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专题34 操作探究问题-2年中考1年模拟备战2018年中考数学精品系列(解析版).doc
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专题34 操作探究问题-2年中考1年模拟备战2018年中考数学精品系列解析版 专题 34 操作 探究 问题 年中 模拟 备战 2018 数学 精品 系列 解析
备战2018中考系列:数学2年中考1年模拟 第七篇 专题复习篇 专题34 操作探究问题 ☞解读考点 知 识 点 名师点晴 操作探究问题[来源:学科网ZXXK][来源:学|科|网Z|X|X|K] 1.利用图形的变换作图[来源:学科网ZXXK][来源:学|科|网Z|X|X|K][来源:学科网][来源:学,科,网Z,X,X,K] 平移、旋转、轴对称、位似,关键是要掌握各种变换的特征.[来源:学|科|网Z|X|X|K][来源:学科网ZXXK] 2.设计测量方案 应用全等、相似、三角函数等知识解决问题. 3.动手操作 充分了解和掌握折叠、拼接、分割、作图等的基础知识. ☞2年中考 【2017年题组】 一、选择题 1.(2017广东省深圳市)如图,已知线段AB,分别以A、B为圆心,大于AB为半径作弧,连接弧的交点得到直线l,在直线l上取一点C,使得∠CAB=25°,延长AC至M,求∠BCM的度数为(  ) A.40°      B.50°      C.60°      D.70° 【答案】B. 【解析】 考点:1.作图—基本作图;2.线段垂直平分线的性质. 2.(2017山东省东营市)如图,在▱ABCD中,用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E.若BF=8,AB=5,则AE的长为(  ) A.5      B.6      C.8      D.12 【答案】B. 【解析】 试题分析:连结EF,AE与BF交于点O,∵四边形ABCD是平行四边形,AB=AF,∴四边形ABEF是菱形,∴AE⊥BF,OB=BF=4,OA=AE.∵AB=5,在Rt△AOB中,AO==3,∴AE=2AO=6.故选B. 考点:1.作图—基本作图;2.平行四边形的性质.学科~网 3.(2017河北)已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF边长均为1,把正方形放在正六边形中,使OK边与AB边重合,如图所示,按下列步骤操作: 将正方形在正六边形中绕点B顺时针旋转,使KM边与BC边重合,完成第一次旋转;再绕点C顺时针旋转,使MN边与CD边重合,完成第二次旋转;…在这样连续6次旋转的过程中,点B,M间的距离可能是(  ) A.1.4      B.1.1      C.0.8      D.0.5 【答案】C. 【解析】 考点:1.正多边形和圆;2.旋转的性质;3.操作型;4.综合题. 4.(2017浙江省宁波市)一个大矩形按如图方式分割成九个小矩形,且只有标号为①和②的两个小矩形为正方形,在满足条件的所有分割中.若知道九个小矩形中n个小矩形的周长,就一定能算出这个大矩形的面积,则n的最小值是(  ) A.3      B.4      C.5      D.6 【答案】A. 【解析】 试题分析:如图所示:设①的周长为:4x,③的周长为4y,④的周长为4b,即可得出①的边长以及③和④的邻边和,设②的周长为:4a,则②的边长为a,可得③和④中都有一条边为a,则③和④的另一条边长分别为:y﹣a,b﹣a,故大矩形的边长分别为:b﹣a+x+a=b+x,y﹣a+x+a=y+x,故大矩形的面积为:(b+x)(y+x),其中b,x,y都为已知数,故n的最小值是3.故选A. 考点:1.推理与论证;2.最值问题;3.操作型. 5.(2017贵州省遵义市)把一张长方形纸片按如图①,图②的方式从右向左连续对折两次后得到图③,再在图③中挖去一个如图所示的三角形小孔,则重新展开后得到的图形是(  ) A.      B. C.      D. 【答案】C. 【解析】 考点:1.剪纸问题;2.操作型. 二、填空题 6.(2017北京市)图1是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程 已知:Rt△ABC,∠C=90°,求作Rt△ABC的外接圆. 