专题13 反比例函数-2年中考1年模拟备战2018年中考数学精品系列（解析版）.doc

备战2018中考系列：数学2年中考1年模拟 第三篇 函数 专题13 反比例函数 ☞解读考点 知　识　点 名师点晴 反比例函数概念、图象和性质[来源:Z*xx*k.Com] 1．反比例函数概念[来源:学科网ZXXK][来源:学§科§网] 会判断一个函数是否为反比例函数．[来源:Zxxk.Com][来源:学科网ZXXK] 2．反比例函数图象 知道反比例函数的图象是双曲线，． 3．反比例函数的性质 会分象限利用增减性． 4．一次函数的解析式确定 能用待定系数法确定函数解析式． 反比例函数的应用 5．反比例函数中比例系数的几何意义 会用数形结合思想解决此类问题． 能根据图象信息，解决相应的实际问题． 能解决与三角形、四边形等几何图形相关的计算和证明． ☞2年中考 【2017年题组】 一、选择题 1．（2017天津）若点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（3，y3）在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3　　　　　　B．y2＜y3＜y1　　　　　　C．y3＜y2＜y1　　　　　　D．y2＜y1＜y3 【答案】B． 【解析】 考点：反比例函数图象上点的坐标特征． 2．（2017四川省自贡市）一次函数和反比例函数（）的图象如图所示，若 ，则x的取值范围是（　　） A．﹣2＜x＜0或x＞1　　　　B．﹣2＜x＜1　　　　C．x＜﹣2或x＞1　　　　D．x＜﹣2或0＜x＜1 【答案】D． 【解析】 考点：反比例函数与一次函数的交点问题． 3．（2017吉林省长春市）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点A的坐标为（﹣4，0），顶点B在第二象限，∠BAO=60°，BC交y轴于点D，DB：DC=3：1．若函数（k＞0，x＞0）的图象经过点C，则k的值为（　　） A．　　　　B．　　　　C．　　　　D． 【答案】D． 【解析】 试题分析：∵四边形ABCD是平行四边形，点A的坐标为（﹣4，0），∴BC=4，∵DB：DC=3：1，∴B（﹣3，OD），C（1，OD），∵∠BAO=60°，∴∠COD=30°，∴OD=，∴C（1，），∴k=，故选D． 考点：1．反比例函数图象上点的坐标特征；2．平行四边形的性质．学科！网 4．（2017四川省乐山市）如图，平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA、OC分别落在x、y轴上，点B坐标为（6，4），反比例函数的图象与AB边交于点D，与BC边交于点E，连结DE，将△BDE沿DE翻折至△B'DE处，点B'恰好落在正比例函数y=kx图象上，则k的值是（　　） A．　　　　　　B．　　　　　　C．　　　　　　D． 【答案】B． 【解析】 考点：1．反比例函数与一次函数的交点问题；2．翻折变换（折叠问题）；3．综合题． 5．（2017四川省达州市）已知函数的图象如图所示，点P是y轴负半轴上一动点，过点P作y轴的垂线交图象于A，B两点，连接OA、OB．下列结论： ①若点M1（x1，y1），M2（x2，y2）在图象上，且x1＜x2＜0，则y1＜y2； ②当点P坐标为（0，﹣3）时，△AOB是等腰三角形； ③无论点P在什么位置，始终有S△AOB=7.5，AP=4BP； ④当点P移动到使∠AOB=90°时，点A的坐标为（，）． 其中正确的结论个数为（　　） A．1　　　　　　B．2　　　　　　C．3　　　　　　D．4 【答案】C． 【解析】 ④正确．设P（0，m），则B（，m），A（﹣，m），∴PB=﹣，PA=﹣，OP=﹣m，∵∠AOB=90°，∠OPB=∠OPA=90°，∴∠BOP+∠AOP=90°，∠AOP+∠OPA=90°，∴∠BOP=∠OAP，∴△OPB∽△APO，∴，∴OP2=PB•PA，∴m2=﹣•（﹣），∴m4=36，∵m＜0，∴m=﹣，∴A（，﹣），故④正确，∴②③④正确，故选C． 考点：1．反比例函数综合题；2．综合题． 6．（2017山东省潍坊市）一次函数y=ax+b与反比例函数，其中ab＜0，a、b为常数，它们在同一坐标系中的图象可以是（　　） A．　　　　　　