人A数学必修第一册 教参.DOC

第一章 集合与常用逻辑用语 1．1 集合的概念 明确目标 发展素养 1.通过实例了解集合的含义． 2.理解元素与集合的属于关系． 3.掌握常用的数集及其记法． 4.掌握集合的两种表示方法. 1.通过学习集合的概念，逐步形成数学抽象素养． 2.借助集合中元素的互异性的应用，培养逻辑推理素养． 3.借助描述法转化为列举法时的运算，培养数学运算素养. 知识点一　元素与集合 (一)教材梳理填空 1．元素与集合的含义： 定义 表示 元素 一般地，把研究对象统称为元素 通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示集合中的元素 集合 把一些元素组成的总体叫做集合，简称为集 通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示集合 2.集合中元素的特性：确定性、互异性和无序性． 3．集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的． 4．集合的分类： 根据集合中元素的个数可以将集合分为有限集和无限集． 当集合中元素的个数有限时，称之为有限集；当集合中元素的个数无限时，称之为无限集． (二)基本知能小试 1．判断正误 (1)立德中学今年入学的爱好数学的学生可以组成一个集合．(　　) (2)元素1,2,3和元素3,2,1组成的集合是相等的．(　　) (3)由单词“Good”的构成字母组成的集合中有4个元素．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)× 2．下列能构成集合的是(　　) A．中央电视台著名节目主持人 B．我市跑得快的汽车 C．上海市所有的中学生 D．香港的高楼 解析：选C　A、B、D中研究的对象不确定，因此不能构成集合． 3．若以方程x2－3x＋2＝0和x2－5x＋6＝0的解为元素组成集合A，则A中元素的个数为(　　) A．1　　　　　　　　　B．2 C．3 D．4 解析：选C　方程x2－3x＋2＝0的解为1,2，方程x2－5x＋6＝0的解为2,3由于两方程有相同的解2，在集合中作为1个元素，故A中有3个元素，故选C. 知识点二　元素与集合的关系及常用数集 (一)教材梳理填空 1．元素与集合的关系： 关系 概念 记法 a属于集合A 如果a是集合A的元素，就说a属于集合A a∈A a不属于集合A 如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A a∉A 2.常用数集及符号表示： 名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 N N*或N＋ Z Q R 　 [微思考]　N与N*有何区别？ 提示：N*是所有正整数组成的集合，而N是由0和所有的正整数组成的集合，所以N比N*多一个元素0. (二)基本知能小试 1．给出下列关系：①∈R；②∈Q；③－3∉Z；④－∉N，其中正确的个数为(　　) A．1　　　 B．2　　　 C．3　　　 D．4 解析：选B　是实数，①正确；是无理数，②错误；－3是整数，③错误；－是无理数，④正确．故选B. 2．已知集合M有两个元素3和a＋1，且4∈M，则实数a＝________. 解析：由题意可知a＋1＝4，即a＝3. 答案：3 知识点三　集合的表示方法 (一)教材梳理填空 1．列举法： 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 2．描述法： 一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法． [微思考] (1)不等式x－3<4的解集中的元素有什么共同特征？ (2)如何用描述法表示不等式x－2<3的解集？ 提示：(1)元素的共同特征为x∈R，且x<7. (2){x|x<5，x∈R}． (二)基本知能小试 1．判断正误 (1)一个集合可以表示为{a，b，a，c}．(　　) (2)集合{－3,1}与集合{(－3,1)}表示同一个集合．(　　) (3){x∈R|x＞1}＝{y∈R|y＞1}．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√ 2．方程x2－1＝0的解集用列举法表示为(　　) A．{x2－1＝0} B．