作法:如图2. (1)分别以点A和点B为圆心,大于的长为半径作弧,两弧相交于P,Q两点; (2)作直线PQ,交AB于点O; (3)以O为圆心,OA为半径作⊙O.⊙O即为所求作的圆. 请回答:该尺规作图的依据是 . 【答案】到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上;90°的圆周角所的弦是直径. 【解析】 考点:1.作图—复杂作图;2.三角形的外接圆与外心;3.作图题. 7.(2017山东省烟台市)如图1,将一圆形纸片向右、向上两次对折后得到如图2所示的扇形AOB.已知OA=6,取OA的中点C,过点C作CD⊥OA交于点D,点F是上一点.若将扇形BOD沿OD翻折,点B恰好与点F重合,用剪刀沿着线段BD,DF,FA依次剪下,则剪下的纸片(形状同阴影图形)面积之和为 . 【答案】36π﹣108. 【解析】 试题分析:如图,∵CD⊥OA,∴∠DCO=∠AOB=90°,∵OA=OD=OB=6,OC=OA=OD,∴∠ODC=∠BOD=30°,作DE⊥OB于点E,则DE=OD=3,∴S弓形BD=S扇形BOD﹣S△BOD=﹣×6×3=3π﹣9,则剪下的纸片面积之和为12×(3π﹣9)=36π﹣108,故答案为:36π﹣108. 考点:1.扇形面积的计算;2.剪纸问题;3.操作型. 8.(2017河北)如图,依据尺规作图的痕迹,计算∠α= °. 【答案】56. 【解析】 考点:1.作图—基本作图;2.操作型. 9.(2017黑龙江省绥化市)如图,顺次连接腰长为2的等腰直角三角形各边中点得到第1个小三角形,再顺次连接所得的小三角形各边中点得到第2个小三角形,如此操作下去,则第n个小三角形的面积为 . 【答案】. 【解析】 考点:1.三角形中位线定理;2.等腰直角三角形;3.综合题;4.规律型;5.操作型. 10.(2017黑龙江省齐齐哈尔市)如图,在等腰三角形纸片ABC中,AB=AC=10,BC=12,沿底边BC上的高AD剪成两个三角形,用这两个三角形拼成平行四边形,则这个平行四边形较长的对角线的长是 . 【答案】10cm,cm,cm. 【解析】 试题分析:如图:,过点A作AD⊥BC于点D,∵△ABC边AB=AC=10cm,BC=12cm,∴BD=DC=6cm,∴AD=8cm,如图①所示: 可得四边形ACBD是矩形,则其对角线长为:10cm,如图②所示:AD=8cm,连接BC,过点C作CE⊥BD于点E,则EC=8cm,BE=2BD=12cm,则BC=cm,如图③所示:BD=6cm,由题意可得:AE=6cm,EC=2BE=16cm,故AC==cm,故答案为:10cm,cm,cm. 考点:1.图形的剪拼;2.分类讨论;3.操作型. 11.(2017辽宁省鞍山市)如图,在□ABCD中,分别以点A和点C为圆心,大于AC的长为半径作弧,两弧相交于M,N两点,作直线MN,分别交AD,BC于点E,F,连接AF,∠B=50°,∠DAC=30°,则∠BAF等于 . 【答案】70°. 【解析】 考点:1.作图—基本作图;2.线段垂直平分线的性质. 三、解答题 12.(2017内蒙古赤峰市)已知平行四边形ABCD. (1)尺规作图:作∠BAD的平分线交直线BC于点E,交DC延长线于点F(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法); (2)在(1)的条件下,求证:CE=CF. 【答案】(1)作图见解析;(2)证明见解析. 【解析】 试题分析:(1)作∠BAD的平分线交直线BC于点E,交DC延长线于点F即可; (2)先根据平行四边形的性质得出AB∥DC,AD∥BC,故∠1=∠2,∠3=∠4.再由AF平分∠BAD得出∠1=∠3,故可得出∠2=∠4,据此可得出结论. 试题解析:(1)如图所示,AF即为所求; (2)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥DC,AD∥BC,∴∠1=∠2,∠3=∠4. ∵AF平分∠BAD,∴∠1=∠3,∴∠2=∠4,∴CE=CF. 考点:1.作图—基本作图;2.平行四边形的性质. 13.