B． C．　　　　　　D． 【答案】C． 【解析】 C．由一次函数图象过一、三象限，得a＞0，交y轴负半轴，则b＜0，满足ab＜0，∴a﹣b＞0，∴反比例函数的图象过一、三象限，所以此选项正确； D．由一次函数图象过二、四象限，得a＜0，交y轴负半轴，则b＜0，满足ab＞0，与已知相矛盾 所以此选项不正确； 故选C． 考点：1．反比例函数的图象；2．一次函数的图象． 7．（2017山东省青岛市）一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过A（﹣1，﹣4），B（2，2）两点，P为反比例函数图象上一动点，O为坐标原点，过点P作y轴的垂线，垂足为C，则△PCO的面积为（　　） A．2　　　　　　B．4　　　　　　C．8　　　　　　D．不确定 【答案】A． 【解析】 考点：1．反比例函数系数k的几何意义；2．一次函数图象上点的坐标特征． 8．（2017广东省）如图，在同一平面直角坐标系中，直线（≠0）与双曲线（≠0）相交于A，B两点，已知点A的坐标为（1，2），则点B的坐标为（　　） A．（﹣1，﹣2）　　　　　B．（﹣2，﹣1）　　　　　C．（﹣1，﹣1）　　　　　D．（﹣2，﹣2） 【答案】A． 【解析】 试题分析：∵点A与B关于原点对称，∴B点的坐标为（﹣1，﹣2）．故选A． 考点：反比例函数与一次函数的交点问题．学科#网 9．（2017广西桂林市）一次函数y=﹣x+1（0≤x≤10）与反比例函数（﹣10≤x＜0）在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，点（x1，y1），（x2，y2）是图象上两个不同的点，若y1=y2，则x1+x2的取值范围是（　　） A．﹣≤x≤1　　　B．﹣≤x≤　　　　C．﹣≤x≤　　　D．1≤x≤ 【答案】B． 【解析】 考点：1．反比例函数图象上点的坐标特征；2．一次函数图象上点的坐标特征． 10．（2017江苏省泰州市）如图，P为反比例函数（k＞0）在第一象限内图象上的一点，过点P分别作x轴，y轴的垂线交一次函数y=﹣x﹣4的图象于点A、B．若∠AOB=135°，则k的值是（　　） A．2　　　　　　B．4　　　　　　C．6　　　　　　D．8 【答案】D． 【解析】 试题分析：作BF⊥x轴，OE⊥AB，CQ⊥AP；设P点坐标（n，），∵直线AB函数式为y=﹣x﹣4，PB⊥y轴，PA⊥x轴，∴C（0，﹣4），G（﹣4，0），∴OC=OG，∴∠OGC=∠OCG=45°．∵PB∥OG，PA∥OC，∴∠PBA=∠OGC=45°，∠PAB=∠OCG=45°，∴PA=PB，∵P点坐标（n，），∴OD=CQ=n，∴AD=AQ+DQ=n+4； ∵当x=0时，y=﹣x﹣4=﹣4，∴OC=DQ=4，GE=OE=OC=； 同理可证：BG=BF=PD=，∴BE=BG+EG=； ∵∠AOB=135°，∴∠OBE+∠OAE=45°，∵∠DAO+∠OAE=45°，∴∠DAO=∠OBE，在△BOE和△AOD中，∵∠DAO=∠OBE，∠BEO=∠ADO，∴△BOE∽△AOD；∴，即；整理得：nk+2n2=8n+2n2，化简得：k=8．故选D．学科￥网 考点：1．反比例函数图象上点的坐标特征；2．一次函数图象上点的坐标特征；3．综合题． 11．（2017湖北省十堰市）如图，直线分别交x轴，y轴于A，B，M是反比例函数（x＞0）的图象上位于直线上方的一点，MC∥x轴交AB于C，MD⊥MC交AB于D，AC•BD=，则k的值为（　　） A．﹣3　　　　　　B．﹣4　　　　　　C．﹣5　　　　　　D．﹣6 【答案】A． 【解析】 考点：反比例函数与一次函数的交点问题． 12．（2017湖北省咸宁市）在平面直角坐标系xOy中，将一块含有45°角的直角三角板如图放置，直角顶点C的坐标为（1，0），顶点A的坐标为（0，2），顶点B恰好落在第一象限的双曲线上，现将直角三角板沿x轴正方向平移，当顶点A恰好落在该双曲线上时停止运动，则此时点C的对应点C′的坐标为（　　） A．（，0）　　　　　　B．（2，0）　　　　　　C．（，0）　　　　　　D．（3，0） 【答案】C． 【解析】 考点：1．反比例函数图象上点的坐标特征；2．坐标与图形变化﹣平移；3．综合题． 13．