专题29 相似与位似-2年中考1年模拟备战2018年中考数学精品系列（解析版）.doc

备战2018中考系列：数学2年中考1年模拟 第五篇 图形的变化 专题29 相似与位似 ☞解读考点 知　识　点 名师点晴 比和比例[来源:学§科§网][来源:学#科#网] 1．比例[来源:Zxxk.Com][来源:学科网ZXXK] 知道什么是比例式、第四比例项、比例中项．[来源:学§科§网][来源:学科网] 2．黄金分割 知道黄金分割的意义和生活中的应用． 3．比例的基本性质及定理 能熟练运用比例的基本性质进行相关的计算． 4．平行线分线段成比例定理 会直接运用定理进行计算和证明． 相似形 5．相似三角形 知道什么是相似三角形． 6．相似三角形的判定和性质 能运用相似三角形的性质和判定方法证明简单问题． 7．相似多边形的性质 了解相似多边形的性质． 8．位似图形 知道位似是相似的特殊情况．能利用位似放大和缩小一个图形． ☞2年中考 【2017年题组】 一、选择题 1．（2017内蒙古通辽市）志远要在报纸上刊登广告，一块10cm×5cm的长方形版面要付广告费180元，他要把该版面的边长都扩大为原来的3倍，在每平方厘米版面广告费相同的情况下，他该付广告费（　　） A．540元　　　　　　B．1080元　　　　　　C．1620元　　　　　　D．1800元 【答案】C． 【解析】 考点：相似三角形的应用． 2．（2017四川省成都市）如图，四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，若OA′=2：3，则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为（　　） A．4：9　　　　　　B．2：5　　　　　　C．2：3　　　　　　D． 【答案】A． 【解析】 试题分析：∵四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，OA′=2：3，∴D′A′=OA′=2：3，∴四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为：，故选A． 考点：位似变换．学科~网 3．（2017内蒙古包头市）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．若AC=3，AB=5，则CE的长为（　　） A． 　　　　B． 　　　　C． 　　　　D． 【答案】A． 【解析】 试题分析：过点F作FG⊥AB于点G，∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠CDA=90°，∴∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，∵AF平分∠CAB，∴∠CAF=∠FAD，∴∠CFA=∠AED=∠CEF，∴CE=CF，∵AF平分∠CAB，∠ACF=∠AGF=90°，∴FC=FG，∵∠B=∠B，∠FGB=∠ACB=90°，∴△BFG∽△BAC，∴，∵AC=3，AB=5，∠ACB=90°，∴BC=4，∴，∵FC=FG，∴，解得：FC=，即CE的长为．故选A． 考点：1．相似三角形的判定与性质；2．勾股定理；3．角平分线的性质；4．综合题． 4．（2017枣庄）如图，在△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　） A．　　　　　　B． C．　　　　　D． 【答案】C． 【解析】 考点：相似三角形的判定． 5．（2017山东省泰安市）如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交AD的延长线于点E．若AB=12，BM=5，则DE的长为（　　） A．18　　　　B．　　　　C． 　　　　D． 【答案】B． 【解析】 试题分析：∵四边形ABCD是正方形，AB=12，BM=5，∴MC=12﹣5=7．∵ME⊥AM，∴∠AME=90°，∴∠AMB+∠CMG=90°．∵∠AMB+∠BAM=90°，∴∠BAM=∠CMG，∠B=∠C=90°，∴△ABM∽△MCG，∴，即，解得CG=，∴DG=12﹣=．∵AE∥BC，∴∠E=CMG，∠EDG=∠C，∴△MCG∽△EDG，∴，即，解得DE=．故选B． 考点：1．相似三角形的判定与性质；2．勾股定理；3．正方形的性质． 6．（2017山东省淄博市）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，∠BAC，∠ACB的平分线相交于点E，过点E作EF∥BC交AC于点F，则EF的长为（　　） A．　　　　