专题29几何综合压轴问题-2020年中考数学真题分项汇编（教师版）【全国通用】【jiaoyupan.com教育盘】.docx

2020年中考数学真题分项汇编（全国通用） 专题29几何综合压轴问题 一．解答题（共50小题） 1．（2020•天水）性质探究 如图（1），在等腰三角形ABC中，∠ACB＝120°，则底边AB与腰AC的长度之比为　3：1　． 理解运用 （1）若顶角为120°的等腰三角形的周长为4+23，则它的面积为　3　； （2）如图（2），在四边形EFGH中，EF＝EG＝EH，在边FG，GH上分别取中点M，N，连接MN．若∠FGH＝120°，EF＝20，求线段MN的长． 类比拓展 顶角为2α的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为　2sinα：1　．（用含α的式子表示） 【分析】性质探究：如图1中，过点C作CD⊥AB于D．解直角三角形求出AB（用AC表示）即可解决问题． 理解运用：①利用性质探究中的结论，设CA＝CB＝m，则AB=3m，构建方程求出m即可解决问题． ②如图2中，连接FH．求出FH，利用三角形中位线定理解决问题即可． 类比拓展：利用等腰三角形的性质求出AB与AC的关系即可． 【解析】性质探究：如图1中，过点C作CD⊥AB于D． ∵CA＝CB，∠ACB＝120°，CD⊥AB， ∴∠A＝∠B＝30°，AD＝BD， ∴AB＝2AD＝2AC•cos30°=3AC， ∴AB：AC=3：1． 故答案为3：1． 理解运用：（1）设CA＝CB＝m，则AB=3m， 由题意2m+3m＝4+23， ∴m＝2， ∴AC＝CB＝2，AB＝23， ∴AD＝DB=3，CD＝AC•sin30°＝1， ∴S△ABC=12•AB•CD=3． 故答案为3． （2）如图2中，连接FH． ∵∠FGH＝120°，EF＝EG＝EH， ∴∠EFG＝∠EGF，∠EHG＝∠EGH， ∴∠EFG+∠EHG＝∠EGF+∠EGH＝∠FGH＝120°， ∵∠FEH+∠EFG+∠EHG+∠FGH＝360°， ∴∠FEH＝360°﹣120°﹣120°＝120°， ∵EF＝EH， ∴△EFH是顶角为120°的等腰三角形， ∴FH=3EF＝203， ∵FM＝MG．GN＝GH， ∴MN=12FH＝103． 类比拓展：如图1中，过点C作CD⊥AB于D． ∵CA＝CB，∠ACB＝2α，CD⊥AB， ∴∠A＝∠B＝30°，AD＝BD，∠ACD＝∠BCD＝α ∴AB＝2AD＝2AC•sinα ∴AB：AC＝2sinα：1． 故答案为2sinα：1． 2．（2020•青海）在△ABC中，AB＝AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G． 特例感知： （1）将一等腰直角三角尺按图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC重合，另一条直角边恰好经过点B．通过观察、测量BF与CG的长度，得到BF＝CG．请给予证明． 猜想论证： （2）当三角尺沿AC方向移动到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC边重合，另一条直角边交BC于点D，过点D作DE⊥BA垂足为E．此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度，猜想并写出DE、DF与CG之间存在的数量关系，并证明你的猜想． 联系拓展： （3）当三角尺在图2的基础上沿AC方向继续移动到图3所示的位置（点F在线段AC上，且点F与点C不重合）时，请你判断（2）中的猜想是否仍然成立？（不用证明） 【分析】（1）证明△FAB≌△GAC即可解决问题． （2）结论：CG＝DE+DF．利用面积法证明即可． （3）结论不变，证明方法类似（2）． 【解答】（1）证明：如图1中， ∵∠F＝∠G＝90°，∠FAB＝∠CAG，AB＝AC， ∴△FAB≌△GAC（AAS）， ∴FB＝CG． （2）解：结论：CG＝DE+DF． 理由：如图2中，连接AD． ∵S△ABC＝S△ABD+S△ADC，DE⊥AB，DF⊥AC，CG⊥AB， ∴12•AB•CG=12•AB•DE+12•AC•DF， ∵AB＝AC， ∴CG＝DE+DF． （3）解：结论不变：CG＝DE+DF． 