专题25圆的有关位置关系（共70题）-2021年中考数学真题分项汇编（解析版）【全国通用】（第01期）.docx

2021年中考数学真题分项汇编【全国通用】（第01期） 专题25圆的有关位置关系（共70题） 一、单选题 1．（2021·浙江嘉兴市·中考真题）已知平面内有和点，，若半径为，线段，，则直线与的位置关系为（ ） A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切 【答案】D 【分析】 根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断． 【详解】 解：∵⊙O的半径为2cm，线段OA=3cm，线段OB=2cm， 即点A到圆心O的距离大于圆的半径，点B到圆心O的距离等于圆的半径， ∴点A在⊙O外．点B在⊙O上， ∴直线AB与⊙O的位置关系为相交或相切， 故选：D． 【点睛】 本题考查了直线与圆的位置关系，正确的理解题意是解题的关键． 2．（2021·四川凉山彝族自治州·中考真题）下列命题中，假命题是（ ） A．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 B．等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合 C．若，则点B是线段AC的中点 D．三角形三条边的垂直平分线的交点叫做这个三角形的外心 【答案】C 【分析】 根据中点的定义，直角三角形的性质，三线合一以及外心的定义分别判断即可． 【详解】 解：A、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，故为真命题； B、等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合，故为真命题； C、若在同一条直线上AB=BC，则点B是线段AC的中点，故为假命题； D、三角形三条边的垂直平分线的交点叫做这个三角形的外心，故为真命题； 故选C． 【点睛】 本题考查了中点的定义，直角三角形的性质，三线合一以及外心的性质，属于基础知识，要熟练掌握． 3．（2021·山东泰安市·中考真题）如图，在中，，以点A为圆心，3为半径的圆与边相切于点D，与，分别交于点E和点G，点F是优弧上一点，，则的度数是（ ） A．50° B．48° C．45° D．36° 【答案】B 【分析】 连接AD，由切线性质可得∠ADB=∠ADC=90°，根据AB=2AD及锐角的三角函数可求得∠BAD=60°，易求得∠ADE=72°，由AD=AE可求得∠DAE=36°，则∠GAC=96°，根据圆周角定理即可求得∠GFE的度数． 【详解】 解：连接AD，则AD=AG=3， ∵BC与圆A相切于点D， ∴∠ADB=∠ADC=90°， 在Rt△ADB中，AB=6，则cos∠BAD==， ∴∠BAD=60°， ∵∠CDE=18°， ∴∠ADE=90°﹣18°=72°， ∵AD=AE， ∴∠ADE=∠AED=72°， ∴∠DAE=180°﹣2×72°=36°， ∴∠GAC=36°+60°=96°， ∴∠GFE=∠GAC=48°， 故选：B． 【点睛】 本题考查切线性质、锐角的三角函数、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、圆周角定理，熟练掌握切线性质和圆周角定理，利用特殊角的三角函数值求得∠BAD=60°是解答的关键． 4．（2021·浙江金华市·中考真题）如图，在中，，以该三角形的三条边为边向形外作正方形，正方形的顶点都在同一个圆上．记该圆面积为，面积为，则的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 先确定圆的圆心在直角三角形斜边的中点，然后利用全等三角形的判定和性质确定△ABC是等腰直角三角形，再根据直角三角形斜边中线的性质得到，再由勾股定理解得，解得，据此解题即可． 【详解】 解：如图所示，正方形的顶点都在同一个圆上， 圆心在线段的中垂线的交点上，即在斜边的中点，且AC=MC，BC=CG， ∴AG=AC+CG=AC+BC，BM=BC+CM=BC+AC， ∴AG=BM， 又∵OG=OM，OA=OB， ∴△AOG≌△BOM， ∴∠CAB=∠CBA， ∵∠ACB=90°， ∴∠CAB=∠CBA=45°， ， ， ． 故选：C． 【点睛】 本题考查勾股定理、直角三角形斜边的中线的性质、圆的面积、三角形的面积等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键． 