B．　　　　C． 　　　　D． 【答案】C． 【解析】 试题分析：如图，延长FE交AB于点D，作EG⊥BC于点G，作EH⊥AC于点H，∵EF∥BC、∠ABC=90°，∴FD⊥AB，∵EG⊥BC，∴四边形BDEG是矩形，∵AE平分∠BAC、CE平分∠ACB，∴ED=EH=EG，∠DAE=∠HAE，∴四边形BDEG是正方形，在△DAE和△HAE中，∵∠DAE=∠HAE，AE=AE，∠ADE=∠AHE，∴△DAE≌△HAE（SAS），∴AD=AH，同理△CGE≌△CHE，∴CG=CH，设BD=BG=x，则AD=AH=6﹣x、CG=CH=8﹣x，∵AC===10，∴6﹣x+8﹣x=10，解得：x=2，∴BD=DE=2，AD=4，∵DF∥BC，∴△ADF∽△ABC，∴，即，解得：DF=，则EF=DF﹣DE=﹣2=，故选C． 考点：1．相似三角形的判定与性质；2．角平分线的性质；3．等腰三角形的判定与性质；4．综合题． 7．（2017湖南省张家界市）如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的中点，如果△ADE的周长是6，则△ABC的周长是（　　） A．6　　　　　　B．12　　　　　　C．18　　　　　　D．24 【答案】B． 【解析】 考点：1．相似三角形的判定与性质；2．三角形中位线定理． 8．（2017湖南省永州市）如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点，若∠ACD=∠B，AD=1，AC=2，△ADC的面积为1，则△BCD的面积为（　　） A．1　　　　　　B．2　　　　　　C．3　　　　　　D．4 【答案】C． 【解析】 试题分析：∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∴．∵S△ACD=1，∴S△ABC=4，S△BCD=S△ABC﹣S△ACD=3．故选C． 考点：相似三角形的判定与性质． 9．（2017甘肃省兰州市）如图，小明为了测量一凉亭的高度AB（顶端A到水平地面BD的距离），在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶BC等高的台阶DE（DE=BC=0.5米，A、B、C三点共线），把一面镜子水平放置在平台上的点G处，测得CG=15米，然后沿直线CG后退到点E处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端A，测得EG=3米，小明身高1.6米，则凉亭的高度AB约为（　　） A．8.5米　　　　　　B．9米　　　　　　C．9.5米　　　　　　D．10米 【答案】A． 【解析】 试题分析：由题意∠AGC=∠FGE，∵∠ACG=∠FEG=90°，∴△ACG∽△FEG，∴，∴，∴AC=8，∴AB=AC+BC=8+0.5=8.5米．故选A． 考点：相似三角形的应用． 10．（2017贵州省六盘水市）矩形的两边长分别为a、b，下列数据能构成黄金矩形的是（　　） A．a=4，b=　　B．a=4，b=　　　　C．a=2，b=　　　　D．a=2，b= 【答案】D． 【解析】 试题分析：∵宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，∴=，∴a=2，b=，故选D． 考点：1．黄金分割；2．矩形的性质． 11．（2017四川省雅安市）如图，四边形ABCD中，AB=4，BC=6，AB⊥BC，BC⊥CD，E为AD的中点，F为线段BE上的点，且FE=BE，则点F到边CD的距离是 （　　） A．3　　　　B．　　　　C．4　　　　D． 【答案】C． 【解析】 试题分析：如图，过点D作DG⊥AB，交BA的延长线于点G，过点E作EH⊥BG于点H，过点F作FP⊥BG于点P，延长PF交CD于点M，则FM即为点F到边CD的距离，则四边形BCDG，四边形BCMP为矩形，∴PM=DG=BC=6．∵点E为AD的中点，EH∥DG，∴EH=DG=3．∵FE=BE，∴.∵EH⊥BG，FP⊥BG，∴PF∥EH，∴，，∴PF=2，∴FM=PM-PF=6-2=4．故选C． 考点：1．矩形的判定与性质；2．三角形中位线定理；3．相似三角形的判定与性质；4．综合题． 12．（2017山东省莱芜市）如图，正五边形ABCDE的边长为2，连结AC、AD、BE，BE分别与AC和AD相交于点F、G，连结DF，给出下列结论：①∠FDG=18°；②FG=3﹣；③（S四边形CDEF）2=9+2；④DF2﹣DG2=7﹣2．