(2017内蒙古通辽市)邻边不相等的平行四边形纸片,剪去一个菱形,余下的一个四边形,称为第一次操作;在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形,又余下一个四边形,称为第二次操作;…依此类推,若第n次操作余下的四边形是菱形,则称原平行四边形为n阶准菱形,如图1,▱ABCD中,若AB=1,BC=2,则▱ABCD为1阶准菱形. (1)猜想与计算: 邻边长分别为3和5的平行四边形是 阶准菱形;已知▱ABCD的邻边长分别为a,b(a>b),满足a=8b+r,b=5r,请写出▱ABCD是 阶准菱形. (2)操作与推理: 小明为了剪去一个菱形,进行了如下操作:如图2,把▱ABCD沿BE折叠(点E在AD上),使点A落在BC边上的点F处,得到四边形ABFE.请证明四边形ABFE是菱形. 【答案】(1)3,12;(2)证明见解析. 【解析】 (2)由折叠知:∠ABE=∠FBE,AB=BF,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AE∥BF,∴∠AEB=∠FBE,∴∠AEB=∠ABE,∴AE=AB,∴AE=BF,∴四边形ABFE是平行四边形,∴四边形ABFE是菱形 考点:1.四边形综合题;2.新定义;3.阅读型;4.操作型;5.压轴题. 14.(2017吉林省)图①、图②、图③都是由边长为1的小等边三角形构成的网格,每个小等边三角形的顶点称为格点.线段AB的端点在格点上. (1)在图①、图2中,以AB为边各画一个等腰三角形,且第三个顶点在格点上;(所画图形不全等) (2)在图③中,以AB为边画一个平行四边形,且另外两个顶点在格点上. 【答案】(1)答案见解析;(2)答案见解析. 【解析】 (2)如图③所示,▱ABCD即为所求. 考点:1.作图—应用与设计作图;2.等腰三角形的判定;3.等边三角形的性质;4.平行四边形的判定. 15.(2017吉林省)如图①,BD是矩形ABCD的对角线,∠ABD=30°,AD=1.将△BCD沿射线BD方向平移到△B'C'D'的位置,使B'为BD中点,连接AB',C'D,AD',BC',如图②. (1)求证:四边形AB'C'D是菱形; (2)四边形ABC'D′的周长为 ; (3)将四边形ABC'D'沿它的两条对角线剪开,用得到的四个三角形拼成与其面积相等的矩形,直接写出所有可能拼成的矩形周长. 【答案】(1)证明见解析;(2);(3)6+或2+3. 【解析】 试题分析:(1)有一组邻边相等的平行四边形是菱形,据此进行证明即可; (2)先判定四边形ABC'D'是菱形,再根据边长AB=AD=,即可得到四边形ABC'D′的周长为; (3)根据两种不同的拼法,分别求得可能拼成的矩形周长. 试题解析:(1)∵BD是矩形ABCD的对角线,∠ABD=30°,∴∠ADB=60°,由平移可得,B'C'=BC=AD,∠D'B'C'=∠DBC=∠ADB=60°,∴AD∥B'C' ∴四边形AB'C'D是平行四边形,∵B'为BD中点,∴Rt△ABD中,AB'=BD=DB',又∵∠ADB=60°,∴△ADB'是等边三角形,∴AD=AB',∴四边形AB'C'D是菱形; (2)由平移可得,AB=C'D',∠ABD'=∠C'D'B=30°,∴AB∥C'D',∴四边形ABC'D'是平行四边形,由(1)可得,AC'⊥B'D,∴四边形ABC'D'是菱形,∵AB=AD=,∴四边形ABC'D′的周长为,故答案为:; (3)将四边形ABC'D'沿它的两条对角线剪开,用得到的四个三角形拼成与其面积相等的矩形如下: ∴矩形周长为6+或2+3. 考点:1.菱形的判定与性质;2.矩形的性质;3.图形的剪拼;4.平移的性质;5.操作型;6.分类讨论. 16.(2017枣庄)如图,在平面直角坐标系中,已知△ABC三个顶点的坐标分别是A(2,2),B(4,0),C(4,﹣4). (1)请在图中,画出△ABC向左平移6个单位长度后得到的△A1B1C1; (2)以点O为位似中心,将△ABC缩小为原来的,得到△A2B2C2,请在图中y轴右侧,画出△A2B2C2,并求出∠A2C2B2的正弦值. 【答案】(1)作图见解析;(2)作图见解析,sin∠A2C2B2=. 【解析】 试题分析:(1)直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案; (2)利用位似图形的性质得出对应点位置,再利用锐角三角三角函数关系得出答案. 试题解析:(1)如图所示:△A1B1C1,即为所求; (2)如图所示:△A2B2C2,即为所求,由图形可知,∠A2C2B2=∠ACB,过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D,由A(2,2),C(4,﹣4),B(4,0),易得D(4,2),故AD=2,CD=6,AC==,∴sin∠ACB===,即sin∠A2C2B2=. 