{x∈R|x2－1＝0} C．{－1,1} D．以上都不对 解析：选C　解方程x2－1＝0得x＝±1，故方程x2－1＝0的解集为{－1,1}． 3．由大于－1小于5的自然数组成的集合用列举法表示为________________，用描述法表示为________________． 解析：大于－1小于5的自然数有0,1,2,3,4.故用列举法表示集合为{0,1,2,3,4}．用描述法表示可用x表示代表元素，其满足的条件是x∈N，且－1＜x＜5.故用描述法表示集合为{x∈N|－1＜x＜5}． 答案：{0,1,2,3,4}　{x∈N|－1＜x＜5} 题型一　集合的概念及特征　 【学透用活】 准确认识集合的含义 描述性 “集合”是一个原始的不加定义的概念，它同平面几何中的“点”“线”“面”等概念一样都只是描述性的说明 整体性 集合是一个整体，暗含“所有”“全部”“全体”的含义，因此一些对象一旦组成了集合，这个集合就是这些对象的总体 广泛性 现实生活中我们看到的、听到的、闻到的、触摸到的、想到的各种各样的事物或一些抽象的符号等，都可以看作“对象”，即集合中的元素 　　 [典例1]　下列对象能构成集合的是(　　) A．高一年级长得帅的学生 B．sin 30°，sin 45°，cos 60°，1 C．全体很大的自然数 D．平面内到△ABC三个顶点距离相等的所有点 [解析]　由于帅与很大没有一个确定的标准，因此A、C不能构成集合；B中sin 30°＝cos 60°，不满足互异性；D满足集合的三要素．故选D. [答案]　D [方法技巧] 判断元素能否构成集合，关键在于是否有一个明确的客观标准来衡量这些对象，即看这些元素是否具有确定性．同时注意互异性和无序性．如果条件满足就可以断定这些元素可以构成集合，否则就不能构成集合． 提醒：注意集合元素的互异性，相同的元素在集合中只能出现一次．　　 【对点练清】 1．(多选)下列对象能构成集合的是(　　) A．某市拥有小轿车的家庭 B．2020年高考数学试卷中的难题 C．所有的有理数 D．绝对值大于5的实数 解析：选ACD　根据集合的概念，B选项中的“难题”标准不明确，不满足集合中元素的确定性，显然A、C、D选项中都能构成集合．故选ACD. 2．由实数x，－x|x|，，()2，－组成的集合最多含有________个元素． 解析：由题可知x≥0，所以x，－x|x|，，()2，－可分别化为x，－x2，x，x2，－x，故由实数x，－x|x|，，()2，－组成的集合最多含有4个元素． 答案：4 题型二　元素与集合的关系　 【学透用活】 元素与集合的关系解读 唯一性 a∈A与a∉A取决于a是不是集合A中的元素，只有属于和不属于两种关系 方向性 符号“∈”“∉”具有方向性，左边是元素，右边是集合 [典例2]　(1)满足“a∈A且4－a∈A，a∈N且4－a∈N”，有且只有2个元素的集合A的个数是(　　) A．0　　　　　　　 B．1 C．2 D．3 (2)用符号“∈”与“∉”填空： ①(－1)0_____N*；＋2_____Q；_____Q. ②若a2＝3，则a____R；若a2＝－1，则a____R. [解析]　(1)∵a∈A且4－a∈A，a∈N且4－a∈N， 若a＝0，则4－a＝4，此时A＝{0,4}满足要求； 若a＝1，则4－a＝3，此时A＝{1,3}满足要求； 若a＝2，则4－a＝2，此时A中只有一个元素2，不满足要求． 故有且只有2个元素的集合A有2个，故选C. (2)①(－1)0＝1∈N*；＋2是无理数，故＋2∉Q；是无限循环小数，是有理数，故∈Q. ②平方等于3的数是±，是实数；平方等于－1的实数不存在．所以a2＝3时，a∈R；a2＝－1时，a∉R. [答案]　(1)C　(2)①∈　∉　∈　②∈　∉ [方法技巧] 解决元素与集合的关系问题的策略 (1)判断一个元素是不是某个集合的元素，关键是判断这个元素是否具有这个集合中元素的共同特征． (2)要熟练掌握R，Q，Z，N，N*表示什么数集． (3)解决比较复杂的集合问题时要充分利用集合满足的性质，运用转化思想，将问题等价转化为比较熟悉的问题解决．　　 【对点练清】 1．集合M是由大于－2且小于1的所有实数构成的，则下列关系式正确的是(　　) A.∈M B．0∉M C．1∈M D．－∈M 解析：选D　＞1，故∉M；－2＜0＜1，故0∈M；1不小于1，故1∉M；－2＜－＜1，故－∈M.故选D. 2．