专题13二次函数综合问题（共40题）-备战2023年中考数学必刷真题考点分类专练（全国通用）【解析版】.docx

备战2023年中考数学必刷真题考点分类专练（全国通用） 专题13二次函数综合问题 一．解答题（共40小题） 1．（2022•孝感）抛物线y＝x2﹣4x与直线y＝x交于原点O和点B，与x轴交于另一点A，顶点为D． （1）直接写出点B和点D的坐标； （2）如图1，连接OD，P为x轴上的动点，当tan∠PDO＝时，求点P的坐标； （3）如图2，M是点B关于抛物线对称轴的对称点，Q是抛物线上的动点，它的横坐标为m（0＜m＜5），连接MQ，BQ，MQ与直线OB交于点E．设△BEQ和△BEM的面积分别为S1和S2，求的最大值． 【分析】（1）令y＝x2﹣4x＝x，求出x的值即可得出点B的坐标，将函数y＝x2﹣4x化作顶点式可得出点D的坐标； （2）过点D作DE⊥y轴于点E，易得tan∠ODE＝，作∠ODG＝∠ODE，则点P为直线DG与x轴的交点；过点O作OG⊥DP于点G，过点G作x轴的垂线，交DE所在直线于点F，交x轴于点H，易证△ODE≌△ODG，△GDF∽△OGH，则DG＝DE＝2，OG＝OE＝4，DG：OG＝DF：HG＝GF：OH，设DF＝t，则HG＝2t，FG＝4﹣2t，OH＝8﹣4t，又OH＝EF，则8﹣4t＝2+t，解得t的值可得出点G的坐标，进而可得直线DG的解析式，令y＝0即可得出点P的坐标； （3）分别过点M，Q作y轴的平行线，交直线OB于点N，K，则S1＝QK（xB﹣xE），S2＝MN（xB﹣xE），由点Q的横坐标为m，可表达，再利用二次函数的性质可得出结论． 【解析】（1）令y＝x2﹣4x＝x， 解得x＝0或x＝5， ∴B（5，5）； ∵y＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4， ∴顶点D（2，﹣4）． （2）如图，过点D作DE⊥y轴于点E， ∴DE＝2，OE＝4， ∴tan∠ODE＝， 作∠ODG＝∠ODE，则点P为直线DG与x轴的交点；过点O作OG⊥DP于点G，过点G作x轴的垂线，交DE所在直线于点F，交x轴于点H， ∴△ODE≌△ODG（AAS）， ∴DG＝DE＝2，OG＝OE＝4， ∵∠OHG＝∠F＝90°，∠OGH+∠DGF＝90°，∠OGH+∠GOH＝90°， ∴∠DGF＝∠GOH， ∴△GDF∽△OGH， ∴DG：OG＝DF：HG＝GF：OH＝1：2， 设DF＝t，则HG＝2t，FG＝4﹣2t，OH＝8﹣4t， ∵∠DEO＝∠F＝∠OHG＝90°， ∴四边形OEFH是矩形， ∴OH＝EF， ∴8﹣4t＝2+t，解得t＝， ∴GH＝，OH＝2+t＝， ∴G（，﹣）． ∴直线DG的解析式为y＝x﹣， 令y＝0，解得x＝5， ∴P（5，0）． （3）∵点B（5，5）与点M关于对称轴x＝2对称， ∴M（﹣1，5）． 如图，分别过点M，Q作y轴的平行线，交直线OB于点N，K， ∴N（﹣1，﹣1），MN＝6， ∵点Q横坐标为m， ∴Q（m，m2﹣4m），K（m，m）， ∴KQ＝m﹣（m2﹣4m）＝﹣m2+5m． ∵S1＝QK（xB﹣xE），S2＝MN（xB﹣xE）， ∴＝＝﹣（m2﹣5m）＝﹣（m﹣）2+， ∵﹣＜0， ∴当m＝时，的最大值为． 【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查二次函数的性质，二次函数上的坐标特征，三角形的面积和三角形相似的判定及性质，解题的关键正确表达两个三角形面积的比． 2．（2022•武汉）抛物线y＝x2﹣2x﹣3交x轴于A，B两点（A在B的左边），C是第一象限抛物线上一点，直线AC交y轴于点P． （1）直接写出A，B两点的坐标； （2）如图（1），当OP＝OA时，在抛物线上存在点D（异于点B），使B，D两点到AC的距离相等，求出所有满足条件的点D的横坐标； （3）如图（2），直线BP交抛物线于另一点E，连接CE交y轴于点F，点C的横坐标为m．求的值（用含m的式子表示）． 【分析】（1）令y＝0，解方程可得结论； （2）分两种情形：①若点D在AC的下方时，过点B作AC的平行线与抛物线交点即为D1．②若点D在AC的上方时，点D1关于点P的对称点G（（0，5），过点G作AC的平行线l交抛物线于点D2，D3，D2，D3符合条件．构建方程组分别求解即可； （3）设E点的横坐标为n，过点P的直线的解析式为y＝kx+b，由，可得x2﹣（2+k）x﹣3﹣b＝0，设x1，x2是方程x2﹣（2+k）x﹣3﹣b＝0的两根，则x1x2＝﹣3﹣b，推出xA•xC＝xB•xE＝﹣3﹣b可得n＝﹣1﹣，设直线CE的解析式为y＝px+q，同法可得mn＝﹣3﹣q推出q＝﹣mn﹣3，推出q＝﹣（3+b）（﹣1﹣）﹣3＝b2+2b，推出OF＝b2+b，可得结论． 