考点:1.作图﹣位似变换;2.作图﹣平移变换;3.解直角三角形. 17.(2017济宁)实验探究: (1)如图1,对折矩形纸片ABCD,使AD与BC重合,得到折痕EF,把纸片展开;再一次折叠纸片,使点A落在EF上,并使折痕经过点B,得到折痕BM,同时得到线段BN,MN.请你观察图1,猜想∠MBN的度数是多少,并证明你的结论. (2)将图1中的三角形纸片BMN剪下,如图2,折叠该纸片,探究MN与BM的数量关系,写出折叠方案,并结合方案证明你的结论. 【答案】(1)∠MBN=30°;(2)MN=BM. 【解析】 理由:如图1中,连接AN,∵直线EF是AB的垂直平分线,∴NA=NB,由折叠可知,BN=AB,∴AB=BN=AN,∴△ABN是等边三角形,∴∠ABN=60°,∴NBM=∠ABM=∠ABN=30°. (2)结论:MN=BM. 折纸方案:如图2中,折叠△BMN,使得点N落在BM上O处,折痕为MP,连接OP. 理由:由折叠可知△MOP≌△MNP,∴MN=OM,∠OMP=∠NMP=∠OMN=30°=∠B,∠MOP=∠MNP=90°,∴∠BOP=∠MOP=90°,∵OP=OP,∴△MOP≌△BOP,∴MO=BO=BM,∴MN=BM. 考点:1.翻折变换(折叠问题);2.矩形的性质;3.剪纸问题. 18.(2017山东省潍坊市)工人师傅用一块长为10dm,宽为6dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器,需要将四角各裁掉一个正方形.(厚度不计) (1)在图中画出裁剪示意图,用实线表示裁剪线,虚线表示折痕;并求长方体底面面积为12dm2时,裁掉的正方形边长多大? (2)若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的五倍,并将容器进行防锈处理,侧面每平方分米的费用为0.5元,底面每平方分米的费用为2元,裁掉的正方形边长多大时,总费用最低,最低为多少? 【答案】(1)裁掉的正方形的边长为2dm;(2)当裁掉边长为2.5dm的正方形时,总费用最低,最低费用为25元. 【解析】 试题解析: (1)如图所示: 设裁掉的正方形的边长为xdm,由题意可得(10﹣2x)(6﹣2x)=12,即x2﹣8x+12=0,解得x=2或x=6(舍去). 答:裁掉的正方形的边长为2dm,底面积为12dm2; (2)∵长不大于宽的五倍,∴10﹣2x≤5(6﹣2x),解得0<x≤2.5,设总费用为w元,由题意可知 w=0.5×2x(16﹣4x)+2(10﹣2x)(6﹣2x)=4x2﹣48x+120=4(x﹣6)2﹣24,∵对称轴为x=6,开口向上,∴当0<x≤2.5时,w随x的增大而减小,∴当x=2.5时,w有最小值,最小值为25元. 答:当裁掉边长为2.5dm的正方形时,总费用最低,最低费用为25元. 考点:1.二次函数的应用;2.一元二次方程的应用;3.二次函数的最值;4.最值问题;5.操作型. 19.(2017山东省烟台市)【操作发现】 (1)如图1,△ABC为等边三角形,现将三角板中的60°角与∠ACB重合,再将三角板绕点C按顺时针方向旋转(旋转角大于0°且小于30°),旋转后三角板的一直角边与AB交于点D,在三角板斜边上取一点F,使CF=CD,线段AB上取点E,使∠DCE=30°,连接AF,EF. ①求∠EAF的度数; ②DE与EF相等吗?请说明理由; 【类比探究】 (2)如图2,△ABC为等腰直角三角形,∠ACB=90°,先将三角板的90°角与∠ACB重合,再将三角板绕点C按顺时针方向旋转(旋转角大于0°且小于45°),旋转后三角板的一直角边与AB交于点D,在三角板另一直角边上取一点F,使CF=CD,线段AB上取点E,使∠DCE=45°,连接AF,EF,请直接写出探究结果: ①求∠EAF的度数; ②线段AE,ED,DB之间的数量关系. 【答案】(1)①120°;②DE=EF;(2)①90°;②AE2+DB2=DE2. 