设集合D是由满足y＝x2的所有有序实数对(x，y)组成的，则－1________D，(－1,1)________D．(用符号“∉”或“∈”填空) 解析：－1不是有序实数对，∴－1∉D.(－1,1)满足y＝x2，∴(－1,1)∈D. 答案：∉　∈ 题型三　集合的表示　 【分类例析】 角度(一)　用列举法表示集合　 [典例3]　用列举法表示下列集合： (1)不大于10的所有非负偶数组成的集合A； (2)小于8的所有质数组成的集合B； (3)方程2x2－x－3＝0的所有实数根组成的集合C； (4)一次函数y＝x－3与y＝－2x－6的图象的交点组成的集合D. [解]　(1)不大于10的所有非负偶数有0,2,4,6,8,10， 所以A＝{0,2,4,6,8,10}． (2)因为小于8的所有质数有2,3,5,7，所以B＝{2,3,5,7}． (3)因为方程2x2－x－3＝0的所有实数根为－1，， 所以C＝. (4)由得 所以一次函数y＝x－3与y＝－2x－6的图象的交点为(－1，－4)，所以D＝{(－1，－4)}． [方法技巧] 用列举法表示集合的3个步骤 (1)求出集合的元素． (2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次． (3)用花括号括起来． 提醒：二元方程组的所有实数解组成的集合、函数图象上的所有点构成的集合都是点的集合，一定要写成实数对的形式，元素与元素之间用“，”隔开，如{(2,3)，(5，－1)}．　　 角度(二)　用描述法表示集合　 [典例4]　用描述法表示下列集合： (1)函数y＝－2x2＋x图象上的所有点组成的集合； (2)不等式2x－3<5的所有解组成的集合； (3)被3除余数等于1的所有正整数组成的集合； (4)3和4的所有正的公倍数组成的集合． [解]　(1)函数y＝－2x2＋x图象上的所有点组成的集合可表示为{(x，y)|y＝－2x2＋x}． (2)不等式2x－3<5的所有解组成的集合可表示为{x|2x－3<5}，即{x|x<4}． (3){x|x＝3n＋1，n∈N}． (4)3和4的最小公倍数是12，因此3和4的所有正的公倍数组成的集合是{x|x＝12n，n∈N*}． [方法技巧] 1．描述法表示集合的2个步骤 (1)写代表元素：分清楚集合中的元素是点或是数还是其他的元素． (2)明确元素的特征：将集合中元素所具有的公共特征写在竖线的后面． 2．用描述法表示集合的注意点 (1)若需要多层次描述属性，可选用“且”“或”连接． (2)若描述部分出现元素记号以外的参数，则要说明参数的含义或指出参数的取值范围．　　 【对点练清】 用适当的方法表示下列集合： (1)方程组的解组成的集合； (2)所有小于13的既是奇数又是素数的自然数组成的集合； (3)方程x2－2x＋1＝0的所有实数根组成的集合； (4)平面直角坐标系内所有第二象限的点组成的集合； (5)二次函数y＝x2＋2x－10的图象上所有的点组成的集合； (6)二次函数y＝x2＋2x－10的图象上所有点的纵坐标组成的集合． 解：(1)解方程组得故其解组成的集合可用描述法表示为，也可用列举法表示为{(4，－2)}． (2)小于13的既是奇数又是素数的自然数有4个，分别为3,5,7,11，可用列举法表示为{3,5,7,11}． (3)方程x2－2x＋1＝0的所有实数根为1，因此可用列举法表示为{1}，也可用描述法表示为{x∈R|x2－2x＋1＝0}． (4)集合的代表元素是点，可用描述法表示为{(x，y)|x<0且y>0}． (5)二次函数y＝x2＋2x－10的图象上所有的点组成的集合中，代表元素为点(x，y)，其中x，y满足y＝x2＋2x－10，由于点有无数个，则用描述法表示为{(x，y)|y＝x2＋2x－10}． (6)二次函数y＝x2＋2x－10的图象上所有点的纵坐标组成的集合中，代表元素为y，是实数，故可用描述法表示为{y|y＝x2＋2x－10}． 【课堂思维激活】 一、综合性——强调融会贯通 1．已知集合A中含有3个元素1，x，x2－2x，且3∈A，求x的值．以下是小明同学给出的解题过程： 解：∵3∈A，∴x＝3或x2－2x＝3， 解得x＝－1或3. ∴x的值为－1或3. 分析以上解题过程，你能找出错误之处吗？请写出正确的解题过程． 提示：没有对求得的值进行互异性检验从而产生增根． 正解如下： ∵A中含有3个元素且3∈A，∴x＝3或x2－2x＝3. 当x＝3时，x2－2x＝3＝x，不满足互异性，故x≠3. 