间的距离、求函数的最大或最小值、勾股定理、三角函数等内容，解决本题的关键是能结合图形理解题意，能牢记和熟练运用相关公式进行计算等，本题计算量较大，对学生的综合分析思维能力要求也较高，属于压轴题类型，本题蕴含的思想有分类讨论的思想和数形结合的思想等． 17．（2021·湖北中考真题）抛物线交轴于，两点（在的左边）． （1）的顶点在轴的正半轴上，顶点在轴右侧的抛物线上． ①如图（1），若点的坐标是，点的横坐标是，直接写出点，的坐标； ②如图（2），若点在抛物线上，且的面积是12，求点的坐标； （2）如图（3），是原点关于抛物线顶点的对称点，不平行轴的直线分别交线段，（不含端点）于，两点，若直线与抛物线只有一个公共点，求证的值是定值． 【答案】（1）①，；②点的坐标是．（2）见解析 【分析】 （1）①根据函数图象与x轴的交点，令y=0，求出，点E在抛物线上，求出纵坐标为，再根据平行四边形的性质，求出； ②连，过点作轴垂线，垂足为，过点作，垂足为，设点坐标为，点坐标为，根据平行四边形的性质，与点在抛物线上，得到，再由则，列出方程求解； （2）方法一：先求出G、H两点的横坐标，再利用求解即可；方法二：先用待定系数法求出直线与直线l的表达式，根据直线l与抛物线有唯一的交点，求出点坐标为，点坐标为，再求出结果． 【详解】 （1）解：①∵抛物线交轴于，两点（在的左边）， ∴令=0，解得：，， ∴， ∵点E在抛物线上，点的横坐标是， ∴， ∵四边形ACDE是平行四边形， ∴ ∴； ②设点坐标为，点坐标为． ∵四边形是平行四边形， ∴将沿平移可与重合，点坐标为． ∵点在抛物线上，∴． 解得，，所以． 连，过点作轴垂线，垂足为，过点作，垂足为． 则， ∵，， ∴． ∴，解得，（不合题意，舍去）． ∴点的坐标是． （2）方法一：证明：依题意，得，，∴ 设直线解析式为，则，解得． ∴直线的解析式为． 同理，直线的解析式为． 设直线的解析式为． 联立，消去得． ∵直线与抛物线只有一个公共点， ∴，． 联立，且，解得，， 同理，得． ∵，两点关于轴对称，∴． ∴． ∴的值为． 方法二：证明：同方法一得直线的解析式为． 设直线的解析式为，与抛物线唯一公共点为． 联立，消去得，∴． 解得．∴直线的解析式为． 联立，且，解得． ∴点坐标为．同理，点坐标为． ∵，∴． ∴的值为． 【点睛】 本题是二次函数综合题，主要考查二次函数、一次函数、三角形面积、方程组等知识点，解题的关键是学会利用参数，学会用方程组求两个函数图象的交点坐标，学会把问题转化为方程解决，属于压轴题． 18．（2021·湖南中考真题）已知二次函数． （1）若，，求方程的根的判别式的值； （2）如图所示，该二次函数的图像与x轴交于点、，且，与y轴的负半轴交于点C，点D在线段OC上，连接AC、BD，满足 ，． ①求证：； ②连接BC，过点D作于点E，点在y轴的负半轴上，连接AF，且，求的值． 【答案】（1） （2）①证明见解析；②=2 【分析】 （1）根据判别式公式代入求解即可． （2）①通过条件，得到OC=OB，再根据ASA即可得到两个三角形角形全等． ②通过分析条件，证明，得到，再根据相关的线段转换长度，代入求解即可. 【详解】 解：（1）当，时，方程为：， ， （2）①证明：∵，且， ∴， ∴， 在与中， ， ∴． ②解：，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，且， ∴,， 在中，， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∵， ∴ ， 即：， ∴=2或=-1（舍）， 【点睛】 本题考查的是二次函数与一元二次方程的关系，韦达定理，以及一元二次方程的解法，三角形全等和相似等相