5．（2021·浙江中考真题）如图，已知点是的外心，∠，连结，，则的度数是（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 结合题意，根据三角形外接圆的性质，作；再根据圆周角和圆心角的性质分析，即可得到答案． 【详解】 的外接圆如下图 ∵∠ ∴ 故选：C． 【点睛】 本题考查了圆的知识；解题的关键是熟练掌握三角形外接圆、圆周角、圆心角的性质，从而完成求解． 6．（2021·四川泸州市·）如图，⊙O的直径AB=8，AM，BN是它的两条切线，DE与⊙O相切于点E，并与AM，BN分别相交于D，C两点，BD，OC相交于点F，若CD=10，则BF的长是 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 过点D作DG⊥BC于点G，延长CO交DA的延长线于点H，根据勾股定理求得，即可得AD=BG=2，BC= 8，再证明△HAO≌△BCO，根据全等三角形的性质可得AH=BC=8，即可求得HD= 10；在Rt△ABD中，根据勾股定理可得；证明△DHF∽△BCF，根据相似三角形的性质可得，由此即可求得． 【详解】 过点D作DG⊥BC于点G，延长CO交DA的延长线于点H， ∵AM，BN是它的两条切线，DE与⊙O相切于点E， ∴AD=DE，BC=CE，∠DAB=∠ABC=90°， ∵DG⊥BC， ∴四边形ABGD为矩形， ∴AD=BG，AB=DG=8， 在Rt△DGC中，CD=10， ∴， ∵AD=DE，BC=CE，CD=10， ∴CD= DE+CE = AD+BC =10， ∴AD+BG +GC=10， ∴AD=BG=2，BC=CG+BG=8， ∵∠DAB=∠ABC=90°， ∴AD∥BC， ∴∠AHO=∠BCO，∠HAO=∠CBO， ∵OA=OB， ∴△HAO≌△BCO， ∴AH=BC=8， ∵AD=2， ∴HD=AH+AD=10； 在Rt△ABD中，AD=2，AB=8， ∴， ∵AD∥BC， ∴△DHF∽△BCF， ∴， ∴， 解得，． 故选A． 【点睛】 本题是圆的综合题，考查了切线长定理、勾股定理、全等三角形的判定及性质、相似三角形的判定于性质，熟练运用相关知识是解决问题的关键． 7．（2021·四川眉山市·中考真题）如图，在矩形中，对角线，相交于点，，，点在线段上从点至点运动，连接，以为边作等边三角形，点和点分别位于两侧，下列结论：①；②；③；④点运动的路程是，其中正确结论的序号为（ ） A．①④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】 连接OE并延长交DC于点H，先证△ADO为等边三角形，得出∠2=∠DAF=60°，再根据△DEF为等边三角形，得出①正确；证出△DOE≌△COE，得到ED=EC，得出②正确；证出∠ADF=∠3，看得出③正确；根据△DOE≌△COE，得出点E在OH上运动，可得④正确． 【详解】 解： 连接OE并延长交DC于点H， ∵矩形ABCD， ∴OA=OD=OC， ∵∠DAC=60°， ∴△ADO为等边三角形， ∴∠2=∠DAF=60°， ∵△DEF为等边三角形， ∴∠1=60°=∠5， ∴∠1=∠2， ∴D、F、O、E四点共圆， ∴∠3=∠4，①正确； ∴∠5=∠6=60°， ∴∠7=∠6=60°， ∵OD=OC，OE=OE， ∴△DOE≌△COE， ∴∠3=∠8， ∴∠CDE=∠DCE， ∴ED=EC，②正确； ∵∠ADO=∠FDE=60°， ∴∠ADF=∠3， ∴∠ADF=∠8，即∠ADF=∠ECF，③正确； ∵△DOE≌△COE， ∴点E在∠DOC的角平分线上与CD的交点为H，即点E在OH上运动， ∴OH=BC， ∴OH=，④错误． 故选B． 【点睛】 本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，圆的性质，解题的关键是灵活运用这些性质． 8．（2021·湖北十堰市·中考真题）如图，内接于是的直径，若，则（ ） A． B． C．3 D．4 【答案】C 【分析】 首先过点O作OF⊥BC于F，由垂径定理可得BF＝CF＝BC，然后由∠BAC＝120°，AB＝AC，利用等边对等角与三角形内角和定理，即可求得∠C与∠BAC的度数，由BD为⊙O的直径，即可求得∠BAD与∠D的度数，又由AD＝3，即可求得BD的长，继而求得BC的长． 