当x2－2x＝3时，解得x＝－1或x＝3(舍去)． 当x＝－1时，A＝{－1,1,3}符合题意． 综上，x的值为－1. 二、应用性——强调学以致用 2．甲、乙两人同时参加一次数学测试，共有10道选择题，每题均有4个选项，答对得3分，答错或不答得0分．甲和乙都解答了所有的试题，经比较，他们只有1道题的选项不同，如果甲最终的得分为27分，那么乙的所有可能的得分值组成的集合为________． 解析：∵甲最终的得分为27分，∴甲答对了10道题目中的9道．∵甲和乙都解答了所有的试题，∴甲必然有一道题目答错了，不妨设为第一题． ∵甲和乙只有1道题的选项不同，如果是第一道题，则乙可能答错，也可能答对，此时乙可得27分或30分． 如果是第一道题以外的一个题目，则乙一定答错，而第一道题两人选项相同，则乙也一定答错，此时乙可得24分． 综上，乙的所有可能的得分值组成的集合为{24,27,30}． 答案：{24,27,30} 三、创新性——强调创新意识和创新思维 3．已知有限集A＝{a1，a2，…，an}(n≥2，n∈N*)，如果A中元素ai(i＝1,2,3，…，n)，满足a1·a2·…·an＝a1＋a2＋…＋an，就称A为n元“创新集”． (1)若ai∈R，试写出一个二元“创新集”A； (2)若a1，a2∈R，且{a1，a2}是二元“创新集”，求a1·a2的取值范围． 解：(1)或.(答案不唯一) (2)若a1，a2∈R，且{a1，a2}是二元“创新集”， 不妨设a1＋a2＝a1·a2＝m， 则由根与系数的关系知a1，a2是一元二次方程x2－mx＋m＝0的两个实数根， 由Δ＞0，可得m＜0或m＞4. 所以a1·a2＜0或a1·a2＞4. 【课下梯度训练】 层级(一)　“四基”落实练 1．(多选)下列每组对象，能构成集合的是(　　) A．中国各地最美的乡村 B．直角坐标系中横、纵坐标相等的点 C．2022年将参加北京冬奥会的优秀运动员 D．清华大学2020年入学的全体学生 解析：选BD　中国各地最美的乡村，无法确定集合中的元素，故A不能；优秀运动员，无法确定集合中的元素，故C不能．∴根据集合元素的确定性可知，B、D都能构成集合． 2．设A是方程2x2＋ax＋2＝0的解集，且2∈A，则实数a的值为(　　) A．－5　　　　　　　　　 B．－4 C．4 D．5 解析：选A　因为2∈A，所以2×22＋2a＋2＝0，解得a＝－5. 3．将集合用列举法表示，正确的是(　　) A．{2,3}　　　　　　　　　 B．{(2,3)} C．{x＝2，y＝3} D．(2,3) 解析：选B　解方程组得 所以集合＝{(2,3)}，故B正确． 4．(多选)设集合A＝{x|x2－2x＝0}，则下列表述正确的是(　　) A．{0}∈A　　　　　　　　 B．2∈A C．{2}∈A D．0∈A 解析：选BD　∵集合A＝{x|x2－2x＝0}＝{0,2}， ∴0∈A,2∈A，∵元素与集合是属于关系，故A、C不正确． 5．(多选)下列说法错误的是(　　) A．在直角坐标平面内，第一、三象限的点的集合为{(x，y)|xy＞0} B．方程＋|y＋2|＝0的解集为{－2,2} C．集合{(x，y)|y＝1－x}与{x|y＝1－x}是相等的 D．若A＝{x∈Z|－1≤x≤1}，则－1.1∈A 解析：选BCD　根据集合的概念易知A正确． B错误，方程的根为故其解集应写成{(2，－2)}． C错误，{(x，y)|y＝1－x}是由直线y＝1－x上的所有点组成的集合，{x|y＝1－x}是由符合y＝1－x的所有x的值构成的集合，二者不相等． D错误，由题意可知，A＝{－1,0,1}，∴－1.1∉A. 故选B、C、D. 6．已知集合A是由偶数组成的，集合B是由奇数组成的，若a∈A，b∈B，则a＋b________A，ab________A．(填“∈”或“∉”) 解析：因为a是偶数，b是奇数，所以a＋b是奇数，ab是偶数，故a＋b∉A，ab∈A. 答案：∉　∈ 7．若a，b∈R，且a≠0，b≠0，则＋的可能取值所组成的集合中元素的个数为________． 解析：当a，b同正时，＋＝＋＝1＋1＝2. 当a，b同负时，＋＝＋＝－1－1＝－2. 当a，b异号时，＋＝0. ∴＋的可能取值所组成的集合中元素共有3个． 答案：3 8．用适当的方法表示下列集合． (1)方程x(x2＋2x＋1)＝0的解集； (2)在自然数集中，小于1 000的奇数构成的集合． 