其中正确结论的个数是（　　） A．1　　　　　　B．2　　　　　　C．3　　　　　　D．4 【答案】B． 【解析】 ②∵∠ABE=∠ACB=36°，∠BAC=∠BAF，∴△ABF∽△ACB，∴，∴AB•ED=AC•EG，∵AB=ED=2，AC=BE=BG+EF﹣FG=2AB﹣FG=4﹣FG，EG=BG﹣FG=2﹣FG，∴22=（2﹣FG）（4﹣FG），∴FG=3+＞2（舍），FG=3﹣； 所以②正确； ③如图1，∵∠EBC=72°，∠BCD=108°，∴∠EBC+∠BCD=180°，∴EF∥CD，∵EF=CD=2，∴四边形CDEF是平行四边形，过D作DM⊥EG于M，∵DG=DE，∴EM=MG=EG=（EF﹣FG）=（2﹣3+）=，由勾股定理得：DM== =，∴（S四边形CDEF）2=EF2×DM2=4×=10+2； 所以③不正确； ④如图2，连接EC，∵EF=ED，∴▱CDEF是菱形，∴FD⊥EC，∵EC=BE=4﹣FG=4﹣（3﹣）=1+，∴S四边形CDEF=FD•EC=2×，×FD×（1+）=，FD2=10﹣2，∴DF2﹣DG2=10﹣2﹣4=6﹣2，所以④不正确； 本题正确的有两个，故选B． 考点：1．正多边形和圆；2．相似三角形的判定与性质；3．综合题． 13．（2017江苏省镇江市）点E、F分别在平行四边形ABCD的边BC、AD上，BE=DF，点P在边AB上，AP：PB=1：n（n＞1），过点P且平行于AD的直线l将△ABE分成面积为S1、S2的两部分，将△CDF分成面积为S3、S4的两部分（如图），下列四个等式： ① ② ③ ④ 其中成立的有（　　） A．①②④　　　　　　B．②③　　　　　　C．②③④　　　　　　D．③④ 【答案】B． 【解析】 试题分析：由题意∵AP：PB=1：n（n＞1），AD∥l∥BC，∴=，S3=n2S1，=，整理得：S2=n（n+2）S1，S4=（2n+1）S1，∴S1：S4=1：（2n+1），故①错误，②正确，∴（S1+S4）：（S2+S3）=[S1+（2n+1）S1]：[n（n+2）S1+n2S1]=1：n，故③正确，∴（S3﹣S1）：（S2﹣S4）=[n2S1﹣S1]：[n（n+2）S1﹣（2n+1）S1]=1：1，故④错误，故选B． 考点：1．相似三角形的判定与性质；2．平行四边形的性质；3．压轴题． 14．（2017辽宁省鞍山市）如图，在矩形ABCD中，点E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，分析下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②DF=DC；③S△DCF=4S△DEF；④tan∠CAD=．其中正确结论的个数是（　　） A．4　　　　　　B．3　　　　　　C．2　　　　　　D．1 【答案】A． 【解析】 ④设AE=a，AB=b，则AD=2a，由△BAE∽△ADC，有，即b=a，∴tan∠CAD= =．故④正确； 故选A． 考点：1．相似三角形的判定与性质；2．矩形的性质；3．解直角三角形；4．综合题． 二、填空题 15．（2017云南省）如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC上的点，若DE∥BC，=，则= ． 【答案】． 【解析】 考点：相似三角形的判定与性质． 16．（2017内蒙古包头市）如图，在△ABC与△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点D在AB上，点E与点C在AB的两侧，连接BE，CD，点M、N分别是BE、CD的中点，连接MN，AM，AN． 下列结论：①△ACD≌△ABE；②△ABC∽△AMN；③△AMN是等边三角形；④若点D是AB的中点，则S△ABC=2S△ABE． 其中正确的结论是 ．（填写所有正确结论的序号） 【答案】①②④． 【解析】 试题分析：①在△ACD和△ABE中，∵AC=AB，∠BAC=∠DAE，AD=AE，∴△ACD≌△ABE（SAS），所以①正确； ②∵△ACD≌△ABE，∴CD=BE，∠NCA=∠MBA，又∵M，N分别为BE，CD的中点，∴CN=BM，在△ACN和△ABM中，∵AC=AB，∠ACN=∠ABM，CN=BM，∴△ACN≌△ABM，∴AN=AM，∠CAN∠BAM，∴∠BAC=∠MAN，∵AB=AC，∴∠ACB=∠ABC，∴∠ABC∠AMN，∴△ABC∽△AMN，所以②正确； ③∵AN=AM，∴△AMN为等腰三角形，所以③不正确； ④∵△ACN≌△ABM，∴S△ACN=S△ABM，∵点M、N分别是BE、CD的中点，∴S△ACD=2S△ACN，S△ABE=2S△ABM，∴S△ACD=S△ABE，∵D是AB的中点，∴S△ABC=2S△ACD=2S△ABE，所以④正确； 本题正确的结论有：①②④；故答案为：①②④． 