理由：如图3中，连接AD． ∵S△ABC＝S△ABD+S△ADC，DE⊥AB，DF⊥AC，CG⊥AB， ∴12•AB•CG=12•AB•DE+12•AC•DF， ∵AB＝AC， ∴CG＝DE+DF． 3．（2020•河北）如图1和图2，在△ABC中，AB＝AC，BC＝8，tanC=34．点K在AC边上，点M，N分别在AB，BC上，且AM＝CN＝2．点P从点M出发沿折线MB﹣BN匀速移动，到达点N时停止；而点Q在AC边上随P移动，且始终保持∠APQ＝∠B． （1）当点P在BC上时，求点P与点A的最短距离； （2）若点P在MB上，且PQ将△ABC的面积分成上下4：5两部分时，求MP的长； （3）设点P移动的路程为x，当0≤x≤3及3≤x≤9时，分别求点P到直线AC的距离（用含x的式子表示）； （4）在点P处设计并安装一扫描器，按定角∠APQ扫描△APQ区域（含边界），扫描器随点P从M到B再到N共用时36秒．若AK=94，请直接写出点K被扫描到的总时长． 【分析】（1）如图1中，过点A作AH⊥BC于H．解直角三角形求出AH即可． （2）利用相似三角形的性质求解即可． （3）分两种情形：当0≤x≤3时，当3＜x≤9时，分别画出图形求解即可． （4）求出CK的长度，以及CQ的最大值，利用路程与速度的关系求解即可． 【解析】（1）如图1中，过点A作AH⊥BC于H． ∵AB＝AC，AH⊥BC， ∴BH＝CH＝4，∠B＝∠C， ∴tan∠B＝tan∠C=AHBH=34， ∴AH＝3，AB＝AC=AH2+BH2=32+42=5． ∴当点P在BC上时，点P到A的最短距离为3． （2）如图1中，∵∠APQ＝∠B， ∴PQ∥BC， ∴△APQ∽△ABC， ∵PQ将△ABC的面积分成上下4：5， ∴S△APQS△ABC=（APAB）2=49， ∴APAB=23， ∴AP=103， ∴PM＝AP＝AM=103-2=43． （3）当0≤x≤3时，如图1﹣1中，过点P作PJ⊥CA交CA的延长线于J． ∵PQ∥BC， ∴APAB=PQBC，∠AQP＝∠C， ∴x+25=PQ8， ∴PQ=85（x+2）， ∵sin∠AQP＝sin∠C=35， ∴PJ＝PQ•sin∠AQP=2425（x+2）． 当3＜x≤9时，如图2中，过点P作PJ⊥AC于J． 同法可得PJ＝PC•sin∠C=35（11﹣x）． （4）由题意点P的运动速度=936=14单位长度/秒． 当3＜x≤9时，设CQ＝y． ∵∠APC＝∠B+∠BAP＝∠APQ+∠CPQ，∠APQ＝∠B， ∴∠BAP＝∠CPQ， ∵∠B＝∠C， ∴△ABP∽△PCQ， ∴ABCP=BPCQ， ∴511-x=x-3y， ∴y=-15（x﹣7）2+165， ∵-15＜0， ∴x＝7时，y有最大值，最大值=165， ∵AK=94， ∴CK＝5-94=114＜165 当y=114时，114=-15（x﹣7）2+165， 解得x＝7±32， ∴点K被扫描到的总时长＝（114+6﹣3）÷14=23秒． 4．（2020•襄阳）在△ABC中，∠BAC═90°，AB＝AC，点D在边BC上，DE⊥DA且DE＝DA，AE交边BC于点F，连接CE． （1）特例发现：如图1，当AD＝AF时， ①求证：BD＝CF； ②推断：∠ACE＝　90　°； （2）探究证明：如图2，当AD≠AF时，请探究∠ACE的度数是否为定值，并说明理由； （3）拓展运用：如图3，在（2）的条件下，当EFAF=13时，过点D作AE的垂线，交AE于点P，交AC于点K，若CK=163，求DF的长． 【分析】（1）①证明△ABD≌△ACF（AAS）可得结论． ②利用四点共圆的性质解决问题即可． （2）结论不变．利用四点共圆证明即可． （3）如图3中，连接EK．首先证明AB＝AC＝3EC，设EC＝a，则AB＝AC＝3a，在Rt△KCE中，利用勾股定理求出a，再求出DP，PF即可解决问题． 【解答】（1）①证明：如图1中， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACF， ∵AD＝AF， ∴∠ADF＝∠AFD， ∴∠ADB＝∠AFC， ∴△ABD≌△ACF（AAS）， ∴BD＝CF． ②结论：∠ACE＝90°． 理由：如图1中，∵DA＝DE，∠ADE＝90°，AB＝AC，∠BAC＝90°， ∴∠ACD＝∠AED＝45°， ∴A，D，E，C四点共圆， ∴∠ADE+∠ACE＝180°， ∴∠ACE＝90°． 故答案为90． （2）结论：∠ACE＝90°． 