【解析】（1）令y＝0，得x2﹣2x﹣3＝0， 解得x＝3或﹣1， ∴A（﹣1，0），B（3，0）； （2）∵OP＝OA＝1， ∴P（0，1）， ∴直线AC的解析式为y＝x+1． ①若点D在AC的下方时， 过点B作AC的平行线与抛物线交点即为D1． ∵B（3，0），BD1∥AC， ∴直线BD1的解析式为y＝x﹣3， 由，解得或， ∴D1（0，﹣3）， ∴D1的横坐标为0． ②若点D在AC的上方时，点D1关于点P的对称点G（（0，5）， 过点G作AC的平行线l交抛物线于点D2，D3，D2，D3符合条件． 直线l的解析式为y＝x+5， 由，可得x2﹣3x﹣8＝0， 解得x＝或， ∴D2，D3的横坐标为，， 综上所述，满足条件的点D的横坐标为0，，． （3）设E点的横坐标为n，过点P的直线的解析式为y＝kx+b， 由，可得x2﹣（2+k）x﹣3﹣b＝0， 设x1，x2是方程x2﹣（2+k）x﹣3﹣b＝0的两根，则x1x2＝﹣3﹣b， ∴xA•xC＝xB•xE＝﹣3﹣b ∵xA＝﹣1， ∴xC＝3+b， ∴m＝3+b， ∵xB＝3， ∴xE＝﹣1﹣， ∴n＝﹣1﹣， 设直线CE的解析式为y＝px+q， 同法可得mn＝﹣3﹣q ∴q＝﹣mn﹣3， ∴q＝﹣（3+b）（﹣1﹣）﹣3＝b2+2b， ∴OF＝b2+b， ∴＝b+1＝（m﹣3）+1＝m． 【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，一元二次方程的根与系数的格线等知识，解题的关键是学会构建一次函数，构建方程组确定交点坐标，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题． 3．（2022•娄底）如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣6与x轴相交于点A、点B，与y轴相交于点C． （1）请直接写出点A，B，C的坐标； （2）点P（m，n）（0＜m＜6）在抛物线上，当m取何值时，△PBC的面积最大？并求出△PBC面积的最大值． （3）点F是抛物线上的动点，作FE∥AC交x轴于点E，是否存在点F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）将x＝0及y＝0代入抛物线y＝x2﹣2x﹣6的解析式，进而求得结果； （2）连接OP，设点P（m，﹣2m﹣6），分别表示出S△POC，S△BOP，计算出S△BOC，根据S△PBC＝S四边形PBOC﹣S△BOC，从而得出△PBC的函数关系式，进一步求得结果； （3）可分为▱ACFE和▱ACEF的情形．当▱ACFE时，点F和点C关于抛物线对称轴对称，从而得出F点坐标；当▱ACED时，可推出点F的纵坐标为6，进一步求得结果． 【解析】（1）当x＝0时，y＝﹣6， ∴C（0，﹣6）， 当y＝0时，x2﹣2x﹣6＝0， ∴x1＝6，x2＝﹣2， ∴A（﹣2，0），B（6，0）； （2）方法一：如图1， 连接OP， 设点P（m，﹣2m﹣6）， ∴S△POC＝xP＝＝3m， S△BOP＝|yP|＝+2m+6）， ∵S△BOC＝＝18， ∴S△PBC＝S四边形PBOC﹣S△BOC ＝（S△POC+S△POB）﹣S△BOC ＝3m+3（﹣+2m+6）﹣18 ＝﹣（m﹣3）2+， ∴当m＝3时，S△PBC最大＝； 方法二：如图2， 作PQ⊥AB于Q，交BC于点D， ∵B（6，0），C（0，﹣6）， ∴直线BC的解析式为：y＝x﹣6， ∴D（m，m﹣6）， ∴PD＝（m﹣6）﹣（﹣2m﹣6）＝﹣+3m， ∴S△PBC＝＝＝﹣（m﹣3）2+， ∴当m＝3时，S△PBC最大＝； （3）如图3， 当▱ACFE时，AE∥CF， ∵抛物线对称轴为直线：x＝＝2， ∴F1点的坐标：（4，﹣6）， 如图4， 当▱ACEF时， 作FG⊥AE于G， ∴FG＝OC＝6， 当y＝6时，x2﹣2x﹣6＝6， ∴x1＝2+2，x2＝2﹣2， ∴F2（2+2，6），F3（2﹣2，6）， 综上所述：F（4，﹣6）或（2+2，6）或（2﹣2，6）． 【点评】本题考查了二次函数及其图象性质，平行四边形的分类等知识，解决问题的关键是正确分类，画出图形，转化条件． 4．