【详解】 解：过点O作OF⊥BC于F， ∴BF＝CF＝BC， ∵AB＝AC，∠BAC＝120°， ∴∠C＝∠ABC＝（180°−∠BAC）÷2＝30°， ∵∠C与∠D是同弧所对的圆周角， ∴∠D＝∠C＝30°， ∵BD为⊙O的直径， ∴∠BAD＝90°， ∴∠ABD＝60°， ∴∠OBC＝∠ABD−∠ABC＝30°， ∵AD＝3， ∴BD＝AD÷cos30°＝3÷=2， ∴OB＝BD＝， ∴BF＝OB•cos30°＝×＝， ∴BC＝3． 故选：C． 【点睛】 此题考查了圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的性质、直角三角形的性质以及特殊角的三角函数值等知识．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意准确作出辅助线． 9．（2021·湖南怀化市·中考真题）如图，在中，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB、AC于点M、N；再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P；连结AP并延长交BC于点D．则下列说法正确的是（ ） A． B．AD一定经过的重心 C． D．AD一定经过的外心 【答案】C 【分析】 根据题意易得AD平分∠BAC，然后根据三角形的重心、外心及三边关系可排除选项． 【详解】 解：∵AD平分∠BAC， ∴，故C正确； 在△ABD中，由三角形三边关系可得，故A错误； 由三角形的重心可知是由三角形三条中线的交点，所以AD不一定经过的重心，故B选项错误； 由三角形的外心可知是由三角形三条边的中垂线的交点，所以AD不一定经过的外心，故D选项错误； 故选C． 【点睛】 本题主要考查三角形的重心、外心及角平分线的尺规作图，熟练掌握三角形的重心、外心及角平分线的尺规作图是解题的关键． 10．（2021·山东临沂市·中考真题）如图，、分别与相切于、，，为上一点，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 由切线的性质得出∠OAP=∠OBP=90°，利用四边形内角和可求∠AOB=110°，再利用圆周角定理可求∠ADB=55°，再根据圆内接四边形对角互补可求∠ACB． 【详解】 解：如图所示，连接OA，OB，在优弧AB上取点D，连接AD，BD， ∵AP、BP是切线， ∴∠OAP=∠OBP=90°， ∴∠AOB=360°-90°-90°-70°=110°， ∴∠ADB=55°， 又∵圆内接四边形的对角互补， ∴∠ACB=180°-∠ADB=180°-55°=125°． 故选：C． 【点睛】 本题考查了切线的性质、圆周角定理、圆内接四边形的性质．解题的关键是连接OA、OB，求出∠AOB． 11．（2021·湖北鄂州市·中考真题）如图，中，，，．点为内一点，且满足．当的长度最小时，的面积是（ ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】 由题意知，又长度一定，则点P的运动轨迹是以中点O为圆心，长为半径的圆弧，所以当B、P、O三点共线时，BP最短；在中，利用勾股定理可求BO的长，并得到点P是BO的中点，由线段长度即可得到是等边三角形，利用特殊三边关系即可求解． 【详解】 解： 取中点O，并以O为圆心，长为半径画圆 由题意知：当B、P、O三点共线时，BP最短 点P是BO的中点 在中， 是等边三角形 在中， ． 【点睛】 本题主要考察动点的线段最值问题、点与圆的位置关系和隐形圆问题，属于动态几何综合题型，中档难度．解题的关键是找到动点P的运动轨迹，即隐形圆． 12．（2021·四川广元市·中考真题）如图，在边长为2的正方形中，是以为直径的半圆的切线，则图中阴影部分的面积为（ ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】 取BC的中点O，设AE与⊙O的相切的切点为F，连接OF、OE、OA，由题意可得OB=OC=OA=1，∠OFA=∠OFE=90°，由切线长定理可得AB=AF=2，CE=CF，然后根据割补法进行求解阴影部分的面积即可． 【详解】 解：取BC的中点O，设AE与⊙O的相切的切点为F，连接OF、OE、OA，如图所示： ∵四边形ABCD是正方形，且边长为2， ∴BC=AB=2，∠ABC=∠BCD=90°， ∵是以为直径的半圆的切线， ∴OB=OC=OF=1，∠OFA=∠OFE=90°， ∴AB=AF=2，CE=CF， ∵OA=OA， ∴Rt△ABO≌Rt△AFO（HL）， 同理可证△OCE≌△OFE， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选D． 