教案9数学人教（上）.DOCX

第二十一章　一元二次方程 21．1　一元二次方程 教师备课　素材示例 ●归纳导入　如图，现在要将一块矩形绿地扩大，长、宽各增加x m.若扩大后的绿地的面积为936 m2，求长、宽各增加的长度． 引导学生分析：等量关系为__扩大后的长×宽＝扩大后的面积__，则矩形的长为__(30＋x)__ m，宽为__(20＋x)__ m．根据矩形的面积为936 m2，得方程__(30＋x)(20＋x)＝936__．整理，得__x2＋50x－336＝0__． 【归纳】一元二次方程是只含有__一个未知数x的整式__方程，并且都可以化成__ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)__的形式． 【教学与建议】教学：通过图形的变化让学生感知等量关系，通过整理所得到的方程的特征归纳出一元二次方程的定义．建议：讲解一元二次方程定义要抓住三个关键点：一是整式方程；二是只含有一个未知数；三是未知数的最高次数是2. ●复习导入　(教师)同学们，至今为止我们学习了哪些方程？它们都有什么特点？能举例说明吗？类似于5x2＋4x－2＝0的方程我们学习过吗？这类方程有什么特点？属于什么方程呢？它们存在于我们的实际生活中吗？下面我们一起探索新知——一元二次方程！ 【教学与建议】教学：复习回顾前面学过的一元一次方程，二元一次方程，分式方程，为继续探索和学习一元二次方程的特点和定义做好铺垫，同时对新方程产生疑问，激发学生探索新知的兴趣．建议：通过复习，让学生明确“元”和“次”在方程中的含义． 命题角度1　根据定义判断一个方程是否为一元二次方程 一元二次方程化简后的特征：①是整式方程；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2. 【例1】(1)下列方程中，是关于x的一元二次方程的是(D) A．ax2＋bx＋c＝0 B．＋x＝2 C．2x＝1 D．2＋x2＝10 (2)在下列方程中，是一元二次方程的有__①__．(填序号) ①3x2＋7＝10；②ax2＋bx＋c＝0；③(x－2)(x＋5)＝x2－1；④3x2－＝0. 命题角度2　利用一元二次方程的定义求待定字母的值或取值范围 根据一元二次方程的定义可以求方程中待定字母的值或取值范围． 【例2】(1)若关于x的方程(a－1)x|a|＋1－3x＋2＝0是一元二次方程，则　(C) A．a≠±1 B．a＝1 C．a＝－1 D．a＝±1 (2)如果方程ax2－7＝x＋2是关于x的一元二次方程，则a__≠0__． 命题角度3　利用一元二次方程的根求待定字母或与待定字母相关的代数式的值 一元二次方程的根就是方程的解，它能使方程左右两边相等． 【例3】(1)若x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的解，则(C) A．a＋b＋c＝1 B．a－b＋c＝0 C．a＋b＋c＝0 D．a－b－c＝0 (2)关于x的一元二次方程(p－1)x2－x＋p2－1＝0有一个根为0，则实数p的值是__－1__． (3)若m是方程2x2－3x－1＝0的一个根，则6m2－9m＋2 015的值为__2__018__． 命题角度4　根据等量关系列一元二次方程解决实际问题 寻找等量关系，利用一元二次方程来解决实际问题(只列方程)． 【例4】用一条长100 cm的绳子围成一个面积为128 cm2的矩形．设矩形的长为x cm，则可列方程为(B) A．x(50＋x)＝128 B．x(50－x)＝128 C．x(100＋x)＝128 D．x(100－x)＝128 高效课堂　教学设计 1．理解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的一般形式，并能将一元二次方程化成一般式，正确识别二次项系数、一次项系数和常数项． 2．会判断一个数是否是一元二次方程的根． 3．经历由实际问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程，让学生体会到方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型． ▲重点 理解一元二次方程的概念，认识一元二次方程的一般形式． ▲难点 1．在一元二次方程化成一般形式后，如何确定一次项和常数项． 2．从实际问题中抽象出一元二次方程． ◆活动1　新课导入 1．你能举例说出一元一次方程的概念吗？ 