（2022•广元）在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过A，B两点，并与x轴的正半轴交于点C． （1）求a，b满足的关系式及c的值； （2）当a＝时，若点P是抛物线对称轴上的一个动点，求△ABP周长的最小值； （3）当a＝1时，若点Q是直线AB下方抛物线上的一个动点，过点Q作QD⊥AB于点D，当QD的值最大时，求此时点Q的坐标及QD的最大值． 【分析】（1）在直线y＝﹣x﹣2中，令x＝0和y＝0可得点A和B的坐标，代入抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）中可解答； （2）连接BC交直线x＝1于点P，利用两点之间线段最短可得出此时△PAB的周长最小，从而可以解答； （3）根据a＝1时，可得抛物线的解析式y＝x2+x﹣2，如图2，过点Q作QF⊥x轴于F，交AB于E，则△EQD是等腰直角三角形，设Q（m，m2+m﹣2），则E（m，﹣m﹣2），表示QE的长，配方后可解答． 【解析】（1）直线y＝﹣x﹣2中，当x＝0时，y＝﹣2， ∴B（0，﹣2）， 当y＝0时，﹣x﹣2＝0， ∴x＝﹣2， ∴A（﹣2，0）， 将A（﹣2，0），B（0，﹣2）代入抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）中，得， ， ∴2a﹣b＝1，c＝﹣2； （2）如图1，当a＝时，2×﹣b＝1， ∴b＝﹣， ∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣x﹣2＝（x﹣1）2﹣， ∴抛物线的对称轴是：x＝1， 由对称性可得C（4，0）， 要使△ABP的周长最小，只需AP+BP最小即可， 如图1，连接BC交直线x＝1于点P， 因为点A与点B关于直线x＝1对称，由对称性可知：AP+BP＝PC+BP＝BC， 此时△ABP的周长最小，所以△ABP的周长为AB+BC， Rt△AOB中，AB＝＝＝2， Rt△BOC中，BC＝＝＝2， ∴△ABP周长的最小值为2+2； （3）当a＝1时，2×1﹣b＝1， ∴b＝1， ∴y＝x2+x﹣2， ∴A（﹣2，0），B（0，﹣2），C（1，0）， ∴OA＝OB， ∴△AOB是等腰直角三角形， ∴∠OAB＝45°， 如图2，过点Q作QF⊥x轴于F，交AB于E，则△EQD是等腰直角三角形， 设Q（m，m2+m﹣2），则E（m，﹣m﹣2）， ∴QE＝（﹣m﹣2）﹣（m2+m﹣2）＝﹣m2﹣2m＝﹣（m+1）2+1， ∴QD＝QE＝﹣（m+1）2+， 当m＝﹣1时，QD有最大值是， 当m＝﹣1时，y＝1﹣1﹣1＝﹣2， 综上，点Q的坐标为（﹣1，﹣2）时，QD有最大值是． 【点评】本题是二次函数综合题，考查了利用待定系数法求抛物线的解析式，二次函数的性质，等腰直角三角形的性质，轴对称﹣最短路线问题等知识，综合性较强，难度适中，利用方程思想，数形结合是解题的关键． 5．（2022•宿迁）如图，二次函数y＝x2+bx+c与x轴交于O（0，0），A（4，0）两点，顶点为C，连接OC、AC，若点B是线段OA上一动点，连接BC，将△ABC沿BC折叠后，点A落在点A′的位置，线段A′C与x轴交于点D，且点D与O、A点不重合． （1）求二次函数的表达式； （2）①求证：△OCD∽△A′BD； ②求的最小值； （3）当S△OCD＝8S△A'BD时，求直线A′B与二次函数的交点横坐标． 【分析】（1）利用交点式可得二次函数的解析式； （2）①根据两角相等可证明两三角形相似； ②根据△OCD∽△A′BD，得＝，则＝，即的最小值就是的最小值，OC为定值，所以当CD最小为2时，有最小值是； （3）根据面积的关系可得：△OCD∽△A′BD时，相似比为2：1，可得A'B＝AB＝1，作辅助线，构建直角三角形，根据等角的正切可得A'G和BG的长，最后再证明△A'GB∽△QOB，可得OQ的长，利用待定系数法可得A'B的解析式，最后联立方程可得结论． 【解析】（1）解：∵二次函数y＝x2+bx+c与x轴交于O（0，0），A（4，0）两点， ∴二次函数的解析式为：y＝（x﹣0）（x﹣4）＝x2﹣2x； （2）①证明：如图1， 由翻折得：∠OAC＝∠A'， 由对称得：OC＝AC， ∴∠AOC＝∠OAC， ∴∠COA＝∠A'， ∵∠A'DB＝∠ODC， ∴△OCD∽△A′BD； ②解：∵△OCD∽△A′BD， ∴＝， ∵AB＝A'B， ∴＝， ∴的最小值就是的最小值， y＝x2﹣2x＝（x﹣2）2﹣2， ∴C（2，﹣2）， ∴OC＝2， ∴当CD⊥OA时，CD最小，的值最小， 当CD＝2时，的最小值为＝； （3）解：∵S△OCD＝8S△A'BD， ∴S△OCD：S△A'BD＝8， ∵△OCD∽△A′BD， ∴＝（）2＝8， ∴＝2， ∵OC＝2， ∴A'B＝AB＝1， ∴BD＝2﹣1＝1， 