【点睛】 本题主要考查切线的性质定理、切线长定理、正方形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握切线的性质定理、切线长定理、正方形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键． 13．（2021·江苏连云港市·中考真题）如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，，则周长的最小值是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】 利用将军饮马之造桥选址的数学方法进行计算． 【详解】 如图所示， （1）为上一动点，点关于线段的对称点为点，连接，则，过点作的平行线，过点作的平行线，两平行线相交于点，与相交于点M． 四边形是平行四边形 则 （2）找一点， 连接，则，过点作的平行线，连接则． 此时 （1）中周长取到最小值 四边形是平行四边形 四边形是正方形 ， 又，， 又 是等腰三角形 ，则圆的半径， 故选：B． 【点睛】 本题难度较大，需要具备一定的几何分析方法．关键是要找到周长取最小值时的位置． 14．（2021·贵州贵阳市·中考真题）如图，与正五边形的两边相切于两点，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据切线的性质，可得∠OAE＝90°，∠OCD＝90°，结合正五边形的每个内角的度数为108°，即可求解． 【详解】 解： ∵AE、CD切⊙O于点A、C， ∴∠OAE＝90°，∠OCD＝90°， ∴正五边形ABCDE的每个内角的度数为： ， ∴∠AOC＝540°−90°−90°−108°−108°＝144°， 故选：A． 【点睛】 本题主要考查正多边形的内角和公式的应用，以及切线的性质定理，掌握正多边形的内角和定理是解题的关键． 15．（2021·广东中考真题）设O为坐标原点，点A、B为抛物线上的两个动点，且．连接点A、B，过O作于点C，则点C到y轴距离的最大值（ ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】 设A(a，a²)，B(b，b²)，求出AB的解析式为，进而得到OD=1，由∠OCB=90°可知，C点在以OD的中点E为圆心，以为半径的圆上运动，当CH为圆E半径时最大，由此即可求解． 【详解】 解：如下图所示：过C点作y轴垂线，垂足为H，AB与x轴的交点为D， 设A(a，a²)，B(b，b²)，其中a≠0，b≠0， ∵OA⊥OB， ∴， ∴， 即， ， 设AB的解析式为：，代入A(a，a²)， 解得：， ∴， ∵，即 ， ∴C点在以OD的中点E为圆心，以为半径的圆上运动， 当CH为圆E的半径时，此时CH的长度最大， 故CH的最大值为， 故选：A． 【点睛】 本题考查了二次函数的性质，圆的相关知识等，本题的关键是求出AB与y轴交点的纵坐标始终为1，结合，由此确定点E的轨迹为圆进而求解． 16．（2021·湖南娄底市·中考真题）如图，直角坐标系中，以5为半径的动圆的圆心A沿x轴移动，当⊙与直线只有一个公共点时，点A的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 当⊙与直线只有一个公共点时，则此时⊙A与直线相切，（需考虑左右两侧相切的情况）；设切点为，此时点同时在⊙A与直线上，故可以表示出点坐标，过点作，则此时，利用相似三角形的性质算出长度，最终得出结论． 【详解】 如下图所示，连接，过点作， 此时点坐标可表示为， ∴，， 在中，， 又∵半径为5， ∴， ∵， ∴， 则， ∴， ∴， ∵左右两侧都有相切的可能， ∴A点坐标为， 故选：D． 【点睛】 本题考查的是直线与圆的位置关系，熟知相似三角形的判定与性质是解答此题的关键． 17．（2021·福建中考真题）如图，为的直径，点P在的延长线上，与相切，切点分别为C，D．若，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 连接OC，CP，DP是⊙O的切线，根据定理可知∠OCP＝90°，∠CAP＝∠PAD，利用三角形的一个外角等于与其不相邻的两个内角的和可求∠CAD=∠COP，在Rt△OCP中求出即可． 