【解析】 试题分析:(1)①由等边三角形的性质得出AC=BC,∠BAC=∠B=60°,求出∠ACF=∠BCD,证明△ACF≌△BCD,得出∠CAF=∠B=60°,求出∠EAF=∠BAC+∠CAF=120°; ②证出∠DCE=∠FCE,由SAS证明△DCE≌△FCE,得出DE=EF即可; (2)①由等腰直角三角形的性质得出AC=BC,∠BAC=∠B=45°,证出∠ACF=∠BCD,由SAS证明△ACF≌△BCD,得出∠CAF=∠B=45°,AF=DB,求出∠EAF=∠BAC+∠CAF=90°; ②证出∠DCE=∠FCE,由SAS证明△DCE≌△FCE,得出DE=EF;在Rt△AEF中,由勾股定理得出AE2+AF2=EF2,即可得出结论. 试题解析:(1)①∵△ABC是等边三角形,∴AC=BC,∠BAC=∠B=60°,∵∠DCF=60°,∴∠ACF=∠BCD,在△ACF和△BCD中,∵AC=BC,∠ACF=∠BCD,CF=CD,∴△ACF≌△BCD(SAS),∴∠CAF=∠B=60°,∴∠EAF=∠BAC+∠CAF=120°; ②DE=EF;理由如下: ∵∠DCF=60°,∠DCE=30°,∴∠FCE=60°﹣30°=30°,∴∠DCE=∠FCE,在△DCE和△FCE中,∵CD=CF,∠DCE=∠FCE,CE=CE,∴△DCE≌△FCE(SAS),∴DE=EF; (2)①∵△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,∴AC=BC,∠BAC=∠B=45°,∵∠DCF=90°,∴∠ACF=∠BCD,在△ACF和△BCD中,∵AC=BC,∠ACF=∠BCD,CF=CD,,∴△ACF≌△BCD(SAS),∴∠CAF=∠B=45°,AF=DB,∴∠EAF=∠BAC+∠CAF=90°; ②AE2+DB2=DE2,理由如下: ∵∠DCF=90°,∠DCE=45°,∴∠FCE=90°﹣45°=45°,∴∠DCE=∠FCE,在△DCE和△FCE中,∵CD=CF,∠DCE=∠FCE,CE=CE,∴△DCE≌△FCE(SAS),∴DE=EF,在Rt△AEF中,AE2+AF2=EF2,又∵AF=DB,∴AE2+DB2=DE2. 考点:1.几何变换综合题;2.探究型;3.变式探究;4.和差倍分;5.操作型;6.阅读型;7.压轴题. 20.(2017江苏省盐城市)如图,△ABC是一块直角三角板,且∠C=90°,∠A=30°,现将圆心为点O的圆形纸片放置在三角板内部. (1)如图①,当圆形纸片与两直角边AC、BC都相切时,试用直尺与圆规作出射线CO;(不写作法与证明,保留作图痕迹) (2)如图②,将圆形纸片沿着三角板的内部边缘滚动1周,回到起点位置时停止,若BC=9,圆形纸片的半径为2,求圆心O运动的路径长. 【答案】(1)作图见解析;(2). 【解析】 试题解析:(1)如图①所示,射线OC即为所求; (2)如图2,圆心O的运动路径长为,过点O1作O1D⊥BC、O1F⊥AC、O1G⊥AB,垂足分别为点D、F、G,过点O作OE⊥BC,垂足为点E,连接O2B,过点O2作O2H⊥AB,O2I⊥AC,垂足分别为点H、I,在Rt△ABC中,∠ACB=90°、∠A=30°,∴AC===,AB=2BC=18,∠ABC=60°,∴C△ABC=9++18=27+,∵O1D⊥BC、O1G⊥AB,∴D、G为切点,∴BD=BG,在Rt△O1BD和Rt△O1BG中,∵BD=BG,O1B=O1B,∴△O1BD≌△O1BG(HL),∴∠O1BG=∠O1BD=30°,在Rt△O1BD中,∠O1DB=90°,∠O1BD=30°,∴BD= ==,∴OO1=9﹣2﹣=7﹣,∵O1D=OE=2,O1D⊥BC,OE⊥BC,∴O1D∥OE,且O1D=OE,∴四边形OEDO1为平行四边形,∵∠OED=90°,∴四边形OEDO1为矩形,同理四边形O1O2HG、四边形OO2IF、四边形OECF为矩形,又OE=OF,∴四边形OECF为正方形,∵∠O1GH=∠CDO1=90°,∠ABC=60°,∴∠GO1D=120°,又∵∠FO1D=∠O2O1G=90°,∴∠OO1O2=360°﹣90°﹣90°=60°=∠ABC,同理,∠O1OO2=90°,∴△OO1O2∽△CBA,∴,即,∴ =,即圆心O运动的路径长为. 考点:1.轨迹;2.切线的性质;3.作图—复杂作图;4.综合题. 21.(2017江西省)如图,已知正七边形ABCDEFG,请仅用无刻度的直尺,分别按下列要求画图. (1)在图1中,画出一个以AB为边的平行四边形; (2)在图2中,画出一个以AF为边的菱形. 【答案】(1)答案见解析;(2)答案见解析. 【解析】 (2)连接AF、DF,∠延长DC交AB的延长线于M,四边形AFDM是菱形. 考点:1.作图—复杂作图;2.