如图2，连接AA'，过点A'作A'G⊥OA于G，延长CB交AA'于H， 由翻折得：AA'⊥CH， ∵∠AHB＝∠BDC＝90°，∠ABH＝∠CBD， ∴∠BCD＝∠BAH， tan∠BCD＝tan∠GAA'， ∴＝＝， 设A'G＝a，则AG＝2a，BG＝2a﹣1， 在RtA'GB中，由勾股定理得：BG2+A'G2＝A'B2， ∴a2+（2a﹣1）2＝12， ∴a1＝0（舍），a2＝， ∴BG＝2a﹣1＝﹣1＝， ∵A'G∥OQ， ∴△A'GB∽△QOB， ∴＝，即＝， ∴OQ＝4， ∴Q（0，4）， 设直线A'B的解析式为：y＝kx+m， ∴， 解得：， ∴直线A'B的解析式为：y＝﹣x+4， ∴﹣x+4＝x2﹣2x， 3x2﹣4x﹣24＝0， 解得：x＝， ∴直线A′B与二次函数的交点横坐标是． 【点评】本题是二次函数的综合，考查了待定系数法求解析式，对称的性质，三角形相似的性质和判定，配方法的应用，勾股定理的应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合是解本题的关键． 6．（2022•湘潭）已知抛物线y＝x2+bx+c． （1）如图①，若抛物线图象与x轴交于点A（3，0），与y轴交点B（0，﹣3），连接AB． （Ⅰ）求该抛物线所表示的二次函数表达式； （Ⅱ）若点P是抛物线上一动点（与点A不重合），过点P作PH⊥x轴于点H，与线段AB交于点M，是否存在点P使得点M是线段PH的三等分点？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． （2）如图②，直线y＝x+n与y轴交于点C，同时与抛物线y＝x2+bx+c交于点D（﹣3，0），以线段CD为边作菱形CDFE，使点F落在x轴的正半轴上，若该抛物线与线段CE没有交点，求b的取值范围． 【分析】（1）（Ⅰ）将A，B两点坐标代入抛物线的解析式求得b，c．从而得出结果； （Ⅱ）求出AB的解析式，设出点P坐标，表示出M点坐标，从而表示出PH和HM的长，分别列出PH＝3HM和PH＝时的方程，从而求得m的值，进而求得P点坐标； （2）分为b＞0和b＜0两种情形．当b＜0时，抛物线对称轴在y轴左侧，此时求得抛物线与y轴交点，只需交点在点C的上方，就满足抛物线与线段CE没有交点，进一步求得结果，当b＜0时，类似的方法求得这种情形b的范围． 【解析】（1）解：（Ⅰ）由题意得， ， ∴， ∴y＝x2﹣2x﹣3； （Ⅱ）存在点P，使得点M是线段PH的三等分点，理由如下： ∵B（0，﹣3），A（3，0）， ∴直线AB的解析式为：y＝x﹣3， 设点P（m，m2﹣2m﹣3），M（m，m﹣3）， ∴PH＝﹣m2+2m+3，HM＝3﹣m， 当PH＝3HM时， ﹣m2+2m+3＝3（3﹣m）， 化简得， m2﹣5m+6＝0， ∴m1＝2，m2＝3， 当m＝2时，y＝22﹣2×2﹣3＝﹣3， ∴P（2，﹣3）， 当m＝3时，y＝32﹣2×3﹣3＝0， 此时P（3，0）（舍去）， 当PH＝HM时， ﹣m2+2m+3＝（3﹣m）， 化简得， 2m2﹣7m+3＝0， ∴m3＝3（舍去），m2＝， 当m＝时，y＝（）2﹣2×﹣3＝﹣， ∴P（，﹣）， 综上所述：P（2，﹣3）或（，﹣）； （2）如图1， ∵抛物线y＝x2+bx+c过点D（﹣3，0）， ∴（﹣3）2﹣3b+c＝0， ∴c＝3b﹣9， ∴y＝x2+bx+（3b﹣9）， 把x＝﹣3，y＝0代入y＝+n得， 0＝+n， ∴n＝4， ∴OC＝4， ∵∠COD＝90°，OD＝3，OC＝4， ∴CD＝5， ∵四边形CDFE是菱形， ∴CE＝CD＝5， ∴E（5，4）， 当﹣＜0时，即b＞0时， 当x＝0时，y＝3b﹣9， ∴G（0，3b﹣9）， ∵该抛物线与线段CE没有交点， ∴3b﹣9＞4， ∴b＞， 当b＜0时， 当x＝5时，y＝25+5b+3b﹣9＝8b+16， ∴H（5，8b+16）， ∵抛物线与CE没有交点， ∴8b+16＜4， ∴b＜﹣， 综上所述：b＞或b＜﹣． 【点评】本题考查了求二次函数的解析式，一次函数解析式，菱形的性质，勾股定理等知识，解决问题的关键一是正确分类，二是数形结合． 7．（2022•邵阳）如图，已知直线y＝2x+2与抛物线y＝ax2+bx+c相交于A，B两点，点A在x轴上，点B在y轴上，点C（3，0）在抛物线上． （1）求该抛物线的表达式． （2）正方形OPDE的顶点O为直角坐标系原点，顶点P在线段OC上，顶点E在y轴正半轴上，若△AOB与△DPC全等，求点P的坐标． （3）在条件（2）下，点Q是线段CD上的动点（点Q不与点D重合），将△PQD沿PQ所在的直线翻折得到△PQD'，连接CD'，求线段CD'长度的最小值． 