【详解】 解：连接OC， CP，DP是⊙O的切线，则∠OCP＝90°，∠CAP＝∠PAD， ∴∠CAD=2∠CAP， ∵OA=OC ∴∠OAC＝∠ACO， ∴∠COP＝2∠CAO ∴∠COP＝∠CAD ∵ ∴OC=3 在Rt△COP中，OC=3，PC=4 ∴OP=5． ∴== 故选：D． 【点睛】 本题利用了切线的性质，锐角三角函数，三角形的外角与内角的关系求解． 18．（2021·山西中考真题）如图，在中，切于点，连接交于点，过点作交于点，连接．若，则为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 连接，根据与相切易得，在中，已知，可以求出的度数，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半得出的度数，最后根据可得． 【详解】 如下图，连接， ∵切于点， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 故选：B． 【点睛】 本题考察了切线的性质，圆周角定理以及平行线的性质，综合运用以上性质定理是解题的关键． 19．（2021·吉林长春市·中考真题）如图，AB是的直径，BC是的切线，若，则的大小为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据切线的性质，得∠ABC=90°，再根据直角三角形的性质，即可求解． 【详解】 解：∵AB是的直径，BC是的切线， ∴AB⊥BC，即∠ABC=90°， ∵， ∴=90°-35°=55°， 故选C． 【点睛】 本题主要考查切线的性质以及直角三角形的性质，掌握圆的切线的性质定理，是解题的关键． 20．（2021·上海中考真题）如图，已知长方形中，，圆B的半径为1，圆A与圆B内切，则点与圆A的位置关系是（ ） A．点C在圆A外，点D在圆A内 B．点C在圆A外，点D在圆A外 C．点C在圆A上，点D在圆A内 D．点C在圆A内，点D在圆A外 【答案】C 【分析】 根据内切得出圆A的半径，再判断点D、点E到圆心的距离即可 【详解】 ∵圆A与圆B内切，，圆B的半径为1 ∴圆A的半径为5 ∵<5 ∴点D在圆A内 在Rt△ABC中， ∴点C在圆A上 故选：C 【点睛】 本题考查点与圆的位置关系、圆与圆的位置关系、勾股定理，熟练掌握点与圆的位置关系是关键 二、填空题 21．（2021·湖南常德市·中考真题）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD=80°，则∠BCD的度数是_____． 【答案】140°． 【详解】 试题分析：∵∠BOD=80°，∴∠A=40°，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠BCD=180°-40°=140°，故答案为140°． 考点：圆内接四边形的性质；圆周角定理 22．（2021·四川凉山彝族自治州·中考真题）如图，等边三角形ABC的边长为4，的半径为，P为AB边上一动点，过点P作的切线PQ，切点为Q，则PQ的最小值为________． 【答案】3 【分析】 连接OC和PC，利用切线的性质得到CQ⊥PQ，可得当CP最小时，PQ最小，此时CP⊥AB，再求出CP，利用勾股定理求出PQ即可． 【详解】 解：连接QC和PC， ∵PQ和圆C相切， ∴CQ⊥PQ，即△CPQ始终为直角三角形，CQ为定值， ∴当CP最小时，PQ最小， ∵△ABC是等边三角形， ∴当CP⊥AB时，CP最小，此时CP⊥AB， ∵AB=BC=AC=4， ∴AP=BP=2， ∴CP==， ∵圆C的半径CQ=， ∴PQ==3， 故答案为：3． 【点睛】 本题考查了切线的性质，等边三角形的性质，以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意得到当PC⊥AB时，线段PQ最短是关键． 23．（2021·浙江杭州市·中考真题）如图，已知的半径为1，点是外一点，且．若是的切线，为切点，连接，则_____． 【答案】 【分析】 根据圆的切线的性质，得，根据圆的性质，得，再通过勾股定理计算，即可得到答案． 【详解】 ∵是的切线，为切点 ∴ ∴ ∵的半径为1 ∴ ∴ 故答案为：． 【点睛】 本题考查了圆、勾股定理的知识；解题的关键是熟练掌握圆、圆的切线、勾股定理的性质，从而完成求解． 24．（2021·陕西中考真题）如图，正方形的边长为4，的半径为1．若在正方形内平移（可以与该正方形的边相切），则点A到上的点的距离的最大值为______． 