解：(1)因为方程x(x2＋2x＋1)＝0的解为0或－1，所以解集为{0，－1}． (2)在自然数集中，奇数可表示为x＝2n＋1，n∈N，故在自然数集中，小于1 000的奇数构成的集合为{x|x＝2n＋1，且n＜500，n∈N}． 层级(二)　能力提升练 1．设集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中的元素的个数为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 解析：选B　当a＝1，b＝4时，x＝5；当a＝1，b＝5时，x＝6；当a＝2，b＝4时，x＝6；当a＝2，b＝5时，x＝7；当a＝3，b＝4时，x＝7；当a＝3，b＝5时，x＝8.由集合元素的互异性知M中共有4个元素． 2．已知集合Ω中的三个元素l，m，n分别是△ABC的三个边长，则△ABC一定不是(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 解析：选D　因为集合中的元素是互异的，所以l，m，n互不相等，即△ABC不可能是等腰三角形． 3．已知含有三个实数的集合既可表示成，又可表示成{a2，a＋b,0}，则a2 021＋b2 020＝________. 解析：由题意，得＝0且a≠0，a≠1，所以b＝0，a2＝1，解得a＝－1(a＝1舍去)，所以a2 021＋b2 020＝－1. 答案：－1 4．已知数集A满足条件：若a∈A，则∈A(a≠1)，如果a＝2，试求出A中的所有元素． 解：根据题意，由2∈A可知，＝－1∈A； 由－1∈A可知，＝∈A； 由∈A可知，＝2∈A. 故集合A中共有3个元素，它们分别是－1，，2. 5．已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}． (1)若集合A中只有一个元素，求实数a的值； (2)若集合A中至少有一个元素，求实数a的取值范围； (3)若集合A中至多有一个元素，求实数a的取值范围． 解：(1)当a＝0时，原方程可化为－3x＋2＝0，得x＝，符合题意．当a≠0时，方程ax2－3x＋2＝0为一元二次方程，由题意得，Δ＝9－8a＝0，得a＝.所以当a＝0或a＝时，集合A中只有一个元素． (2)由题意得，当 即a<且a≠0时方程有两个实根， 又由(1)知，当a＝0或a＝时方程有一个实根． 所以a的取值范围是. (3)由(1)知，当a＝0或a＝时，集合A中只有一个元素． 当集合A中没有元素，即A＝∅时， 由题意得解得a>. 综上得，当a≥或a＝0时，集合A中至多有一个元素． 层级(三)　素养培优练 1．若集合{a，b，c，d}＝{1,2,3,4}，且下列四个关系： ①a＝1；②b≠1；③c＝2；④d≠4，有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(a，b，c，d)的个数是________． 解析：若只有①正确，则a＝1，b＝1，c≠2，d＝4，而a＝b＝1与集合中元素的互异性矛盾，所以只有①正确是不可能的； 若只有②正确，则有序数组为(3,2,1,4)，(2,3,1,4)；若只有③正确，则有序数组为(3,1,2,4)； 若只有④正确，则有序数组为(2,1,4,3)，(3,1,4,2)，(4,1，3,2)． 故符合条件的有序数组(a，b，c，d)的个数是6. 答案：6 2．已知集合A＝{x|x＝3n＋1，n∈Z}，B＝{x|x＝3n＋2，n∈Z}，M＝{x|x＝6n＋3，n∈Z}． (1)若m∈M，则是否存在a∈A，b∈B，使m＝a＋b成立？ (2)对任意a∈A，b∈B，是否一定存在m∈M，使a＋b＝m？证明你的结论． 解：(1)设m＝6k＋3＝3k＋1＋3k＋2(k∈Z)， 令a＝3k＋1(k∈Z)，b＝3k＋2(k∈Z)，则m＝a＋b. 故若m∈M，则存在a∈A，b∈B，使m＝a＋b成立． (2)设a＝3k＋1，b＝3l＋2，k，l∈Z，则a＋b＝3(k＋l)＋3，k，l∈Z. 当k＋l＝2p(p∈Z)时，a＋b＝6p＋3∈M，此时存在m∈M，使a＋b＝m成立；当k＋l＝2p＋1(p∈Z)时，a＋b＝6p＋6∉M，此时不存在m∈M，使a＋b＝m成立． 故对任意a∈A，b∈B，不一定存在m∈M，使a＋b＝m. 1．2 集合间的基本关系 明确目标 发展素养 1.理解集合之间的包含与相等的含义，能识别给定集合的子集． 2.