【分析】（1）先分别求得点A，点B的坐标，从而利用待定系数法求函数解析式； （2）分△AOB≌△DPC和△AOB≌△CPD两种情况，结合全等三角形的性质分析求解； （3）根据点D′的运动轨迹，求得当点P，D′，C三点共线时求得CD′的最小值． 【解析】在直线y＝2x+2中， 当x＝2时，y＝2， 当y＝0时，x＝﹣1， ∴点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（0，2）， 把点A（﹣1，0），点B（0，2），点C（3，0）代入y＝ax2+bx+c， ， 解得， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2； （2）①当△AOB≌△DPC时，AO＝DP， 又∵四边形OPDE为正方形， ∴DP＝OP＝AO＝1， 此时点P的坐标为（1，0）， ②当△AOB≌△CPD时，OB＝DP， 又∵四边形OPDE为正方形， ∴DP＝OP＝OB＝2， 此时点P的坐标为（2，0）， 综上，点P的坐标为（1，0）或（2，0）； （3）如图， 点D′在以点P为圆心，DP为半径的圆上运动， ∴当点D′′，点P，点C三点共线时，CD′′有最小值， 由（2）可得点P的坐标为（1，0）或（2，0），且C点坐标为（3，0）， ∴CD′′的最小值为1． 【点评】本题考查二次函数的应用，全等三角形的判定和性质，折叠的性质，掌握待定系数法求函数解析式，注意数形结合思想和分类讨论思想解题是关键． 8．（2022•台州）如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线l的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口H离地竖直高度为h（单位：m）．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE＝3m，竖直高度为EF的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.5m，灌溉车到l的距离OD为d（单位：m）． （1）若h＝1.5，EF＝0.5m． ①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC； ②求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标； ③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求d的取值范围． （2）若EF＝1m．要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出h的最小值． 【分析】（1）①由顶点A（2，2）得，设y＝a（x﹣2）2+2，再根据抛物线过点（0，1.5），可得a的值，从而解决问题； ②由对称轴知点（0，1.5）的对称点为（4，1.5），则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4cm得到的，可得点B的坐标； ③根据EF＝0.5，求出点F的坐标，利用增减性可得d的最大值为最小值，从而得出答案； （2）当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点D、F恰好分别在两条抛物线上，故设点D（m，﹣（m+2）2+h+0.5），F（m+3，﹣（m+3﹣2）2+h+0.5），则有﹣[（m+3﹣2）2+h+0.5]﹣[﹣（m+2）2+h+0.5]＝1，从而得出答案． 【解析】（1）①如图1，由题意得A（2，2）是上边缘抛物线的顶点， 设y＝a（x﹣2）2+2， 又∵抛物线过点（0，1.5）， ∴1.5＝4a+2， ∴a＝﹣， ∴上边缘抛物线的函数解析式为y＝﹣（x﹣2）2+2， 当y＝0时，0＝﹣（x﹣2）2+2， 解得x1＝6，x2＝﹣2（舍去）， ∴喷出水的最大射程OC为6cm； ②∵对称轴为直线x＝2， ∴点（0，1.5）的对称点为（4，1.5）， ∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4cm得到的， ∴点B的坐标为（2，0）； ③∵EF＝0.5， ∴点F的纵坐标为0.5， ∴0.5＝﹣（x﹣2）2+2， 解得x＝2±2， ∵x＞0， ∴x＝2+2， 