（2017湖北省宜昌市）某学校要种植一块面积为100m2的长方形草坪，要求两边长均不小于5m，则草坪的一边长为y（单位：m）随另一边长x（单位：m）的变化而变化的图象可能是（　　） A．　　　　　　B． C．　　　　　　D． 【答案】C． 【解析】 试题分析：∵草坪面积为100m2，∴x、y存在关系，∵两边长均不小于5m，∴x≥5、y≥5，则x≤20，故选C． 考点：反比例函数的应用． 14．（2017湖南省岳阳市）已知点A在函数（x＞0）的图象上，点B在直线y2=kx+1+k（k为常数，且k≥0）上．若A，B两点关于原点对称，则称点A，B为函数y1，y2图象上的一对“友好点”．请问这两个函数图象上的“友好点”对数的情况为（　　） A．有1对或2对　　　　　　B．只有1对　　　　　　C．只有2对　　　　　　D．有2对或3对 【答案】A． 【解析】 考点：1．反比例函数图象上点的坐标特征；2．一次函数图象上点的坐标特征；3．关于原点对称的点的坐标；4．新定义． 15．（2017怀化）如图，A，B两点在反比例函数的图象上，C，D两点在反比例函数的图象上，AC⊥y轴于点E，BD⊥y轴于点F，AC=2，BD=1，EF=3，则的值是（　　） A．6　　　　　　B．4　　　　　　C．3　　　　　　D．2 【答案】D． 【解析】 考点：反比例函数图象上点的坐标特征． 16．（2017辽宁省营口市）如图，在菱形ABOC中，∠A=60°，它的一个顶点C在反比例函数的图象上，若将菱形向下平移2个单位，点A恰好落在函数图象上，则反比例函数解析式为（　　） A．　　　　B．　　　　C． 　　　　D． 【答案】A． 【解析】 试题分析：过点C作CD⊥x轴于D，设菱形的边长为a，在Rt△CDO中，OD=a•cos60°=a，CD=a•sin60°=a，则C（﹣a， a），点A向下平移2个单位的点为（﹣a﹣a， a﹣2），即（﹣a， a﹣2），则：，解得：．故反比例函数解析式为．故选A．学科%网 考点：1．反比例函数图象上点的坐标特征；2．菱形的性质；3．坐标与图形变化﹣平移． 17．（2017辽宁省锦州市）如图，矩形OABC中，A（1，0），C（0，2），双曲线（0＜k＜2）的图象分别交AB，CB于点E，F，连接OE，OF，EF，S△OEF=2S△BEF，则k值为（　　） A．　　　　　　B．1　　　　　　C．　　　　　　D． 【答案】A． 【解析】 考点：反比例函数系数k的几何意义． 18．（2017四川省遂宁市）若点A（-6，），B（-2，），C（3，）在反比例函数（a为常数）的图像上，则，，大小关系为（　　） A．　　　　B．　　　　C．　　　　D． 【答案】D． 【解析】 考点：反比例函数图象上点的坐标特征． 二、填空题 19．（2017上海市）如果反比例函数（k是常数，k≠0）的图象经过点（2，3），那么在这个函数图象所在的每个象限内，y的值随x的值增大而 ．（填“增大”或“减小”） 【答案】减小． 【解析】 试题分析：∵反比例函数（k是常数，k≠0）的图象经过点（2，3），∴k=2×3=6＞0，∴这个函数图象所在的每个象限内，y的值随x的值增大而减小．故答案为：减小． 考点：反比例函数的性质．学科…网 20．（2017云南省）已知点A（a，b）在双曲线上，若a、b都是正整数，则图象经过B（a，0）、C（0，b）两点的一次函数的解析式（也称关系式）为 ． 【答案】y=﹣5x+5或y=﹣x+1． 【解析】 ②当a=5，b=1时，由题意，得：，解得：，∴y=﹣x+1． 则所求解析式为y=﹣5x+5或y=﹣x+1． 故答案为：y=﹣5x+5或y=﹣x+1． 考点：1．反比例函数图象上点的坐标特征；2．分类讨论． 21．（2017山东省日照市）如图，在平面直角坐标系中，经过点A的双曲线（x＞0）同时经过点B，且点A在点B的左侧，点A的横坐标为，∠AOB=∠OBA=45°，则k的值为 ． 【答案】． 【解析】 试题分析：过A作AM⊥y轴于M，过B作BD选择x轴于D，直线BD与AM交于点N，如图所示： 则OD=MN，DN=OM，∠AMO=∠BNA=90°，∴∠AOM+∠OAM=90°，∵∠AOB=∠OBA=45°，∴OA=BA，∠OAB=90°，∴∠OAM+∠BAN=90°，∴∠AOM=∠BAN，在△AOM和△BAN中，∵∠AOM=∠BAN，∠AMO=∠BNA，OA=BA，∴△AOM≌△BAN（AAS），∴AM=BN=，OM=AN=，∴OD=+，OD=BD=﹣，∴B（+，﹣），∴双曲线（x＞0）同时经过点A和B，∴（ +）•（﹣）=k，整理得：k2﹣2k﹣4=0，解得：k=（负值舍去），∴k=．