人A数学选择性必修三.DOC

第六章 计数原理 6．1　分类加法计数原理与分步乘法计数原理 第一课时　分类加法计数原理与分步乘法计数原理 知识点一　分类加法计数原理 (一)教材梳理填空 　 [微思考] 　若完成一件事情有n类不同的方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法……在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？ 提示：共有m1＋m2＋…＋mn种不同的方法． (二)基本知能小试 1．判断正误 (1)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能完成这件事．(　　) (2)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．(　　) 答案：(1)√　(2)× 2．从3名女同学和2名男同学中选出一人主持本班一次班会，则不同的选法种数为(　　) A．6　　　　　　　　　　 B．5 C．3 D．2 答案：B 3．从A地到B地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具，如果一天内汽车发3次，火车发4次，轮船发2次，那么一天内乘坐这三种交通工具的不同走法数为________． 解析：分三类：第一类，乘汽车，从3次中选1次有3种走法；第二类，乘火车，从4次中选1次有4种走法；第三类，乘轮船，从2次中选1次有2种走法．所以，共有3＋4＋2＝9种不同的走法． 答案：9 知识点二　分步乘法计数原理 (一)教材梳理填空 　 [微思考] 　完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法，则完成这件事共有多少种不同的方法？ 提示：共有m1×m2×…×mn种不同的方法． (二)基本知能小试 1．判断正误 (1)在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事．(　　) (2)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．(　　 ) 答案： (1)×　(2)√ 2．已知x∈{2,3,7}，y∈{－3，－4,8}，则x·y可表示不同的值的个数为(　　) A．10 B．6 C．8 D．9 解析：选D　因为x从集合{2,3,7}中任取一个值共有3个不同的值，y从集合{－3，－4,8}中任取一个值共有3个不同的值，故x·y可表示3×3＝9个不同的值． 3．某商场共有4个门，购物者若从任意一个门进，从任意一个门出，则不同走法的种数是________． 解析：不同的走法可以看作是两步完成的，第一步是进门，共有4种；第二步是出门，共有4种．由分步乘法计数原理知共有4×4＝16(种)． 答案：16 题型一　分类加法计数原理 [学透用活] [典例1]　在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数为__________． [解析]　法一：根据题意，将十位上的数字按1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别是8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个．由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个)． 法二：分析个位数字，可分以下几类： 个位是9，则十位可以是1,2,3，…，8中的一个，故共有8个； 个位是8，则十位可以是1,2,3，…，7中的一个，故共有7个； 同理，个位是7的有6个； …… 个位是2的有1个． 由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个)． [答案]　36 [方法技巧] 利用分类加法计数原理计数时的解题流程 [提醒]　确定分类标准时要确保每一类都能独立的完成这件事． [对点练清] 1．[变条件]若本例条件变为个位数字小于十位数字且为偶数，那么这样的两位数有多少个？ 解：当个位数字是8时，十位数字取9，只有1个． 当个位数字是6时，十位数字可取7,8,9，共3个． 当个位数字是4时，十位数字可取5,6,7,8,9，共5个． 同理可知，当个位数字是2时，共7个， 当个位数字是0时，共9个． 由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有1＋3＋5＋7＋9＝25(个)． 