平行四边形的性质;3.菱形的性质. 22.(2017浙江省台州市)在平面直角坐标系中,借助直角三角板可以找到一元二次方程的实数根.比如对于方程,操作步骤是: 第一步:根据方程的系数特征,确定一对固定点A(0,1),B(5,2); 第二步:在坐标平面中移动一个直角三角板,使一条直角边恒过点A,另一条直角边恒过点B; 第三步:在移动过程中,当三角板的直角顶点落在x轴上点C处时,点C的横坐标m即为该方程的一个实数根(如图1); 第四步:调整三角板直角顶点的位置,当它落在x轴上另一点D处时,点D的横坐标n即为该方程的另一个实数根. (1)在图2中,按照“第四步”的操作方法作出点D(请保留作出点D时直角三角板两条直角边的痕迹); (2)结合图1,请证明“第三步”操作得到的m就是方程的一个实数根; (3)上述操作的关键是确定两个固定点的位置,若要以此方法找到一元二次方程 (a≠0,≥0)的实数根,请你直接写出一对固定点的坐标; (4)实际上,(3)中的固定点有无数对,一般地,当m1,n1,m2,n2与a,b,c之间满足怎样的关系时,点P(m1,n1),Q(m2,n2)就是符合要求的一对固定点? 【答案】(1)作图见解析;(2)证明见解析;(3)A(0,1),B(﹣,)或A(0,),B(﹣,c)等;(4),=. 【解析】 试题分析:(1)根据“第四步”的操作方法作出点D即可; (2)过点B作BD⊥x轴于点D,根据△AOC∽△CDB,可得,进而得出,即,据此可得m是方程的实数根; (3)方程(a≠0)可化为,模仿研究小组作法可得一对固定点的坐标; (4)先设方程的根为x,根据三角形相似可得,进而得到,再根据,可得,最后比较系数可得m1,n1,m2,n2与a,b,c之间的关系. 试题解析:(1)如图所示,点D即为所求; (2)如图所示,过点B作BD⊥x轴于点D,根据∠AOC=∠CDB=90°,∠ACO=∠CBD,可得△AOC∽△CDB,∴,∴,∴m(5﹣m)=2,∴,∴m是方程的实数根; (3)方程(a≠0)可化为 ,模仿研究小组作法可得:A(0,1),B(﹣,)或A(0,),B(﹣,c)等; (4)如图,P(m1,n1),Q(m2,n2),设方程的根为x,根据三角形相似可得,上式可化为,又∵,即,∴比较系数可得,=. 考点:1.三角形综合题;2.一元二次方程的解;3.相似三角形的判定与性质;4.阅读型;5.操作型;6.压轴题. 23.(2017辽宁省抚顺市)在平面直角坐标系中,A,B,C,三点坐标分别为A(﹣6,3),B(﹣4,1),C(﹣1,1). (1)如图1,顺次连接AB,BC,CA,得△ABC. ①点A关于x轴的对称点A1的坐标是 ,点B关于y轴的对称点B1的坐标是 ; ②画出△ABC关于原点对称的△A2B2C2; ③tan∠A2C2B2= ; (2)利用四边形的不稳定性,将第二象限部分由小正方形组成的网格,变化为如图2所示的由小菱形组成的网格,每个小菱形的边长仍为1个单位长度,且较小内角为60°,原来的格点A,B,C分别对应新网格中的格点A′,B′,C′,顺次连接A′B′,B′C′,C′A′,得△A′B′C′,则tan∠A′C′B′= . 【答案】(1)①(﹣6,﹣3),(4,1);②答案见解析;③;(2). 【解析】 试题解析:(1)①点A关于x轴的对称点A1的坐标是(﹣6,﹣3),点B关于y轴的对称点B1的坐标是(4,1); 故答案为:(﹣6,﹣3),(4,1); ②如图1所示; ③tan∠A2B2C2=;故答案为:; (2)如图2,过A'作A'E⊥B′C′于E,延长C′B′至D,使DC'=5,连接A'D,Rt△A′ED中,∵∠A′DE=60°,A'D=2,∴DE=1,A'E=,∴EC'=5﹣1=4,Rt△A′EC′中,tan∠A'C'B'==,故答案为:. 考点:1.作图﹣旋转变换;2.作图﹣轴对称变换;3.解直角三角形. 24.(2017江苏省镇江市)【回顾】 如图1,△ABC中,∠B=30°,AB=3,BC=4,则△ABC的面积等于 . 【探究】 图2是同学们熟悉的一副三角尺,一个含有30°的角,较短的直角边长为a;另一个含有45°的角,直角边长为b,小明用两副这样的三角尺拼成一个平行四边形ABCD(如图3),用了两种不同的方法计算它的面积,从而推出sin75°=,小丽用两副这样的三角尺拼成了一个矩形EFGH(如图4),也推出sin75°=,请你写出小明或小丽推出sin75°=的具体说理过程. 