【答案】 【分析】 由题意易得当与BC、CD相切时，切点分别为F、G，点A到上的点的距离取得最大，进而根据题意作图，则连接AC，交于点E，然后可得AE的长即为点A到上的点的距离为最大，由题意易得，则有△OFC是等腰直角三角形，，根据等腰直角三角形的性质可得，最后问题可求解． 【详解】 解：由题意得当与BC、CD相切时，切点分别为F、G，点A到上的点的距离取得最大，如图所示： 连接AC，OF，AC交于点E，此时AE的长即为点A到上的点的距离为最大，如图所示， ∵四边形是正方形，且边长为4， ∴， ∴△OFC是等腰直角三角形，， ∵的半径为1， ∴， ∴， ∴， ∴， 即点A到上的点的距离的最大值为； 故答案为． 【点睛】 本题主要考查正方形的性质、切点的性质定理及等腰直角三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质、切点的性质定理及等腰直角三角形的性质与判定是解题的关键． 25．（2021·青海中考真题）点是非圆上一点，若点到上的点的最小距离是，最大距离是，则的半径是______． 【答案】或 【分析】 分点在外和内两种情况分析；设的半径为，根据圆的性质列一元一次方程并求解，即可得到答案． 【详解】 设的半径为 当点在外时，根据题意得： ∴ 当点在内时，根据题意得： ∴ 故答案为：或． 【点睛】 本题考查了圆、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握圆的性质，从而完成求解． 26．（2021·北京中考真题）如图，是的切线，是切点．若，则______________． 【答案】130° 【分析】 由题意易得，然后根据四边形内角和可求解． 【详解】 解：∵是的切线， ∴， ∴由四边形内角和可得：， ∵， ∴； 故答案为130°． 【点睛】 本题主要考查切线的性质及四边形内角和，熟练掌握切线的性质是解题的关键． 27．（2021·四川广元市·中考真题）如图，在正方形中，点O是对角线的中点，点P在线段上，连接并延长交于点E，过点P作交于点F，连接、，交于G，现有以下结论：①；②；③；④为定值；⑤．以上结论正确的有________（填入正确的序号即可）． 【答案】①②③⑤ 【分析】 由题意易得∠APF=∠ABC=∠ADE=∠C=90°，AD=AB，∠ABD=45°，对于①：易知点A、B、F、P四点共圆，然后可得∠AFP=∠ABD=45°，则问题可判定；对于②：把△AED绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，则有DE=BH，∠DAE=∠BAH，然后易得△AEF≌△AHF，则有HF=EF，则可判定；对于③：连接AC，在BP上截取BM=DP，连接AM，易得OB=OD，OP=OM，然后易证△AOP∽△ABF，进而问题可求解；对于④：过点A作AN⊥EF于点N，则由题意可得AN=AB，若△AEF的面积为定值，则EF为定值，进而问题可求解；对于⑤由③可得，进而可得△APG∽△AFE，然后可得相似比为，最后根据相似三角形的面积比与相似比的关系可求解． 【详解】 解：∵四边形是正方形，， ∴∠APF=∠ABC=∠ADE=∠C=90°，AD=AB，∠ABD=45°， ①∵， ∴由四边形内角和可得， ∴点A、B、F、P四点共圆， ∴∠AFP=∠ABD=45°， ∴△APF是等腰直角三角形， ∴，故①正确； ②把△AED绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，如图所示： ∴DE=BH，∠DAE=∠BAH，∠HAE=90°，AH=AE， ∴， ∵AF=AF， ∴△AEF≌△AHF（SAS）， ∴HF=EF， ∵， ∴，故②正确； ③连接AC，在BP上截取BM=DP，连接AM，如图所示： ∵点O是对角线的中点， ∴OB=OD，， ∴OP=OM，△AOB是等腰直角三角形， ∴， 由①可得点A、B、F、P四点共圆， ∴， ∵， ∴△AOP∽△ABF， ∴， ∴， ∵， ∴，故③正确； ④过点A作AN⊥EF于点N，如图所示： 由②可得∠AFB=∠AFN， ∵∠ABF=∠ANF=90°，AF=AF， ∴△ABF≌△ANF（AAS）， ∴AN=AB， 若△AEF的面积为定值，则EF为定值， ∵点P在线段上， ∴的长不可能为定值，故④错误； ⑤由③可得， ∵∠AFB=∠AFN=∠APG，∠FAE=∠PAG， ∴△APG∽△AFE， ∴， ∴， ∴， ∴，故⑤正确； 综上所述：以上结论正确的有①②③⑤； 故答案为①②③⑤． 