考点：1．相似三角形的判定与性质；2．全等三角形的判定与性质；3．等边三角形的判定与性质． 17．（2017内蒙古呼和浩特市）如图，在▱ABCD中，∠B=30°，AB=AC，O是两条对角线的交点，过点O作AC的垂线分别交边AD，BC于点E，F，点M是边AB的一个三等分点，则△AOE与△BMF的面积比为 ． 【答案】3：4． 【解析】 试题分析：设AB=AC=m，则BM=m，∵O是两条对角线的交点，∴OA=OC=AC=m，∵∠B=30°，AB=AC，∴∠ACB=∠B=30°，∵EF⊥AC，∴cos∠ACB=，即cos30°=，∴FC=m，∵AE∥FC，∴∠EAC=∠FCA，又∵∠AOE=∠COF，AO=CO，∴△AOE≌△COF，∴AE=FC=m，∴OE=AE=m，∴S△AOE=OA•OE=×π×m=m2，作AN⊥BC于N，∵AB=AC，∴BN=CN=BC，∵BN=AB=m，∴BC=m，∴BF=BC﹣FC=m﹣m=m，作MH⊥BC于H，∵∠B=30°，∴MH=BM=m，∴S△BMF=BF•MH=×m×m=m2，∴ =．故答案为：3：4． 考点：1．相似三角形的判定与性质；2．平行四边形的性质． 18．（2017北京市）如图，在△ABC中，M、N分别为AC，BC的中点．若S△CMN=1，则S四边形ABNM= ． 【答案】3． 【解析】 考点：1．相似三角形的判定与性质；2．三角形中位线定理． 19．（2017四川省自贡市）在△ABC中，MN∥BC 分别交AB，AC于点M，N；若AM=1，MB=2，BC=3，则MN的长为 ． 【答案】1． 【解析】 试题分析：∵MN∥BC，∴△AMN∽△ABC，∴，即，∴MN=1，故答案为：1． 考点：相似三角形的判定与性质． 20．（2017四川省阿坝州）如图，在平面直角坐标系中，已知A（1，0），D（3，0），△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心．若AB=1.5，则DE= ． 【答案】4.5． 【解析】 试题分析：∵△ABC与DEF是位似图形，它们的位似中心恰好为原点，已知A点坐标为（1，0），D点坐标为（3，0），∴AO=1，DO=3，∴，∵AB=1.5，∴DE=4.5．故答案为：4.5． 考点：1．位似变换；2．坐标与图形性质． 21．（2017山东省烟台市）如图，在直角坐标系中，每个小方格的边长均为1，△AOB与△A′OB′是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为3：2，点A，B都在格点上，则点B′的坐标是 ． 【答案】（﹣2，）． 【解析】 试题分析：由题意得：△A′OB′与△AOB的相似比为2：3，又∵B（3，﹣2） ∴B′的坐标是[3×，﹣2×]，即B′的坐标是（﹣2，）； 故答案为：（﹣2，）． 考点：1．位似变换；2．坐标与图形性质． 22．（2017广东省深圳市）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，Rt△MPN，∠MPN=90°，点P在AC上，PM交AB于点E，PN交BC于点F，当PE=2PF时，AP= ． 【答案】3． 【解析】 考点：1．相似三角形的判定与性质；2．和差倍分． 23．（2017广西桂林市）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作EA⊥CA交DB的延长线于点E，若AB=3，BC=4，则的值为 ． 【答案】． 【解析】 试题分析：作BH⊥OA于H，如图，∵四边形ABCD为矩形，∴OA=OC=OB，∠ABC=90°，在Rt△ABC中，AC==5，∴AO=OB=，∵BH•AC=AB•BC，∴BH= =，在Rt△OBH中，OH= = =，∵EA⊥CA，∴BH∥AE，∴△OBH∽△OEA，∴，∴ == =．故答案为：． 考点：1．相似三角形的判定与性质；2．矩形的性质． 24．（2017江苏省苏州市）如图，在矩形ABCD中，将∠ABC绕点A按逆时针方向旋转一定角度后，BC的对应边B'C'交CD边于点G．连接BB'、CC'．若AD=7，CG=4，AB'=B'G，则= （结果保留根号）． 【答案】． 