在具体情境中，了解空集的含义． 3.对相似概念及符号的理解． 4.能使用Venn图表达集合间的基本关系. 1.通过对集合之间包含与相等的含义以及子集、真子集概念的理解，培养数学抽象素养． 2.借助子集和真子集的求解，培养数学运算素养． 3.借助集合间关系的判断，培养逻辑推理素养. 知识点一　子集、集合相等、真子集 (一)教材梳理填空 1．子集： 概念 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”) 图示 结论 (1)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A；(2)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C 2.集合相等： 概念 一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A＝B.也就是说，若A⊆B，且B⊆A，则A＝B 图示 结论 若A＝B且B＝C，则A＝C 3.真子集： 概念 如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)，读作“A真包含于B”(或“B真包含A”) 图示 结论 (1)若A⊆B且BC，则AC； (2)若A⊆B且A≠B，则AB 　 [微思考]　(1)任何两个集合之间是否有包含关系？ (2)符号“∈”与“⊆”有何不同？ 提示：(1)不一定．如集合A＝{0,1,2}，B＝{－1,0,1}，这两个集合就没有包含关系． (2)符号“∈”表示元素与集合间的关系，而“⊆”表示集合与集合之间的关系． (二)基本知能小试 1．判断正误 (1)实数中“≤”类似于集合中“⊆”．(　　) (2)若a∈A，集合A⊆B，则必有a∈B.(　　) (3)若AB，则集合A中必定存在元素不在集合B中．(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)× 2．已知集合M＝{1}，N＝{1,2,3}，能够准确表示集合M与N之间关系的是(　　) A．M＜N　　　　　　　 B．M∈N C．N⊆M D．MN 解析：选D　∵集合M中的元素都在集合N中，但是M≠N，∴MN.故选D. 3．设a∈R，若集合{2,9}＝{1－a,9}，则a＝________. 答案：－1 知识点二　空集 (一)教材梳理填空 定义 我们把不含任何元素的集合叫做空集 记法 ∅ 规定 空集是任何集合的子集，即∅⊆A 特性 (1)空集只有一个子集，即它的本身，∅⊆∅； (2)若A≠∅，则∅A 　　 [微思考]　{0}，∅与{∅}之间有什么区别与联系？ 提示：{0}是含有一个元素0的集合，∅是不含任何元素的集合，因此有∅⊆{0}，而{∅}是含有一个元素∅的集合．因此，∅作为一个元素时，有∅∈{∅}，∅作为一个集合时，有∅{∅}． (二)基本知能小试 1．判断正误： (1)任何集合都有子集和真子集．(×) (2)集合{x|x2＋1＝0，x∈R}＝∅.(√) 2．下列四个集合中，是空集的是(　　) A．{x|x＋3＝3}　　 B．{(x，y)|y2＝－x2，x，y∈R} C．{x|x2≤0} D．{x|x2－x＋1＝0，x∈R} 答案：D 题型一　确定集合的子集、真子集　 [探究发现] 填写下表，回答后面的问题： 集合 元素个数 所有子集 子集个数 {a} 1 {a，b} 2 {a，b，c} 3 {a，b，c，d} 4 　 (1)你能找出“元素个数”与“子集个数”之间关系的规律吗？ (2)如果一个集合中有n个元素，你能写出计算它的所有子集和真子集数目的公式吗(用n表达)? 解：填表 集合 元素个数 所有子集 子集个数 {a} 1 ∅，{a} 2 {a，b} 2 ∅，{a}，{b}，{a，b} 4 {a，b，c} 3 ∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c} 8 {a，b，c，d} 4 ∅，{a}，{b}，{c}，{d}，{a，b}，{a，c}，{a，d}，{b，c}，{b，d}，{c，d}，{a，b，c}，{a，c，d}，{a，b，d}，{b，c，d}，{a，b，c，d} 16 　　 (1)“元素个数”与“子集个数”之间的关系是：设该集合的元素有n个，则该集合的子集个数为2n. (2)子集个数为2n，真子集个数为2n－1. 