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第一章 函数、极限和连续,第一节 函数,第一节 函数,一、函数概念,以点a 为中心的任何开区间称为点a 的邻域,记为U(a).,1、邻域,因变量,自变量,数集D叫做这个函数的定义域,2、函数的定义,自变量,因变量,对应法则f,函数的两要素:,定义域与对应法则.,约定:定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值.,定义:,如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫与多值函数,3、函数的表示法,解析法：用解析表达式表示函数关系,表格法：用列表的方法来表示函数关系,图示法：用平面直角坐标系上的曲线来表示函数关系,(1)符号函数,几个特殊的函数举例,(2)取整函数 y=xx表示不超过 的最大整数,阶梯曲线,(3)狄利克雷函数,(4)取最值函数,显函数：函数关系用解析式 表示的称为显函数，如.分段函数：有些函数，对于其定义域内自变量 的不同值，函数不能用一个统一的公式表示，而要用两个或两个以上的公式来表示，这类函数称为分段函数.隐函数：函数 与自变量 的对应法则用一个方程 表示的函数，如.,4、显函数，分段函数，隐函数,二、函数的性质,1函数的单调性,则称函数 f(x)在区间I上是单调增加的.,则称函数 f(x)在区间I上是单调减少的.,单调性的判定方法：（1）用函数单调的定义判定。（2）用函数的导数符号判定，在某区间内导数大于 零，则函数在该区间内单调增加。,2函数的奇偶性,偶函数,图象关于 y 轴对称,称 f(x)为偶函数。,称 f(x)为奇函数,奇函数,图象关于原点对称,性质,(1)若 f(x)在 x=0 有定义,f(x)为奇函数时,必有f(0)=0.,则当,(2)有时利用f(x)+f(-x)=0 是判断一个函数为奇函数的 有效方法.,(3)偶+偶=偶，奇+奇=奇，偶偶=偶，奇奇=偶，奇偶=奇.,(4)定义在关于原点对称的区间上的函数=奇函数+偶函数,(5)具有奇偶性的函数,可简化微积分的运算(后续).,3函数的周期性,（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.,周期为,周期为,注(1)周期函数不一定存在最小正周期.,例如 常量函数,狄里克雷函数,x 为有理数,x 为无理数,注(2)周期函数还有一些有用的微积分性质，以后逐渐学到.,4.函数的有界性,上界,下界,(1)定义,则称函数 f(x)在X上有界.否则称无界.,有界,无界,结论,f(x)在X上无界,注具有“有界”性质的函数是一类重要的函数.因为有界是数列收敛的必要条件,是各类积分存在的必要条件.,三、反函数,y=f(x)直接函数,直接反函数,