【应用】 在四边形ABCD中,AD∥BC,∠D=75°,BC=6,CD=5,AD=10(如图5). (1)点E在AD上,设t=BE+CE,求t2的最小值; (2)点F在AB上,将△BCF沿CF翻折,点B落在AD上的点G处,点G是AD的中点吗?说明理由. 【答案】【回顾】3;【探究】答案见解析;【应用】(1)86+25;(2)点G不是AD的中点. 【解析】 试题分析:回顾:如图1中,作AH⊥BC.求出AH即可解决问题; 探究:如图2中,根据S四边形ABCD=BC•AB•sin75°=2S△ABE+2S△BFC+S矩形EFGH列出方程即可解决问题; 应用:(1)作C关于AD的对称点H,CH交AD于J,连接BH,EH.因为EC=EH,推出EB+EC=EB+EH,在△EBH中,BE+EH≥BH,推出BE+EC的最小值为BH,求出BH即可解决问题; (2)结论:点G不是AD的中点.理由反证法证明即可. 试题解析:由题意可知四边形EFGH是矩形,AB=CD=2a,AH=DH=BF=CF=b,EF=GH=a﹣b,EH=FG=b﹣a,BC=b. 【回顾】如图1中,作AH⊥BC. 在Rt△ABH中,∵∠B=30°,AB=3,∴AH=AB•sin30°=,∴S△ABC=•BC•AH=×4×=3,故答案为:3. 探究:如图3中, 由题意可知四边形EFGH是矩形,AB=CD=2a,AH=DH=BF=CF=b,EF=GH=a﹣b,EH=FG=b﹣a,BC=b,∵S四边形ABCD=BC•AB•sin75°=2S△ABE+2S△BFC+S矩形EFGH ∴b•2a•sin75°=2××a×a+2××b2+(a﹣b)(b﹣a),∴2absin75°=ab+ab,∴sin75°=. 如图4中, 易知四边形ABCD是平行四边形,∠BAD=75°,∴S四边形EFGH=2S△ABE+2S△ADF+S平行四边形ABCD,∴(a+b)(a+b)═2××a×a+2××b2+b•2a•sin75°,∴sin75°=. 应用:(1)作C关于AD的对称点H,CH交AD于J,连接BH,EH. 在Rt△DCJ中,JC=CD•sin75°=,∴CH=2CJ=,在Rt△BHC中,BH2=BC2+CH2=36+=86+25,∵EC=EH,∴EB+EC=EB+EH,在△EBH中,BE+EH≥BH,∴BE+EC的最小值为BH,∴t=BE+CE,t2的最小值为BH2,即为86+25. (2)结论:点G不是AD的中点. 理由:作CJ⊥AD于J,DH⊥CG于H. 不妨设AG=GD=5,∵CD=5,∴DC=DG,∵DH⊥CG,∴GH=CH=3,在Rt△CDH中,DH= ==4,∵S△DGC=•CG•DH=•DG•CJ,∴CJ=,∴sin∠CDJ=,∵∠CDJ=75°,∴与sin75°=矛盾,∴假设不成立,∴点G不是AD的中点. 考点:1.四边形综合题;2.阅读型;3.最值问题;4.操作型;5.探究型;6.压轴题. 【2016年题组】 一、选择题 1.(2016云南省曲靖市)如图,C,E是直线l两侧的点,以C为圆心,CE长为半径画弧交l于A,B两点,又分别以A,B为圆心,大于AB的长为半径画弧,两弧交于点D,连接CA,CB,CD,下列结论不一定正确的是(  ) A.CD⊥l          B.点A,B关于直线CD对称 C.点C,D关于直线l对称      D.CD平分∠ACB 【答案】C. 【分析】利用基本作图可对A进行判断;利用CD垂直平分AB可对B、D进行判断;利用AC与AD不一定相等可对C进行判断. 【点评】本题考查了作图﹣基本作图:掌握基本作图(作一条线段等于已知线段;作一个角等于已知角;作已知线段的垂直平分线;作已知角的角平分线;过一点作已知直线的垂线). 考点:1.作图—基本作图;2.线段垂直平分线的性质;3.轴对称的性质;4.作图题. 2.(2016四川省达州市)如图,将一张等边三角形纸片沿中位线剪成4个小三角形,称为第一次操作;然后,将其中的一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形,共得到7个小三角形,称为第二次操作;再将其中一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形,共得到10个小三角形,称为第三次操作;…根据以上操作,若要得到100个小三角形,则需要操作的次数是(  ) A.25      B.33      C.34      D.50 【答案】B. 