数学模型-第06章(第五版).pptx

差分方程若干离散点上未知变量数值的方程.,描述离散时间段上客观对象的动态变化过程.,现实世界中随时间连续变化的动态过程的近似.,差分方程与代数方程都是离散模型的数学表述，二者有着类似的向量-矩阵表达形式，求解过程也存在相互联系.,第六章 差分方程与代数方程模型,6.1 贷款购房6.2 管住嘴迈开腿6.3 市场经济中的物价波动6.4 动物的繁殖与收获6.5 信息传播6.6 原子弹爆炸的能量估计6.7 CT技术的图像重建6.8 等级结构6.9 中国人口增长预测,每月还多少钱,贷款购房需考虑的问题,买多大的房子,一共贷多少钱,网上的房贷计算器,轻击鼠标即得,输入必要信息,贷款购房最简单的差分方程模型,6.1 贷款购房,单利和复利,单利 万元存5年定期,年利率4.75%,到期后本息(本金加利息)：10000(1+0.04755)=12375元.,两种计算利息的基本方式,复利 万元存1年定期,年利率为3%,到期不取则自动转存,5年后本息：10000(1+0.03)5=11593元.,利滚利！,复利本息：(1+r)n,单位本金、同一利率r、同一存期n计算单利和复利：,单利本息：1+nr,1+nr,零存整取 每月固定存额，约定存款期限，到期一次支取本息的定期储蓄.,按单利计算的业务零存整取,单利和复利,方式：5元起存，多存不限，存期1年、3年、5年.,勤俭节约、科学理财,例 每月存入3000元，存期年（年利率3.5%）,零存整取 计算器,累计存入金额180,000元到期本息总额196,012.50元,单利和复利,按单利计算的业务零存整取,a每月存入金额,r 月利率,n 存期(月),xk 存入k个月后的本息,k=n递推至k=,a=3000,r=0.035/12,n=125(月),x1=a+ar,xk=xk-1+a+akr,k2,3,n,x2=x1+a+a2r,xn=na+ar(1+2+n),=na+ar(+),等额本息贷款和等额本金贷款,房贷计算器的选项,贷款类别：商业贷款,公积金,组合型,年利率不同,计算方法：根据贷款总额或面积、单价计算.,按揭年数：可选至30年.选择20年.,银行利率：基准利率、利率上限或下限.选择商业 贷款的基准利率6.55%.,还款方式：等额本息还款或等额本金还款.,等额本息贷款和等额本金贷款,例1“房贷计算器”选择等额本息还款,输入:商业贷款总额100万元,期限20年,年利率6.55%.,建立等额本息还款方式的数学模型,并作数值计算,等额本息还款每月归还本息(本金加利息)数额相同.,等额本金还款每月归还本金数额相同,加上所欠本金的利息.,点击“开始计算”得:还款总额1796447.27元,月均还款7485.2元.,等额本息还款模型,a每月还款金额,x0 贷款总额,r 月利率,n 贷款期限(月),xk 第k月还款后尚欠金额,xk=xk-1(1+r)a,k1,2,n,k=n递推至k=,贷款到期时xn=0,xn=x0(1+r)na1+(1+r)+(1+r)n-1,=x0(1+r)na(1+r)n(1+r)n1,本月欠额=上月欠额的本息还款金额,等额本息还款模型,A1 还款总额,a每月还款金额,x0 贷款总额,r 月利率,n 贷款期限(月),例1 x0=100(万元),r=0.0655/12,n=1220=240(月),与房贷计算器给出的相同,例“房贷计算器”选择等额本金还款,输入:商业贷款总额100万元,期限20年,年利率6.55%.,等额本息贷款和等额本金贷款,建立等额本金还款方式的数学模型,并作数值计算.,点击“开始计算”得到:还款总额1657729.17元,每月还款金额由第月的9625元逐月递减,最后月为4189.41元.,等额本金还款模型,x0 贷款总额,r 月利率,n 贷款期限(月),xk 第k月还款金额,还款金额逐月减少归还本金x0/n所产生的利息x0r/n,每月归还本金x0/n,第1月还款金额,k=n递推至k=2,等额本金还款模型,x0 贷款总额,r 月利率,n 贷款期限(月),xk 第k月还款金额,A2 还款总额,例2 x0=100(万元),r=0.0655/12,n=1220=240(月),与房贷计算器给出的相同,等额本息与等额本金方式的比较,等额本息方式简单，便于安排收支.,等额本金方式每月还款金额前期高于等额本息方式,后期低于等额本息方式,适合当前收入较高人群.,等额本息方式还款总额大于等额本金方式.,等额本息方式前期还款额较少,所欠本息的利息逐月归还,所以利息总额较大.,例1 例2：A1=1796447.27(元),A2=1657729.17(元).,模型适用于任何还款周期(半月、一季度等)将公布的年利率折换为一个还款周期的利率.,小结与评注,贷款购房两种基本还款方式：等额本息、等额本金.,要点:明确利息计算,列出差分方程,利用递推关系.,不同还款周期一次还款金额和还款总额都不一样.,周期越短还款总额越小？,测评体重的标准体重指数(BMI Body Mass Index),BMI=w/l2，w体重(kg),l身高(m).,例.l=1.70m,w=63.5 kg,多数减肥食品达不到减肥效果，或不能维持.,通过控制饮食和适当运动，在不伤害身体的 前提下，达到减轻体重并得以控制的目的.,标准的身材!,6.2 管住嘴迈开腿,模型分析,人体通过食物摄入热量,通过代谢和运动消耗热量.,二者平衡,体重不变.,分析对热量的吸收和消耗,建立体重变化规律的模型.,平衡被破坏则体重变化.,减肥计划应以不伤害身体为前提.,增加运动量是加速减肥的有效手段.,以周为时间单位制订减肥计划.,1）体重增加正比于吸收的热量,平均8000kcal 增加体重1kg.,2）代谢引起的体重减少正比于体重,每周每千克 体重消耗200 320kcal(因人而异).,3）运动引起的体重减少正比于体重,且与运动 形式和运动时间有关.,模型假设,4）为了安全与健康,每周吸收热量10000kcal,且每周 减少量1000kcal;每周体重减少量 1.5kg.,调查资料,