理由：如图2中， ∵DA＝DE，∠ADE＝90°，AB＝AC，∠BAC＝90°， ∴∠ACD＝∠AED＝45°， ∴A，D，E，C四点共圆， ∴∠ADE+∠ACE＝180°， ∴∠ACE＝90°． （3）如图3中，连接EK． ∵∠BAC+∠ACE＝180°， ∴AB∥CE， ∴ECAB=EFAF=13，设EC＝a，则AB＝AC＝3a，AK＝3a-163， ∵DA＝DE，DK⊥AE， ∴AP＝PE， ∴AK＝KE＝3a-163， ∵EK2＝CK2+EC2， ∴（3a-163）2＝（163）2+a2， 解得a＝4或0（舍弃）， ∴EC＝4，AB＝AC＝12， ∴AE=AC2+EC2=42+122=410， ∴DP＝PA＝PE=12AE＝210，EF=14AE=10， ∴PF＝FE=10， ∵∠DPF＝90°， ∴DF=DP2+PF2=(210)2+(10)2=52． 5．（2020•牡丹江）在等腰△ABC中，AB＝BC，点D，E在射线BA上，BD＝DE，过点E作EF∥BC，交射线CA于点F．请解答下列问题： （1）当点E在线段AB上，CD是△ACB的角平分线时，如图①，求证：AE+BC＝CF；（提示：延长CD，FE交于点M．） （2）当点E在线段BA的延长线上，CD是△ACB的角平分线时，如图②；当点E在线段BA的延长线上，CD是△ACB的外角平分线时，如图③，请直接写出线段AE，BC，CF之间的数量关系，不需要证明； （3）在（1）、（2）的条件下，若DE＝2AE＝6，则CF＝　18或6　． 【分析】（1）延长CD，FE交于点M．利用AAS证明△MED≌△CBD，得到ME＝BC，并利用角平分线加平行的模型证明CF＝MF，AE＝EF，从而得证； （2）延长CD，EF交于点M．类似于（1）的方法可证明当点E在线段BA的延长线上，CD是△ACB的角平分线时，BC＝AE+CF，当点E在线段BA的延长线上，CD是△ACB的外角平分线时，AE＝CF+BC； （3）先求出AE，AB，即可利用线段的和差求出答案． 【解析】（1）如图①，延长CD，FE交于点M． ∵AB＝BC，EF∥BC， ∴∠A＝∠BCA＝∠EFA， ∴AE＝EF， ∴MF∥BC， ∴∠MED＝∠B，∠M＝∠BCD， 又∵∠FCM＝∠BCM， ∴∠M＝∠FCM， ∴CF＝MF， 又∵BD＝DE， ∴△MED≌△CBD（AAS）， ∴ME＝BC， ∴CF＝MF＝ME+EF＝BC+AE， 即AE+BC＝CF； （2）当点E在线段BA的延长线上，CD是△ACB的角平分线时，BC＝AE+CF， 如图②，延长CD，EF交于点M． 由①同理可证△MED≌△CBD（AAS）， ∴ME＝BC， 由①证明过程同理可得出MF＝CF，AE＝EF， ∴BC＝ME＝EF+MF＝AE+CF； 当点E在线段BA的延长线上，CD是△ACB的外角平分线时，AE＝CF+BC． 如图③，延长CD交EF于点M， 由上述证明过程易得△MED≌△CBD（AAS），BC＝EM，CF＝FM， 又∵AB＝BC， ∴∠ACB＝∠CAB＝∠FAE， ∵EF∥BC， ∴∠F＝∠FCB， ∴EF＝AE， ∴AE＝FE＝FM+ME＝CF+BC； （3）CF＝18或6， 当DE＝2AE＝6时，图①中，由（1）得：AE＝3，BC＝AB＝BD+DE+AE＝15， ∴CF＝AE+BC＝3+15＝18； 图②中，由（2）得：AE＝AD＝3，BC＝AB＝BD+AD＝9， ∴CF＝BC﹣AE＝9﹣3＝6； 图③中，DE小于AE，故不存在． 故答案为18或6． 6．（2020•辽阳）如图，射线AB和射线CB相交于点B，∠ABC＝α（0°＜α＜180°），且AB＝CB．点D是射线CB上的动点（点D不与点C和点B重合），作射线AD，并在射线AD上取一点E，使∠AEC＝α，连接CE，BE． （1）如图①，当点D在线段CB上，α＝90°时，请直接写出∠AEB的度数； （2）如图②，当点D在线段CB上，α＝120°时，请写出线段AE，BE，CE之间的数量关系，并说明理由； （3）当α＝120°，tan∠DAB=13时，请直接写出CEBE的值． 【分析】（1）连接AC，证A、B、E、C四点共圆，由圆周角定理得出∠BCE＝∠BAE，∠CBE＝∠CAE，证出△ABC是等腰直角三角形，则∠CAB＝45°，进而得出结论； （2）在AD上截取AF＝CE，连接BF，过点B作BH⊥EF于H，证△ABF≌△CBE（SAS），得出∠ABF＝∠CBE，BF＝BE，由等腰三角形的性质得出FH＝EH，由三角函数定义得出FH＝EH=32BE，进而得出结论； （3）由（2）得FH＝EH=32BE，由三角函数定义得出AH＝3BH=32BE，分别表示出CE，进而得出答案． 