故答案为：． 考点：1．反比例函数图象上点的坐标特征；2．综合题．学科&网 22．（2017江苏省南通市）如图，四边形OABC是平行四边形，点C在x轴上，反比例函数（x＞0）的图象经过点A（5，12），且与边BC交于点D．若AB=BD，则点D的坐标为 ． 【答案】（8，）． 【解析】 过A作AF⊥OC于F，则△DEB∽△AFO，∴，而AF=12，DE=12﹣，OA= =13，∴DB=13﹣，∵AB=DB，∴m﹣=13﹣，解得m1=5，m2=8，又∵D在A的右侧，即m＞5，∴m=8，∴D的坐标为（8，）．故答案为：（8，）． 考点：1．反比例函数图象上点的坐标特征；2．平行四边形的性质；3．方程思想；4．综合题． 23．（2017江苏省宿迁市）如图，矩形ABOC的顶点O在坐标原点，顶点B，C分别在x，y轴的正半轴上，顶点A在反比例函数（k为常数，k＞0，x＞0）的图象上，将矩形ABOC绕点A按逆时针方向旋转90°得到矩形AB′O′C′，若点O的对应点O′恰好落在此反比例函数图象上，则的值是 ． 【答案】． 【解析】 考点：1．坐标与图形变化﹣旋转；2．反比例函数图象上点的坐标特征；3．矩形的性质． 24．（2017浙江省宁波市）已知△ABC的三个顶点为A（﹣1，﹣1），B（﹣1，3），C（﹣3，﹣3），将△ABC向右平移m（m＞0）个单位后，△ABC某一边的中点恰好落在反比例函数的图象上，则m的值为 ． 【答案】4或． 【解析】 试题分析：∵△ABC的三个顶点为A（﹣1，﹣1），B（﹣1，3），C（﹣3，﹣3），∴AB边的中点（﹣1，1），BC边的中点（﹣2，0），AC边的中点（﹣2，﹣2），∵将△ABC向右平移m（m＞0）个单位后，∴AB边的中点平移后的坐标为（﹣1+m，1），AC边的中点平移后的坐标为（﹣2+m，﹣2）． ∵△ABC某一边的中点恰好落在反比例函数的图象上，∴﹣1+m=3或﹣2×（﹣2+m）=3，∴m=4或m=．故答案为：4或．学科*网 考点：1．反比例函数图象上点的坐标特征；2．坐标与图形变化﹣平移；3．分类讨论． 25．（2017浙江省温州市）如图，矩形OABC的边OA，OC分别在x轴、y轴上，点B在第一象限，点D在边BC上，且∠AOD=30°，四边形OA′B′D与四边形OABD关于直线OD对称（点A′和A，B′和B分别对应）．若AB=1，反比例函数（k≠0）的图象恰好经过点A′，B，则k的值为 ． 【答案】． 【解析】 考点：1．反比例函数图象上点的坐标特征；2．矩形的性质；3．轴对称的性质；4．综合题． 26．（2017浙江省湖州市）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=kx（k＞0）分别交反比例函数和在第一象限的图象于点A，B，过点B作 BD⊥x轴于点D，交的图象于点C，连结AC．若△ABC是等腰三角形，则k的值是 ． 【答案】k=或． 【解析】 ①AB=BC，则 =﹣，解得：k=； ②AC=BC，则=﹣，解得：k=； 故答案为：k=或． 考点：1．反比例函数与一次函数的交点问题；2．等腰三角形的性质；3．分类讨论；4．综合题． 27．（2017金华）如图，已知点A（2，3）和点B（0，2），点A在反比例函数的图象上，做射线AB，再将射线AB绕点A按逆时针方向旋转45°，交反比例函数图象于点C，则点C的坐标为 ． 【答案】（﹣1，﹣6）． 【解析】 考点：1．坐标与图形变化﹣旋转；2．反比例函数图象上点的坐标特征；3．反比例函数与一次函数的交点问题；4．综合题． 28．（2017湖北省孝感市）如图，在平面直角坐标系中，OA=AB，∠OAB=90°，反比例函数（x＞0）的图象经过A，B两点．若点A的坐标为（n，1），则k的值为 ． 【答案】． 【解析】 考点：1．反比例函数图象上点的坐标特征；2．全等三角形的判定与性质． 29．（2017湖北省荆州市）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴的负半轴、y轴的正半轴上，点B在第二象限．将矩形OABC绕点O顺时针旋转，使点B落在y轴上，得到矩形ODEF，BC与OD相交于点M．