2．某校高三共有三个班，其各班人数如下表： 班级 男生人数 女生人数 总人数 高三1班 30 20 50 高三2班 30 30 60 高三3班 35 20 55 (1)从三个班中选一名学生担任学生会主席，有多少种不同的选法？ (2)从1班、2班男生中或从3班女生中选一名学生担任学生会生活部部长，有多少种不同的选法？ 解：(1)从三个班中任选一名学生，可分三类： 第一类，从1班任选一名学生，有50种不同选法； 第二类，从2班任选一名学生，有60种不同选法； 第三类，从3班任选一名学生，有55种不同选法． 由分类加法计数原理知，不同的选法种数为 N＝50＋60＋55＝165. (2)由题设知共有三类方案： 第一类，从1班男生中任选一名学生，有30种不同选法； 第二类，从2班男生中任选一名学生，有30种不同选法； 第三类，从3班女生中任选一名学生，有20种不同选法． 由分类加法计数原理知，不同的选法种数为 N＝30＋30＋20＝80. 题型二　分步乘法计数原理 [学透用活] [典例2]　从－2，－1,0,1,2,3这六个数字中任选3个不重复的数字作为二次函数y＝ax2＋bx＋c的系数a，b，c，则可以组成抛物线的条数为多少？ [解]　由题意知a不能为0，故a的值有5种选法； b的值也有5种选法；c的值有4种选法． 由分步乘法计数原理得，可以组成抛物线的条数为5×5×4＝100(条)． [方法技巧] 利用分步乘法计数原理计数时的解题流程 [提醒]　分步时要注意不能遗漏步骤，否则就不能完成这件事． [对点练清] 1．[变设问]若本例中的二次函数图象开口向下，则可以组成多少条抛物线？ 解：需分三步完成，第一步确定a有2种方法，第二步确定b有5种方法，第三步确定c有4种方法，故可组成2×5×4＝40条抛物线． 2．[变条件、变设问]若从本例的六个数字中选2个作为椭圆＋＝1的参数m，n，则可以组成椭圆的个数是多少？ 解：据条件知m>0，n>0，且m≠n，故需分两步完成，第一步确定m，有3种方法，第二步确定n，有2种方法，故可以组成椭圆的个数为3×2＝6(个)． 3．已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，P(a，b)(a，b∈M)表示平面上的点．问： (1)点P可表示平面上多少个不同的点？ (2)点P可表示平面上第二象限内多少个不同的点？ 解：(1)确定平面上的点P(a，b)，可分两步完成：第1步确定a的值，有6种不同的结果；第2步确定b的值，也有6种不同的结果．根据分步乘法计数原理，得到点P可表示平面上不同点的个数为6×6＝36. (2)确定平面上第二象限内的点P(a，b)，可分两步完成：第1步确定a的值，由于a<0，所以有3种不同的结果；第2步确定b的值，由于b>0，所以有2种不同的结果．由分步乘法计数原理，得到点P可表示平面上第二象限内不同的点的个数为3×2＝6. 题型三　两个计数原理的简单综合应用 [探究发现] 如何区分一个问题是“分类”还是 “分步”？ 提示：如果完成这件事，可以分几种情况，每种情况中任何一种方法都能完成任务，则是分类；而从其中一种情况中任取一种方法只能完成一部分任务，且只有依次完成各种情况，才能完成这件事，则是分步． [学透用活] [典例3]　王华同学有课外参考书若干本，其中有5本不同的外语书，4本不同的数学书，3本不同的物理书，他欲带参考书到图书馆阅读． (1)若他从这些参考书中带1本去图书馆，有多少种不同的带法？ (2)若带外语、数学、物理参考书各1本，有多少种不同的带法？ [解]　(1)要完成的事情是带1本参考书，无论是带外语书，还是带数学书、物理书，事情都可完成，从而根据分类加法计数原理，共有5＋4＋3＝12种不同的带法． (2)要完成的事情是带3本不同学科的参考书，只有从外语、数学、物理书中各选1本后，才能完成这件事，因此根据分步乘法计数原理，共有5×4×3＝60种不同的带法． [方法技巧] 利用两个计数原理解题时的三个注意点 (1)当题目无从下手时，可考虑要完成的这件事是什么，即怎样做才算完成这件事，然后给出完成这件事的一种或几种方法，从这几种方法中归纳出解题方法． (2)分类时标准要明确，做到不重不漏，有时要恰当画出示意图或树状图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律． (3)综合问题一般是先分类再分步． [对点练清] 某电视台的主持人在某综艺节目中拿出两个信箱，其中放着竞猜中成绩优秀的观众来信，甲箱中有30封，乙箱中有20封，现由主持人抽奖确定幸运观众，若先从中确定一名幸运之星，再从两箱中各确定一名幸运观众，则有多少种不同结果？ 