【解析】（1）连接AC，如图①所示： ∵α＝90°，∠ABC＝α，∠AEC＝α， ∴∠ABC＝∠AEC＝90°， ∴A、B、E、C四点共圆， ∴∠BCE＝∠BAE，∠CBE＝∠CAE， ∵∠CAB＝∠CAE+∠BAE， ∴∠BCE+∠CBE＝∠CAB， ∵∠ABC＝90°，AB＝CB， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴∠CAB＝45°， ∴∠BCE+∠CBE＝45°， ∴∠BEC＝180°﹣（∠BCE+∠CBE）＝180°﹣45°＝135°， ∴∠AEB＝∠BEC﹣∠AEC＝135°﹣90°＝45°； （2）AE=3BE+CE，理由如下： 在AD上截取AF＝CE，连接BF，过点B作BH⊥EF于H，如图②所示： ∵∠ABC＝∠AEC，∠ADB＝∠CDE， ∴180°﹣∠ABC﹣∠ADB＝180°﹣∠AEC﹣∠CDE， ∴∠A＝∠C， 在△ABF和△CBE中，AF=CE∠A=∠CAB=CB， ∴△ABF≌△CBE（SAS）， ∴∠ABF＝∠CBE，BF＝BE， ∴∠ABF+∠FBD＝∠CBE+∠FBD， ∴∠ABD＝∠FBE， ∵∠ABC＝120°， ∴∠FBE＝120°， ∵BF＝BE， ∴∠BFE＝∠BEF=12×（180°﹣∠FBE）=12×（180°﹣120°）＝30°， ∵BH⊥EF， ∴∠BHE＝90°，FH＝EH， 在Rt△BHE中，BH=12BE，FH＝EH=3BH=32BE， ∴EF＝2EH＝2×32BE=3BE， ∵AE＝EF+AF，AF＝CE， ∴AE=3BE+CE； （3）分两种情况： ①当点D在线段CB上时， 在AD上截取AF＝CE，连接BF，过点B作BH⊥EF于H，如图②所示： 由（2）得：FH＝EH=32BE， ∵tan∠DAB=BHAH=13， ∴AH＝3BH=32BE， ∴CE＝AF＝AH﹣FH=32BE-32BE=3-32BE， ∴CEBE=3-32； ②当点D在线段CB的延长线上时， 在射线AD上截取AF＝CE，连接BF，过点B作BH⊥EF于H，如图③所示： 同①得：FH＝EH=32BE，AH＝3BH=32BE， ∴CE＝AF＝AH+FH=32BE+32BE=3+32BE， ∴CEBE=3+32； 综上所述，当α＝120°，tan∠DAB=13时，CEBE的值为3-32或3+32． 7．（2020•凉山州）如图，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P、点Q以相同的速度，同时从点A、点B出发． （1）如图1，连接AQ、CP．求证：△ABQ≌△CAP； （2）如图1，当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，AQ、CP相交于点M，∠QMC的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数； （3）如图2，当点P、Q在AB、BC的延长线上运动时，直线AQ、CP相交于M，∠QMC的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数． 【分析】（1）根据等边三角形的性质，利用SAS证明△ABQ≌△CAP即可； （2）先判定△ABQ≌△CAP，根据全等三角形的性质可得∠BAQ＝∠ACP，从而得到∠QMC＝60°； （3）先判定△ABQ≌△CAP，根据全等三角形的性质可得∠BAQ＝∠ACP，从而得到∠QMC＝120°． 【解析】（1）证明：如图1，∵△ABC是等边三角形 ∴∠ABQ＝∠CAP＝60°，AB＝CA， 又∵点P、Q运动速度相同， ∴AP＝BQ， 在△ABQ与△CAP中， AB=CA∠ABQ=∠CPAAP=BQ， ∴△ABQ≌△CAP（SAS）； （2）点P、Q在AB、BC边上运动的过程中，∠QMC不变． 