【分析】由第一次操作后三角形共有4个、第二次操作后三角形共有(4+3)个、第三次操作后三角形共有(4+3+3)个,可得第n次操作后三角形共有4+3(n﹣1)=3n+1个,根据题意得3n+1=100,求得n的值即可. 【解析】∵第一次操作后,三角形共有4个; 第二次操作后,三角形共有4+3=7个; 第三次操作后,三角形共有4+3+3=10个; … ∴第n次操作后,三角形共有4+3(n﹣1)=3n+1个; 当3n+1=100时,解得:n=33,故选B. 【点评】此题主要考查了图形的变化类,根据已知得出第n次操作后,三角形的个数为3n+1是解题关键. 考点:1.规律型:图形的变化类;2.操作型. 3.(2016山东省淄博市)小明用计算器计算(a+b)c的值,其按键顺序和计算器显示结果如表: 这时他才明白计算器是先做乘法再做加法的,于是他依次按键: 从而得到了正确结果,已知a是b的3倍,则正确的结果是(  ) A.24      B.39      C.48      D.96 【答案】C. 【分析】根据题意得出关于a,b,c的方程组,进而解出a,b,c的值,进而得出答案. 【解析】由题意可得:,则:,解得:,故(9+3)×4=48.故选C. 【点评】此题主要考查了计算器的应用以及方程组的解法,正确得出关于a,b,c的等式是解题关键. 考点:1.计算器—基础知识;2.操作型. 4.(2016河北省)如图,已知钝角△ABC,依下列步骤尺规作图,并保留作图痕迹. 步骤1:以C为圆心,CA为半径画弧①; 步骤2:以B为圆心,BA为半径画弧②,交弧①于点D; 步骤3:连接AD,交BC延长线于点H. 下列叙述正确的是(  ) A.BH垂直平分线段AD      B.AC平分∠BAD C.S△ABC=BC•AH         D.AB=AD 【答案】A. 【分析】根据已知条件可知直线BC是线段AD的垂直平分线,由此一一判定即可. 【解析】A.正确.如图连接CD、BD,∵CA=CD,BA=BD,∴点C、点B在线段AD的垂直平分线上,∴直线BC是线段AD的垂直平分线,故A正确. B.错误.CA不一定平分∠BDA. C.错误.应该是S△ABC=BC•AH. D.错误.根据条件AB不一定等于AD. 故选A. 【点评】本题考查作图﹣基本作图、线段的垂直平分线的性质等知识,解题的关键是掌握证明线段垂直平分线的证明方法,属于基础题,中考常考题型. 考点:1.作图—基本作图;2.线段垂直平分线的性质. 5.(2016江苏省扬州市)如图,矩形纸片ABCD中,AB=4,BC=6.将该矩形纸片剪去3个等腰直角三角形,所有剪法中剩余部分面积的最小值是(  ) A.6      B.3      C.2.5      D.2 【答案】C. 【分析】以BC为边作等腰直角三角形△EBC,延长BE交AD于F,得△ABF是等腰直角三角形,作EG⊥CD于G,得△EGC是等腰直角三角形,在矩形ABCD中剪去△ABF,△BCE,△ECG得到四边形EFDG,此时剩余部分面积的最小 【点评】本题考查几何最值问题、等腰直角三角形性质等知识,解题的关键是探究出如何确定三个等腰直角三角形,属于中考选择题中的压轴题. 考点:1.矩形的性质;2.等腰直角三角形;3.操作型;4.最值问题;5.几何问题的最值. 6.(2016浙江省丽水市)用直尺和圆规作Rt△ABC斜边AB上的高线CD,以下四个作图中,作法错误的是(  ) A.      B. C.      D. 【答案】D. 【分析】根据过直线外一点作已知直线的垂线作图即可求解. 【点评】考查了作图﹣复杂作图,关键是熟练掌握作过直线外一点作已知直线的垂线的方法. 考点:作图—复杂作图. 7.(2016湖北省宜昌市)任意一条线段EF,其垂直平分线的尺规作图痕迹如图所示.若连接EH、HF、FG,GE,则下列结论中,不一定正确的是(  ) A.△EGH为等腰三角形    B.△EGF为等边三角形 C.四边形EGFH为菱形    D.△EHF为等腰三角形 【答案】B. 【分析】根据等腰三角形的定义、菱形的定义、等边三角形的定义一一判断即可. 【解析】A.正确.∵EG=EH,∴△EGH是等边三角形. B.错误.∵EG=GF,∴△EFG是等腰三角形,若△EFG是等边三角形,则EF=EG,显然不可能. C.正确.∵EG=EH=HF=FG,∴四边形EHFG是菱形. D.正确.

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