解：①若幸运之星在甲箱中抽取， 则有30×29×20＝17 400种不同的结果； ②若幸运之星在乙箱中抽取， 则有20×19×30＝11 400种不同的结果． 故共有17 400＋11 400＝28 800种不同结果． [课堂思维激活] 一、综合性——强调融会贯通 1．小明、小红两位同学分别解“从{－3，－2，－1,0,1,2,3}中任取3个不同的数作为抛物线方程y＝ax2＋bx＋c的系数，如果抛物线经过原点，且顶点在第一象限，那么这样的抛物线的条数是________”的过程如下： 小明： 因为抛物线经过原点， 所以c＝0，从而可知c只有一种取值． 又抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点在第一象限， 所以由c＝0，解得a<0，b>0， 所以a∈{－3，－2，－1}，b∈{1,2,3}． 满足条件的抛物线可由a，b，c确定． a有3种取法，b有3种取法，c只有1种取法． 由分类加法计数原理知， 表示不同的抛物线有N＝3＋3＋1＝7条． 答案：7 小红： 因为抛物线经过原点， 所以c＝0，从而可知c只有1种取值． 又抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点在第一象限， 所以顶点坐标满足 由c＝0，解得a<0，b>0， 所以a∈{－3，－2，－1}，b∈{1,2,3}， 这样要求的抛物线的条数可由a，b，c的取值来确定． 第一步，确定a的值，有3种方法； 第二步，确定b的值，有3种方法； 第三步，确定c的值，有1种方法． 由分步乘法计数原理知，表示不同的抛物线有 N＝3×3×1＝9条． 答案：9 试判断以上两位同学的解析是否正确，原因何在？ 提示：小明错误，小红正确．错误的根本原因是不能分清对完成一件事的方法是分类还是对过程分步，要正确理解两个原理，仔细审题，弄清是分类还是分步． 二、创新性——强调创新意识和创新思维 2．定义集合A与B之间的运算A*B＝{(x，y)|x∈A，y∈B}．若A＝{a，b，c}，B＝{a，c，d，e}，则集合A*B中的元素个数为________． 解析：确定有序数对(x，y)需要两个步骤，第一步，确定x的值，有3种不同的方法，第二步，确定y的值，有4种不同的方法，所以集合A*B中的元素个数为3×4＝12. 答案：12 [课下过关检测] 1．甲、乙两个班级分别有29名、30名学生，从两个班中选一名学生，则(　　) A．有29种不同的选法 B．有30种不同的选法 C．有59种不同的选法 D．有29×30种不同的选法 解析：选C　分两类：第一类从甲班选有29种方法，第二类从乙班选有30种方法．由分类加法计数原理得共有29＋30＝59种不同方法．故选C. 2．已知x∈{2,3,7}，y∈{－31，－24,4}，则(x，y)可表示不同的点的个数是(　　) A．1　　　　　　　　　 B．3 C．6 D．9 解析：选D　这件事可分为两步完成：第一步，在集合{2,3,7}中任取一个值x有3种方法；第二步，在集合{－31，－24,4}中任取一个值y有3种方法．根据分步乘法计数原理知，有3×3＝9个不同的点． 3．从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋bi，其中虚数有(　　) A．30个 B．42个 C．36个 D．35个 解析：选C　要完成这件事可分两步，第一步确定b(b≠0)有6种方法，第二步确定a有6种方法，故由分步乘法计数原理知共有6×6＝36个虚数． 4．若5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，则不同的报名方法共有(　　) A．10种 B．20种 C．25种 D．32种 解析：选D　5位同学依次报名，每人均有2种不同的选择，所以共有2×2×2×2×2＝32种报名方法． 5．小红有4件不同颜色的衬衣，3件不同花样的裙子，另有2套不同样式的连衣裙．“五一”节需选择一套服装参加歌舞演出，则小红选择穿的不同的衣服有(　　) A．24种 B．14种 C．10种 D．9种 解析：选B　首先分两类．第一类是穿衬衣和裙子，由分步乘法计数原理知共有4×3＝12种；第二类是穿连衣裙有2种．所以由分类加法计数原理知共有12＋2＝14种穿衣服的方式． 6．一学习小组有4名男生、3名女生，任选一名学生当数学课代表，共有________种不同选法；若选男女生各一名当组长，共有________种不同选法． 