理由：∵△ABQ≌△CAP， ∴∠BAQ＝∠ACP， ∵∠QMC是△ACM的外角， ∴∠QMC＝∠ACP+∠MAC＝∠BAQ+∠MAC＝∠BAC ∵∠BAC＝60°， ∴∠QMC＝60°； （3）如图2，点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动时，∠QMC不变 理由：同理可得，△ABQ≌△CAP， ∴∠BAQ＝∠ACP， ∵∠QMC是△APM的外角， ∴∠QMC＝∠BAQ+∠APM， ∴∠QMC＝∠ACP+∠APM＝180°﹣∠PAC＝180°﹣60°＝120°， 即若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，∠QMC的度数为120°． 8．（2020•泰安）小明将两个直角三角形纸片如图（1）那样拼放在同一平面上，抽象出如图（2）的平面图形，∠ACB与∠ECD恰好为对顶角，∠ABC＝∠CDE＝90°，连接BD，AB＝BD，点F是线段CE上一点． 探究发现： （1）当点F为线段CE的中点时，连接DF（如图（2）），小明经过探究，得到结论：BD⊥DF．你认为此结论是否成立？　是　．（填“是”或“否”） 拓展延伸： （2）将（1）中的条件与结论互换，即：BD⊥DF，则点F为线段CE的中点．请判断此结论是否成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 问题解决： （3）若AB＝6，CE＝9，求AD的长． 【分析】（1）证明∠FDC+∠BDC＝90°可得结论． （2）结论成立：利用等角的余角相等证明∠E＝∠EDF，推出EF＝FD，再证明FD＝FC即可解决问题． （3）如图3中，取EC的中点G，连接GD．则GD⊥BD．利用（1）中即可以及相似三角形的性质解决问题即可． 【解析】（1）如图（2）中， ∵∠EDC＝90°，EF＝CF， ∴DF＝CF， ∴∠FCD＝∠FDC， ∵∠ABC＝90°， ∴∠A+∠ACB＝90°， ∵BA＝BD， ∴∠A＝∠ADB， ∵∠ACB＝∠FCD＝∠FDC， ∴∠ADB+∠FDC＝90°， ∴∠FDB＝90°， ∴BD⊥DF． 故答案为是． （2）结论成立： 理由：∵BD⊥DF，ED⊥AD， ∴∠BDC+∠CDF＝90°，∠EDF+∠CDF＝90°， ∴∠BDC＝∠EDF， ∵AB＝BD， ∴∠A＝∠BDC， ∴∠A＝∠EDF， ∵∠A+∠ACB＝90°，∠E+∠ECD＝90°，∠ACB＝∠ECD， ∴∠A＝∠E， ∴∠E＝∠EDF， ∴EF＝FD， ∵∠E+∠ECD＝90°，∠EDF+∠FDC＝90°， ∴∠FCD＝∠FDC， ∴FD＝FC， ∴EF＝FC， ∴点F是EC的中点． （3）如图3中，取EC的中点G，连接GD．则GD⊥BD． ∴DG=12EC=92， ∵BD＝AB＝6， 在Rt△BDG中，BG=DG2+BD2=(92)2+62=152， ∴CB=152-92=3， 在Rt△ABC中，AC=AB2+BC2=62+32=35， ∵∠ACB＝∠ECD，∠ABC＝∠EDC， ∴△ABC∽△EDC， ∴ACEC=BCCD， ∴359=3CD， ∴CD=955， ∴AD＝AC+CD＝35+955=2455． 9．（2020•常德）已知D是Rt△ABC斜边AB的中点，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，过点D作Rt△DEF使∠DEF＝90°，∠DFE＝30°，连接CE并延长CE到P，使EP＝CE，连接BE，FP，BP，设BC与DE交于M，PB与EF交于N． （1）如图1，当D，B，F共线时，求证： ①EB＝EP； ②∠EFP＝30°； （2）如图2，当D，B，F不共线时，连接BF，求证：∠BFD+∠EFP＝30°． 【分析】（1）①证明△CBP是直角三角形，根据直角三角形斜边中线可得结论； ②根据同位角相等可得BC∥EF，由平行线的性质得BP⊥EF，可得EF是线段BP的垂直平分线，根据等腰三角形三线合一的性质可得∠PFE＝∠BFE＝30°； （2）如图2，延长DE到Q，使EQ＝DE，连接CD，PQ，FQ，证明△QEP≌△DEC（SAS），则PQ＝DC＝DB，由QE＝DE，∠DEF＝90°，知EF是DQ的垂直平分线，证明△FQP≌△FDB（SAS），再由EF是DQ的垂直平分线，可得结论． 