当x＞2时，y随x的增大而减小， ∴当2≤x≤6时，要使y≥0.5， 则x≤2+2， ∵当0≤x≤2时，y随x的增大而增大，且x＝0时，y＝1.5＞0.5， ∴当0≤x≤6时，要使y≥0.5，则0≤x≤2+2， ∵DE＝3，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带， ∴d的最大值为2+2﹣3＝2﹣1， 再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是OB≤d， ∴d的最小值为2， 综上所述，d的取值范围是2≤d≤2﹣1； （2）当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点D、F恰好分别在两条抛物线上， 故设点D（m，﹣（m+2）2+h+0.5），F（m+3，﹣[（m+3﹣2）2+h+0.5]）， 则有﹣（m+3﹣2）2+h+0.5﹣[﹣（m+2）2+h+0.5]＝1， 解得m＝2.5， ∴点D的纵坐标为h﹣， ∴h﹣＝0， ∴h的最小值为． 【点评】本题是二次函数的实际应用，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数与方程的关系等知识，读懂题意，建立二次函数模型是解题的关键． 9．（2022•眉山）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2﹣4x+c与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且点A的坐标为（﹣5，0）． （1）求点C的坐标； （2）如图1，若点P是第二象限内抛物线上一动点，求点P到直线AC距离的最大值； （3）如图2，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M使以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）把点A的坐标代入y＝﹣x2﹣4x+c，求出c的值即可； （2）过P作PE⊥AC于点E，过点P作PF⊥x轴交AC于点H，证明△PHE是等腰直角三角形，得，当PH最大时，PE最大，运用待定系数法求直线AC解析式为y＝x+5，设P（m，﹣m2﹣4m+5），（﹣5＜m＜0），则H（m，m+5），求得PH，再根据二次函数的性质求解即可； （3）分三种情况讨论：①当AC为平行四边形的对角线时，②当AM为平行四边形的对角线时，③当AN为平行四边形的对角线时分别求解即可． 【解析】（1）∵点A（﹣5，0）在抛物线y＝﹣x2﹣4x+c的图象上， ∴0＝﹣52﹣4×5+c ∴c＝5， ∴点C的坐标为（0，5）； （2）过P作PE⊥AC于点E，过点P作PF⊥x轴交AC于点H，如图1： ∵A（﹣5，0），C（0，5） ∴OA＝OC， ∴△AOC是等腰直角三角形， ∴∠CAO＝45°， ∵PF⊥x轴， ∴∠AHF＝45°＝∠PHE， ∴△PHE是等腰直角三角形， ∴， ∴当PH最大时，PE最大， 设直线AC解析式为y＝kx+5， 将A（﹣5，0）代入得0＝5k+5， ∴k＝1， ∴直线AC解析式为y＝x+5， 设P（m，﹣m2﹣4m+5），（﹣5＜m＜0），则H（m，m+5）， ∴， ∵a＝﹣1＜0， ∴当时，PH最大为， ∴此时PE最大为，即点P到直线AC的距离值最大； （3）存在，理由如下： ∵y＝﹣x2﹣4x+5＝﹣（x+2）2+9， ∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣2， 设点N的坐标为（﹣2，m），点M的坐标为（x，﹣x2﹣4x+5）， 分三种情况：①当AC为平行四边形对角线时， ， 解得， ∴点M的坐标为（﹣3，8）； ②当AM为平行四边形对角线时， ， 解得， ∴点M的坐标为（3，﹣16）； ③当AN为平行四边形对角线时， ， 解得， ∴点M的坐标为（﹣7，﹣16）； 综上，点M的坐标为：（﹣3，8）或（3，﹣16）或（﹣7，﹣16）． 【点评】本题是二次函数综合题，其中涉及到二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，平行四边形的判定与性质．熟知几何图形的性质利用数形结合是解题的关键． 10．