解析：任选一名当数学课代表可分两类，一类是从男生中选，有4种选法；另一类是从女生中选，有3种选法．根据分类加法计数原理，不同选法共有4＋3＝7(种)． 若选男女生各一名当组长，需分两步：第1步，从男生中选一名，有4种选法；第2步，从女生中选一名，有3种选法．根据分步乘法计数原理，不同选法共有4×3＝12(种)． 答案：7　12 7．某学生去书店，发现3本好书，决定至少买其中一本，则购买方式共有________种． 解析：分3类：买1本好书，买2本好书和买3本好书，各类的购买方式依次有3种、3种和1种，故购买方式共有3＋3＋1＝7(种)． 答案：7 8．直线方程Ax＋By＝0，若从0,1,2,3,5,7这6个数字中每次取两个不同的数作为A，B的值，则可表示________条不同的直线． 解析：若A或B中有一个为零时，有2条；当AB≠0时，有5×4＝20条，则共有20＋2＝22(条)， 即所求的不同的直线共有22条． 答案：22 9．某公园休息处东面有8个空闲的凳子，西面有6个空闲的凳子，小明与爸爸来这里休息． (1)若小明爸爸任选一个凳子坐下(小明不坐)，有几种坐法？ (2)若小明与爸爸分别就座，有多少种坐法？ 解：(1)小明爸爸选凳子可以分两类： 第一类：选东面的空闲凳子，有8种坐法； 第二类：选西面的空闲凳子，有6种坐法． 根据分类加法计数原理，小明爸爸共有8＋6＝14种坐法． (2)小明与爸爸分别就座，可以分两步完成： 第一步，小明先就座，从东西面共8＋6＝14个空闲凳子中选一个坐下，共14种坐法(小明坐下后，空闲凳子数变成13)； 第二步，小明爸爸再就座，从东西面共13个空闲凳子中选一个坐下，共13种坐法． 由分步乘法计数原理，小明与爸爸分别就座共有14×13＝182种坐法． 10．已知a∈{1,2,3}，b∈{4,5,6,7}，r∈{8,9}，则方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2可表示多少个不同的圆？ 解：完成表示不同的圆这件事，可以分为三步： 第一步：确定a有3种不同的选取方法； 第二步：确定b有4种不同的选取方法； 第三步：确定r有2种不同的选取方法． 由分步乘法计数原理，方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2可表示不同的圆共有3×4×2＝24(个)． 1．如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为(　　) A．24 B．18 C．12 D．9 解析：选B　由题意可知，E→F有6种走法，F→G有3种走法，由分步乘法计数原理知，共有6×3＝18种走法． 2.如图，一条电路从A处到B处接通时，可构成线路的条数为(　　) A．8 B．6 C．5 D．3 解析：选B　从A处到B处的电路接通可分两步：第一步，前一个并联电路接通有2条线路；第二步，后一个并联电路接通有3条线路．由分步乘法计数原理知电路从A处到B处接通时，可构成线路的条数为2×3＝6，故选B. 3．已知集合A＝{0,3,4}，B＝{1,2,7,8}，集合C＝{x|x∈A或x∈B}，则当集合C中有且只有一个元素时，C的情况有________种． 解析：分两种情况：当集合C中的元素属于集合A时，有3种；当集合C中的元素属于集合B时，有4种．因为集合A与集合B无公共元素，所以集合C的情况共有3＋4＝7(种)． 答案：7 4．从集合{1,2,3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列有多少个？ 解：当公比为2时，等比数列可为1,2,4；2,4,8；当公比为3时，等比数列可为1,3,9；当公比为时，等比数列可为4,6,9.同时，4,2,1；8,4,2；9,3,1和9,6,4也是等比数列，共8个． 5．标号为A，B，C的三个口袋，A袋中有1个红色小球，B袋中有2个不同的白色小球，C袋中有3个不同的黄色小球，现从中取出2个小球． (1)若取出的两个球的颜色不同，有多少种取法？ (2)若取出的两个小球颜色相同，有多少种取法？ 解：(1)若两个球颜色不同，则应在A，B袋中各取1个，或A，C袋中各取1个，或B，C袋中各取1个，共有1×2＋1×3＋2×3＝11种取法． (2)若两个球颜色相同，则应在B袋中取出两个，或在C袋中取出两个，共有1＋3＝4种取法． 第二课时　分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用 题型一　数字排列组数问题 [学透用活] [典例1]　用0,1,2,3,4五个数字， (1)可以排成多少个三位数？ (2)可以排出多少个三位数字的电话号码？ (3)可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？ [解]　(1)三位数的首位不能为0，但可以有重复数字，首先考虑首位的排法，除0外共有4种排法，第二、三位可以排0，因此，共有4×5×5＝100个． (2)三位数字的电话号码，首位可以是0，数字也可以重复，每个位置都有5种排法，共有5×5×5＝53＝125个． (3)被2整除的数即偶数，末位数字可取0,2,4，因此，可以分两类，一类是末位数字是0，则有4×3＝12种排法；一类是末位数字不是0，则末位有2种排法，即2或4，再排首位，因0不能在首位，所以有3种排法，十位有3种排法，因此有2×3×3＝18种排法．因而有12＋18＝30种排法，即可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数． [方法技巧] 解决组数问题的方法 (1)对于组数问题，一般按特殊位置(一般是末位和首位)优先的方法分类或分步完成；如果正面分类较多，可采用间接法从反面求解． (2)解决组数问题，应特别注意其限制条件，有些条件是隐藏的，要善于挖掘．排数时，要注意特殊元素、特殊位置优先的原则． [提醒]　 数字“0”不能排在两位数字或两位数字以上的数的最高位． [对点练清] 1．[变设问]在本例条件下，可以排成多少个无重复数字的四位奇数？ 解：完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事，可以分四步：第一步定个位，只能从1,3中任取一个，有2种方法；第二步定首位，把1,2,3,4中除去用过的一个还有3个可任取一个，有3种方法；第三步，第四步把剩下的包括0在内的还有3个数字先排百位有3种方法，再排十位有2种方法．由分步乘法计数原理知共有2×3×3×2＝36个． 2．[变设问]在本例条件下，可以排成多少个能被3整除的四位数？ 解：一个四位数能被3整除，必须各位上数字之和能被3整除，故组成四位数的四个数字只能是0,1,2,3或0,2,3,4两类．所以满足题设的四位数共有2×3×3×2×1＝36个． 题型二　选(抽)取与分配问题 [学透用活] [典例2]　在7名学生中，有3名会下象棋但不会下围棋，有2名会下围棋但不会下象棋，另2名既会下象棋又会下围棋，现在从7人中选2人分别参加象棋比赛和围棋比赛，共有多少种不同的选法？ [解]　法一：分四类：第1类，从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛，同时从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛，有选法3×2＝6(种)； 第2类，从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛，同时从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛，有选法3×2＝6(种)； 第3类，从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛，同时从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加象棋比赛，有选法2×2＝4(种)； 第4类，从2名既会下象棋又会下围棋的学生中各选1名分别参加象棋比赛和围棋比赛，有选法2×1＝2(种)． 故不同的选法共有6＋6＋4＋2＝18(种)． 法二：分两类：第1类，从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛，这时7人中还有4人会下围棋，从中选1名参加围棋比赛．有选法3×4＝12(种)． 第2类，从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选一名参加象棋比赛，这时7人中还有3人会下围棋，从中选1名参加围棋比赛．有选法2×3＝6(种)． 故不同的选法共有12＋6＝18(种)． [方法技巧] 解决抽取(分配)问题的方法 (1)当涉及对象数目不大时，一般选用枚举法、树状图法、框图法或者图表法． (2)当涉及对象数目很大时，一般有两种方法： ①直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理．