【解答】证明（1）①∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°， ∴∠A＝90°﹣30°＝60°， 同理∠EDF＝60°， ∴∠A＝∠EDF＝60°， ∴AC∥DE， ∴∠DMB＝∠ACB＝90°， ∵D是Rt△ABC斜边AB的中点，AC∥DM， ∴BMBC=BDAB=12， 即M是BC的中点， ∵EP＝CE，即E是PC的中点， ∴ED∥BP， ∴∠CBP＝∠DMB＝90°， ∴△CBP是直角三角形， ∴BE=12PC＝EP； ②∵∠ABC＝∠DFE＝30°， ∴BC∥EF， 由①知：∠CBP＝90°， ∴BP⊥EF， ∵EB＝EP， ∴EF是线段BP的垂直平分线， ∴PF＝BF， ∴∠PFE＝∠BFE＝30°； （2）如图2，延长DE到Q，使EQ＝DE，连接CD，PQ，FQ， ∵EC＝EP，∠DEC＝∠QEP， ∴△QEP≌△DEC（SAS）， 则PQ＝DC＝DB， ∵QE＝DE，∠DEF＝90° ∴EF是DQ的垂直平分线， ∴QF＝DF， ∵CD＝AD， ∴∠CDA＝∠A＝60°， ∴∠CDB＝120°， ∴∠FDB＝120°﹣∠FDC＝120°﹣（60°+∠EDC）＝60°﹣∠EDC＝60°﹣∠EQP＝∠FQP， ∴△FQP≌△FDB（SAS）， ∴∠QFP＝∠BFD， ∵EF是DQ的垂直平分线， ∴∠QFE＝∠EFD＝30°， ∴∠QFP+∠EFP＝30°， ∴∠BFD+∠EFP＝30°． 10．（2020•黔东南州）如图1，△ABC和△DCE都是等边三角形． 探究发现 （1）△BCD与△ACE是否全等？若全等，加以证明；若不全等，请说明理由． 拓展运用 （2）若B、C、E三点不在一条直线上，∠ADC＝30°，AD＝3，CD＝2，求BD的长． （3）若B、C、E三点在一条直线上（如图2），且△ABC和△DCE的边长分别为1和2，求△ACD的面积及AD的长． 【分析】（1）依据等式的性质可证明∠BCD＝∠ACE，然后依据SAS可证明△ACE≌△BCD； （2）由（1）知：BD＝AE，利用勾股定理计算AE的长，可得BD的长； （3）如图2，过A作AF⊥CD于F，先根据平角的定义得∠ACD＝60°，利用特殊角的三角函数可得AF的长，由三角形面积公式可得△ACD的面积，最后根据勾股定理可得AD的长． 【解析】（1）全等，理由是： ∵△ABC和△DCE都是等边三角形， ∴AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°， ∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD， 即∠BCD＝∠ACE， 在△BCD和△ACE中， CD=CE∠BCD=∠ACEBC=AC， ∴△ACE≌△BCD（ SAS）； （2）如图3，由（1）得：△BCD≌△ACE， ∴BD＝AE， ∵△DCE都是等边三角形， ∴∠CDE＝60°，CD＝DE＝2， ∵∠ADC＝30°， ∴∠ADE＝∠ADC+∠CDE＝30°+60°＝90°， 在Rt△ADE中，AD＝3，DE＝2， ∴AE=AD2+DE2=9+4=13， ∴BD=13； （3）如图2，过A作AF⊥CD于F， ∵B、C、E三点在一条直线上， ∴∠BCA+∠ACD+∠DCE＝180°， ∵△ABC和△DCE都是等边三角形， ∴∠BCA＝∠DCE＝60°， ∴∠ACD＝60°， 在Rt△ACF中，sin∠ACF=AFAC， ∴AF＝AC×sin∠ACF＝1×32=32， ∴S△ACD=12×CD×AF=12×2×32=32， ∴CF＝AC×cos∠ACF＝1×12=12， FD＝CD﹣CF＝2-12=32， 在Rt△AFD中，AD2＝AF2+FD2=(32)2+(32)2=3， ∴AD=3． 11．（2020•金华）如图，在△ABC中，AB＝42，∠B＝45°，∠C＝60°． （1）求BC边上的高线长． （2）点E为线段AB的中点，点F在边AC上，连结EF，沿EF将△AEF折叠得到△PEF． ①如图2，当点P落在BC上时，求∠AEP的度数． ②如图3，连结AP，当PF⊥AC时，求AP的长． 【分析】（1）如图1中，过点A作AD⊥BC于D．解直角三角形求出AD即可． （2）①证明BE＝EP，可得∠EPB＝∠B＝45°解决问题． ②如图3中，由（1）可知：AC=ADsin60°=833，证明△AEF∽△ACB，推出AFAB=AEAC，由此求出AF即可解决问题． 【解析】（1）如图1中，过点A作AD⊥BC于D． 