（2022•天津）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＞0）的顶点为P，与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B． （Ⅰ）若b＝﹣2，c＝﹣3， ①求点P的坐标； ②直线x＝m（m是常数，1＜m＜3）与抛物线相交于点M，与BP相交于点G，当MG取得最大值时，求点M，G的坐标； （Ⅱ）若3b＝2c，直线x＝2与抛物线相交于点N，E是x轴的正半轴上的动点，F是y轴的负半轴上的动点，当PF+FE+EN的最小值为5时，求点E，F的坐标． 【分析】（Ⅰ）①利用待定系数法求出抛物线的解析式，即可得顶点P的坐标； ②求出直线BP的解析式，设点M（m，m2﹣2m﹣3），则G（m，2m﹣6），表示出MG的长，可得关于m的二次函数，根据二次函数的最值即可求解； （Ⅱ）由3b＝2c得b＝﹣2a，c＝﹣3a，抛物线的解析式为y＝ax2﹣2a﹣3a．可得顶点P的坐标为（1，﹣4a），点N的坐标为（2，﹣3a），作点P关于y轴的对称点P'，作点N关于x轴的对称点N'，得点P′的坐标为（﹣1，﹣4a），点N'的坐标为（2，3a），当满足条件的点E，F落在直线P'N'上时，PF+FE+EN取得最小值，此时，PF+FE+EN＝P'N'＝5延长P'P与直线x＝2相交于点H，则P'H⊥N'H．在Rt△P'HN'中，P'H＝3，HN'＝3a﹣（﹣4a）＝7a．由勾股定理可得P'N′2＝P'H2+HN2＝9+49a2＝25．解得a1＝，a2＝﹣（舍）．可得点P'的坐标为（﹣1，﹣），点N′的坐标为（2，）．利用待定系数法得直线P'N′的解析式为y＝x﹣．即可得点E，F的坐标． 【解析】（Ⅰ）①若b＝﹣2，c＝﹣3， 则抛物线y＝ax2+bx+c＝ax2﹣2x﹣3， ∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于点A（﹣1，0）， ∴a+2﹣3＝0，解得a＝1， ∴抛物线为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴顶点P的坐标为（1，﹣4）； ②当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0， 解得x1＝﹣1，x2＝3， ∴B（3，0）， 设直线BP的解析式为y＝kx+n， ∴，解得， ∴直线BP的解析式为y＝2x﹣6， ∵直线x＝m（m是常数，1＜m＜3）与抛物线相交于点M，与BP相交于点G， 设点M（m，m2﹣2m﹣3），则G（m，2m﹣6）， ∴MG＝2m﹣6﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+4m﹣3＝﹣（m﹣2）2+1， ∴当m＝2时，MG取得最大值1， 此时，点M（2，﹣3），则G（2，﹣2）； （Ⅱ）∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于点A（﹣1，0）， ∴a﹣b+c＝0， 又3b＝2c， b＝﹣2a，c＝﹣3a（a＞0）， ∴抛物线的解析式为y＝ax2﹣2a﹣3a． ∴y＝ax2﹣2a﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a， ∴顶点P的坐标为（1，﹣4a）， ∵直线x＝2与抛物线相交于点N， ∴点N的坐标为（2，﹣3a）， 作点P关于y轴的对称点P'，作点N关于x轴的对称点N'， 得点P′的坐标为（﹣1，﹣4a），点N'的坐标为（2，3a）， 当满足条件的点E，F落在直线P'N'上时，PF+FE+EN取得最小值，此时，PF+FE+EN＝P'N'＝5． 延长P'P与直线x＝2相交于点H，则P'H⊥N'H． 在Rt△P'HN'中，P'H＝3，HN'＝3a﹣（﹣4a）＝7a． ∴P'N′2＝P'H2+HN2＝9+49a2＝25． 解得a1＝，a2＝﹣（舍）． ∴点P'的坐标为（﹣1，﹣），点N′的坐标为（2，）． ∴直线P'N′的解析式为y＝x﹣． ∴点E（，0），点F（0，﹣）． 【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，两点间的距离公式，轴对称求最小值问题，勾股定理等，利用待定系数法求出直线解析式是解本题的关键． 11．（2022•苏州）如图，二次函数y＝﹣x2+2mx+2m+1（m是常数，且m＞0）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．其对称轴与线段BC交于点E，与x轴交于点F．连接AC，BD． （1）求A，B，C三点的坐标（用数字或含m的式子表示），并求∠OBC的度数； （2）若∠ACO＝∠CBD，求m的值； （3）若在第四象限内二次函数y＝﹣x2+2mx+2m+1（m是常数，且m＞0）的图象上，始终存在一点P，使得∠ACP＝75°，请结合函数的图象，直接写出m的取值范围． 