一般地，若抽取是有顺序的就按分步进行；若按对象特征抽取的，则按分类进行． ②间接法：去掉限制条件计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可． [对点练清] 某班有3名学生准备参加校运会的100米、200米、跳高、跳远四项比赛，如果每班每项限报1人，那么这3名学生的参赛的不同方法有(　　) A．24种　　　　　　　 B．48种 C．64种 D．81种 解析：选A　由于每班每项限报1人，故当前面的学生选了某项之后，后面的学生不能再报，由分步乘法计数原理，共有4×3×2＝24种不同的参赛方法． [课堂思维激活] 一、综合性——强调融会贯通 1．求用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数． 解：要求无重复数字的四位偶数，首先排个位数字，在2和4中取一个，有2种排法；然后排前三位，在剩余的四个数字中取3个数字依次排上，共有4×3×2＝24种排法，由分步乘法计数原理知，符合条件的偶数共有2×24＝48个． 二、应用性——强调学以致用 2.如图所示，在A，B间有四个焊接点1,2,3,4，若焊接点脱落导致断路，则电路不通，今发现A，B之间电路不通，则焊接点脱落的不同情况有________种． [析题建模] →→ 解析：按照可能脱落的个数分类讨论． 若脱落1个，则有(1)，(4)2种情况； 若脱落2个，则有(1,4)，(2,3)，(1,2)，(1,3)，(4,2)，(4,3)6种情况； 若脱落3个，则有(1,2,3)，(1,2,4)，(2,3,4)，(1,3,4)4种情况； 若脱落4个，则有(1,2,3,4)1种情况． 综上，共有2＋6＋4＋1＝13种情况． 答案：13 三、创新性——强调创新意识和创新思维 3．定义“规范01数列”{an}如下：{an}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，ak中0的个数不少于1的个数．若m＝4，则不同的“规范01数列”共有(　　) A．18个　　　　　　　　 B．16个 C．14个 D．12个 解析：选C　由题意必得a1＝0，a8＝1，具体情况如下： 00001111,00010111,00011011,00011101,00100111,00101011,00101101,00110011,00110101,01000111,01001011,01001101,01010011,01010101，共14个． [课下过关检测] 1．由数字0,1,2,3,4可组成无重复数字的两位数的个数是(　　) A．25　　　　　　　　 B．20 C．16 D．12 解析：选C　分两步：先选十位，再选个位，可组成无重复数字的两位数的个数为4×4＝16. 2．把3封信投到4个信箱，所有可能的投法共有(　　) A．24种 B．4种 C．43种 D．34种 解析：选C　第1封信投到信箱中有4种投法；第2封信投到信箱中也有4种投法；第3封信投到信箱中也有4种投法，只要把这3封信投完，就做完了这件事情，由分步乘法计数原理可得共有43种方法． 3．集合P＝{x,1}，Q＝{y,1,2}，其中x，y∈{1,2,3，…，9}，且P⊆Q.把满足上述条件的一对有序整数对(x，y)作为一个点的坐标，则这样的点的个数是(　　) A．9 B．14 C．15 D．21 解析：选B　因为P＝{x,1}，Q＝{y,1,2}，且P⊆Q， 所以x∈{y,2}． 所以当x＝2时，y＝3,4,5,6,7,8,9，有7种情况； 当x＝y时，x＝3,4,5,6,7,8,9，有7种情况． 共有7＋7＝14种情况．即这样的点的个数为14. 4．从1,2,3,4,5五个数中任取3个，可组成不同的等差数列的个数为(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 解析：选D　第一类，公差大于0，有①1,2,3，②2,3,4，③3，4,5，④1,3,5，共4个等差数列；第二类，公差小于0，也有4个．根据分类加法计数原理可知，共有4＋4＝8个不同的等差数列． 5．某市汽车牌照号码可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母B，C，D中选择，其他四个号码可以从0～9这十个数字中选择(数字可以重复)，有位车主上网自编号码，第一个号码(从左到右)想在数字3,5,6,8,9中选择，其他号码想在1,3,6,9中选择，则他的车牌号码的所有可能情况有(　　) A．180种 B．360种 C．720种 D．960种 解析：选D　按照车主的要求，从左到右第一个号码有5种选法，第二个号码有3种选法，其余三个号码各有4种选法．