在Rt△ABD中，AD＝AB•sin45°＝42×22=4． （2）①如图2中， ∵△AEF≌△PEF， ∴AE＝EP， ∵AE＝EB， ∴BE＝EP， ∴∠EPB＝∠B＝45°， ∴∠PEB＝90°， ∴∠AEP＝180°﹣90°＝90°． ②如图3中，由（1）可知：AC=ADsin60°=833， ∵PF⊥AC， ∴∠PFA＝90°， ∵△AEF≌△PEF， ∴∠AFE＝∠PFE＝45°， ∴∠AFE＝∠B， ∵∠EAF＝∠CAB， ∴△AEF∽△ACB， ∴AFAB=AEAC，即AF42=22833， ∴AF＝23， 在Rt△AFP，AF＝FP， ∴AP=2AF＝26． 方法二：AE＝BE＝PE可得直角三角形ABP，由PF⊥AC，可得∠AFE＝45°，可得∠FAP＝45°，即∠PAB＝30°． AP＝ABcos30°＝26． 12．（2020•江西）某数学课外活动小组在学习了勾股定理之后，针对图1中所示的“由直角三角形三边向外侧作多边形，它们的面积S1，S2，S3之间的关系问题”进行了以下探究： 类比探究 （1）如图2，在Rt△ABC中，BC为斜边，分别以AB，AC，BC为斜边向外侧作Rt△ABD，Rt△ACE，Rt△BCF，若∠1＝∠2＝∠3，则面积S1，S2，S3之间的关系式为　S1+S2＝S3　； 推广验证 （2）如图3，在Rt△ABC中，BC为斜边，分别以AB，AC，BC为边向外侧作任意△ABD，△ACE，△BCF，满足∠1＝∠2＝∠3，∠D＝∠E＝∠F，则（1）中所得关系式是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由； 拓展应用 （3）如图4，在五边形ABCDE中，∠A＝∠E＝∠C＝105°，∠ABC＝90°，AB＝23，DE＝2，点P在AE上，∠ABP＝30°，PE=2，求五边形ABCDE的面积． 【分析】类比探究 （1）通过证明△ADB∽△BFC，可得S△ADBS△BFC=（ABBC）2，同理可得S△AECS△BFC=（ACBC）2，由勾股定理可得AB2+AC2＝BC2，可得结论； 推广验证 （2）通过证明△ADB∽△BFC，可得S△ADBS△BFC=（ABBC）2，同理可得S△AECS△BFC=（ACBC）2，由勾股定理可得AB2+AC2＝BC2，可得结论； 拓展应用 （3）过点A作AH⊥BP于H，连接PD，BD，由直角三角形的性质可求AP=6，BP＝BH+PH＝3+3，可求S△ABP=33+32，通过证明△ABP∽△EDP，可得∠EPD＝∠APB＝45°，PDBP=PEAP=33，S△PDE=3+12，可得∠BPD＝90°，PD＝1+3，可求S△BPD＝23+3，由（2）的结论可求S△BCD＝S△ABP+S△DPE=33+32+3+12=23+2，即可求解． 【解析】类比探究 （1）∵∠1＝∠3，∠D＝∠F＝90°， ∴△ADB∽△BFC， ∴S△ADBS△BFC=（ABBC）2， 同理可得：S△AECS△BFC=（ACBC）2， ∵AB2+AC2＝BC2， ∴S1S3+S2S3=（ABBC）2+（ACBC）2=AB2+AC2BC2=1， ∴S1+S2＝S3， 故答案为：S1+S2＝S3． （2）结论仍然成立， 理由如下：∵∠1＝∠3，∠D＝∠F， ∴△ADB∽△BFC， ∴S△ADBS△BFC=（ABBC）2， 同理可得：S△AECS△BFC=（ACBC）2， ∵AB2+AC2＝BC2， ∴S1S3+S2S3=（ABBC）2+（ACBC）2=AB2+AC2BC2=1， ∴S1+S2＝S3， （3）过点A作AH⊥BP于H，连接PD，BD， ∵∠ABH＝30°，AB＝23， ∴AH=3，BH＝3，∠BAH＝60°， ∵∠BAP＝105°， ∴∠HAP＝45°， ∵AH⊥BP， ∴∠HAP＝∠APH＝45°， ∴PH＝AH=3， ∴AP=6，BP＝BH+PH＝3+3， ∴S△ABP=BP⋅AH2=(3+3)⋅32=33+32， ∵PE=2，ED＝2，AP=6，AB＝23， ∴PEAP=26=33，DEAB=223=33， ∴PEAP=EDAB， 且∠E＝∠BAP＝105°， ∴△ABP∽△EDP， ∴∠EPD＝∠APB＝45°，PDBP=PEAP=33， ∴∠BPD＝90°，PD＝1+3， ∴S△BPD=BP⋅PD2=(3+3)⋅(1+3)2=23+3， ∵△ABP∽△EDP， ∴S△PDES△ABP=（33）2=13， ∴S△PDE=13×33+32=3+12 ∵tan∠PBD=PDBP=33， ∴∠PBD＝30°， ∴∠CBD＝∠ABC﹣∠ABP﹣∠CBD＝30°， ∴∠ABP＝∠PDE＝∠CBD， 又∵∠A＝∠E＝∠C＝105°， ∴△ABP∽△EDP∽△CBD， 由（2）的结论可得：S△BCD＝S△ABP+S△DPE=33+32+3+12=23+2， ∴五边形ABCDE的面积=33+32+3+12+23+2+23+3＝63+7． 