解：如2 019＋18x＝2 020这样只含有一个未知数(元)，未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程． 2．下列是一元一次方程的是：__①④__．(填序号) ①x－1＝2x＋1；②x－3；③4x＋3y＝1；④x2－x(x＋1)＝0. ◆活动2　探究新知 1．教材P2　问题1. 提出问题： (1)本问题中的等量关系是什么？应该设哪个量为未知数？ (2)若设切去的正方形的边长为x cm，则盒底的长为__(100－2x)__cm，宽为__(50－2x)__cm； (3)请根据题意列出方程，你能化简该方程吗？ 学生完成并交流展示． 2．教材P2　问题2. 提出问题： (1)说说“每两个队之间比赛一场”的含义，甲队对乙队和乙队对甲队的比赛是同一场比赛吗？ (2)问题中比赛总场次是多少？等量关系是什么？ (3)请设出未知数，列出方程式，并将所列方程化简． 学生完成并交流展示． 3．小明用30 cm的铁丝围成一斜边长等于13 cm的直角三角形，求该直角三角形的两直角边长． 提出问题：本题必须设两个未知数吗？如果只设一个未知数，那么方程应该怎样列？ ◆活动3　知识归纳 提出问题： (1)请谈谈上述方程有什么共同特点； (2)归纳一元二次方程的概念． 1．等号两边都是__整式__，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是__2__的方程，叫做一元二次方程． 2．一元二次方程的一般形式是__ax2＋bx＋c＝0(a≠0)__，其中__ax2__是二次项，__a__是二次项系数；__bx__是一次项，__b__是一次项系数；__c__是常数项． 提出问题： (1)二次项系数a为什么不能为0? (2)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，a，b，c可以是些什么样的数？ 3．方程－x2＋3x＝0中二次项系数是__－1__，一次项系数是__3__，常数项是__0__． 4．使一元二次方程的左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的__解__，也叫做一元二次方程的__根__． ◆活动4　例题与练习 例1　判断下列各方程是不是一元二次方程． ①x2－3xy＋4y2＝0；②y2＝3y＋2；③x＋－3＝0. 解：②是，①③不是． 例2　将方程3x(x－1)＝5(x＋2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项． 解：一般形式为3x2－8x－10＝0.其中二次项系数为3，一次项系数为－8，常数项为－10. 例3　已知a是方程2x2＋x－2＝0的根，求代数式4a2＋2a的值. 解：由已知得2a2＋a－2＝0，∴2a2＋a＝2，∴4a2＋2a＝4. 练习 1．教材P4　练习第1，2题． 2．(教材P4T3变式)下列数：6，－6，8，－8，12，－12，2，－2，是方程x2－2x－48＝0的根有(　B　) A.1个　　　　　B．2个　　　　　C．3个　　　　　D．4个 3．若关于x的方程(m－1)xm2＋1－3x＋2＝0是一元二次方程，则此一元二次方程为__－2x2－3x＋2＝0__． ◆活动5　课堂小结 我们学习了一元二次方程的哪些知识？一元二次方程的一般形式是什么？一般形式中有什么限制？你会解一元二次方程吗？ 1．作业布置 (1)教材P4　习题21.1第1，2，3题； (2)对应课时练习． 2．教学反思 21.2　解一元二次方程 21．2.1　配方法 第1课时　用直接开平方法解一元二次方程 教师备课　素材示例 ●归纳导入　如图，将边长为x的正方形沿两边剪去两个宽度相同的矩形(阴影部分)，剩下的部分是一个边长为3的正方形，剪去部分的面积为7，求x的值． 【分析】设这个正方形的边长是x m．由题意列方程，得x2－7＝9. 【思考】你会利用平方根的知识解这个方程吗？ 【解】设这个正方形的边长为x m. 由题意，得x2＝16. 根据平方根的意义，得x＝±＝±4， ∴原方程的解是x1＝4，x2＝－4. ∵边长不能为负数，∴x＝4. 即这个正方形的边长是4 m. 【教学与建议】教学：用学生身边的实际问题引入新课，激发学生的积极性，同时体现数学来源于生活并用之于生活．建议：讲解解方程的时候，引导学生用平方根的知识求解． ●复习导入　(1)如果x2＝a，那么x叫做a的__平方根__；求一个数a的__平方根__的运算叫做开平方．