【分析】（1）令y＝0，解方程可得A，B两点坐标，令x＝0，可得点C的坐标，证明OC＝OB，可得∠OBC＝45°； （2）由题意D（m，（m+1）2），F（m，0），根据tan∠ACE＝＝＝＝m+1，构建方程，求出m即可； （3）证明∠CAO＜60°，推出2m+1＜，可得结论． 【解析】（1）当y＝0时，﹣x2+2mx+2m+1＝0， 解方程，得x1＝﹣1，x2＝2m+1， ∵点A在点B的左侧，且m＞0， ∴A（﹣1，0），B（2m+1，0）， 当x＝0时，y＝2m+1， ∴C（0，2m+1）， ∴OB＝OC＝2m+1， ∵∠BOC＝90°， ∴∠OBC＝45°； （2）如图1中，连接AE． ∵y＝﹣x2+2mx+2m+1＝﹣（x﹣m）2+（m+1）2， ∴D（m，（m+1）2），F（m，0）， ∴DF＝（m+1）2，OF＝m，BF＝m+1， ∵A，B关于对称轴对称， ∴AE＝BE， ∴∠EAB＝∠OBC＝45°， ∵∠ACO＝∠CBD，∠OCB＝∠OBC， ∴∠ACO+∠OCB＝∠CBD+∠OBC，即∠ACE＝∠DBF， ∵EF∥OC， ∴tan∠ACE＝＝＝＝m+1， ∴＝m+1， ∴m＝1或﹣1， ∵m＞0， ∴m＝1； （3）如图，设PC交x轴于点Q． 当点P在第四象限时，点Q总是在点B的左侧，此时∠CQA＞∠CBA，即∠CQA＞45°， ∵∠ACQ＝75°， ∴∠CAO＜60°， ∴2m+1＜， ∴m＜， ∴0＜m＜． 【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 12．（2022•嘉兴）已知抛物线L1：y＝a（x+1）2﹣4（a≠0）经过点A（1，0）． （1）求抛物线L1的函数表达式． （2）将抛物线L1向上平移m（m＞0）个单位得到抛物线L2．若抛物线L2的顶点关于坐标原点O的对称点在抛物线L1上，求m的值． （3）把抛物线L1向右平移n（n＞0）个单位得到抛物线L3，若点B（1，y1），C（3，y2）在抛物线L3上，且y1＞y2，求n的取值范围． 【分析】（1）把（1，0）代入抛物线的解析式求出a即可； （2）求出平移后抛物线的顶点关于原点对称点的坐标，利用待定系数法求解即可； （3）抛物线L1向右平移n（n＞0）个单位得到抛物线L3，的解析式为y＝（x﹣n+1）2﹣4，根据y1＞y2，构建不等式求解即可． 【解析】（1）∵y＝a（x+1）2﹣4（a≠0）经过点A（1，0）， ∴4a﹣4＝0， ∴a＝1， ∴抛物线L1的函数表达式为y＝x2+2x﹣3； （2）∵y＝（x+1）2﹣4， ∴抛物线的顶点（﹣1，﹣4）， 将抛物线L1向上平移m（m＞0）个单位得到抛物线L2．若抛物线L2的顶点（﹣1，﹣4+m）， 而（﹣1，﹣4+m）关于原点的对称点为（1，4﹣m）， 把（1，4﹣m）代入y＝x2+2x﹣3得到，1+2﹣3＝4﹣m， ∴m＝4； （3）抛物线L1向右平移n（n＞0）个单位得到抛物线L3，的解析式为y＝（x﹣n+1）2﹣4， ∵点B（1，y1），C（3，y2）在抛物线L3上， ∴y1＝（2﹣n）2﹣4，y2＝（4﹣n）2﹣4， ∵y1＞y2， ∴（2﹣n）2﹣4＞（4﹣n）2﹣4， 解得n＞3， ∴n的取值范围为n＞3． 【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，平移变换等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型． 13．（2022•乐山）如图1，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（2，0），与y轴交于点C，且tan∠OAC＝2． （1）求二次函数的解析式； （2）如图2，过点C作CD∥x轴交二次函数图象于点D，P是二次函数图象上异于点D的一个动点，连结PB、PC，若S△PBC＝S△BCD，求点P的坐标； （3）如图3，若点P是二次函数图象上位于BC下方的一个动点，连结OP交BC于点Q．设点P的横坐标为t，试用含t的代数式表示的值，并求的最大值． 【分析】（1）在Rt△AOC中求出OC的长，从而确定点C坐标，将二次函数设为交点式，将点C坐标代入，进一步求得结果； （2）可分为点P在第三象限和第一象限两种情形．当点P在第三象限时，设点P（a，a2﹣a﹣2），可表示出△BCD的面积，当点P在第三象限时，作PE∥AB交BC于E，先求出直线BC，从而得出E点坐标，从而表示出△PBC的