【学透用活】 [典例1]　已知集合M满足{1,2}M⊆{1,2,3，4,5}，则所有满足条件的集合M的个数是(　　) A．6　　　　　　　　　 B．7 C．8 D．9 [解析]　由题意可以确定集合M必含有元素1,2，且至少含有元素3,4,5中的一个，因此依据集合M的元素个数分类如下． 含有3个元素：{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}． 含有4个元素：{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}． 含有5个元素：{1,2,3,4,5}． 故满足条件的集合M：{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}． [答案]　B [方法技巧] 求集合子集、真子集个数的三个步骤 　　 【对点练清】 1．将本例中集合{1,2}变为集合A＝{x|x2＋3x＋3＝0}，集合{1,2,3,4,5}变为集合B＝{x|x2－5x＋6＝0}，则满足条件的集合M的个数为(　　) A．1　　　　 B．2　　　　 C．3　　　　 D．4 解析：选C　对于方程x2＋3x＋3＝0， ∵Δ＝9－12＝－3＜0，∴该方程无实根，即A＝∅. 由方程x2－5x＋6＝0，解得x1＝2，x2＝3.∴B＝{2,3}． 由题意，得∅M⊆{2,3}． ∴满足条件的集合M为{2}，{3}，{2,3}共3个，故选C. 2．集合{y|y＝－x2＋6，x，y∈N}的真子集的个数是(　　) A．9 B．8 C．7 D．6 解析：选C　当x＝0时，y＝6；当x＝1时，y＝5； 当x＝2时，y＝2；当x＝3，y＝－3. 所以{y|y＝－x2＋6，x，y∈N}＝{2,5,6}， 共3个元素，故其真子集的个数为23－1＝7. 题型二　集合间关系的判断　 【学透用活】 (1)在子集的定义中，集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，不能理解为集合A是集合B的部分元素所组成的集合．因为集合A中也可以不含任何元素；若A＝B，则集合A中含有集合B中的所有元素，但此时也可以说集合A是集合B的子集． (2)理解真子集概念时，需明确：AB，首先要满足A⊆B，其次要满足至少有一个元素x∈B且x∉A. (3)注意符号“⊆”与“”的区别：A⊆B⇒A＝B或AB；若A⊆B和AB同时成立，则AB更能准确表达集合A，B之间的关系． [典例2]　指出下列各组集合之间的关系： (1)A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}； (2)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}； (3)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}． [解]　(1)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系． (2)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故AB. (3)法一：两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N*，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故NM. 法二：由列举法知M＝{1,3,5,7，…}，N＝{3,5,7，9，…}，所以NM. [方法技巧] 判断集合间关系的常用方法 列举观察法 当集合中元素较少时，可列出集合中的全部元素，通过定义得出集合之间的关系 集合元素 特征法 首先确定集合的代表元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系 数形结合法 利用数轴或Venn图等直观地判断集合间的关系．不等式的解集之间的关系，适合用数轴法 【对点练清】 1．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{1,2}，C＝{x|x＜8，x∈N}，用适当的符号填空： (1)A________B；(2)A________C； (3){2}________C；(4)2________C. 