非负数a的平方根为__±__，非负数a的算术平方根为____． (2)0.36的平方根是__±0.6__；18的平方根是__±3__；若x2＝5，则x＝__±__． 【教学与建议】教学：通过对平方根、开平方的复习，为进一步学习直接开平方法，起到承上启下的作用．建议：在复习中，让学生明确平方根、算术平方根的区别和联系，掌握求平方根的方法． 命题角度　用直接开平方法解一元二次方程 形如x2＝p(p≥0)的形式，可得x＝±；如果方程化成(nx＋m)2＝p(p≥0)的形式，那么可得nx＋m＝±. 【例1】解下列方程： (1)(x－2)2－13＝108； 解：(x－2)2＝121， x－2＝±11. 解得x1＝13，x2＝－9； (2)x2＋10x＋25＝2. 解：(x＋5)2＝2， x＋5＝±. 解得x1＝－5，x2＝－－5. 【例2】用配方法解x2－4x＝5的过程中，配方正确的是(D) A．(x＋2)2＝1 B．(x－2)2＝1 C．(x＋2)2＝9 D．(x－2)2＝9 【例3】4x2－20x＋m2是一个完全平方式，则m＝__±5__． 高效课堂　教学设计 1．会利用开平方法解形如x2＝p(p≥0)的方程． 2．初步了解形如(x＋n)2＝p(p≥0)方程的解法． 3．能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性． ▲重点 运用直接开平方法解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的一元二次方程． ▲难点 通过平方根的意义解形如x2＝p(p≥0)的方程，将知识迁移到根据平方根的意义解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的一元二次方程． ◆活动1　新课导入 求下列各数的平方根： (1)144；　　　　　　　　　　(2). 解：原式＝±12; 解：原式＝±. ◆活动2　探究新知 1．教材P5　问题1. 提出问题： (1)一个正方体有几个面？若一个正方体的棱长为x dm，则这个正方体的表面积是多少？ (2)本题中的等量关系是什么？请概括该等量关系，列出方程； (3)你能根据平方根的意义解方程x2＝25吗？本题中负值为什么要舍去？ 学生完成并交流展示． 2.教材P6　第1个探究． 提出问题： (1)(__±__)2＝5，据此思考如何解方程(x＋3)2＝5呢？ (2)可考虑令y＝x＋3，则方程变为y2＝5，先解出y的值，再求x的值； (3)由方程(x＋3)2＝5可得到哪两个一元一次方程？ (4)上述所解方程有什么共同点？ 学生完成并交流展示． ◆活动3　知识归纳 1．一般地，对于方程x2＝p，(1)当p＞0时，根据平方根的意义，方程有两个__不相等__的实数根__x1＝－，x2＝__；(2)当p＝0时，根据平方根的意义，方程有两个__相等__的实数根__x1＝x2＝0__；(3)当p＜0时，根据平方根的意义，方程__无__实数根． 提出问题： (1)一元二次方程与一元一次方程有什么不同？二次是如何转化为一次的？ (2)请谈谈如何降次． 2．直接开平方，把一元二次方程“降次”化为__两个一元一次__方程． ◆活动4　例题与练习 例1　解方程： (1)x2－36＝0； (2)2y2＝100； (3)16p2－5＝0. 解：(1)x1＝6，x2＝－6； (2)y1＝5，y2＝－5； (3)p1＝，p2＝－. 例2　解方程： (1)2(2x－1)2－10＝0； (2)y2－4y＋4＝8； (3)4(3x－1)2－9(3x＋1)2＝0. 解：(1)由2(2x－1)2－10＝0得(2x－1)2＝5， 直接开平方得2x－1＝±， ∴原方程的根为x1＝，x2＝； (2)原方程可化为(y－2)2＝8，直接开平方得y－2＝±2， ∴原方程的根为y1＝2＋2，y2＝2－2； (3)原方程可化为4(3x－1)2＝9(3x＋1)2， 两边开平方得2(3x－1)＝±3(3x＋1)， ∴2(3x－1)＝3(3x＋1)或2(3x－1)＝－3(3x＋1)， ∴x1＝－，x2＝－. 例3　已知方程(x－3)2＝k2＋5的一个根是x＝6，求k的值和另一个根． 解：∵方程(x－3)2＝k2＋5的一个根是x＝6， ∴(6－3)2＝k2＋5，解得k＝±2， ∴原方程为(x－3)2＝9， ∴另一个根为x＝0. 练习 1．教材P6　练习． 2．若x2－2xy＋y2＝4，则x－y的值为(　C　) A．2　　　　B．－2　　　　C．±2　　　　D．不能确定 3．若实数a，b满足(a2＋b2－3)2＝25，则a2＋b2的值为(　A　) A．