若经过点M的反比例函数（x＜0）的图象交AB于点N，S矩形OABC=32，tan∠DOE=，则BN的长为 ． 【答案】3． 【解析】 考点：1．坐标与图形变化﹣旋转；2．反比例函数系数k的几何意义；3．解直角三角形；4．综合题． 三、解答题 30．（2017内蒙古呼和浩特市）已知反比例函数（k为常数）． （1）若点P1（，y1）和点P2（，y2）是该反比例函数图象上的两点，试利用反比例函数的性质比较y1和y2的大小； （2）设点P（m，n）（m＞0）是其图象上的一点，过点P作PM⊥x轴于点M．若tan∠POM=2，PO=（O为坐标原点），求k的值，并直接写出不等式的解集． 【答案】（1）y1＞y2；（2）①当k=﹣1时，解集为：x＜﹣或0＜x＜；②当k=1时，解集为：x＞0． 【解析】 试题解析：（1）∵﹣k2﹣1＜0，∴反比例函数在每一个象限內y随x的增大而增大，∵＜＜0，∴y1＞y2； （2）点P（m，n）在反比例函数的图象上，m＞0，∴n＜0，∴OM=m，PM=﹣n，∵tan∠POM=2，∴ =2，∴﹣n=2m，∵PO=，∴m2+（﹣n）2=5，∴m=1，n=﹣2，∴P（1，﹣2），∴﹣k2﹣1=﹣2，解得k=±1，①当k=﹣1时，则不等式的解集为：x＜﹣或0＜x＜； ②当k=1时，则不等式的解集为：x＞0． 考点：1．反比例函数图象上点的坐标特征；2．解直角三角形；3．分类讨论． 31．（2017内蒙古赤峰市）如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，以线段AB为边在第一象限作等边△ABC． （1）若点C在反比例函数的图象上，求该反比例函数的解析式； （2）点P（，m）在第一象限，过点P作x轴的垂线，垂足为D，当△PAD与△OAB相似时，P点是否在（1）中反比例函数图象上？如果在，求出P点坐标；如果不在，请加以说明． 【答案】（1）；（2）P（，1）在反比例函数图象上． 【解析】 试题解析：（1）在中，令y=0可解得x=，令x=0可得y=1，∴A（，0），B（0，1），∴tan∠BAO=，∴∠BAO=30°，∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=60°，∴∠CAO=90°，在Rt△BOA中，由勾股定理可得AB=2，∴AC=2，∴C（，2），∵点C在反比例函数的图象上，∴k=2×=，∴反比例函数解析式为； （2）∵P（，m）在第一象限，∴AD=OD﹣OA=﹣=，PD=m，当△ADP∽△AOB时，则有，即，解得m=1，此时P点坐标为（，1）； 当△PDA∽△AOB时，则有，即，解得m=3，此时P点坐标为（，3）； 把P（，3）代入可得3≠，∴P（，3）不在反比例函数图象上，把P（，1）代入反比例函数解析式得1=，∴P（，1）在反比例函数图象上； 综上可知P点坐标为（，1）． 考点：1．反比例函数综合题；2．分类讨论；3．综合题． 32．（2017四川省广元市）如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数的图象交于C，D两点，与x，y轴交于B，A两点，且tan∠ABO=，OB=4，OE=2． （1）求一次函数的解析式和反比例函数的解析式； （2）求△OCD的面积； （3）根据图象直接写出一次函数的值大于反比例函数的值时，自变量x的取值范围． 【答案】（1），；（2）8；（3）x＜﹣2或0＜x＜6． 【解析】 试题解析：（1）∵OB=4，OE=2，∴BE=2+4=6． ∵CE⊥x轴于点E，tan∠ABO==，∴OA=2，CE=3，∴点A的坐标为（0，2）、点B的坐标为C（4，0）、点C的坐标为（﹣2，3）． ∵一次函数y=ax+b的图象与x，y轴交于B，A两点，∴，解得：． 故直线AB的解析式为． ∵反比例函数的图象过C，∴3=，∴k=﹣6，∴该反比例函数的解析式为； （2）联立反比例函数的解析式和直线AB的解析式可得：，可得交点D的坐标为（6，﹣1），则△BOD的面积=4×1÷2=2，△BOC的面积=4×3÷2=6，故△OCD的面积为2+6=8； （3）由图象得，一次函数的值大于反比例函数的值时x的取值范围：x＜﹣2或0＜x＜6． 考点：反比例函数与一次函数的交点问题． 33．