解析：集合A为方程x2－3x＋2＝0的所有实数根组成的集合，即A＝{1,2}，而C＝{x|x＜8，x∈N}＝{0,1,2,3,4,5,6,7}．故(1)A＝B；(2)AC；(3){2}C；(4)2∈C. 答案：(1)＝　(2)　(3)　(4)∈ 2．判断下列各组中集合之间的关系： (1)A＝{x|x是12的约数}，B＝{x|x是36的约数}； (2)A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是四边形}，D＝{x|x是正方形}； (3)A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x<5}． 解：(1)因为若x是12的约数，则必定是36的约数，反之不成立，所以AB. (2)由图形的特点可画出Venn图如图所示，从而DBAC. (3)易知A中的元素都是B中的元素，但存在元素，如－2∈B，但－2∉A，故AB. 题型三　由集合间的关系求参数　 [探究发现] (1)设集合A＝{1,2}，若B⊆A，则集合B可能是什么？ 提示：∅，{1}，{2}，{1,2}． (2)设集合A＝{x|ax＋1＝0}，B＝{x|ax2＋x＋1＝0}，C＝{x|a＋1<x<2a}，那么集合A，B，C可能是空集吗？若可能是空集，实数a的值或范围分别是什么？ 提示：集合A，B，C可能是空集．当a＝0时，集合A是空集；当a>时，集合B是空集；当a≤1时，集合C是空集． (3)集合A＝{x|1<x<b}中一定含有元素吗？当A中含有元素时，试用数轴表示其所包含的元素． 提示：不一定．当b≤1时，A＝∅，其不含有任何元素．当b>1时，集合A中的元素用数轴可表示为： 【学透用活】 [典例3]　已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若BA，求实数m的取值范围． [解]　①当B＝∅时，由m＋1>2m－1，得m<2. ②当B≠∅时，如图所示， ∴或 解这两个不等式组，得2≤m≤3. 综上可得，m的取值范围是{m|m≤3}． [方法技巧] 已知集合间的关系求参数问题的解题策略 (1)若已知集合是有限集，求解时，一般根据对应关系直接列方程．　　 (2)若已知集合是无限集，求解时，通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误.一般含“＝”用实心圆点表示，不含“＝”用空心圆圈表示.,(3)此类问题还要注意是否存在空集的情况，因为空集是任何集合的子集. 【对点练清】 1．[变条件]若本例条件“A＝{x|－2≤x≤5}”改为“A＝{x|－2<x<5}”，其他条件不变，求m的取值范围． 解：①当B＝∅时，由m＋1>2m－1，得m<2. ②当B≠∅时，如图所示， ∴解得 即2≤m<3.综上可得，m的取值范围是{m|m<3}． 2．[变条件]若本例条件“BA”改为“A⊆B”，其他条件不变，求m的取值范围． 解：当A⊆B时，如图所示，此时B≠∅. ∴即 ∴m不存在．即不存在实数m使A⊆B. 【课堂思维激活】 一、综合性——强调融会贯通 1．以下是“已知集合E＝{x|＝0}，F＝{x|x2－(a－1)x＝0，a∈R}，判断E，F关系”的解题过程． 解：由＝0，得x＝0，所以E＝{0}． 方程x2－(a－1)x＝0(a∈R)的解为x1＝0，x2＝a－1， 所以F＝{0，a－1}，所以EF. 分析以上解题过程，判断其是否正确．若不正确，请给出正确的解题过程． 提示：不正确．误认为E＝{x|＝0}＝{0}，F＝{0，a－1}，忽略方程x2－(a－1)x＝0的根与参数的有关，得到EF. 正解如下： 由＝0，得x＝0，所以E＝{0}． 下面对方程x2－(a－1)x＝0的根的情况进行讨论． ①若a＝1，Δ＝0，方程有两个相等的实根x1＝x2＝0，此时F＝{0}，所以E＝F； ②若a≠1，Δ>0，方程有两个不相等的实根x1＝0或x2＝a－1，且a－1≠0，此时F＝{0，a－1}，则EF. 综上，当a＝1时，E＝F；当a≠1时，EF. 二、应用性——强调学以致用 2.右图是反映的“文学作品”“散文”“小说”“叙事散文”这四个文学概念之间的关系，请在下面的空格上填入适当的内容： A为__________，B为__________， C为__________，D为__________． 解析：由Venn图可知AB，CDB，A与D之间无包