8　　　　B．8或－2　 　C．－2　　　　D．28 4．若代数式2x2＋3与2x2－4的值互为相反数，则x＝__±__． ◆活动5　课堂小结 1．本堂课解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的方程，由平方根的定义将其降次为mx＋n＝±，再解两个一次方程即可求得解． 2．用直接开平方法解一元二次方程的基本思想是降次． 1．作业布置 (1)教材P16　习题21.2第1题； (2)对应课时练习． 2．教学反思 第2课时　用配方法解一元二次方程 教师备课　素材示例 ●归纳导入　李老师让学生解一元二次方程x2－6x－5＝0，同学们都束手无策，学习委员蔡亮考虑了一下，在方程两边同时加上14，再把方程左边用完全平方公式分解因式……你能按照他的想法求出这个方程的解吗？从中你能得到什么启示？ 【教学与建议】教学：通过情境引入对一个陌生一元二次方程的求解方法，让学生经历用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的过程，体会其中的化归思想．建议：讲解时让学生明白方程两边同时加14的目的，体会等式的性质及转化思想的应用． 【归纳】当一元二次方程的二次项系数为1时，方程两边同时加一次项系数的一半的平方． ●复习导入　能用直接开平方法求解的一元二次方程有什么特点？试解下列方程：①(x＋3)2＝5；②x2＋6x＋9＝1，说一说这两个方程的求解过程有何异同？ (1)回顾完全平方公式，并完成填空． ①x2＋4x＋__4__＝(x＋__2__)2； ②x2－10x＋__25__＝(x－__5__)2； ③x2＋mx＋____＝(x＋)2. 观察问题：各式中的常数项与一次项的系数有什么关系？ 教师点拨：常数项是一次项系数一半的平方． (2)根据方程x2＋6x＋9＝1的求解思路，你能解一元二次方程x2＋6x＋8＝0吗？ 【教学与建议】教学：通过复习，使学生明确能用直接开平方法求解的方程的特点和完全平方公式的特点，实现开平方解一元二次方程的可行性．建议：整个复习过程让学生充分参与，相互配合． 命题角度1　配方 根据完全平方式的结构特点，将一个二次三项式或一元二次方程配成含完全平方式的形式． 【例1】(1)用配方法解一元二次方程2x2－3x－1＝0，配方正确的是(C) A．(x－)2＝ B．(x－)2＝ C．(x－)2＝ D．(x－)2＝ (2)如果x2－8x＋m＝0可以通过配方写成(x－n)2＝6的形式，那么x2＋8x＋m＝0可以配方成(D) A．(x－n＋5)2＝1 B．(x＋n)2＝1 C．(x－n＋5)2＝11 D．(x＋n)2＝6 命题角度2　用配方法解一元二次方程 一元二次方程的二次项系数化为1，原方程变形为(x＋m)2＝n的形式，再利用直接开平方法解方程． 【例2】用配方法解下列方程： (1)x2＋2x－4＝0； 解：移项，得x2＋2x＝4.配方，得x2＋2x＋12＝4＋12，(x＋1)2＝5. 由此可得x＋1＝±，x1＝－1＋，x2＝－1－； (2)2x2－6x－1＝0. 解：移项，得2x2－6x＝1.二次项系数化为1，得x2－3x＝. 配方，得x2－3x＋()2＝＋()2，(x－)2＝. 由此可得x－＝±，x1＝，x2＝. 命题角度3　用配方法求字母或代数式的值 用配方法，将一个等式转化为几个非负数或式的和为0的形式． 【例3】(1)若△ABC的三边长a，b，c满足a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝0，则△ABC的形状是__等边三角形__． (2)已知5x2＋3y2－20x－6y＋23＝0.求yx的值． 解：原式可变形为(5x2－20x＋20)＋(3y2－6y＋3)＝0， 配方，得5(x－2)2＋3(y－1)2＝0，则x－2＝0，y－1＝0， 解得x＝2，y＝1，故yx＝12＝1. 命题角度4　用配方法进行说理 理解配方法的关键点是“一个数的平方为非负数”和“利用完全平方公式配方”． 【例4】我们知道：任何有理数的平方都是一个非负数，即对于任何有理数，都有a2≥0成立，所以当a＝0时，a2有最小值为0. 【应用】(1)当x＝__1__时，代数式(x－1)2有最小值； (2)代数式m2＋3的最小值是__3__； 【探究】求代数式n2＋4n＋9的最小值，小明是这样做的：n2＋4n＋9＝n2＋4n＋4＋5＝(n＋2)2＋5， ∴当n＝－2时，代数式n2＋4n＋9有最小值，最小值为5. (3)请你参照小明的方法，求代数式a2－6a－3的最小值，并求此时a的值． 