（2017四川省广安市）如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数的图象在第一象限交于点A（4，2），与y轴的负半轴交于点B，且OB=6． （1）求函数和y=kx+b的解析式． （2）已知直线AB与x轴相交于点C，在第一象限内，求反比例函数的图象上一点P，使得． 【答案】（1），y=2x﹣6；（2）P（，6）． 【解析】 试题解析：（1）把点A（4，2）代入反比例函数，可得m=8，∴反比例函数解析式为，∵OB=6，∴B（0，﹣6），把点A（4，2），B（0，﹣6）代入一次函数y=kx+b，可得：，解得：，∴一次函数解析式为y=2x﹣6； （2）在y=2x﹣6中，令y=0，则x=3，即C（3，0），∴CO=3，设P（a，），则 由S△POC=9，可得×3×=9，解得a=，∴P（，6）． 考点：反比例函数与一次函数的交点问题． 34．（2017四川省自贡市）[探究函数的图象与性质] （1）函数的自变量x的取值范围是 ； （2）下列四个函数图象中函数的图象大致是 ； （3）对于函数，求当x＞0时，y的取值范围． 请将下列的求解过程补充完整． 解：∵x＞0 ∴= =+ ． ∵≥0，∴y≥ ． [拓展运用] （4）若函数，则y的取值范围 ． 【答案】（1）x≠0；（2）C；（3）4，4；（4）y≥1． 【解析】 （4）=═ = ∵≥0，∴y≥1． 故答案为：x≠0，C，4，4，y≥1． 考点：1．反比例函数的性质；2．一次函数的性质；3．二次函数的性质；4．阅读型；5．探究型；6．综合题． 35．（2017德州）有这样一个问题：探究同一平面直角坐标系中系数互为倒数的正、反比例函数与（k≠0）的图象性质． 小明根据学习函数的经验，对函数与，当k＞0时的图象性质进行了探究． 下面是小明的探究过程： （1）如图所示，设函数与图象的交点为A，B，已知A点的坐标为（﹣k，﹣1），则B点的坐标为 ； （2）若点P为第一象限内双曲线上不同于点B的任意一点． ①设直线PA交x轴于点M，直线PB交x轴于点N．求证：PM=PN． 证明过程如下，设P（m，），直线PA的解析式为y=ax+b（a≠0）． 则，解得： ∴直线PA的解析式为 请你把上面的解答过程补充完整，并完成剩余的证明． ②当P点坐标为（1，k）（k≠1）时，判断△PAB的形状，并用k表示出△PAB的面积． 【答案】（1）（k，1）；（2）①；；②k＞1时，S=，当0＜k＜1时，S=． 【解析】 试题解析：（1）由正、反比例函数图象的对称性可知，点A、B关于原点O对称，∵A点的坐标为（﹣k，﹣1），∴B点的坐标为（k，1）．故答案为：（k，1）． （2）①证明过程如下，设P（m，），直线PA的解析式为y=ax+b（a≠0）． 则，解得：，∴直线PA的解析式为． 当y=0时，x=m﹣k，∴M点的坐标为（m﹣k，0）． 过点P作PH⊥x轴于H，如图1所示，∵P点坐标为（m，），∴H点的坐标为（m，0），∴MH=xH﹣xM=m﹣（m﹣k）=k． 同理可得：HN=k，∴MH=HN，∴PM=PN． 故答案为：；． ②由①可知，在△PMN中，PM=PN，∴△PMN为等腰三角形，且MH=HN=k． 当P点坐标为（1，k）时，PH=k，∴MH=HN=PH，∴∠PMH=∠MPH=45°，∠PNH=∠NPH=45°，∴∠MPN=90°，即∠APB=90°，∴△PAB为直角三角形． 当k＞1时，如图1，S△PAB=S△PMN﹣S△OBN+S△OAM=MN•PH﹣ON•yB+OM•|yA|=×2k×k﹣（k+1）×1+（k﹣1）×1= ； 当0＜k＜1时，如图2，S△PAB=S△OBN﹣S△PMN+S△OAM=ON•yB﹣k2+OM•|yA|=（k+1）×1﹣k2+（1﹣k）×1=． 考点：1．反比例函数综合题；2．探究型；3．分类讨论；4．压轴题． 36．（2017济宁）定义：点P是△ABC内部或边上的点（顶点除外），在△PAB，△PBC，△PCA中，若至少有一个三角形与△ABC相似，则称点P是△ABC的自相似点． 例如：如图1，点P在△ABC的内部，∠PBC=∠A，∠PCB=∠ABC，则△BCP∽△ABC，故点P是△ABC的自相似点． 