【解析】 试题分析：连接AC，AG，AC'，由旋转可得，AB=AB'，AC=AC'，∠BAB'=∠CAC'，∴，∴△ABB'∽△ACC'，∴ =，∵AB'=B'G，∠AB'G=∠ABC=90°，∴△AB'G是等腰直角三角形，∴AG=AB'，设AB=AB'=x，则AG=x，DG=x﹣4，∵Rt△ADG中，AD2+DG2=AG2，∴72+（x﹣4）2=（x）2，解得x1=5，x2=﹣13（舍去），∴AB=5，∴Rt△ABC中，AC===，∴ = =.故答案为：． 考点：1．旋转的性质；2．解一元二次方程﹣因式分解法；3．等腰直角三角形；4．矩形的性质；5．相似三角形的判定与性质；6．方程思想． 25．（2017湖北省随州市）在△ABC在，AB=6，AC=5，点D在边AB上，且AD=2，点E在边AC上，当AE= 时，以A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似． 【答案】或． 【解析】 试题分析：当时，∵∠A=∠A，∴△AED∽△ABC，此时AE===； 当时，∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ABC，此时AE===； 故答案为：或． 考点：1．相似三角形的判定；2．分类讨论． 26．（2017黑龙江省齐齐哈尔市）经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图，线段CD是△ABC的“和谐分割线”，△ACD为等腰三角形，△CBD和△ABC相似，∠A=46°，则∠ACB的度数为 ． 【答案】113°或92°． 【解析】 考点：1．相似三角形的性质；2．等腰三角形的性质；3．分类讨论；4．新定义． 27．（2017四川省遂宁市）如图，直线与x轴，y轴分别交于A、B两点，△BOC与△B′O′C′是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1：2，则点B′的坐标为 ． 【答案】（﹣9，﹣2）或（3，2）． 【解析】 试题分析：∵直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，令x=0可得y=1； 令y=0可得x=﹣3，∴点A和点B的坐标分别为（﹣3，0）；（0，1），∵△BOC与△B′O′C′是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1：2，∴=，∴O′B′=2，AO′=6，∴B′的坐标为（﹣9，﹣2）或（3，2）．故答案为：（﹣9，﹣2）或（3，2）． 考点：1．位似变换；2．一次函数图象上点的坐标特征；3．分类讨论． 28．（2017山东省莱芜市）如图，在矩形ABCD中，BE⊥AC分别交AC、AD于点F、E，若AD=1，AB=CF，则AE= ． 【答案】． 【解析】 考点：1．相似三角形的判定与性质；2．全等三角形的判定与性质；3．矩形的性质． 三、解答题 29．（2017四川省凉山州）如图，若要在宽AD为20米的城南大道两边安装路灯，路灯的灯臂BC长2米，且与灯柱AB成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线CO与灯臂BC垂直，当灯罩的轴线CO通过公路路面的中心线时照明效果最好，此时，路灯的灯柱AB高应该设计为多少米（结果保留根号）？ 【答案】． 【解析】 试题分析：延长OC，AB交于点P，△PCB∽△PAO，根据相似三角形对应边比例相等的性质即可解题． 试题解析：如图，延长OC，AB交于点P． ∵∠ABC=120°，∴∠PBC=60°，∵∠OCB=∠A=90°，∴∠P=30°，∵AD=20米，∴OA=AD=10米，∵BC=2米，∴在Rt△CPB中，PC=BC•tan60°=米，PB=2BC=4米，∵∠P=∠P，∠PCB=∠A=90°，∴△PCB∽△PAO，∴，∴PA===米，∴AB=PA﹣PB=（）米． 答：路灯的灯柱AB高应该设计为（）米． 考点：1．解直角三角形的应用；2．相似三角形的应用． 30．（2017四川省眉山市）如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，连结DE，过顶点B作BF⊥DE，垂足为F，BF分别交AC于H，交BC于G． （1）求证：BG=DE； （2）若点G为CD的中点，求的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【解析】 试题分析：（1）由于BF⊥DE，所以∠GFD=90°，从而可知∠CBG=∠CDE，根据全等三角形的判定即可证明△BCG≌△DCE，从而可知BG=DE； （2）设CG=1，从而知CG=CE=1，由勾股定理可知：DE=BG=，由易证△ABH∽△CGH，所以=2，从而可求出HG的长度，进而求出的值． 