解：a2－6a－3＝a2－6a＋9－9－3＝(a－3)2－12. ∵(a－3)2≥0，∴(a－3)2－12≥－12， ∴当a＝3时，代数式a2－6a－3取得最小值，最小值为－12. 高效课堂　教学设计 1．掌握配方法和指导过程，能使用配方法解一元二次方程． 2．通过降次的思想解方程，掌握一些转化的技能． ▲重点 配方法的解题步骤． ▲难点 用配方法解系数不为1的一元二次方程． ◆活动1　新课导入 1．填空： (1)x2＋6x＋__9__＝(x＋__3__)2； (2)x2－5x＋(____)2＝(x－____)2； (3)x2＋x＋(____)2＝(x＋____)2. 2．若x2－mx＋64是一个完全平方式，则m的值是__±16__． ◆活动2　探究新知 1．教材P6　第2个探究． 提出问题： (1)请把方程(x＋3)2＝5化成一般形式，然后与所探究中的方程进行比较，你有什么发现？ (2)如何将方程x2＋6x＋4＝0化成(x＋3)2＝5的形式呢？ (3)把常数项移到方程右边之后，为什么要在x2＋6x＝－4的两边都加上9？加其他数行吗？ (4)通过x2＋6x＋4＝0的解题过程，你能说说配方的一般步骤是什么吗？配方的关键是什么吗？ 学生完成并交流展示． 2．解方程3x2－2x－1＝0. 提出问题： (1)如果一个一元二次方程的二次项系数不为1，还能用配方法来解吗？ (2)请将方程3x2－2x－1＝0的二次项系数化为1，并尝试解此方程； (3)由此请你再归纳一下用配方法解一元二次方程的一般步骤． 学生完成并交流展示． ◆活动3　知识归纳 1．通过配成__完全平方__形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法． 2．对于任意一元二次方程，用配方法解的一般步骤：①先化成__一般形式__；②将常数项移到等式右边；③两边除以__二次项系数__；④方程两边都加上__一次项系数一半的平方__；⑤将等式左边化成__完全平方形式__；⑥两边开方，并求出方程的解． 提出问题： (1)配方过程中，在等式两边加上的常数与一次项系数的关系如何？ (2)配方过程中，若等号右边为负数，这个方程有没有实数根？ (3)配方过程中还需注意哪些问题？ ◆活动4　例题与练习 例1　教材P7　例1. 例2　求证：无论x为何值，代数式2x2－4x＋3的值恒大于0. 证明：2x2－4x＋3＝2(x2－2x＋)＝2＝2(x－1)2＋1.∵(x－1)2≥0，∴2(x－1)2＋1＞0，∴无论x为何值，代数式2x2－4x＋3的值恒大于0. 提出问题： 二次三项式的配方与一元二次方程的配方有什么区别，请指出具体区别在什么地方？ 学生回答，教师强调： 二次三项式配方时，不能除以二次项的系数，只能提取二次项的系数，并添上括号，再用配方法构造一个完全平方式；而一元二次方程配方时，两边除以二次项系数后，再用配方法构造一个完全平方式． 练习 1．教材P9　练习第1，2题． 2．代数式x2－8x＋18的值(　A　) A．恒为正　　　B．恒为负　　　C．可能为0　　　D．不能确定 3．把方程2x2＋6x－1＝0配方后得(x＋m)2＝k，则m＝____，k＝____． 4．式子－x2－4x－5，可配方为－(x＋__2__)2__－1__，该式有最__大__值，是__－1__． 5．试证明：无论a为何实数，关于x的方程(a2－8a＋17)x2＋2ax＋1＝0都是一元二次方程． 证明：∵a2－8a＋17＝(a－4)2＋1＞0，∴无论a为何实数，该方程都是一元二次方程． ◆活动5　课堂小结 1．配方法的概念及用配方法解一元二次方程的步骤． 2．配方法是解一元二次方程的通法，它的重要性不仅仅表现在一元二次方程的解法中，也可通过配方，利用非负数的性质判断代数式的正负性，在今后学习二次函数，到高中学习二次曲线时，还将经常用到． 1．作业布置 (1)教材P17　习题21.2第2，3题； (2)对应课时练习． 2．教学反思 21.2.2　公式法 教师备课　素材示例 ●类比导入　解下列一元二次方程： (1)x2＋4x＋4＝0；(2)6x2－7x＋1＝0；(3)5x2－15x＋14＝0；(4)2x2＋6x＋15＝0. 然后让学生仔细观察四个方程的解答过程，由此发现有什么相同之处，有什么不同之处？ 接着再改变上面每个方程的其中一个系数，得到四个新的方程： (1)2x2＋4x＋4＝0；(2)6x2－5x＋1＝0；(3)5x2－15x－40＝0；(4)2x2＋x＋15＝0. 