请你运用所学知识，结合上述材料，解决下列问题： 在平面直角坐标系中，点M是曲线（x＞0）上的任意一点，点N是x轴正半轴上的任意一点． （1）如图2，点P是OM上一点，∠ONP=∠M，试说明点P是△MON的自相似点；当点M的坐标是（，3），点N的坐标是（，0）时，求点P的坐标； （2）如图3，当点M的坐标是（3，），点N的坐标是（2，0）时，求△MON的自相似点的坐标； （3）是否存在点M和点N，使△MON无自相似点？若存在，请直接写出这两点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）P（，）；（2）（1，）或（2，）；（3）存在， M（，3），N（，0）． 【解析】 （2）作ME⊥x轴于H，由勾股定理求出OM=，直线OM的解析式为y=x，ON=2，∠MOH=30°，分两种情况：①作PQ⊥x轴于Q，由相似点的性质得出PO=PN，OQ=ON=1，求出P的纵坐标即可； ②求出MN==2，由相似三角形的性质得出，求出PN=，在求出P的横坐标即可； （3）证出OM=2=ON，∠MON=60°，得出△MON是等边三角形，由点P在△ABC的内部，得出∠PBC≠∠A，∠PCB≠∠ABC，即可得出结论． 试题解析：（1）∵∠ONP=∠M，∠NOP=∠MON，∴△NOP∽△MON，∴点P是△MON的自相似点； 过P作PD⊥x轴于D，则tan∠POD= =，∴∠AON=60°，∵当点M的坐标是（，3），点N的坐标是（，0），∴∠MNO=90°，∵△NOP∽△MON，∴∠NPO=∠MNO=90°，在Rt△OPN中，OP=ONcos60°=，∴OD=OPcos60°=×=，PD=OP•sin60°=×=，∴P（，）； （2）作ME⊥x轴于H，如图3所示： ∵点M的坐标是（3，），点N的坐标是（2，0），∴OM= =，直线OM的解析式为y=x，ON=2，∠MOH=30°，分两种情况： ①如图3所示：∵P是△MON的相似点，∴△PON∽△NOM，作PQ⊥x轴于Q，∴PO=PN，OQ=ON=1，∵P的横坐标为1，∴y=×1=，∴P（1，）； ②如图4所示： 由勾股定理得：MN==2，∵P是△MON的相似点，∴△PNM∽△NOM，∴，即，解得：PN=，即P的纵坐标为，代入y=x得： =x ，解得：x=2，∴P（2，）； 综上所述：△MON的自相似点的坐标为（1，）或（2，）； （3）存在点M和点N，使△MON无自相似点，M（，3），N（，0）；理由如下： ∵M（，3），N（，0），∴OM==ON，∠MON=60°，∴△MON是等边三角形，∵点P在△ABC的内部，∴∠PBC≠∠A，∠PCB≠∠ABC，∴存在点M和点N，使△MON无自相似点． 考点：1．反比例函数综合题；2．阅读型；3．新定义；4．存在型；5．分类讨论；6．压轴题． 37．（2017广西玉林崇左市）如图，一次函数（）的图象与坐标轴交于A，B两点，与反比例函数（）的图象交于M，N两点，过点M作MC⊥y轴于点C，已知CM=1． （1）求的值； （2）若，求反比例函数的解析式； （3）在（2）的条件下，设点P是x轴（除原点O外）上一点，将线段CP绕点P按顺时针或逆时针旋转90°得到线段PQ，当点P滑动时，点Q能否在反比例函数的图象上？如果能，求出所有的点Q的坐标；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）5；（2）；（3）点Q的坐标为（2+，﹣2+）或（2﹣，﹣2﹣）或（﹣2，﹣2）． 【解析】 如图3，点P在x轴的负半轴上时； 如图4，点P在x轴的正半轴上时，绕P逆时针旋转到点Q，同理可得结论． 试题解析：（1）如图1，∵MC⊥y轴于点C，且CM=1，∴M的横坐标为1，当x=1时，y=k1+5，∴M（1，k1+5），∵M在反比例函数的图象上，∴1×（k1+5）=k2，∴k2﹣k1=5； （2）如图1，过N作ND⊥y轴于D，∴CM∥DN，∴△ACM∽△ADN，∴，∵CM=1，∴DN=4，当x=4时，y=4k1+5，∴N（4，4k1+5），∴4（4k1+5）=k2①，由（1）得：k2﹣k1=5，∴k1=k2﹣5②，把②代入①得：4（4k2﹣20+5）=k2，k2=4，∴反比例函数的解析式：； （3）当点P滑动时，点Q能在反比例函数的图象上； 如图2，CP=PQ，∠CPQ=90°，过Q作QH⊥x轴于H，易得：△COP≌△PHQ，∴CO=PH，OP=QH，由（2）知：反比例函数的解析式：； 当x=1时，y=4，∴M（1，4），∴OC=PH=4，设P（x，0），∴Q（x+4，x），当点Q落在反比例函数的图象上时，x（x+4）=4，x2+4x+4=8，x=﹣2±，当x=﹣2+时，x+4=2+，如图2，Q（2+，﹣2+）； 当x=﹣2﹣时，x+4=2﹣，如图3，Q（2﹣，﹣2﹣）； 如图4，CP=PQ，∠CPQ=90°，设P（x，0），过P作GH∥y轴，过C作CG⊥GH，过Q作QH⊥GH，易得：△CPG≌△PQH，∴PG=QH=4，CG=PH=x，∴Q（x﹣4，﹣x），同理得：﹣x（x﹣4）=4，解得：x1=x2=2，∴Q（﹣2，﹣2），综上所述，点Q的坐标为（2+，﹣2+）或（2﹣，﹣2﹣）或（﹣2，﹣2）． 