因此车牌号码的所有可能情况有5×3×4×4×4＝960(种)． 6．如图所示，从点A沿圆或三角形的边运动到点C，则不同的走法有________种． 解析：由A直接到C有2种不同的走法，由A经点B到C有2×2＝4种不同的走法．因此由分类加法计数原理知，共有2＋4＝6种不同的走法． 答案：6 7．甲、乙、丙3个班各有3,5,2名三好学生，现准备推选2名来自不同班的三好学生去参加校三好学生代表大会，共有________种推选方法． 解析：分为三类：①甲班选1名，乙班选1名，根据分步乘法计数原理，有3×5＝15(种)选法；②甲班选1名，丙班选1名，根据分步乘法计数原理，有3×2＝6(种)选法；③乙班选1名，丙班选1名，根据分步乘法计数原理，有5×2＝10(种)选法．综上，根据分类加法计数原理，共有15＋6＋10＝31(种)推选方法． 答案：31 8．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面．不同的安排方法共有________种． 解析：分三类：若甲在周一，则乙、丙有4×3＝12种排法； 若甲在周二，则乙、丙有3×2＝6种排法； 若甲在周三，则乙、丙有2×1＝2种排法． 所以不同的安排方法共有12＋6＋2＝20种． 答案：20 9．3个不同的小球放入5个不同的盒子，每个盒子至多放一个小球，共有多少种方法？ 解：法一：(以小球为研究对象)分三步来完成： 第一步：放第一个小球有5种选择； 第二步：放第二个小球有4种选择； 第三步：放第三个小球有3种选择． 根据分步乘法计数原理得：共有方法数N＝5×4×3＝60. 法二：(以盒子为研究对象)盒子标上序号1,2,3,4,5，分成以下10类： 第一类：空盒子标号为(1,2)：选法有3×2×1＝6(种)； 第二类：空盒子标号为(1,3)：选法有3×2×1＝6(种)； 第三类：空盒子标号为(1,4)：选法有3×2×1＝6(种)； 分类还有以下几种情况：空盒子标号分别为(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10类，每一类都有6种方法． 根据分类加法计数原理得，共有方法数N＝6＋6＋…＋6＝60. 10．现有高一学生50人，高二学生42人，高三学生30人，组成冬令营． (1)若从中选1人作总负责人，共有多少种不同的选法？ (2)若每年级各选1名负责人，共有多少种不同的选法？ (3)若从中推选两人作为中心发言人，要求这两人要来自不同的年级，则有多少种选法？ 解：(1)从高一选1人作总负责人有50种选法； 从高二选1人作总负责人有42种选法； 从高三选1人作总负责人有30种选法． 由分类加法计数原理， 可知共有50＋42＋30＝122种选法． (2)从高一选1名负责人有50种选法； 从高二选1名负责人有42种选法； 从高三选1名负责人有30种选法． 由分步乘法计数原理， 可知共有50×42×30＝63 000种选法． (3)①从高一和高二各选1人作为中心发言人， 有50×42＝2 100种选法； ②从高二和高三各选1人作为中心发言人， 有42×30＝1 260种选法； ③从高一和高三各选1人作为中心发言人， 有50×30＝1 500种选法． 综上，共有2 100＋1 260＋1 500＝4 860种选法． 1．在由0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中，能被5整除的有(　　) A．512个 B．192个 C．240个 D．108个 解析：选D　能被5整除的四位数，可分为两类：一类是末位为0，由分步乘法计数原理，共有5×4×3＝60个．另一类是末位为5，由分步乘法计数原理，共有4×4×3＝48个．由分类加法计数原理得所求的四位数共有60＋48＝108个． 2．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法有(　　) A．24种 B．18种 C．12种 D．6种 解析：选B　法一：(直接法)若黄瓜种在第一块土地上，则有3×2＝6种不同的种植方法．同理，黄瓜种在第二块、第三块土地上均有3×2＝6种不同的种植方法．故不同的种植方法共有6×3＝18种． 法二：(间接法)从4种蔬菜中选出3种种在三块地上，有4×3×2＝24种方法，其中不种黄瓜有3×2×1＝6种方法，故共有不同的种植方法24－6＝18种． 3．从集合{1,2,3，…，11}中任选2个元素作为椭圆方程＋＝1中的m和n，则落在矩形区域B＝{(x，y)||x|＜11且|y|＜9}内的椭圆个数为________． 