问题1：新方程与原方程的解答过程相比，有什么变化？ 【归纳】用配方法解不同的一元二次方程的过程中，相同之处是配方的过程(程序化的操作)，不同之处是方程的根的情况及其方程的根. 问题2：既然过程是相同的，为什么根会不同？方程的根与什么有关？有怎样的关系？如何进一步探究？ 【归纳】因为系数发生了变化，所以根会不同．方程的根与系数有关系． 【教学与建议】教学：①复习巩固旧知识，为本节课的学习打下更好的基础；②让学生充分感受用配方法解各种题型；③引导学生感受、猜测方程的根与系数有一定的关系．建议：在学生利用配方法解一元二次方程时，分组解答． ●复习导入　提问：怎样用配方法解一元二次方程？ (1)①移项； ②化二次项系数为1； ③方程两边都加上一次项系数的一半的平方； ④原方程变形为(x＋m)2＝n的形式； ⑤如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解． (2)用配方法解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0). 移项，得__ax2＋bx＝－c__．二次项系数化为1，得__x2＋x＝－__． 配方，得__x2＋x＋()2＝－＋()2__，即(x＋)2＝. 因为a≠0，所以4a2＞0. 当b2－4ac＞0时，得__x＋＝±__，所以__x＝－±__， 即x1＝，x2＝. 当b2－4ac＝0时，得x1＝x2＝－. 当b2－4ac<0时，方程无实数根． 【教学与建议】教学：让学生回顾旧知，加深对配方法的理解．建议：全班同学在练习本上运算，请两名小组代表去黑板上练习． 命题角度1　利用b2－4ac判断一元二次方程根的情况 用式子b2－4ac判断方程根的情况：若b2－4ac＞0，则方程有两个不等的实数根；若b2－4ac＝0，则方程有两个相等的实数根；若b2－4ac＜0，则方程无实数根． 【例1】(1)一元二次方程x2－2x－1＝0根的情况是(D) A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．有两个不相等的实数根 (2)不解方程，直接判定下列一元二次方程根的情况． ①2x2＋3x－4＝0; ②3x2＋2＝2x. 解：①Δ＝32－4×2×(－4)＝41＞0， ∴方程有两个不相等的实数根； ②方程化为一般式为3x2－2x＋2＝0， Δ＝(－2)2－4×3×2＝0，∴方程有两个相等的实数根． 命题角度2　利用公式法解一元二次方程 用公式法解一元二次方程时，先将方程化为一般形式，再代入公式，判断b2－4ac与0的大小关系，最后代入公式求根． 【例2】解方程：16x2＋8x＝3. 解：方程化为16x2＋8x－3＝0.a＝16，b＝8，c＝－3. Δ＝b2－4ac＝82－4×16×(－3)＝256＞0. 方程有两个不相等的实数根x＝＝＝， 即x1＝，x2＝－. 命题角度3　根据方程根的情况求字母系数的值或取值范围 利用方程根的情况与b2－4ac的值的对应关系确定字母系数的值或取值范围． 【例3】(1)若关于x的一元二次方程x2＋3x＋m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为(B) A．m≤ B．m＜ C．m≤ D．m＞ (2)若关于x的一元二次方程x2＋2x－k＝0有两个相等的实数根，则k的值为__－1__． (3)若关于x的一元二次方程(m－1)x2＋3x＋2＝0有实数根，则m的取值范围是__m≤且m≠1__． 命题角度4　一元二次方程根的判别式的实际应用 在解决实际问题时，利用根的判别式判断一元二次方程解的情况. 【例4】小林准备进行如下操作试验：把一根长为20 dm的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形．小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于12 dm2.”他的说法对吗？请说明理由． 解：小峰的说法是对的．理由如下：假设这两个正方形的面积之和可以等于12 dm2.设此时其中一个正方形的边长为x dm，则另一个正方形的边长是(5－x)dm.由题意可得x2＋(5－x)2＝12.化简，得2x2－10x＋13＝0. ∵b2－4ac＝(－10)2－4×2×13＝－4<0，∴此方程没有实数根， ∴小峰的说法是对的． 考古结果表明，在大约公元前2000年，由于生产的需要，古巴比伦人就能解部分较为特殊的一元二次方程了，公元前300年左右，欧几里得提出了抽象的图解法来解一元二次方程，但缺陷是只能求正根．