试题解析：（1）∵BF⊥DE，∴∠GFD=90°，∵∠BCG=90°，∠BGC=∠DGF，∴∠CBG=∠CDE，在△BCG与△DCE中，∵∠CBG=∠CDE，BC=CD，∠BCG=∠DCE，∴△BCG≌△DCE（ASA），∴BG=DE； （2）设CG=1，∵G为CD的中点，∴GD=CG=1，由（1）可知：△BCG≌△DCE（ASA），∴CG=CE=1，∴由勾股定理可知：DE=BG=，∵sin∠CDE=，∴GF=，∵AB∥CG，∴△ABH∽△CGH，∴，∴BH=，GH=，∴ =． 考点：1．相似三角形的判定与性质；2．全等三角形的判定与性质；3．正方形的性质． 31．（2017枣庄）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A（2，2），B（4，0），C（4，﹣4）． （1）请在图中，画出△ABC向左平移6个单位长度后得到的△A1B1C1； （2）以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的，得到△A2B2C2，请在图中y轴右侧，画出△A2B2C2，并求出∠A2C2B2的正弦值． 【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析，sin∠A2C2B2=． 【解析】 试题分析：（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）利用位似图形的性质得出对应点位置，再利用锐角三角三角函数关系得出答案． 试题解析：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求； （2）如图所示：△A2B2C2，即为所求，由图形可知，∠A2C2B2=∠ACB，过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D，由A（2，2），C（4，﹣4），B（4，0），易得D（4，2），故AD=2，CD=6，AC==，∴sin∠ACB===，即sin∠A2C2B2=． 考点：1．作图﹣位似变换；2．作图﹣平移变换；3．解直角三角形． 32．（2017山东省泰安市）如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，AC平分∠BAD，点P是AC延长线上一点，且PD⊥AD． （1）证明：∠BDC=∠PDC； （2）若AC与BD相交于点E，AB=1，CE：CP=2：3，求AE的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【解析】 （2）解：过点C作CM⊥PD于点M，∵∠BDC=∠PDC，∴CE=CM，∵∠CMP=∠ADP=90°，∠P=∠P，∴△CPM∽△APD，∴，设CM=CE=x，∵CE：CP=2：3，∴PC=x，∵AB=AD=AC=1，∴，解得：x=，故AE=1﹣=． 考点：相似三角形的判定与性质． 33．（2017浙江省台州市）在平面直角坐标系中，借助直角三角板可以找到一元二次方程的实数根．比如对于方程，操作步骤是： 第一步：根据方程的系数特征，确定一对固定点A（0，1），B（5，2）； 第二步：在坐标平面中移动一个直角三角板，使一条直角边恒过点A，另一条直角边恒过点B； 第三步：在移动过程中，当三角板的直角顶点落在x轴上点C处时，点C的横坐标m即为该方程的一个实数根（如图1）； 第四步：调整三角板直角顶点的位置，当它落在x轴上另一点D处时，点D的横坐标n即为该方程的另一个实数根． （1）在图2中，按照“第四步”的操作方法作出点D（请保留作出点D时直角三角板两条直角边的痕迹）； （2）结合图1，请证明“第三步”操作得到的m就是方程的一个实数根； （3）上述操作的关键是确定两个固定点的位置，若要以此方法找到一元二次方程 （a≠0，≥0）的实数根，请你直接写出一对固定点的坐标； （4）实际上，（3）中的固定点有无数对，一般地，当m1，n1，m2，n2与a，b，c之间满足怎样的关系时，点P（m1，n1），Q（m2，n2）就是符合要求的一对固定点？ 【答案】（1）作图见解析；（2）证明见解析；（3）A（0，1），B（﹣，）或A（0，），B（﹣，c）等；（4），=． 【解析】 （3）方程（a≠0）可化为，模仿研究小组作法可得一对固定点的坐标； （4）先设方程的根为x，根据三角形相似可得，进而得到，再根据，可得，最后比较系数可得m1，n1，m2，n2与a，b，c之间的关系． 