考点：1．反比例函数综合题；2．存在型；3．动点型；4．旋转的性质；5．压轴题． 38．（2017浙江省杭州市）在面积都相等的所有矩形中，当其中一个矩形的一边长为1时，它的另一边长为3． （1）设矩形的相邻两边长分别为x，y． ①求y关于x的函数表达式； ②当y≥3时，求x的取值范围； （2）圆圆说其中有一个矩形的周长为6，方方说有一个矩形的周长为10，你认为圆圆和方方的说法对吗？为什么？ 【答案】（1）①（x＞0）；②0＜x≤1；（2）矩形的周长不可能是6，可能是10． 【解析】 （2）∵一个矩形的周长为6，∴x+y=3，∴x+=3，整理得：x2﹣3x+3=0，∵b2﹣4ac=9﹣12=﹣3＜0，∴矩形的周长不可能是6； ∵一个矩形的周长为10，∴x+y=5，∴x+=5，整理得：x2﹣5x+3=0，∵b2﹣4ac=25﹣12=13＞0，∴矩形的周长可能是10． 考点：反比例函数的应用． 39．（2017四川省德阳市）如图，函数 的图象与双曲线（k≠0，x＞0）相交于A（3，m）和点B． （1）求双曲线的解析式及点B的坐标； （2）若点P在y轴上，连接PA、PB，求当PA+PB的值最小时点P的坐标． 【答案】（1） ，B（6，3）；（2）P（0，5）． 【解析】 试题分析：（1）把A（3，m）代入y=2x，求出A的坐标，进而求出k的值，一次函数与反比例函数组成方程组求出方程组的解，即可得到交点坐标； （2）作点A关于y轴的对称点C（-3，6）．连接BC交y轴于点P0，则BC就是PA+PB的最小值，此时P0点的坐标即为所求． 试题解析：（1）∵A（3，m），∴对于y=2x，当x=3时，y=m=6，∴A（3，6）．将A（3，6）代入（k＞0）中，得：k=18，∴双曲线的解析式为：． 由，得：，即，解得：x=3或x=6． 由于y=-x+9（x＞3），∴x=6．当x=6时，y=3，∴点B的坐标为（6，3）． （2）作点A关于y轴的对称点C，连接CB交y轴于点P0，连接P0A，PC，则PA+PB=PC+PB≥BC= P0A+ P0B，∴当P取P0点时，PA+PB的值最小． ∵B（6，3），∴C（-3，6）． 设直线CB的解析式为y=ax+b（a≠0）．将C（-3，6），B（6，3）代入，得： ，解得： ，∴直线CB的解析式为：． 当x=0时，y=5，即P0（0，5），∴点P的坐标为（0，5）时，PA+PB的值最小． 考点：1．反比例函数与一次函数的交点问题；2．最值问题． 40．（2017四川省攀枝花市）如图，在平面直角坐标系中，坐标原点O是菱形ABCD的对称中心．边AB与x轴平行，点B（1，-2），反比例函数（k≠0）的图象经过A，C两点． （1）求点C的坐标及反比例函数的解析式． （2）直线BC与反比例函数图象的另一交点为E，求以O，C，E为顶点的三角形的面积． 【答案】（1）C（4，2），；（2）． 【解析】 试题解析：（1）连结AC，BD，∵坐标原点O是菱形ABCD的对称中心，∴AC，BD相交于点O，且∠AOB=90°，∵B（1，﹣2），且AB∥x轴，∴设A（a，﹣2），则AO2=a2+4，BO2=5，AB2=（1﹣a）2，在Rt△AOB中，由勾股定理得（1﹣a）2=a2+4+5，解得a=﹣4，∴A（﹣4，﹣2），∴C（4，2），∵反比例函数（k≠0）的图象经过A，C两点，∴反比例函数解析式为； （2）连结OE，则△OCE是以O，C，E为顶点的三角形，设直线BC的解析式为y=kx+b，∵点B（1，﹣2），C（4，2）在该直线上，∴，解得：，∴直线BC的解析式为，设其与y轴交于点F（0，），∵反比例函数为，∴，解得x1=4，x2=，∴点E的横坐标为，∴以O，C，E为顶点的三角形的面积==． 考点：反比例函数与一次函数的交点问题． 41