公元前250年左右，丢番图在《算术》中提出一元二次方程问题，但是当时的人们未找到它的求根公式． 公元7世纪，印度的婆罗摩笈多首次使用代数方法解出一元二次方程，且同时容许有正负数的根． 公元8世纪，阿拉伯的花拉子米独立地发展了一套公式来求方程的正数解，并首次提出了方程一般解法，萨瓦索达在Liber embadorum中首次将完整的一元二次方程解法传入欧洲． 我国是世界最早研究一元二次方程的国家之一．约公元前480年，中国人已经使用配方法求得了方程的正根．《九章算术》“勾股”章里就有涉及求方程x2＋34x－71 000＝0的正根的问题．三国时期赵爽巧妙应用出入相补原理，从几何直观出发，在《勾股圆方图注》中列出了关于直角三角形三边关系和引申的有关二次方程的命题和结果．公元729年唐朝天文学家张遂在《大衍历》中，用文字叙述给出了一元二次方程x2＋px＋q＝0(p＞0，q＜0)的求根公式．宋朝著名数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》(1275年)一书中，详细记载了一元二次方程的四种解法(含配方法)． 高效课堂　教学设计 1．理解一元二次方程求根公式的推导． 2．会用求根公式解简单数字系数的一元二次方程． ▲重点 求根公式的推导和公式法的应用． ▲难点 一元二次方程求根公式的推导． ◆活动1　新课导入 用配方法解方程：(1)x2＋3x＋2＝0；(2)2x2－3x－5＝0. 解：(1)x1＝－1，x2＝－2；(2)x1＝－1，x2＝. 任何一个一元二次方程都可以写成ax2＋bx＋c＝0的形式，我们是否也能用配方法求出它的解呢？想想看，该怎样做？ ◆活动2　探究新知 教材P9　探究． 提出问题： (1)运用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？ (2)请结合“步骤”解方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，移项得__ax2＋bx＝－c__，二次项系数化为1得__x2＋x＝－__，两边同时加一次项系数一半平方得__x2＋x＋＝－__．左边写成完全平方式，右边整理得__(x＋)2＝__； (3)(x＋)2＝两边能直接开平方求解吗？为什么？你觉得应该怎么办？ 学生完成并交流展示． ◆活动3　知识归纳 1．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当__b2－4ac≥0__时，x＝，这个式子叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的__求根公式__． 2．式子__b2－4ac__叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根的判别式．Δ＞0⇔方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)__有两个不相等的实数根__；Δ＝0⇔方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)__有两个相等的实数根__；Δ＜0⇔方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)__没有实数根__． 提出问题： (1)一元二次方程根的情况是由什么决定的？ (2)用公式法解一元二次方程的一般步骤是什么？需要注意什么问题？ ◆活动4　例题与练习 例1　教材P11　例2. 例2　不解方程，判断下列方程的根的情况． (1)x2－2x＋1＝0；(2)3x2＋4x＋5＝0；(3)－x2＋7x＋6＝0. 解：(1)b2－4ac＝0，∴方程有两个相等的实数根； (2)b2－4ac＝－44＜0，∴方程无实数根； (3)b2－4ac＝73＞0，∴方程有两个不相等的实数根． 例3　关于x的一元二次方程x2＋(2m＋1)x＋m2－1＝0有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的根． 解：(1)依题意，得Δ＝(2m＋1)2－4(m2－1)＝4m＋5＞0，解得m＞－； (2)答案不唯一，如：m＝1.此时方程为x2＋3x＝0，解得x1＝－3，x2＝0. 练习 1．教材P12　练习第1，2题． 2．关于x的一元二次方程x2＋4x＋k＝0有两个相等的实根，则(　B　) A．