试题解析：（1）如图所示，点D即为所求； （2）如图所示，过点B作BD⊥x轴于点D，根据∠AOC=∠CDB=90°，∠ACO=∠CBD，可得△AOC∽△CDB，∴，∴，∴m（5﹣m）=2，∴，∴m是方程的实数根； （3）方程（a≠0）可化为 ，模仿研究小组作法可得：A（0，1），B（﹣，）或A（0，），B（﹣，c）等； （4）如图，P（m1，n1），Q（m2，n2），设方程的根为x，根据三角形相似可得，上式可化为，又∵，即，∴比较系数可得，=． 考点：1．三角形综合题；2．一元二次方程的解；3．相似三角形的判定与性质；4．阅读型；5．操作型；6．压轴题． 34．（2017浙江省杭州市）如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC． （1）求证：△ADE∽△ABC； （2）若AD=3，AB=5，求的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【解析】 试题分析：（1）由于AG⊥BC，AF⊥DE，所以∠AFE=∠AGC=90°，从而可证明∠AED=∠ACB，进而可证明△ADE∽△ABC； （2）△ADE∽△ABC，，又易证△EAF∽△CAG，所以，从而可得出结论． 试题解析：（1）∵AG⊥BC，AF⊥DE，∴∠AFE=∠AGC=90°，∵∠EAF=∠GAC，∴∠AED=∠ACB，∵∠EAD=∠BAC，∴△ADE∽△ABC，（2）由（1）可知：△ADE∽△ABC，∴=． 由（1）可知：∠AFE=∠AGC=90°，∴∠EAF=∠GAC，∴△EAF∽△CAG，∴，∴ = 考点：相似三角形的判定与性质． 35．（2017辽宁省葫芦岛市）如图，∠MAN=60°，AP平分∠MAN，点B是射线AP上一定点，点C在直线AN上运动，连接BC，将∠ABC（0°＜∠ABC＜120°）的两边射线BC和BA分别绕点B顺时针旋转120°，旋转后角的两边分别与射线AM交于点D和点E． （1）如图1，当点C在射线AN上时，①请判断线段BC与BD的数量关系，直接写出结论； ②请探究线段AC，AD和BE之间的数量关系，写出结论并证明； （2）如图2，当点C在射线AN的反向延长线上时，BC交射线AM于点F，若AB=4，AC=，请直接写出线段AD和DF的长． 【答案】（1）①BC=BD；②AD+AC=BE；（2）AD=，DF=． 【解析】 （2）如图2中，作BG⊥AM于G，BH⊥AN于H，AK⊥CF于K．由（1）可知，△ABG≌△ABH，△BGD≌△BHC，易知BH，AH，BC，CH， AD的长，由sin∠ACH=，推出AK的长，设FG=y，则AF=﹣y，BF=，由△AFK∽△BFG，可得，可得关于y的方程，求出y即可解决问题． 试题解析：（1）①结论：BC=BD． 理由：如图1中，作BG⊥AM于G，BH⊥AN于H． ∵∠MAN=60°，PA平分∠MAN，BG⊥AM于G，BH⊥AN于H，∴BG=BH，∠GBH=∠CBD=120°，∴∠CBH=∠GBD，∵∠BGD=∠BHC=90°，∴△BGD≌△BHC，∴BD=BC． ②结论：AD+AC=BE． ∵∠ABE=120°，∠BAE=30°，∴∠BEA=∠BAE=30°，∴BA=BE，∵BG⊥AE，∴AG=GE，EG=BE•cos30°=BE，∵△BGD≌△BHC，∴DG=CH，∵AB=AB，BG=BH，∴Rt△ABG≌Rt△ABH，∴AG=AH，∴AD+AC=AG+DG+AH﹣CH=2AG=BE，∴AD+AC=BE． （2）如图2中，作BG⊥AM于G，BH⊥AN于H，AK⊥CF于K． 由（1）可知，△ABG≌△ABH，△BGD≌△BHC，易知BH=GB=2，AH=AG=EG=，BC=BD= =，CH=DG=，∴AD=，∵sin∠ACH=，∴，∴AK=，设FG=y，则AF=﹣y，BF=，∵∠AFK=∠BFG，∠AKF=∠BGF=90°，∴△AFK∽△BFG，∴，∴，解得y=或（舍弃），∴DF=GF+DG=，即DF=． 考点：1．相似三角形的判定与性质；2．几何变换综合题；3．探究型；4．压轴题． 【2016年题组】 一、选择题 1．（2016山西省）宽与长的比是（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD、BC的中点E、F，连接EF：以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GH⊥AD，交AD的延长线于点H，则图中下列矩形是黄金矩形的是（　　） A．