解析：根据题意，知当m＝1时，n可等于2,3，…，8，共对应7个不同的椭圆；当m＝2时，n可以等于1,3，…，8，共对应7个不同的椭圆．同理可得，当m＝3,4,5,6,7,8时，各分别对应7个不同的椭圆；当m＝9时，n可以等于1,2，…，8，共对应8个不同的椭圆；当m＝10时，共对应8个不同的椭圆．综上所述，对应的椭圆共有7×8＋8×2＝72(个)． 答案：72 4．如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1＜a2，且a3＜a2，则称这样的三位数为凸数(如120,343,275等)，那么所有凸数的个数是多少？ 解：分8类，当中间数为2时，百位只能选1，个位可选1,0，由分步乘法计数原理，凸数的个数为1×2＝2； 当中间数为3时，百位可选1,2，个位可选0,1,2，由分步乘法计数原理，凸数的个数为2×3＝6；同理可得： 当中间数为4时，凸数的个数为3×4＝12； 当中间数为5时，凸数的个数为4×5＝20； 当中间数为6时，凸数的个数为5×6＝30； 当中间数为7时，凸数的个数为6×7＝42； 当中间数为8时，凸数的个数为7×8＝56； 当中间数为9时，凸数的个数为8×9＝72. 故所有凸数的个数为2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240. 5．用1,2,3,4四个数字可重复的排成三位数，并把这些三位数由小到大排成一个数列{an}． (1)写出这个数列的前11项； (2)若an＝341，求项数n. 解：(1)111,112,113,114,121,122,123,124,131,132,133. (2)比an＝341小的数有两类： ①首位是1或2： 1 × × 　 2 × × ②首位是3： 3 1 × 3 2 × 3 3 × 故共有：2×4×4＋1×3×4＝44(项)． 因此an＝341是该数列的第45项，即n＝45. 6．2　排列与组合 (一)教材梳理填空 (1)排列：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． (2)两个排列相同的充要条件：两个排列的元素完全相同，且元素的排列顺序也相同． (二)基本知能小试 1．判断正误 (1)1,2,3与3,2,1为同一排列．(　　) (2)在一个排列中，同一个元素不能重复出现．(　　) 答案：(1)×　(2)√ 2．下列问题属于排列问题的是(　　) ①从10个人中选2人分别去种树和扫地； ②从10个人中选2人去扫地； ③从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队； ④从数字5,6,7,8中任取两个不同的数作幂运算． A．①④　　　　　　　　 B．①② C．③④ D．①③④ 解析：选A　由排列的定义知①④是排列问题． 3．平面上有5个不同的点A，B，C，D，E，以其中两个点为端点的有向线段共有(　　) A．25条 B．10条 C．20条 D．30条 解析：选C　要解决这个问题，可以分2个步骤完成． 第一步，确定有向线段的起点，在5个字母中任取1个，有5种方法； 第二步，确定有向线段的终点，从余下的4个字母中任取1个，有4种方法． 根据分步乘法计数原理，共可得到5×4＝20(条)不同的有向线段． 4．甲、乙、丙3人排成一列，有几种不同的排法？请列出来． 解：有6种不同的排法：甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲． 题型一　排列的有关概念 [学透用活] [典例1]　判断下列问题是否是排列问题． (1)从1,2,3,4四个数字中，任选两个做加法，其结果有多少种不同的可能？ (2)从1到10这十个自然数中任取两个数组成直角坐标平面内的点的坐标，可得到多少个不同的点的坐标？ (3)从10名同学中任抽2名同学去学校开座谈会，有多少种不同的抽取方法？ (4)某商场有四个大门，若从一个大门进去，购买物品后，再从另一个大门出来，不同的出入方式有多少种？ (5)有红球、黄球、白球各一个，现从这三个小球中任取两个，分别放入甲、乙两个盒子里，有多少种不同的放法？ [解]　 (1)不是．加法运算满足交换律，所以选出的2个元素做加法时，与两个元素的位置无关，所以不是排列问题． (2)是．由于取出的两数组成的点的坐标与哪一个数是横坐标，哪一个数是纵坐标的顺序有关，所以这是一个排列问题． (3)不是．因为任何一种从10名同学中抽取2名同学去学校开座谈会的方式不需要考虑两个人的顺序，所以这不是排列问题．