k＝－4　　　　B．k＝4　　　　C．k≥－4　　　　D．k≥4 3．关于x的一元二次方程x2＋ax－1＝0的根的情况是(　D　) A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 4．若关于x的一元二次方程x2－4x－m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是__m＞－4__． ◆活动5　课堂小结 1．求根公式的概念及其推导过程． 2．公式法的概念． 3．运用公式法解一元二次方程的步骤：(1)将所给的方程化成一般形式，注意移项要变号，尽量让a＞0；(2)找出系数a，b，c，注意各项系数及符号；(3)计算b2－4ac的值，若结果为负数，方程无解；若结果为非负数，代入求根公式算出结果． 1．作业布置 (1)教材P17　习题21.2第4，5题； (2)对应课时练习． 2．教学反思 21.2.3　因式分解法 教师备课　素材示例 ●类比导入　在新城区规划建设过程中，测量土地时，发现了一块正方形土地和一块矩形土地，矩形土地的宽和正方形土地的边长相等，矩形土地的长为90 m，测量人员说：“正方形土地的面积是矩形土地面积的.”你能帮助工作人员计算一下正方形土地的面积吗？ 【分析】设正方形土地的边长为x m．根据题意，得x2＝×90x.这个方程可以用配方法或公式法来解决．因为方程x2＝×90x没有常数项，有共同的因式x，可以用因式分解法求解． 【归纳】用因式分解将方程化为两个一次式的乘积等于0的形式． 【教学与建议】教学：类比已学过的一元二次方程的解法，探求更简便的解法，引入因式分解法．建议：利用具体问题列出了一元二次方程后，可以让学生思考怎样解答． ●复习导入　1.根据要求解下列方程： (1)x2－6x＝0(公式法)；　(2)4x(x－2)－5(x－2)＝0(配方法)；　(3)9y2－25＝0(直接开平方法)． 2．对下列式子进行因式分解： (1)x2－x＝__x(x－1)__； (2)4x2－64＝__4(x＋4)(x－4)__； (3)x2＋8x＋16＝__(x＋4)2__； (4)3x2－12x＋12＝__3(x－2)2__； (5)x2＋5x＋6＝__(x＋2)(x＋3)__； (6)x2－8x－20＝__(x＋2)(x－10)__． 3．若a·b＝0，则a＝0或b＝0.根据这一性质，你能快速解出下列方程吗？ (1)x2－6x＝0； 解：x(x－6)＝0，x1＝0，x2＝6； (2)4x(x－2)－5(x－2)＝0； 解：(x－2)(4x－5)＝0，x1＝2，x2＝； (3)9y2－25＝0. 解：(3y＋5)(3y－5)＝0，y1＝－，y2＝. 【教学与建议】教学：通过复习解方程和因式分解的方法，再根据a·b＝0得到a＝0或b＝0的性质尝试分解因式解方程，讲解因式分解法．建议：让学生理解用因式分解法解一元二次方程的原理和特点． 命题角度　利用因式分解法解一元二次方程 用因式分解法解一元二次方程，其原理就是利用因式分解，把一元二次方程降次为两个一元一次方程． 【例1】解下列一元二次方程． (1)(x＋4)2＝5(x＋4)；(2)y2－16＝0；(3)9m2－(m＋1)2＝0. 解：(1)x1＝－4，x2＝1；(2)y1＝4，y2＝－4；(3)m1＝－，m2＝. 【例2】选择合适的方法解下列一元二次方程： (1)x2－2x＝99；(2)3x2＋5x－4＝0；(3)x2＋8x－9＝0. 解：(1)x1＝－9，x2＝11；(2)x1＝，x2＝；(3)x1＝1，x2＝－9. 高效课堂　教学设计 1．会用因式分解法解某些简单数字系数的一元二次方程． 2．进一步体会转化的思想，能选择恰当的方法解一元二次方程． ▲重点 用因式分解法解一元二次方程． ▲难点 让学生通过比较解一元二次方程的多种方法感悟用因式分解法使解题简便. ◆活动1　新课导入 1．若ab＝0，则__a＝0或b＝0__；若(x－a)(x－b)＝0，则方程的根为__x1＝a，x2＝b__． 2．分解因式： (1)2x2－2x＝__2x(x－1)__；(2)9x2＋12x＋4＝__(3x＋2)2__． 3．将一个多项式进行因式分解，通常有哪几种方法呢？ (1)提公因式法：am＋bm＋cm＝__m(a＋b＋c)__； (2)公式法：a2－b2＝__(a＋b)(a－b)__，a2±2ab＋b2＝__(a±b)2__． ◆活动2　探究新知 1．教材P12　问题2. 提出问题： (1)物体落回地面是什么含义？ (2)结合物体落回地面的含义，请列出方程； (