矩形ABFE　　　　　　B．矩形EFCD　　　　　　C．矩形EFGH　　　　　　D．矩形DCGH 【答案】D． 【解析】 考点：1．黄金分割；2．矩形的性质；3．正方形的性质；4．新定义． 2．（2016浙江省杭州市）如图，已知直线a∥b∥c，直线m交直线a，b，c于点A，B，C，直线n交直线a，b，c于点D，E，F，若，则=（　　） A．　　　　　　B．　　　　　　C．　　　　　　D．1 【答案】B． 【解析】 试题分析：∵a∥b∥c，∴=．故选B． 考点：平行线分线段成比例． 3．（2016甘肃省兰州市）如图，在△ABC中，DE∥BC，若，则=（　　） A．　　　　B．　　　　C．　　　　D． 【答案】C． 【解析】 试题分析：∵DE∥BC，∴=，故选C． 考点：平行线分线段成比例． 4．（2016山东省东营市）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6），B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（　　） A．（﹣1，2）　　B．（﹣9，18）　　C．（﹣9，18）或（9，﹣18）　D．（﹣1，2）或（1，﹣2） 【答案】D． 【解析】 考点：1．位似变换；2．坐标与图形性质；3．数形结合． 5．（2016山东省德州市）对于平面图形上的任意两点P，Q，如果经过某种变换得到新图形上的对应点P′，Q′，保持PQ=P′Q′，我们把这种变换称为“等距变换”，下列变换中不一定是等距变换的是（　　） A．平移　　　　　　B．旋转　　　　　　C．轴对称　　　　　　D．位似 【答案】D． 【解析】 试题分析：平移的性质是把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同，则平移变换是“等距变换”； 旋转的性质：旋转前、后的图形全等，则旋转变换是“等距变换”； 轴对称的性质：成轴对称的两个图形全等，则轴对称变换是“等距变换”； 位似变换的性质：位似变换的两个图形是相似形，则位似变换不一定是等距变换，故选D． 考点：位似变换． 6．（2016山东省烟台市）如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标为（　　） A．（3，2）　　　　　　B．（3，1）　　　　　　C．（2，2）　　　　　　D．（4，2） 【答案】A． 【解析】 考点：1．位似变换；2．坐标与图形性质；3．正方形的性质． 7．（2016湖北省十堰市）如图，以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′，已知OB=3OB′，则△A′B′C′与△ABC的面积比为（　　） A．1：3　　　　B．1：4　　　　C．1：5　　　　D．1：9 【答案】D． 【解析】 试题分析：∵OB=3OB′，∴，∵以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′，∴△A′B′C′∽△ABC，∴，∴=，故选D． 考点：位似变换． 8．（2016云南省）如图，D是△ABC的边BC上一点，AB=4，AD=2，∠DAC=∠B．如果△ABD的面积为15，那么△ACD的面积为（　　） A．15　　　　B．10　　　　C．　　　　D．5 【答案】D． 【解析】 试题分析：∵∠DAC=∠B，∠C=∠C，∴△ACD∽△BCA，∵AB=4，AD=2，∴△ACD的面积：△ABC的面积为1：4，∴△ACD的面积：△ABD的面积=1：3，∵△ABD的面积为15，∴△ACD的面积=5． 故选D． 考点：相似三角形的判定与性质． 9．（2016内蒙古巴彦淖尔市）如图，E为▱ABCD的边AB延长线上的一点，且BE：AB=2：3，△BEF的面积为4，则▱ABCD的面积为（　　） A．30　　　　　　B．27　　　　　　C．14　　　　　　D．32 【答案】A． 【解析】 试题分析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，CD∥AB，BC∥AB，∴△BEF∽△AED，∵，∴，∴，∵△BEF的面积为4，∴S△AED=25，∴S四边形ABFD=S△AED﹣S△BEF=21，∵AB=CD，，∴，∵AB∥CD，∴△BEF∽△CDF，∴，∴S△CDF=9，∴S平行四边形ABCD=S四边形ABFD+S△CDF=21+9=30，故选A． 考点：1．相似三角形的判定与性质；2．平行四边形的性质． 10．（2016四川省巴中市