【点睛】 本题主要考查正方形的性质、旋转的性质、圆的基本性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质、旋转的性质、圆的基本性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键． 28．（2021·浙江宁波市·中考真题）抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如示意图，分别与相切于点C，D，延长交于点P．若，的半径为，则图中的长为________．（结果保留） 【答案】 【分析】 连接OC、OD，利用切线的性质得到，根据四边形的内角和求得，再利用弧长公式求得答案． 【详解】 连接OC、OD， ∵分别与相切于点C，D， ∴， ∵，， ∴， ∴的长=（cm）， 故答案为：． ． 【点睛】 此题考查圆的切线的性质定理，四边形的内角和，弧长的计算公式，熟记圆的切线的性质定理及弧长的计算公式是解题的关键． 29．（2021·浙江温州市·中考真题）如图，与的边相切，切点为．将绕点按顺时针方向旋转得到，使点落在上，边交线段于点．若，则______度． 【答案】85 【分析】 连结OO′，先证△BOO′为等边三角形，求出∠AOB=∠OBO′=60°，由与的边相切，可求∠CBO==30°，利用三角形内角和公式即可求解． 【详解】 解：连结OO′， ∵将绕点按顺时针方向旋转得到， ∴BO′=BO=OO′， ∴△BOO′为等边三角形， ∴∠OBO′=60°， ∵与的边相切， ∴∠OBA=∠O′BA′=90°， ∴∠CBO=90°-∠OBO′=90°-60°=30°， ∵∠A′=25° ∴∠A′O′B=90°-∠A′=90°-25°=65° ∴∠AOB=∠A′O′B=65°， ∴∠OCB=180°-∠COB-∠OBC=180°-65°-30°=85°． 故答案为85． 【点睛】 本题考查图形旋转性质，切线性质，等边三角形判定与性质，直角三角形性质，掌握图形旋转性质，切线性质，等边三角形判定与性质，直角三角形性质是解题关键． 30．（2021·江苏扬州市·中考真题）在一次数学探究活动中，李老师设计了一份活动单： 已知线段，使用作图工具作，尝试操作后思考： （1）这样的点A唯一吗？ （2）点A的位置有什么特征？你有什么感悟？ “追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点A的位置不唯一，它在以为弦的圆弧上（点B、C除外），……．小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图1）． （1）小华同学提出了下列问题，请你帮助解决． ①该弧所在圆的半径长为___________； ②面积的最大值为_________； （2）经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形内部，我们记为，请你利用图1证明； （3）请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图2，已知矩形的边长，，点P在直线的左侧，且． ①线段长的最小值为_______； ②若，则线段长为________． 【答案】（1）①2；②；（2）见解析；（3）①；② 【分析】 （1）①设O为圆心，连接BO，CO，根据圆周角定理得到∠BOC=60°，证明△OBC是等边三角形，可得半径； ②过点O作BC的垂线，垂足为E，延长EO，交圆于D，以BC为底，则当A与D重合时，△ABC的面积最大，求出OE，根据三角形面积公式计算即可； （2）延长BA′，交圆于点D，连接CD，利用三角形外角的性质和圆周角定理证明即可； （3）①根据，连接PD，设点Q为PD中点，以点Q为圆心，PD为半径画圆，可得点P在优弧CPD上，连接BQ，与圆Q交于P′，可得BP′即为BP的最小值，再计算出BQ和圆Q的半径，相减即可得到BP′； ②根据AD，CD和推出点P在∠ADC的平分线上，从而找到点P的位置，过点C作CF⊥PD，垂足为F，解直角三角形即可求出DP． 