13．（2020•衡阳）如图1，平面直角坐标系xOy中，等腰△ABC的底边BC在x轴上，BC＝8，顶点A在y的正半轴上，OA＝2，一动点E从（3，0）出发，以每秒1个单位的速度沿CB向左运动，到达OB的中点停止．另一动点F从点C出发，以相同的速度沿CB向左运动，到达点O停止．已知点E、F同时出发，以EF为边作正方形EFGH，使正方形EFGH和△ABC在BC的同侧，设运动的时间为t秒（t≥0）． （1）当点H落在AC边上时，求t的值； （2）设正方形EFGH与△ABC重叠面积为S，请问是否存在t值，使得S=9136？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由； （3）如图2，取AC的中点D，连结OD，当点E、F开始运动时，点M从点O出发，以每秒25个单位的速度沿OD﹣DC﹣CD﹣DO运动，到达点O停止运动．请问在点E的整个运动过程中，点M可能在正方形EFGH内（含边界）吗？如果可能，求出点M在正方形EFGH内（含边界）的时长；若不可能，请说明理由． 【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理解决问题即可． （2）由题意，在E，F的运动过程中，开始正方形EFGH的边长为1，因为正方形EFGH与△ABC重叠面积为S，S=9136，推出此时点F与O重合，已经停止运动，如图1﹣2中，重叠部分是五边形OEKJG．构建方程求解即可． （3）分别求出点M第一次和第二次落在正方形内部（包括边界）的时长即可解决问题． 【解析】（1）如图1﹣1中， 由题意，OA＝2，OB＝OC＝4，EF＝EH＝FG＝HG＝1， 当点H落在AC上时，∵EH∥OA， ∴CECO=EHOA， ∴CE4=12， ∴CE＝2， ∴点E的运动路程为1， ∴t＝1时，点E落在AC上． （2）由题意，在E，F的运动过程中，开始正方形EFGH的边长为1， ∵正方形EFGH与△ABC重叠面积为S，S=9136， ∴此时点F与O重合，已经停止运动，如图1﹣2中，重叠部分是五边形OEKJG． 由题意：（t﹣3）2-12•3t-132•（3t﹣13）=9136， 整理得45t2﹣486t+1288＝0， 解得t=143或9215（舍弃）， ∴满足条件的t的值为143． （3）如图3﹣1中，当点M第一次落在EH上时，4t+t＝3，t=35 当点M第一次落在FG上时，4t+t＝4，t=45， ∴点M第一次落在正方形内部（包括边界）的时长=45-35=15（s）， 当点M第二次落在FG上时，4t﹣t＝4，t=43， 当点M第二次落在EH上时，4t﹣（t+1）＝4，t=53， 点M第二次落在正方形内部（包括边界）的时长=53-43=13， ∴点M落在正方形内部（包括边界）的总时长=15+13=815（s）． 14．（2020•青岛）已知：如图，在四边形ABCD和Rt△EBF中，AB∥CD，CD＞AB，点C在EB上，∠ABC＝∠EBF＝90°，AB＝BE＝8cm，BC＝BF＝6cm，延长DC交EF于点M．点P从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度为2cm/s；同时，点Q从点M出发，沿MF方向匀速运动，速度为1cm/s．过点P作GH⊥AB于点H，交CD于点G．设运动时间为t（s）（0＜t＜5）． 解答下列问题： （1）当t为何值时，点M在线段CQ的垂直平分线上？ （2）连接PQ，作QN⊥AF于点N，当四边形PQNH为矩形时，求t的值； （3）连接QC，QH，设四边形QCGH的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式； （4）点P在运动过程中，是否存在某一时刻t，使点P在∠AFE的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）由平行线分线段成比例可得CMBF=CEBE，可求CM的长，由线段垂直平分线的性质可得CM＝MQ，即可求解； （2）利用锐角三角函数分别求出PH=65t，QN＝6-45t，由矩形的性质可求解； （3）利用面积的和差关系可得S＝S梯形GMFH﹣S△CMQ﹣S△HFQ，即可求解； （4）连接