【详解】 解：（1）①设O为圆心，连接BO，CO， ∵∠BAC=30°， ∴∠BOC=60°，又OB=OC， ∴△OBC是等边三角形， ∴OB=OC=BC=2，即半径为2； ②∵△ABC以BC为底边，BC=2， ∴当点A到BC的距离最大时，△ABC的面积最大， 如图，过点O作BC的垂线，垂足为E，延长EO，交圆于D， ∴BE=CE=1，DO=BO=2， ∴OE==， ∴DE=， ∴△ABC的最大面积为=； （2）如图，延长BA′，交圆于点D，连接CD， ∵点D在圆上， ∴∠BDC=∠BAC， ∵∠BA′C=∠BDC+∠A′CD， ∴∠BA′C＞∠BDC， ∴∠BA′C＞∠BAC，即∠BA′C＞30°； （3）①如图，当点P在BC上，且PC=时， ∵∠PCD=90°，AB=CD=2，AD=BC=3， ∴tan∠DPC==，为定值， 连接PD，设点Q为PD中点，以点Q为圆心，PD为半径画圆， ∴当点P在优弧CPD上时，tan∠DPC=，连接BQ，与圆Q交于P′， 此时BP′即为BP的最小值，过点Q作QE⊥BE，垂足为E， ∵点Q是PD中点， ∴点E为PC中点，即QE=CD=1，PE=CE=PC=， ∴BE=BC-CE=3-=， ∴BQ==， ∵PD==， ∴圆Q的半径为， ∴BP′=BQ-P′Q=，即BP的最小值为； ②∵AD=3，CD=2，， 则， ∴△PAD中AD边上的高=△PCD中CD边上的高， 即点P到AD的距离和点P到CD的距离相等， 则点P到AD和CD的距离相等，即点P在∠ADC的平分线上，如图， 过点C作CF⊥PD，垂足为F， ∵PD平分∠ADC， ∴∠ADP=∠CDP=45°， ∴△CDF为等腰直角三角形，又CD=2， ∴CF=DF==， ∵tan∠DPC==， ∴PF=， ∴PD=DF+PF==． 【点睛】 本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，三角形的面积，等边三角形的判定和性质，最值问题，解直角三角形，三角形外角的性质，勾股定理，知识点较多，难度较大，解题时要根据已知条件找到点P的轨迹． 31．（2021·湖北荆州市·中考真题）如图，是的直径，是的弦，于，连接，过点作交于，过点的切线交的延长线于．若，，则_____________． 【答案】 【分析】 证明求得AC，利用勾股定理求得CB的长，再利用求得BE． 【详解】 解：如图所示，连接BC ∵是的直径，于 ∴ 又 ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴或（舍去） 又为切线 ∴ 又∵ ∴ ∴ 即 ∴ 【点睛】 本题考查圆的相关性质、相似三角形的判定和性质．直径所对的圆周角是直角，圆的切线垂直于过切点的半径．相似三角形的对应线段成比例． 32．（2021·四川宜宾市·中考真题）如图，⊙O的直径AB＝4，P为⊙O上的动点，连结AP，Q为AP的中点，若点P在圆上运动一周，则点Q经过的路径长是______． 【答案】 【分析】 连接OQ，以OA为直径作⊙C，确定出点Q的运动路径即可求得路径长． 【详解】 解：连接OQ． 在⊙O中， ∵AQ=PQ，OQ经过圆心O， ∴OQ⊥AP． ∴∠AQO=90°． ∴点Q在以OA为直径的⊙C上． ∴当点P在⊙O上运动一周时，点Q在⊙C上运动一周． ∵AB=4， ∴OA=2． ∴⊙C的周长为． ∴点Q经过的路径长为． 故答案为： 【点睛】 本题考查了垂径定理的推论、圆周角定理的推论、圆周长的计算等知识点，熟知相关定理及其推论是解题的基础，确定点Q的运动路径是解题的关键． 33．（2021·江苏盐城市·中考真题）如图，在⊙O内接四边形中，若，则________． 【答案】80 【分析】 根据圆内接四边形的性质计算出即可． 【详解】 解：∵ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABC＝100°， ∴∠ABC+∠ADC=180°， ∴． 故答案为． 【点睛】 本题考查了圆内接四边形的性质、解题的关键是熟练掌握圆内接四边形的性质． 34．（2021·河南中考真题）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为，点，，均在小正方形的顶点上，且点，在上，，则的长为__________． 【答案】 【分析】 先找到的圆心O，得到∠BOC=45°，利用弧长公式即可求解． 【详解】 解：连接AD，作线段AB、AD的垂直平分线，交点即为的圆心O， 从图中可得：的半径为OB=5， 连接OC， ∵∠BAC=22.5°， ∴∠BOC=222.5°=45°， 的长为． ． 故答案为： 【点睛】 本题考查了弧长公式，找到的圆心是解题的关键． 35．（2021·黑龙江鹤岗市·中考真题）如图，在中，，，，以点为圆心，3为半径的，与交于点，过点作交于点，点是边上的顶点，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】 延长CO，交于一点E，连接PE，由题意易得，，则有，CP=